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第01 讲 角的推广
课程标准
学习目标
1.掌握角的推广定义，理解正角、负角、零
角的定义及其性质。
2.掌握象限角的概念，理解终边相同的角的
概念及其表示方法。
3.通过实例了解任意角在现实生活中的应
用，如时钟指针的旋转、自行车轮的旋转
等。
1.掌握角的推广定义和性质，能够判断一个角是正
角、负角还是零角，并能够进行简单的计算。
2.理解象限角和终边相同的角的概念，掌握它们的表
示方法，能够进行简单的判断和计算。
3.通过实例了解任意角在现实生活中的应用，提高解
决实际问题的能力。
知识点01 任意角的定义
1.任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2.角的表示：
（1）始边：射线的起始位置
．
（2）终边：射线的终止位置
．
（3）顶点：射线的端点O．
（4）记法：图中的角
可记为“角
”或“
”或“
”．
3.角的分类：
（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
4.角的加减运算的几何意义
设
，
是任意两个角，把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是
；把角
的终边旋转
角
，这时终边所对应的角是
【即学即练1】
1．（24-25 高一上·全国·课后作业）若将钟表调慢5min，则分针转动角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分针转一圈60min 共
求解即可.
【详解】分针转一圈60min 共
，将钟表的分针调慢5min，为逆时针，
则分针逆时针转过
．
故选：B．
2.（24-25 高一上·全国·课后作业）将一条射线绕着其端点逆时针旋转
，再顺时针旋转
，则形
成的角的度数为 .
【答案】
【分析】根据任意角的概念得到所形成的角的度数.
【详解】由题知所形成的角的度数为
.
故答案为：
知识点02 象限角及其集合表示
1.终边相同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
Z
k
k
S
,
360
|
，即任一
与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.
【解读】对于集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解应注意三点：
(1)α 是任意角．
(2)“k∈Z”有三层含义：
①特殊性：k 每取一个整数值就对应一个具体的角；
②一般性：表示所有与角α 终边相同的角(包括α 自身)；
③从几何意义上看，k 表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k 取正整数时，逆时针旋转；k 取负整
数时，顺时针旋转；k＝0 时，没有旋转．
(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“＋”连接，如－30°＋k·360°应看成(－30°)＋k·360°，表示与－30°
角终边相同的角．
2.象限角的定义
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就
说这个角是第几象限的角。
3.象限角的集合表示
象限角
集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
【即学即练2】1.（24-25 高一上·河北邢台·阶段练习）
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同的角判断象限角.
【详解】因为
，
终边在第三象限，所以
是第三象限角.
故选：C.
2.（23-24 高一下·安徽淮北·阶段练习）角
的终边落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AC
【分析】分
为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限.
【详解】当
时，
，故
为第三象限角；
当
时，
，故
为第一象限角．
故角
的终边落在第一或第三象限．
故选：AC
知识点03 轴线角及其集合表示
1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在坐
标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。
2、轴线角的集合表示
角的终边位置
集合表示
x
轴的非负半轴
{β|β=k×360∘,k ∈Z}
x
轴的非正半轴
{β|β=k×360∘+180∘,k ∈Z}
x
轴上
{β|β=k×180∘,k ∈Z}
y
轴非负半轴
{β|β=k×360∘+90∘,k ∈Z}
y
轴非正半轴
{β|β=k×360∘−90∘,k ∈Z}
y
轴上
{β|β=k×180∘+90∘,k ∈Z}
【即学即练3】若角
、
的终边相同，则
的终边在（ ）．
A．x 轴的正半轴上 B．x 轴的负半轴上 C．y 轴的正半轴上 D．y 轴的负半轴上
【答案】A
【解析】因为角α，β 的终边相同，所以
，
，
所以
的终边落在x 轴的正半轴上，故选：A.
题型01 任意角的概念
【典例1】（23-24 高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于
的角一定是锐
角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命
题的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角
，所以小于
的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角
，第二象限角
，
，所以钝角一定是第二象限角，
故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如
，
，但
，故④不成立.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）若角
，把角
逆时针旋转
得到角
，则
．
【答案】
【分析】逆时针旋转得到的是正角，由此得到角
，再求出
即可.
【详解】∵角
是由角
逆时针旋转
所得
∴
，
∴
.
故答案为：
.
【变式2】（25-26 高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的个数是（ ）
①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于
的角都是锐
角．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可.
【详解】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误；
对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确；
对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确；
对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误．
综上，正确的个数是2.
故选：B．
题型02 终边相同的角
【典例2】（24-25 高一上·安徽阜阳·期中）角
的终边与
的终边关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求与大小为
的角的终边关于
轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求
即可.
【详解】因为大小为
的角的终边与大小为
的角的终边关于
轴对称，
所以
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）下列选项中两个角终边相同的一组为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案.
【详解】由
，A 错误；
，B 错误；
，C 错误；
由于
，
所以
和
终边相同，D 正确．
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·黑龙江绥化·阶段练习）在
的范围内，与
终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由终边相同的角的表示
，则
终边相同，再判断即可得解.
【详解】解:因为
,
则在
的范围内，与
终边相同的角是
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）与
角终边相同的最小正角是 ；最大负角是
．
【答案】
【分析】根据与角
终边相同的角是
，对k 取满足要求的整数可得解.
【详解】因为与角
终边相同的角是
，
所以当
时，与角
终边相同的最小正角是
.
当
时，与角
终边相同的最大负角是
.
故答案为：
，
.
题型03 确定已知角所在的象限
【典例3】（24-25 高一上·广东东莞·期中）
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【分析】分析可知
的终边与
的终边相同，结合象限角的定义可得结论.
【详解】因为
，可知
的终边与
的终边相同，
而
为第二象限角，所以
是第二象限角.
故选：B.
【变式1】（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知角
，则角
的终边落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】求出
与
的角终边相同，从而得到得到答案.
【详解】
，故
与
的角终边相同，
其中
在第四象限，故角
的终边落在第四象限.
故选：D
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）
角是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【分析】分析可知
的终边与
的终边相同，结合象限角的定义分析判断.
【详解】因为
，可知
的终边与
的终边相同，
且
为第三象限角，所以
角是第三象限角.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题，为真命题的是（ ）
A．
角是第四象限角
B．
角是第三象限角
C．
角是第二象限角
D．
角是第一象限角
【答案】ABC
【分析】找出各角在
范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限.
【详解】对于A，
，
是第四象限角，则
是第四象限角，A 正确；
对于B，
是第三象限角，B 正确；
对于C，
，
是第二象限角，则
是第二象限角，C 正确；
对于D，
，
是第二象限角，则
是第二象限角，D 错误.
故选：ABC.
题型04 判断n 倍角象限
【典例4】（23-24 高一上·河北保定·期中）（多选）设
为第二象限角，则
可能是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】CD
【详解】
为第二象限角，故
，
所以
，
所以
可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或
轴的负半轴.
故选：CD
【变式1】（22-23 高一上·吉林长春·期末）若角
是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.
【详解】因为角
是第二象限角，所以
，
，
对于A ，
，故
是第三象限角，故A 正确；
对于B，
，
，故
是第一象限角，故B 不正确；
对于C ，
，
，故
是第三象限角，故C 正确；
对于D，
,
,故
是第三象限角或
轴负半轴上的角或第四象限角，
故D 不正确.
故选：AC
【变式2】（多选）角
的终边在第三象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．y 轴非负半轴 D．第三或四象限
【答案】ABC
【解析】
角
的终边在第三象限，
，
，
，
．
的终边可能在第一、二象限或y 轴非负半轴．故选：ABC.
题型05 判断n 分角所在象限
【典例5】（23-24 高一下·上海·期中）若
是第二象限角，则（ ）
A．
是第一象限角
B．
是第一或第三象限角
C．
是第二象限角
D．
是第二或第四象限角
【答案】B
【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可.
【详解】由题意可知
，
当
为偶数时，
终边为第一象限角平分线，
终边为纵轴正半轴，
当
为奇数时，
终边为第三象限角平分线，
终边为纵轴负半轴，
即
的终边落在直线
及
轴之间，即第一或第三象限.
故选：B.
【变式1】（23-24 高一下·江西吉安·期末）（多选）已知
，
，那么
的终边
可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】ABC
【分析】利用给定条件解出
的范围，再分类讨论求解即可.
【详解】由题意可得
，
，则
，
，
当
时，此时
的终边落在第一象限，故A 正确；
当
时，此时
的终边落在第二象限，故B 正确；
当
时，此时
的终边落在第三象限，故C 正确．
故选：ABC
【变式2】（23-24 高一下·江西·阶段练习）如图，若角
的终边落在阴影部分，则角
的终边可能在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AC
【分析】利用象限角的定义即可得解.
【详解】依题意，得
，
所以
，
当
为偶数时，
的终边在第一象限；当
为奇数时，
的终边在第三象限．
故选：AC.
一、单选题
1．（22-23 高一下·全国·课后作业）下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于
小于
的角；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答.
【详解】第一象限角的集合为
，
锐角是大于
小于
的角，锐角的集合为
，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，
故选：C.
2．（22-23 高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限的角是锐角
B．小于
的角是锐角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．相等的角终边必定重合
【答案】D
【分析】根据角概念的推广逐项判断即可.
【详解】解：对于A，第一象限的角是指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于
小
于
的角，故不相同，故A 错误；
对于B，小于
的角还包含
和负角，而锐角仅指大于
小于
的角，故不相同，故B 错误；
对于C，例如
为第二象限的角，
为第一象限的角，显然不满足
，故C 错误；
对于D，相等的角终边必定重合，故D 正确.
故选：D.
3．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若
是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.
【详解】因为
是第一象限角，所以
是第四象限角，
则
是第一象限角，故A 错误；
是第二象限角，故B 错误；
是第四象限角，故C 正确；
是第一象限角，故D 错误.
故选：C.
4．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
和角
，则下列说法正确的是（ ）
A．若角
是第一象限角，则角
是锐角
B．若角
和角
的终边相同，则
C．若角
和角
分别是角
的终边绕端点
按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则
D．若角
的终边在第二象限，则角
是钝角
【答案】C
【分析】根据任意角的概念逐项判断.
【详解】A，角
，是第一象限角，但不是锐角，A 错误；
B，角
，角
，则角
和
的终边相同，但
，B 错误；
C，
的终边绕端点
按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C 正确；
D，角
的终边在第二象限，则角
不是钝角，D 错误.
故选：C.
5．（23-24 高一下·广东广州·课后作业）设集合
，
那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得．
【详解】由题意得
，
即M 是由
的奇数倍构成的集合，
又
，
即N 是由
的整数倍构成的集合，
则
，
故选：C．
6．（24-25 高一上·上海·课后作业）集合
与集合
之间
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得集合
分别表示
的奇数倍与
的整数倍，即可得到
的关系.
【详解】对于集合
，
，
，表示
的奇数倍，
对于集合
，
，
，表示
的整数倍，
所以
.
故选：A
7．（23-24 高三下·甘肃·阶段练习）集合
中的最大负角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用任意角的定义与集合
所表示的角即可得解.
【详解】因为
，
所以集合
中的最大负角
为
.
故选：C.
8．（22-23 高一上·全国·课后作业）射线
绕端点
逆时针旋转
到达
位置，由
位置绕端点
旋转到达
位置，得
，则射线
旋转的方向与角度分别为（ ）
A．逆时针，
B．顺时针，
C．逆时针，
D．顺时针，
【答案】B
【分析】由题意可得
，
，从而可求出
，进而可得答案.
【详解】由题意可得
，设
，则
，
解得
，
所以射线
绕端点
顺时针旋转
，
故选：B
二、多选题
9．（22-23 高一下·四川遂宁·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．钝角是第二象限角
B．第二象限角比第一象限角大
C．大于
的角是钝角
D．
是第二象限角
【答案】BCD
【分析】利用象限角的概念可判断ABD 选项；取
可判断C 选项.
【详解】对于A 选项，钝角
的范围是
，
第二象限角
的取值范围是
，
因为
，
所以，钝角是第二象限角，A 对；
对于B 选项，
是第二象限角，
是第一象限角，但
，B 错；
对于C 选项，
，但
不是钝角，C 错；
对于D 选项，
，且
，
故
是第三象限角，D 错.
故选：BCD.
10．（23-24 高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．锐角都是第一象限角
B．第二象限角都比第三象限角小
C．角
与角
不等，则两角的终边不同D．若角
与角
终边相同，则
【答案】AD
【分析】根据任意角的定义即可逐个选项判断.
【详解】锐角都是第一象限角，A 正确；
第二象限角不是都比第三象限角小，B 错；
角
与角
不等，但两角的终边可以相同，C 错；
若角
与角
终边相同，则
，D 正确.
故选：AD
11．（23-24 高一上·江苏淮安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角
B．第二象限角为钝角
C．小于
的角一定为锐角
D．角
与
的终边关于
轴对称
【答案】AD
【分析】根据象限角、锐角的定义判断ABC，根据任意角的定义判断D.
【详解】对于A：因为锐角的范围为
，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确；
对于B：终边落在第二象限的角不一定是钝角，如
的角的终边位于第二象限，但不是钝角，错误；
对于C：小于
的角不一定是锐角，如
的角小于
，但不是锐角，错误；
对于D：由角的定义可知，角
与
的终边关于
轴对称，正确；
故选：AD
三、填空题
12．（23-24 高一下·上海徐汇·期中）
的角属于第 象限.
【答案】一
【分析】根据终边相同的角的性质即可求解.
【详解】由于
，且
为第一象限角，
故
的角属于第一象限角，
故答案为：一
13．（24-25 高一上·上海·随堂练习）给出下列四个命题：①–75°角是第四象限的角；②225°角是第三象
限的角；③475°角是第二象限的角；④–315°是第一象限的角．其中真命题有 个．
【答案】4
【分析】根据象限角的定义逐项判断即可.
【详解】由象限角的定义即可判断，
–75°角是第四象限的角；225°角是第三象限的角.
故①②正确；
，所以475°角是第二象限的角，③正确；
，所以–315°角是第一象限的角，④正确.
故答案为：4
14．（22-23 高一·全国·随堂练习）如果角α 为锐角，那么
，
所在的象限是 ．
【答案】一或三
【分析】已知α 为锐角，要确定
，
所在的象限，只需对
分类讨论即可.
【详解】因为角α 为锐角，所以角α 为第一象限角，
当
为偶数时，
，
为第一象限角，
当
为奇数时，
，
为第三象限角，
综上所述：
，
所在的象限是一或三.
故答案为：一或三.
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
.
(1)求在
范围内与角
终边相同的角；
(2)若角
与角
终边相同，判断角
是第几象限角.
【答案】(1)
(2)第一象限角或第三象限角
【分析】（1）根据终边相同角的定义得出对应集合可得结果；
（2）由
得出
的表达式，即可判断.
【详解】（1）与角
终边相同的角的集合为
，
令
，
则
，又
，所以
，
故与角
终边相同的角是
.
（2）易知
，则
，
为偶数时，
是第一象限角；
为奇数时，
是第三象限角，
故
是第一象限角或第三象限角.
16．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
．
(1)把
写成
，
，
的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求
，使
与
的终边相同，且
．
【答案】(1)
，第二象限角
(2)
或
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）令
，
，令
，－2 就得到
的角.
【详解】（1）
，即
，它是第二象限角．
（2）由（1）及题意，令
，
，故：
当
时，
；
当
时，
．
综上，
或
．
