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第02 讲 向量数量积的运算律
课程标准
学习目标
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的
运算律．
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．
1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，
培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生
数学运算的核心素养.
知识点01 平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ 为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【注意】向量数量积不满足：
①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；
②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．
【即学即练1】（24-25 高一·上海·课堂例题）若
、
、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
.
知识点02 平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【即学即练2】（23-24 高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
题型01 利用运算律求数量积
【典例1】（24-25 高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2 的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【变式1】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）已知向量
，
均为单位向量，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量
和
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．3
B．8
C．12
D．13
【变式3】 （24-25 高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中
华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1 的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”
分别位于A，B，C，D 四点，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式4】 （23-24 高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形
中，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 向量的夹角问题
【典例2】（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
，
满足
，且
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【变式1】 （24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
满足
，
，
，则向量
，
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知
，
，且
与
互相垂直，则向量
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】 （24-25 高三上·江苏扬州·期末）设
，
均为非零向量，且
，
，则
与
的
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 向量的模的问题
【典例3】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知
，则
（ ）
A．12
B．
C．8
D．
【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【变式2】（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，
，
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式3】 （24-25 高一上·浙江宁波·期末）已知向量
满足
，则
在
方向上的投
影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·河南·期末）已知
，
为相互垂直的单位向量，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【变式5】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 数量积的最值问题
【典例4】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）
是边长为2 的正三角形，
为
所在平面内任意一
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【变式1】（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量
，
满足
，
，则
的最大
值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
【变式2】（23-24 高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示
的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块
面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形
的边长为
，点
是正八边形
的内
部（包含边界）任一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间
艺术之一，图1 是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正
八边形
的边长为2，P 是正八边形
八条边上的动点，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 判断三角形的形状
【典例5】（23-24 高一下·天津·阶段练习）在
中，若
且
，则
为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
【变式1】（23-24 高一下·广东佛山·期中）在△ABC 中，若
，则△ABC 为（ ）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【变式2】（23-24 高一下·山东枣庄·期中）
中，若非零向量
与
满足
，
，则
为（ ）
A．等腰直角三角形
B．三边均不相等的直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
是非零向量且满足
，
，则
的形状为（ ）
A．等腰（非直角）三角形
B．等边三角形
C．直角（非等腰）三角形
D．
等腰直角三角形
【变式4】
是
所在平面上一点满足
的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
题型06 三角形的“心”
【典例6】 （24-25 高一下·全国·课后作业）已知O 是
所在平面上的一点，若
，则点O 是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式1】 （23-24 高一下·贵州贵阳·期末）已知点
在
所在平面内，且
，
，
，则点
依次是
的（ ）
A．外心、重心、垂心
B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心
D．外心、重心、内心
【变式2】（23-24 高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似
奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 新定义问题
【典例7】 （多选）（24-25 高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量
之间的一种新运算：
，其中
是向量
的夹角，则对于非零向量
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．若
，则
【变式1】（多选）（23-24 高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算
，其中
表示
，
的夹角，则对于两个非零平面向量
，
，下列结论一定成立
的有（ ）
A．
在
上的投影向量为
B．
C．
D．若
，则
与
平行
【变式2】（多选）（23-24 高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量
，定义新运算
，则
（ ）
A．当
时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量
，都有
D．若
，则
【变式3】（多选）（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量
与
，定义新运算
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对于任意与
不共线的非零向量，都有
C．对于任意的非零实数，都有
D．若
，
，则
【变式4】（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算
，其中
表示
的夹角，
则对于两个非零平面向量
，下列结论一定成立的有
A．
在
方向上的投影为
B．
C．
D．若
，则
与
平行
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知单位向量
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
2．（24-25 高二下·全国·随堂练习）已知空间向量
和
的夹角为
，且
，
，则
等
于（ ）
A．12
B．8
C．4
D．14
3．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
5．（23-24 高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）若
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高一下·河北沧州·期末）在
中，
，
，P 是BN 上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
8．（24-25 高三上·浙江·期末）已知平面向量
，
，满足
且
在
上的投影向量为
，若向量
与向量
的夹角为
，则向量
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
二、多选题
9．（24-25 高三上·山西大同·阶段练习）设
，
是两个相互垂直的单位向量．若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）设
，
是非零向量，且
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（24-25 高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．非零向量
满足
，则
与
的夹角为
C．非零向量
和
满足
，
，则
D．
的外接圆的圆心为
，若
，且
，则向量
在向量
方向上的投
影向量为
三、填空题
12．（23-24 高一下·四川内江·期中）已知
，
，均为单位向量，且满足
，则
.
13．（24-25 高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量
的运算“
”
与运算“ ”：
，其中
是
的夹角.若
，则
.
14．（24-25 高三上·天津·期末）在矩形ABCD 中
在AD 上取一点M，在AB 上取一点P，
使得
过M 点作
交BC 于N 点，若线段MN 上存在一动点E，线段CD 上存在
一动点
（1）若
用向量
表示向量
；
（2）若
则
的最小值为 .
四、解答题
15．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，且
.
(1)求向量
与
的夹角大小；
(2)求
.
16．（24-25 高一上·江西景德镇·期末）如图，
的内角
的对边分别为
是边
的中点，
点
在边
上，且满足
与
交于点
．
(1)试用
表示
和
；
(2)若
，求
．
17．（2024·四川德阳·一模）平面向量
，
满足
(1)若
在
上的投影向量恰为
的相反向量，求实数t 的值；
(2)若
为钝角，求实数t 的取值范围．
18．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是对角线
上一点，且
，则
(1)
；
(2)若点
为线段
（含端点）上的动点，求
的最小值.
19．（23-24 高一下·浙江宁波·期末） 已知向量
满足
，且
与
互相垂直.
(1)求向量
在向量
上的投影向量 （用
表示）；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：
（其中
是非零向量
和
的夹角），求
