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第01 讲 正弦定理
课程标准
学习目标
1．结合实例，了解已知两边和夹角的三角
形的面积公式的推理过程，掌握三角形面
积公式的应用；
2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定
理及其变形；
3．探索三角形边长与角度的关系，掌握正
弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角
形问题。
1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形
的形状，培养逻辑推理的核心素养；
2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的
学习，培养数学运算的核心素养。
知识点01 三角形的面积公式
1、三角形面积公式：在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
的面积为
S，则
，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值
乘积的一半。
2、其他面积公式
在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，
ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S = 1
2 aℎa=bℎb=cℎc （2）S = 1
2
(a+b+c)∙r （3）S = a+b+c
4 R
【即学即练1】（23-24 高一下·黑龙江·期末）在
中，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
知识点02 正弦定理
1、正弦定理的描述
（1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等；
（2）符号语言：
（2
为
外接圆直径）
【解读】正弦定理的特点
（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互
化．
2、正弦定理的推广及常用变形公式
在
中，若内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，其外接圆半径为
，则
（1）
，
，
；
（2）
；
（3）
（比例性质）；
（4）
，
，
（可以实现边到角的转化）；
（5）
，
，
（可以实现角到边的转化）。
3、三角形中的隐含条件
在
中，已知内角
，
，
所对的边分别为
，
，
.
（1）
，
，
，
；
.
（2）
（大边对大角）；
.
（3）
，
；
；
（4）若三角形为锐角三角形，
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．下
列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 解三角形
1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。
2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。
3、利用正弦定理解三角形的类型
（1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解；
（2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。
【即学即练3】（24-25 高二上·辽宁朝阳·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型01 正弦定理解三角形
【典例1】（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）在
中，已知
，
，
，则角
的值
为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【变式1】（24-25 高一·山东临沂·期末）记
内角
，
，
所对的边分别是
，
，，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·甘肃武威·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 判断三角形解的个数
【典例2】（2025 高一·全国·课堂练习）在
中，已知
，则此三角形的解的情况
是（ ）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【变式1】（24-25 高二上·陕西西安·期中）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解
B．只有一解
C．有两解
D．解的个数不确定
【变式2】（24-25 高一下·河南南阳·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，且
．若
有两解，则
的值可以是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，已知角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
，若三角形有两个解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·江苏扬州·期末）（多选）在
中，角
所对的边为
，根据下列
条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（23-24 高一下·上海·月考）在
中，
，
，要使
被唯一确定，那么
的
取值范围是 .
题型03 三角形面积问题
【典例3】（23-24 高一下·四川达州·期末）设
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
的面积为（ ）．
A．
B．
C．12
D．
【变式1】（24-25 高二上·河南濮阳·期末）在
中，
，
，
，
，则
A．
或
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·上海·阶段练习）在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，则
的面积等于 .
【变式3】（24-25 高一上·上海·课前预习）在
中，
，
，
，则
.
【变式4】在
中
，
，
，则
.
【变式5】在
中，
，
，
，则
的面积等于 .
题型04 求三角形外接圆半径
【典例4】在
中，
，
，c 边上的中线长为1，则
的外接圆的半径长为______．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c =1，
acos B =2sinC，cos A sin B = 1
8，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】在
中，已知
，则
的外接圆半径为（ ）
A．4
B．4
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·河南郑州·月考）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
，
的外接圆半径为2.则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
题型05 判断三角形的形状
【典例5】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）在
中，
（
分别为角
的对
边），则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【变式1】（24-25 高二上·浙江杭州·期中）
的面积为，且
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形（非等边）
B．直角三角形
C．正三角形
D．钝角三角形
【变式2】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）在
中，角
的对边分别是
，若
，
则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【变式3】（23-24 高一下·四川成都·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
题型06 边角互化的应用
【典例6】（2025·四川南充·二模）已知
的内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
.则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【变式1】（2025·江西·一模）
的内角
的对边分别为
.已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（2024 高二上·河南安阳·学业考试）在
中，内角
所对的边分别是
，若
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知
的内角
所对的边分别是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 最值与范围问题
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）在锐角
中，
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·江苏无锡·期末）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽合肥·期末）在
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若
，则
为直角三角形
C．若
为锐角三角形，则
的取值范围为
D．若
为锐角三角形，
的最小值为1
【变式3】（23-24 高一下·江苏淮安·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·山西·阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·贵州六盘水·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则
外接圆的半径为（ ）
A．
B．
C．8
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）在三角形
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
5．（24-25 高三上·海南·阶段练习）在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一下·河北·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
，
则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）
是
斜边
上一点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形
的三个内角
的对边分别是
，若
，则角
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
的外接圆的面积为
B．若
，则满足条件的三角形有两个
C．若
为锐角三角形，则
D．若
，则
10．（24-25 高一下·广东茂名·阶段练习）已知
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
有一解
B．若
，则
无解
C．若
，则
有一解
D．若
，则
有两解
11．（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
则
.
13．（24-25 高一下·广西南宁·阶段练习）在
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 若
，
则当
时，
；当
时，
14．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，
中，
，且
的面积为
，点
在
边上，
，则
的长度等于 .
四、解答题
15．（24-25 高一下·云南玉溪·阶段练习）如图，在
中，内角
，
的对边分别为
，
，，
，过点
作
，交线段
于点
，且
，
．
(1)求
的大小；
(2)求
的长．
16．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
.
(1)求
；
(2)若
外接圆的半径为
，求
的周长.
17．（24-25 高一下·天津静海·阶段练习）已知
中
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)求
的面积．
18．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围．
19．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知
的内角
所对应的边分别为
是
外一
点，若
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求四边形
面积的最大值.
