文档文本内容
1
9.1.1 正弦定理
课程标准
学习目标
（1）结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的
面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应
用；
（2）了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及
其变形；
（3）探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定
理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题。
（1）通过对正弦定理的推导及应用正弦定理
判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素
养；
（2）借助利用正弦定理求解三角形的边长或
角的大小的学习，培养数学运算的核心素养。
知识点01 三角形的面积公式
1、三角形面积公式：在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
的面积为S，
2
则
，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积
的一半。
2、证明过程：证明：当
为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，
设∆ABC的面积为S，则S = 1
2 BC ∙AD = 1
2 absinC
当∆ABC为钝角三角形时，作BC边长的高AD
则AD = ABsin(180°−∠ABC)= ABsin∠ABC
∴S = 1
2 BC ∙AD = 1
2 acsin∠ABC；当∆ABC为直角三角形时，上述结论依然成立。
3、其他面积公式
在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，
r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S = 1
2 aℎa=bℎb=cℎc （2）S = 1
2
(a+b+c)∙r （3）S = a+b+c
4 R
【即学即练1】（23-24 高一下·天津红桥·月考）在
中， 已知
， 则
.
知识点02 正弦定理
1、正弦定理的描述
（1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等；
（2）符号语言：
（2
为
外接圆直径）
2、正弦定理的特点
（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
3、正弦定理的证明
当
是锐角三角形时，设边AB 的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝a sin
B ，CD＝b sin
A ，
所以a sin
B ＝b sin
A ，得到＝.
同理，在△ABC 中＝.
从以上的讨论和探究可得：＝＝.
4、正弦定理的推广及常用变形公式
在
中，若内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，其外接圆半径为
，则
3
（1）
，
，
；
（2）
；
（3）
（比例性质）；
（4）
，
，
（可以实现边到角的转化）；
（5）
，
，
（可以实现角到边的转化）。
5、三角形中的隐含条件
在
中，已知内角
，
，
所对的边分别为
，
，
.
（1）
，
，
，
；
.
（2）
（大边对大角）；
.
（3）
，
；
；
（4）若三角形为锐角三角形，
【即学即练2】（23-24 高一下·湖北武汉·月考）在
中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的
边分别为a，b，c，其中
，则
（ ）
A．2∶3∶4
B．4∶9∶16
C．4∶3∶2
D．16∶9∶4
知识点03 解三角形
1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。
2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。
3、利用正弦定理解三角形的类型
（1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解；
（2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。
【即学即练3】（23-24 高一下·山东滨州·月考）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【题型一：利用正弦定理解三角形】
例1．（23-24 高一下·浙江·月考）在
中，
，且
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（23-24 高一下·河北沧州·月考）在
中，内角
所对的边分别为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
变式1-2．（23-24 高一下·宁夏银川·月考）在
中，
，则角
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
变式1-3．（23-24 高一下·湖南长沙·月考）在
中，
，
，则角A 的大小为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
变式1-4．（23-24 高一下·广东惠州·月考）
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
【方法技巧与总结】
1、已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路：
（1）由三角形的内角和定理求出第三个角；
（2）由正弦定理公式的变形求另外的两条边。
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角
的和或差，如75°=45°+30°），再根据上述思路求解。
2、已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的
角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，
要分类讨论.
【题型二：判断三角形解的个数】
例2．（23-24 高一下·河北沧州·月考）（多选）在
中，内角
所对的边分别为
，下列各组
条件中，能使
恰有一个解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（23-24 高一下·重庆·月考）（多选）满足下列条件的三角形有两个解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
变式2-2．（22-23 高一下·浙江台州·期末）在
中角
所对的边分别为
，若
，
，
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
有两个解
C．当
时，
只有一个解
D．对一切
，
都有解
6
变式2-3．（23-24 高一下·江苏镇江·月考）在
中，
，
，满足此条件的
有两解，
则
边长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-4．（23-24 高一下·上海·月考）在
中，
，
，要使
被唯一确定，那么
的
取值范围是 .
【方法技巧与总结】
已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
当A为锐角时：
当A为钝角时
【题型三：与三角形面积有关的问题】
例3．（22-23 高一下·湖北黄冈·期中联考）在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
变式3-1．（23-24 高一下·河南濮阳·月考）在
中，已知
，
，且
的面积为3，
则A=（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
变式3-2．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）已知
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积为，
，
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
变式3-3．（22-23 高一下·广东·月考）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，
．
（1）求角
；
（2）若
，求
的面积．
变式3-4．（22-23 高一下·黑龙江绥化·月考）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若bc＝
20，△ABC 的面积为5，且其外接圆的半径为4，则a＝ ．
【方法技巧与总结】
1、求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一
些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值；
2、事实上，在众多公式中，最常用的公式是
，即给出三角
形的两边和夹角（其中某边或角需求解）求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求
得相应的边或角，应熟练应用此公式。
【题型四：求三角形外接圆半径】
例4．（22-23 高一下·广西钦州·月考）在
中，已知
，则
的外接圆半径为
8
（ ）
A．4
B．4
C．
D．
变式4-1．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
变式4-2．（22-23 高一下·广东揭阳·月考）
，
，分别为
内角
，
，
的对边．已知
，
，则
外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（22-23 高一下·河南郑州·月考）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
，
的外接圆半径为2.则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
变式4-4．（22-23 高三上·山东泰安·期中）已知
的内角A，B，C 对应的边长分别为a，b，c，
，
，则
外接圆半径为 ．
【题型五：判断三角形的形状】
例5．（23-24 高一下·陕西咸阳·月考）在
中，角
的对边分别为
，若
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
变式5-1．（22-23 高一下·黑龙江绥化·月考）设
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，则
的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．三边比为1：2：3 的三角形
9
变式5-2．（22-23 高一下·吉林长春·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
变式5-3．（23-24 高一下·河南·月考）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
变式5-4 ．（23-24 高一下· 云南昆明· 月考）在
中，角
所对的边分别为
，且
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
【方法技巧与总结】
1、判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形
找出边之间的关系，正弦定理是转化的桥梁；
2、无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意
挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【题型六：利用正弦定理求最值范围】
例6．（22-23 高一下·山东烟台·月考）锐角
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
变式6-1．（2024·广东梅州·一模）已知
是锐角三角形，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（22-23 高一下·江苏·月考）在锐角三角形
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（1）求角B 的值；
（2）若
，求
的取值范围．
变式6-3．（22-23 高一下·江苏镇江·月考）已知
的内角
，
，
的对边分别记为
，
，，且
.
（1）证明：
；
（2）若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【方法技巧与总结】
在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的思路：
（1）利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量；
（2）将要求取值范围或最值的量表示成某一变量的函数(三角函数），从而转化为函数的值域或最值的问
题.
一、单选题
1．（22-23 高一下·陕西西安·月考）在
中，下列式子与
的值相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11
2．（23-24 高一下·河南·月考）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·江苏镇江·月考）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，则角B 的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·北京朝阳·期末）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高一下·辽宁鞍山·月考）在
中，若
，则
为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
7 ．（23-24 高三下· 内蒙古赤峰· 开学考试）在
中，
为边
上一点，
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·上海·月考）在
中，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·广东惠州·月考）在
中，
，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（22-23 高一下·四川广安·月考）已知
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是
12
（ ）
A．若
，
，则
有两解
B．若
，
，则
无解
C．若
，
，则
有一解
D．若
，
，
，则
有两解
11．（22-23 高一下·江苏连云港·月考）已知
中，其内角A，B，C 的对边分别为
下列命题正确
的有（ ）
A．若
，则
B．若
，
4，则
外接圆半径为4
C．若
，则
为直角三角形
D．若
，
，
，则
三、填空题
12．（22-23 高一下·吉林辽源·月考）在
中，已知
，则
的外接圆半径为
．
13．（23-24 高一下·陕西西安·月考）
的内角
所对应边为
，若
，则
.
14．（22-23 高一下·浙江台州·期末）在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知
，
，
，若
有两解，则
的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24 高一下·北京·月考）在
中，
．
（1）求
的大小；
（2）若
，
，求
的面积．
16．（23-24 高一下·上海·月考）在
中，设角
、
及
所对边的边长分别为
、
及．已知
．
（1）求角
的大小；
（2）当
，
时，求边长．
13
17．（23-24 高一下·天津红桥·月考）设
的内角A，B，C 所对边的长分别是a，b，c，且
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
18．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·月考）在
中，内角
的对边分别是
已知
（1）求角
；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
的面积的取值范围.
19．（23-24 高一下·湖南岳阳·月考）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三
角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当
有一个
内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
（1）求
；
（2）若
，设点
为
的费马点，求
.
