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7.1.1 角的推广
课程标准
学习目标
（1）掌握角的推广定义，理解正角、负角、零角的
定义及其性质。
（2）掌握象限角的概念，理解终边相同的角的概念
及其表示方法。
（3）通过实例了解任意角在现实生活中的应用，如
时钟指针的旋转、自行车轮的旋转等。
（1）掌握角的推广定义和性质，能够判断一
个角是正角、负角还是零角，并能够进行简单
的计算。
（2）理解象限角和终边相同的角的概念，掌
握它们的表示方法，能够进行简单的判断和计
算。
（3）通过实例了解任意角在现实生活中的应
用，提高解决实际问题的能力。
知识点01 任意角的定义
1、任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
2、角的表示：
（1）始边：射线的起始位置
．
（2）终边：射线的终止位置
．
（3）顶点：射线的端点O．
（4）记法：图中的角
可记为“角
”或“
”或“
”．
3、角的分类：
（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角
4、角的加减运算的几何意义
设
，
是任意两个角，把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是
；
把角
的终边旋转角
，这时终边所对应的角是
【即学即练1】（2023·江苏·高一专题练习）射线
绕端点
逆时针旋转
到达
位置，由
位置绕
端点
旋转到达
位置，得
，则射线
旋转的方向与角度分别为（ ）
A．逆时针，
B．顺时针，
C．逆时针，
D．顺时针，
知识点02 象限角及其集合表示
1 、终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
Z
k
k
S
,
360
|
，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.
2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在
第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。
3、象限角的集合表示
象限角
集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
【即学即练2】（2023·江苏连云港·高一统考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．钝角一定是第二象限角
C．小于
的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角
知识点03 轴线角及其集合表示
1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在坐
标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。
2、轴线角的集合表示
角的终边位置
集合表示
x
轴的非负半轴
{β|β=k×360∘,k ∈Z}
x
轴的非正半轴
{β|β=k×360∘+180∘,k ∈Z}
x
轴上
{β|β=k×180∘,k ∈Z}
y
轴非负半轴
{β|β=k×360∘+90∘,k ∈Z}
y
轴非正半轴
{β|β=k×360∘−90∘,k ∈Z}
y
轴上
{β|β=k×180∘+90∘,k ∈Z}
【即学即练3】（2023·四川巴中·高一统考期中）若角
、
的终边相同，则
的终边在（ ）．
A．x 轴的正半轴上 B．x 轴的负半轴上 C．y 轴的正半轴上 D．y 轴的负半轴上
【题型一：对任意角的概念理解】
例1．（2023·全国·高一课时练习）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要
10 分钟．这10 分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2023·全国·高一专题练习）已知O 为坐标原点，且射线OA 的始边与x 轴的非负半轴重合，若
射线OA 绕端点O 逆时针旋转
到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转
到达OC 位置，则
（
）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于
的角
一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式1-3．（2022·甘肃兰州·高一校考期末）下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．小于
的角是锐角 D．集合
内的角不一定是钝角
变式1-4．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角
C．小于
的角一定为锐角 D．角
与
的终边关于
轴对称
【方法技巧与总结】
1、解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间
的联系与区别；
2、判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即
可。
【题型二：求终边相同的角】
例2．（2023·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）与
角终边相同的角可以表示为（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式2-1．（2023·甘肃定西·高一统考期末）与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2023·福建厦门·高一厦门外国语学校校考阶段练习）与
终边相同的最小正角为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2023·浙江杭州·高一校联考阶段练习）在
的范围内，与
终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
变式2-4．（2024 上·全国·高一专题练习）（1）若角
的终边落在
轴上，则
的取值集合为 ．
（2）若角
的终边落在
轴上，则
的取值集合为 ．
（3）若角
的终边落在坐标轴上，则
的取值集合为 ．
【方法技巧与总结】
（1）把任意角化为
（
且
）的形式，关键是确定
。可以用观察法（
的
绝对值较小），也可以用除法。要注意：正角除以
，按通常的除法进行；负角除以
，商是负数，
其绝对值比除数为其相反数时的商大1，使余数为正值。
（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，
再依条件构建不等式求出
的值。
【题型3：确定已知角所在的象限】
例3．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）
角是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
变式3-1．（2023·山西·高一校联考期中）
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式3-2．（2023·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）已知角
，则
的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3-3．（2023·陕西·高一校联考期中）
是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式3-4．（2024 上·全国·高一专题练习）给出下列四个命题：
①
角是第四象限角； ②
角是第三象限角；
③
是第二象限角； ④
角是第一象限角．
其中真命题有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【方法技巧与总结】
利用终边相同的角的表示形式，确定所给角度终边所在的象限，从而确定已知角象限。
【题型4：根据图形写出角的范围】
例4．（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合
中的
角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2023·全国·高一专题练习）（1）写出终边在直线
上的角的集合．
（2）写出终边在射线
（
）与
（
）上的角的集合．
变式4-2．（2023·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边
界）的角
的集合为 ．
变式4-3．（2023·全国·高一专题练习）已知角α 的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么
.
变式4-4．（2023·高一课时练习）已知角
的终边在如图所示的阴影区域内，则角
的取值范围是
．
【方法技巧与总结】
区域角是指终边在坐标系内的某个区域内的角。
表示区域角的3 个步骤：
（1）先逆时针的方向找到区域的起始和终止的边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
范围内的角
和
，写出最简区间
，其中
；
（3）起始、终止边界对应角
，
再加上
的整数倍，即得区间角集合。
【题型五：由已知角确定其他角所在象限】
例5．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知α 是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-1．（2023·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若
是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-2．（2023·上海嘉定·高一校考期中）若
是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．（2022·高一课时练习）若α 是第四象限角，则90º－α 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
变式5-4．（2022·高一课时练习）（多选）若
是第三象限的角，则
可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【方法技巧与总结】
已知角
终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角
的范围得到所求角的范围，在直接转
化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。
【题型6：确定n 分角与n 倍角的象限】
例6．（2023·上海静安·高三统考期末）设
是第一象限的角，则
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
变式6-1．（2023·全国·高一专题练习）如果角
的终边在第三象限，则
的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式6-2．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）如果
是第三象限角，则
是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限
角
变式6-3．（2023·全国·高一课时练习）若角
是第二象限角，试确定角
，
是第几象限角．
【方法技巧与总结】
1、已知角
所在象限，要确定
所在象限，由两种方法：
（1）用不等式表示出角
的范围，然后对
的取值分情况讨论：被
整除，被
除余1，被
除余
2，……，从而得出结论；
（2）作出各个象限的从原点出发的
等分射线，它们与坐标轴把周角分成
个区域。从
轴非负半轴起，
按逆时针方向把这
个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据角
终边所在的象限确定
角
的终边所在的区域。如此，角
所在的区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。
2、已知角
终边所在的象限，确定
终边所在的象限，可依据角
的范围求出
的范围，在直接转化
为终边相同的角即可。注意不要漏掉
的终边在坐标轴上的情况。
一、单选题
1．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于
的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
2．（2023·海南·高一校考阶段练习）
角的终边落在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·全国·高一专题练习）若
，
，则
所在象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
4．（2023·河南洛阳·高一校联考阶段练习）与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·高一课时练习）与405°角终边相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
6．（2023·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角
的终边在直线
上，则角
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知
为第二象限角，那么
是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角
8．（2023·福建泉州·高一德化第一中学校联考阶段练习）若角
与
角的终边相同，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①
；②
；③
；④
，其中是
第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（2023·江苏苏州·高一江苏省苏州第一中学校校考阶段练习）与
角终边相同的角的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·安徽阜阳·高一阜南实验中学校考阶段练习）已知
{第一象限角}，
{锐角}，
{小于
的角}，那么A、B、C 关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·高一单元测试）角
的终边在第三象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．y 轴非负半轴 D．第三或四象限
三、填空题
13．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15 分钟，则分针转过的角度为 .
14．（2022·广东东莞·高一校考期中）请写出与
终边相同的最小正角： .
15．（2023·高一课时练习）如图，射线
绕顶点
逆时针旋转
到
位置，并在此基础上顺时针旋转
120 到达
位置，则
．
16．（2023·高一课时练习）如果角
与
具有相同的终边，角
与
具有相同的终边，那么角
与角
之间满足的等量关系是 .
四、解答题
17．（2023·全国·高一专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x 轴的非负半轴重合，请作出下
列各角，并指出它们各是哪个象限的角？
（1）420º； （2）－75º； （3）855º； （4）－510º
18．（2023·河南南阳·高一河南省桐柏县第一高级中学校考阶段练习）集合
，集合
.
（1）求
；
（2）若全集为
，求
.
19．（2020·高一课时练习）写出下列说法所表示的角.
（1）顺时针拧螺丝2 圈；
（2）将时钟拨慢2 小时30 分，分针转过的角．
20．（2023·河南南阳·高一校考阶段练习）已知角
的集合为
，回答下列问
题：
（1）集合M 中有几类终边不相同的角？
（2）集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
（3）求集合M 中的第二象限角
．
21．（2019·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
（1）
（2）
22．（2022·高一课时练习）若
，
，试确定
，
分别是第几象限角．
