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第2 讲 余弦定理
课程标准
学习目标
1．借助平面向量的数量积，探索三角形边
长与角度的关系，了解余弦定理的推导过
程；
2．掌握余弦定理及其推论
3．能用余弦定理解三角形，并能判断
三角形的形状.
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向
量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问
题；
2．能应用余弦定理判断三角形形状；
3．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问
题。
知识点01 余弦定理
1、余弦定理的描述
（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余
弦的积的两倍。
（2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
【解读】（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不
同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
2、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝
【即学即练1】 （24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
知识点02 余弦定理在解三角形中的应用
1、已知三角形的三边解三角形
（1）连续用余弦定理求出两角；
（2）由三角形内角和定理求出第三个角。
2、已知两边和它们的夹角解三角形
（1）用余弦定理求出第三边；
（2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角.
3、已知两边及其中一边的对角解三角形
利用余弦定理。例如，已知a，b 及角A，可以根据余弦定理列出以边c 为未知数的一元二次方程
，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，
求出其他元素.
【即学即练2】 （24-25 高二上·陕西·期末）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
题型01 已知两边及一角解三角形
【典例1】（24-25 高一下·河北·阶段练习）在
中，
，则
（ ）
A．5
B．3 或5
C．4
D．2 或4
【变式1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）在
中，
，
，
，则边
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·云南昭通·期中）在
中，已知
，
，三边分别对应
，
，
三角，
，
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·浙江·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
.已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．
或
【变式4】（23-24 高一下·吉林·期末）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2 或4
题型02 已知三边解三角形
【典例2】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式2】（23-24 高一下·天津·期中）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，．若
，
，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·山东聊城·期中）长度分别为2，3，4 的线段构成图形的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不构成三角形
题型03 余弦定理的边角互化
【典例3】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·甘肃白银·期末）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式2】（23-24 高一下·重庆·期末）在
中，记内角
所对的边分别为
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（（23-24 高一下·甘肃天水·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，且
的面积为
，
，则
．
题型04 判断三角形形状
【典例4】（23-24 高一下·河南漯河·期末）三角形
中，内角
的对边分别为
，若
，则三角形
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【变式1】（23-24 高一下·吉林通化·期末）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
则
为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【变式2】（23-24 高一下·江苏徐州·期中）在
中，若
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【变式3】（23-24 高一下·天津·阶段练习）在
中，已知
，则
的形状
为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）在
中，若内角
的对边分别为
，
，
则
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
题型05 最值与范围问题
【典例5】（24-25 高一下·上海徐汇·期中）在钝角
中，角
所对的边分别为
，若
，则最大边的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·宁夏中卫·一模）
的内角
的对边分别为a，b，c，满足
.若
为锐角三角形，且a=3，则
面积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，
，
．当
最小时，BD 的长为 ．
【变式3】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）在
中，
，
是角
的角平分线，且
.
（1）
的取值范围为 .
（2）若
，当
最小时，
的值为 .
题型06 与向量的综合问题
【典例6】（23-24 高一下·山东临沂·期中）
的三个内角
所对边的长分别为
，设向量
．若
，则角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·广东惠州·期末）在
中，内角
所对的边分别为
．向量
．若
，则角C 的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽·期中）在
中，角
所对应的边分别为
，向量
，且
，点
为边
的中点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·湖南岳阳·期末）在
中，
，
，平面内一点O 满足
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2025 高三下·全国·专题练习）在
中，
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
3．（2025·辽宁辽阳·一模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高一下·全国·专题练习）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·浙江·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
6．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（24-25 高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD 中，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
8．（24-25 高三下·广东·开学考试）
中，点
满足
，且
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
二、多选题
9．（2025 高一下·全国·专题练习）
的三边
所对的角为
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
面积为
，则
周长的最小值为12
C．当
，
时，
D．若
，
，则
面积为
10．（24-25 高一下·云南文山·阶段练习）已知
的内角
的对边分别为
，已知
，
锐角
满足
，则（ ）
A．
的周长为12
B．
C．
D．
11．（2025·河北沧州·一模）在
中，若内角A，B，C 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（24-25 高一下·山东枣庄·阶段练习）在△ABC 中，角B 为钝角，
，则AC 的取值范围是
．
13．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）
的内角
、
、
所对边长分别为
、
、，且
，则
．
14．（24-25 高三上·湖南娄底·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积的最大值为 .
四、解答题
15．（23-24 高一下·天津西青·期末）已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
．
(1)求角
的值；
(2)求
的值．
16．（24-25 高一下·天津·阶段练习）已知在
中，
，
.
(1)求
的大小
(2)若AB 边上的高等于1，求
的面积.
17．（24-25 高三下·湖南长沙·开学考试）在
中，
.
(1)求角
；
(2)若
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）若
，求
的面积.
18．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）养殖户承包一片靠岸水域，如图
为直岸线，
，
，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧
，过弧
上一点
按线段
和
修建养殖网箱，已知
.
(1)求岸线上点
与点
之间的直线距离；
(2)如果线段
上的网箱每千米可获得2 万元的经济收益，线段
上的网箱每千米可获得4 万元的经济收
益.记
，设两段网箱获得的经济总收益为
万元，求
的取值范围.
19．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的
倍
，则
称该三角形为
阶准直角三角形.在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
是2 阶准直角三角形；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的面积的最大值.
