文档文本内容
第02 讲 弧度制及其与角度制的换算
课程标准
学习目标
1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的
应用；
2.掌握弧度与角度的换算关系；
3.能运用弧度制进行简单的计算和推理；
4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。
1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点；
2.掌握弧度与角度的换算公式；
3.会进行弧度制下的简单计算。
知识点01 角度制与弧度制
1．角度制
把圆周等分成360 份，其中每一份所对应的圆心角为1 度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度
制．角度制还规定1 度等于60 分，1 分等于60 秒，即1°＝60′，1′＝60″．
2．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1 弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为AB的
长等于半径r，所以AB所对的圆心角∠AOB 就是1 弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的
制度称为弧度制．
3．弧度数
由弧度制的定义可知，在半径为r 的圆中，若弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad，则α＝．弧度的大
小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，
弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度．
【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制
用度作为单位来度
量角的单位制
角的大小与
半径无关
单位
“°”不
能省略
角的正负与
方向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来
度量角的单位制
角的大小与
半径无关
单位
“rad”
可以省略
角的正负与
方向有关
十进制
【即学即练1】（24-25 高一上学期课时作业）下列说法正确的是( )
A．1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1 弧度的圆心角比小圆中1 弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1 弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
知识点02 角度制与弧度制的互化
1．弧度制与角度制的换算公式
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝.
2．角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
度数×＝弧度数
弧度数×＝角度数
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝度≈57.30°
【解读】角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，
充分利用1°＝ rad,1 rad＝
进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝
；n°＝n· rad．
【即学即练2】（24-25 高一上山东期中）下列转化结果正确的是( )
A．72°化成弧度是
B．－π 化成角度是－660°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
知识点02 弧长公式与扇形面积公式
1．弧长公式
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α，则α＝，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，
其中α 的单位是弧度．
2．扇形面积公式
圆心角为1 rad 的扇形面积为＝r2，所以圆心角为α rad 的扇形面积S＝αr2，又因为l＝αr，代入上式可
得S＝αr2＝lr，此公式称为扇形面积公式．
【解读】(1)在应用公式l＝αr 和S＝lr＝αr2时，要注意α 的单位是弧度．
(2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．
(3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h 是三角形底边a 上的高)有类似的形式．
(4)由α，r，l，S 中的两个量可以求出另外的两个量．
【即学即练3】（24-25 高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为
的弧所对的圆心角为
，则该弧所在的扇形
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 弧度制
【典例1】（24-25 高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是( )
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32 等分，每一份的弧长为 cm
【变式1】下列说法中正确的是( )
A．1 弧度是1 度的圆心角所对的弧
B．1 弧度是长度为半径长的弧
C．1 弧度是1 度的弧与1 度的角之和
D．1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（ ）
A．正角或者负角的弧度数都是正数
B．四分之一圆所对的圆心角是
C．角的顶点在原点，始边与
轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
【变式3】（25-26 高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．1 弧度的角与1°的角一样大
B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过5 分钟分针转了30°
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
题型02 角度制与弧度制的互化
【典例2】（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）将
化为弧度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·北京房山·期中）
化成弧度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是18°
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
【变式4】（23-24 高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与
的终边相同的角的表达式中，正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 弧长公式及应用
【典例3】（24-25 高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）某日，分针长为
的时钟从
走到
，
分针转动的弧度为
，分针的针尖走过的弧长为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知半径为
的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对
的圆心角的弧度数为2，则
（ ）
A．30
B．60
C．90
D．100
【变式2】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）若扇形的圆心角为
，弧长为
，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3】（24-25 高一上·浙江·阶段练习）已知某扇形的半径为4，弧长为
，则该扇形的圆心角为
【变式4】（24-25 高一上·江苏·阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折
扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆
心角为
时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨
长为
，那么全部打开后的扇面
弧
长为多少
题型04 扇形面积公式
【典例4】（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）若一个扇形的半径为3，圆心角为
，则这个扇形的面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·天津河北·阶段练习）半径为
，圆心角为
的扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知某扇形的半径为
，圆心角为
，则此扇形的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为8rad，周长为50cm，则这条弧所对的圆的
半径为 cm；面积为
．
题型05 扇形中的最值问题
【典例5】（23-24 高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为
（
为正角），周长为
，面积为，
所在圆的半径为．
(1)若
，
，求扇形的弧长；
(2)若
，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【变式1】（24-25 高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是
.
【变式2】（23-24 高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是
，半径为，弧长为；
(1)若
，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求
出此时的半径.
【变式3】（23-24 高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦
的长等于它所在圆的半径
，求弦
和劣弧
所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为
，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大
值?
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（23-24 高一下·河南·开学考试）如图1 是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2 所示，中间
是一个直径为
的圆盘，四周是8 个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，
阖家团圆”.若
的长为
，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
.
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中
《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
（弦×矢+矢
2），弧田如图，由圆弧和所对的
弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为
，弦长为
米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.
【变式2】（24-25 高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点
为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形
的周长为
，
则该勒洛三角形
的面积为 .
【变式3】（23-24 高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，
其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若
，且该
扇环的周长为
，则该扇环的面积为 .
【变式4】（23-24 高一下·河北保定·开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形
截
去同心扇形
所得的部分，已知
分米，弧
长为
分米，弧
长为
分米，则
分米，此扇环形砖雕的面积为 平方分米.
一、单选题
1．（24-25 高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1 小时40 分钟，时针转过的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一上·吉林四平·阶段练习）已知圆心角为
的扇形的弧长为
，则该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·江苏常州·期中）若扇形的圆心角为
，弧长为
，则该扇形的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（25-26 高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上
的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春
对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一上·天津河西·期末）如图，在扇形
中，
，
，则下列说法正确的
个数是（ ）
①
； ②
的长等于
；
③扇形
的周长为
； ④扇形
的面积为
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（23-24 高一下·北京·阶段练习）
是圆心为
的单位圆上两个动点，当
面积最大时，则下列
判断错误的是（ ）
A．
B．弧
的长为
C．扇形
的面积为
D．
等边三角形
8．（24-25 高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使
用强互作用力（
）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所
示，水滴是由线段
，
和圆的优弧
围成，其中
，
恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为
2，点A 到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（ ）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
10．（23-24 高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L 的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，
且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ）
A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
B．扇形面积的最大值为
C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
D．扇形面积的最大值为
11．（23-24 高一下·安徽淮南·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，
“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷
幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1 甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆
弧
，
所在圆的半径分别是3 和12，且
，则该圆台的（ ）
A．高为
B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为
D．体积为
三、填空题
12．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
，角
，角
，则角
，角
，角
间的大
小关系为 ．
13．（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知扇形
的圆心角为
，其周长是
，则该扇形的
面积是
14．（24-25 高一上·全国·课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一．“田曹”卷中有这
样一个问题：“今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”
意思是：有一个环形的田地，外圆周长30 步，内圆周长12 步，圆环宽3 步，一个人绕着内圆走了2 步，
已知圆心与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地
面积为 平方步（圆周率取3）．
四、解答题
15．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24 齿，小轮有16 齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是
（转/分）时，大轮上每1s 转过的弧长是
，求大轮的半径．
16．（24-25 高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为
，半径为，弧长为．
(1)若
，
，求扇形的弧长；
(2)已知扇形的周长为
，面积是
，求扇形的圆心角．
17．（24-25 高一上·全国·课后作业）如图，一长为
，宽为1 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚
到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为
，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形
的总面积．（圆心角为正）
18．（24-25 高一上·吉林·期中）莱洛
三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德
国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形
的顶点为圆心，以正三角形
边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若
，求：
(1)莱洛三角形的周长；
(2)莱洛三角形的面积．
19．（24-25 高一上·全国·课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O 为圆
心的两个同心圆弧和通过点O 的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30 米，其中大圆弧所
在圆的半径为10 米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角（正角）为θ 弧度．
(1)求θ 关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4 元/米，弧线部分的装饰费用为9
元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．
