文档文本内容
第2 讲 余弦定理
课程标准
学习目标
1．借助平面向量的数量积，探索三角形边
长与角度的关系，了解余弦定理的推导过
程；
2．掌握余弦定理及其推论
3．能用余弦定理解三角形，并能判断
三角形的形状.
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向
量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问
题；
2．能应用余弦定理判断三角形形状；
3．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问
题。
知识点01 余弦定理
1、余弦定理的描述
（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余
弦的积的两倍。
（2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
【解读】（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不
同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
2、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝
【即学即练1】 （24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
【答案】A
【解析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行判断．
【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A
错；
正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B 正确；
余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C 正确；
当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D 正确．
故选：A．
知识点02 余弦定理在解三角形中的应用
1、已知三角形的三边解三角形
（1）连续用余弦定理求出两角；
（2）由三角形内角和定理求出第三个角。
2、已知两边和它们的夹角解三角形
（1）用余弦定理求出第三边；
（2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角.
3、已知两边及其中一边的对角解三角形
利用余弦定理。例如，已知a，b 及角A，可以根据余弦定理列出以边c 为未知数的一元二次方程
，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，
求出其他元素.
【即学即练2】 （24-25 高二上·陕西·期末）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.
【详解】由余弦定理可得
，所以
.
故选：A.
题型01 已知两边及一角解三角形
【典例1】（24-25 高一下·河北·阶段练习）在
中，
，则
（ ）
A．5
B．3 或5
C．4
D．2 或4
【答案】B
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理，得
，
即
，即
，
解得
或5，
经检验，均满足题意.
故选：B.
【变式1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）在
中，
，
，
，则边
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理可求
的值.
【详解】由余弦定理可得
，故
故选：C.
【变式2】（24-25 高二上·云南昭通·期中）在
中，已知
，
，三边分别对应
，
，
三角，
，
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可.
【详解】由余弦定理可得
，
，
故选:B.
【变式3】（24-25 高三上·浙江·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
.已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．
或
【答案】C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得
,即
，
解得
或
，
故选：C
【变式4】（23-24 高一下·吉林·期末）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 或4
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求出.
【详解】根据余弦定理得
，
即
，解得
（舍去）或2，
故选：A.
题型02 已知三边解三角形
【典例2】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】在
中，已知
，
，
，由余弦定理，得
.
故选：A．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得
．
故选：C．
【变式2】（23-24 高一下·天津·期中）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．若
，
，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得
,
，即
，
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4 的线段构成图形的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不构成三角形
【答案】C
【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案
【详解】设
，设其所对应的三个角分别为
，
根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为
，
由余弦定理得
，
故
为钝角，三角形形状为钝角三角形.
故选：C
题型03 余弦定理的边角互化
【典例3】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理即可得解.
【详解】因为
，即
，所以
，
由余弦定理可得
，
又
，所以
.
故选：B．
【变式1】（23-24 高一下·甘肃白银·期末）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】利用余弦定理得到
，由正弦定理得到
.
【详解】因为
，
所以
，所以
.
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·重庆·期末）在
中，记内角
所对的边分别为
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】由
，得
，
由余弦定理得
，
又
，所以
.
故选：C
【变式3】（（23-24 高一下·甘肃天水·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理边角互化即可求解.
【详解】由
得
,
由于
，所以
，故
，
故选：B
【变式4】（多选）（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由已知和余弦定理可求得
，进而求得
，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得
，判断C；由已知和
可得
，再由
可求得
，判断D.
【详解】在
中，因为
，即
，
由余弦定理
，
又
，所以
，
，故A 错误，B 正确；
因为
，则
，所以
，故C 正确；
因为
，
，
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，故D 正确.
故答案为：BCD.
【变式5】（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，且
的面积为
，
，则
．
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式求出
的值，再利用余弦定理可求得
的值.
【详解】因为
，且
的面积为
，
则
，可得
，
由余弦定理可得
，
因此，
.
故答案为:
.
题型04 判断三角形形状
【典例4】（23-24 高一下·河南漯河·期末）三角形
中，内角
的对边分别为
，若
，则三角形
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理，
，
因为
，所以
.
故选：A
【变式1】（23-24 高一下·吉林通化·期末）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
则
为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案.
【详解】因为
，
所以由余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
为直角三角形.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·江苏徐州·期中）在
中，若
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
所以由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·天津·阶段练习）在
中，已知
，则
的形状
为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在
中，由
及余弦定理，得
，
整理得
，即
，
而
，因此
或
，
所以
或
，即
为等腰三角形或直角三角.
故选：C
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）在
中，若内角
的对边分别为
，
，
则
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据二倍角公式可得
，即可利用余弦定理化简得
求解.
【详解】在
中，由已知
得
，所以
，
根据余弦定理，得
所以
，即
，
因此
是直角三角形.
故选：B.
题型05 最值与范围问题
【典例5】（24-25 高一下·上海徐汇·期中）在钝角
中，角
所对的边分别为
，若
，则最大边的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由余弦定理可得
，再由三角形三边关系，即可得到结果.
【详解】因为
是钝角三角形，
，且是最大边，
由余弦定理可得
，于是可得
，且
，解得
，
又
，所以边的取值范围是
.
故选：D
【变式1】（2025·宁夏中卫·一模）
的内角
的对边分别为a，b，c，满足
.若
为锐角三角形，且a=3，则
面积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作
答.
【详解】在
中，由
及正弦定理得：
，
即
，由余弦定理得
，在锐角
中，
，
而
，因此
，当且仅当
时取等号，
于是
的面积
，
所以当
时，
的面积取得最大值
.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，
，
．当
最小时，BD 的长为 ．
【答案】
【分析】设
，余弦定理表示出
，结合基本不等式求最小值和最小值成立的条件.
【详解】设
，则
，
则在
中，
，
在
中，
，
故
，
由于
，当且仅当
，即
时取等号，
故
，即
的最小值为
，
此时
也取最小值，有
，即此时
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在
中，
，
是角
的角平分线，且
.
（1）
的取值范围为 .
（2）若
，当
最小时，
的值为 .
【答案】
/
【分析】（1）由三角形内角平分线的性质可得，
；在
和
中，分别利用余弦定
理可得
，由此解得
的取值范围．
（2）若
，得到
，由余弦定理可得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）
设
，
，
，
，
由角平分线定理，
，
，
由余弦定理，
，
所以
，
化简得
，因为
，故
；
（2）
由题意，
，因此
，
由余弦定理，
，
故
，
当且仅当
时等号成立，此时
.显然
为锐角，
由
代入
中，得
，负值舍去，
由（1）知，此时
.
故答案为：
；
题型06 与向量的综合问题
【典例6】（23-24 高一下·山东临沂·期中）
的三个内角
所对边的长分别为
，设向量
．若
，则角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得
.
【详解】由
可得
，即可得
，
所以
，
因此
，又
，
所以
.
故选：A
【变式1】（23-24 高二下·广东惠州·期末）在
中，内角
所对的边分别为
．向量
．若
，则角C 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.
【详解】在
中，由
，
，得
，
整理得
，由余弦定理得
，而
，
所以
.
故选：C
【变式2】（23-24 高一下·安徽·期中）在
中，角
所对应的边分别为
，向量
，且
，点
为边
的中点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平行向量的坐标表示求出
，由余弦定理可得
，
，解方程
求出
，再由正弦定理求解即可.
【详解】由
，则
，即
，所以
，
，
在
中，
，即
①，
在
中，
，即
②，
由①②解得
，
在
中，
，则
.
故选：C.
【变式3】（23-24 高一下·湖南岳阳·期末）在
中，
，
，平面内一点O 满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦定理、勾股定理可得
是直角三角形，
点是
的外心，
，再利用投
影向量定义可得答案.
【详解】在
中，
，
，由余弦定理得
，
所以
，即
，
是直角三角形，
又
，所以
点是
的外心，且
点是斜边
的中点，
的等边三角形，且
，
则向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：C.
一、单选题
1．（2025 高三下·全国·专题练习）在
中，
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：
中，
，
，
即
，化简得
，
解得
或
（不合题意，舍去），
，
故选：B．
2．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】由余弦定理
即可得出答案.
【详解】由余弦定理可得
，则
.
故选：B.
3．（2025·辽宁辽阳·一模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求出
的值，利用同角三角函数的基本关系求出
的值，然后利用三角形的面
积公式可求得
的面积.
【详解】在
中，因为
，
，
，
由余弦定理可得
，
所以，
，
因此，
的面积为
.
故选：A.
4．（2025 高一下·全国·专题练习）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知及余弦定理化简计算即可得出结果.
【详解】由
，则
，所以
，
由余弦定理，可得
，
因为
，所以
.
故选：B.
5．（24-25 高三下·浙江·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据余弦定理可得
，从而可判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理得
，
化简得
，故
，
从而
的形状为钝角三角形，
故选：B.
6．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据正弦定理角化边，可得
，再由余弦定理即可得到结果.
【详解】因为
，则
，
又
，
所以
.
故选：B.
7．（24-25 高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD 中，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】在
中，利用余弦定理可得
，
，再结合几何性质运算求解即可.
【详解】如图，
在
中，由余弦定理可得
，即
，
则
，
因为
，可得
，故
由
知
，所以
.
故选：A.
8．（24-25 高三下·广东·开学考试）
中，点
满足
，且
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】用
、
作为基底表示出
、
，根据数量积的运算律及余弦定理得到
，即可
得解.
【详解】由题意可得
，
，
，
因为
，所以
，
即
，
故
，于是
.
故选：C.
二、多选题
9．（2025 高一下·全国·专题练习）
的三边
所对的角为
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
面积为
，则
周长的最小值为12
C．当
，
时，
D．若
，
，则
面积为
【答案】ABC
【分析】由正弦定理可得
，再由余弦定理可得A 正确；由面积公式可得
，再结合基
本不等式可得B 正确；由余弦定理可得C 正确，由正弦定理和三角形的面积公式结合正弦展开式可得D 错
误；
【详解】A：
，
，
，
由正弦定理可得
，
由余弦定理可得
，
又
为
的内角，故
，
所以
，故A 正确；
B：
，
由余弦定理可得
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
所以若
面积为
，则
周长的最小值为12，故B 正确；
C：由余弦定理可得
，
所以
，解得
或
（舍去），故C 正确；
D：由正弦定理可得
，
所以
，所以
，故D 错误；
故选：ABC.
10．（24-25 高一下·云南文山·阶段练习）已知
的内角
的对边分别为
，已知
，
锐角
满足
，则（ ）
A．
的周长为12
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可.
【详解】对于B，由
为锐角，且
，得
，B 正确；
对于AC，由余弦定理得
，
得
，则
，A 错误，C 正确；
对于D，由余弦定理得
，D 错误.
故选：BC
11．（2025·河北沧州·一模）在
中，若内角A，B，C 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求解判断.
【详解】设
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，由
，
得
，不妨令
，
，
，
对于A，由余弦定理得
，A 正确；
对于B，
，
，
，B 错误；
对于C，
，
，则
，
，C 正确；
对于D，
，
，
又
，则
，由
，得
，即
，
因此
，D 正确.
故选：ACD
三、填空题
12．（24-25 高一下·山东枣庄·阶段练习）在△ABC 中，角B 为钝角，
，则AC 的取值范围是
．
【答案】
【分析】已知两边及其夹角，故而采用余弦定理计算即可.
【详解】在
中利用余弦定理，
则
，
角B 为钝角，故
，即
，解得，
又
中，
故AC 的取值范围是
．
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）
的内角
、
、
所对边长分别为
、
、，且
，则
．
【答案】
【分析】应用余弦定理求出角即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
14．（24-25 高三上·湖南娄底·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得
最大值，再用三角形的面积公式求解即可.
【详解】因为已知
， 由余弦定理可得
，
因为
，又因为
，得
，
当且仅当
时等号成立，
则
面积为
，
当且仅当
时等号成立，故
的面积的最大值为
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·天津西青·期末）已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
．
(1)求角
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可；
（2）结合正弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由
，
则
，
又
，则
；
（2）由（1）知
，又
，
则由正弦定理知，
，即
.
16．（24-25 高一下·天津·阶段练习）已知在
中，
，
.
(1)求
的大小
(2)若AB 边上的高等于1，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到
，得到
；
（2）作出辅助线，结合（1）求出各边长，利用三角形面积公式得到答案.
【详解】（1）
，
又
，故
；
（2）
，故
，
过点
作
⊥
于点
，AB 边上的高等于1，故
，
故
，
由（1）知，
，所以
，
所以
，
所以
.
17．（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）在
中，
.
(1)求角
；
(2)若
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得
，进而根据和差角公式可得
，即可求解；
（2）根据余弦定理，结合题中条件可得
，
，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公
式求解（ⅱ）.
【详解】（1）因为
，即
，
由正弦定理可得
，
，
即
，可得
，
且
，则
，可得
，
又因为
，所以
.
（2）（ⅰ）∵
，由余弦定理，
，又∵
（*），
整理得：
，即
，代入（*）可得
，
由余弦定理，
；
（ⅱ）∵
，由（ⅰ）得：
，
解得
，
∴
.
18．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图
为直岸线，
，
，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧
，过弧
上一点
按线段
和
修建养殖网箱，已知
.
(1)求岸线上点
与点
之间的直线距离；
(2)如果线段
上的网箱每千米可获得2 万元的经济收益，线段
上的网箱每千米可获得4 万元的经济收
益.记
，设两段网箱获得的经济总收益为
万元，求
的取值范围.
【答案】(1)
千米
(2)
【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案；
（2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案.
【详解】（1）在
中，由余弦定理，得
即岸线上点A 与点
之间的直线距离为
千米.
（2）在
中，设
，
，
故有
，
，
设两段网箱获得的经济总收益为
万元，则
，
故
的取值范围为
.
19．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的
倍
，则
称该三角形为
阶准直角三角形.在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
是2 阶准直角三角形；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由已知及余弦边角关系化简条件为
，即可证；
（2）由正弦边角关系有
，结合（1）结论和余弦定理求
；
（3）由已知和余弦定理得
，结合
，应用三角形面积公式、基本不等式求面积的最大
值，注意取值条件.
【详解】（1）由
及余弦定理，得
，
整理，得
，故
是2 阶准直角三角形.
（2）由正弦定理，得
，则
，
由（1）得
，所以
.
（3）由
，得
，
整理得
，又
，所以
，由（1）得
，
所以
的面积为
当且仅当
时，取得等号，故
的面积的最大值为
.
