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第03 讲 向量数量积的坐标运算
课程标准
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行
平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的
模、夹角、垂直有关的问题.
1．掌握平面向量的数量积的坐标表示，掌握用坐标进
行两个向量的模的计算，掌握用坐标判定或证明两个
向量的垂直。
2．掌握两点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐
标表示
知识点01 平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量
,
（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
（2）向量垂直:
【即学即练1】（2025 高二上·黑龙江·学业考试）已知向量
，向量
，则
（ ）
A．20
B．17
C．8
D．0
知识点02 平面向量的模与夹角的坐标表示
（1）向量的模:设
,则
（2）两点间的距离公式:若
,则
（3）向量的夹角公式:设两非零向量
,a 与b 的夹角为θ,则
【即学即练2】（24-25 高二上·云南昭通·期中）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 数量积的坐标运算
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
，则
（ ）
A．8
B．
C．28
D．32
【变式1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【变式2】（23-24 高二下·云南·期末）已知平面向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．5
【变式3】（24-25 高三上·广东深圳·期中）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式4】 （2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 向量模的坐标运算
【典例2】（24-25 高一上·辽宁大连·期末）已知向量
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·云南昭通·期末）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若向量
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【变式4】 （2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．5
D．
题型03 向量垂直的坐标运算
【典例3】（24-25 高三上·广东·期末）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·浙江·开学考试）已知向量
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·江苏·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．0
【变式4】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，则下列关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 向量夹角的坐标运算
【典例4】（23-24 高一下·天津·期中）若向量
，
，则
与
的夹角等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·云南·阶段练习）已知向量
且
，则向量
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·山东淄博·期中）在
中，已知
，
，AB，BC 边上的
中线CE，AF 交于点D，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·河北·期中）已知向量
与向量
夹角为钝角，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
题型05 根据坐标求投影向量
【典例5】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知向量
，则向量
在向量
上的投影向
量为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·广东清远·期中）（周测二4)已知
，
，则
在
上的投
影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知平面向量
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量
，
，
，
，则
在
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 利用坐标法求数量积
【典例6】（2024·陕西榆林·模拟预测）在等腰梯形
中，
为线段
上的
动点，则
的值不可能为（ ）
A．15
B．12
C．9
D．6
【变式1】（2024·湖北·二模）已知正方形
的边长为2，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知正方形
的边长是4，
是
的中点，
满足
，则
（ ）
A．10
B．20
C．22
D．25
【变式3】 （24-25·山东济南高一·月考）如图，△ABC 是边长为3 的等边三角形，D 在线段BC 上，且
，E 为线段AD 上一点，若△ABE 与△ACD 的面积相等，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 数量积中的最值范围问题
【典例7】（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）在长方形
中，
，
，点P 为长方形
内部的动点，且
，当
最小时，
.
【变式1】（多选）（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
最小
B．当
最小时，
C．当
时，
与的夹角最小
D．当
与的夹角最小时，
【变式2】（23-24 高一下·河南·期中）在平面直角坐标系中，
，四边形
是矩形
且
.
(1)求点
的坐标；
(2)
与点
在同一平面直角坐标系中，当点
到
的距离的平方和最小时，求点
的坐
标.
【变式3】已知直线
，直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A，B
两点．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)已知点
，当
最小时，求实数m 的值．
一、单选题
1．（23-24 高一下·山西·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．7
B．
C．9
D．
2．（23-24 高一下·新疆·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·陕西安康·期中）已知向量
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
4．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知向量
，若向量
在向量
上的投影向量为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量
，则与
共线且反向的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
6．（23-24 高一下·广东广州·期中）在四边形
中，
，则四边形
的面积
为（ ）
A．
B．
C．30
D．15
7．（23-24 高一下·山东威海·期末）已知
，向量
，
，则存在
和
，使得（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形
式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其
中
，
是这个八边形上的任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二上·湖南岳阳·期末）已知向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
与
的夹角为
D．若
在
上的投影向量为
10．（24-25 高三上·陕西·阶段练习）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角可能为
D．向量
与
不可能垂直
11．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）在平面四边形
中，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知
，为正实数，
，当
时，
的取值范围为 .
13．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知
，
，若
与
的夹角是钝角，则实数
的
取值范围是 ．
14．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知
中，
为
上一点，且
，垂足为
，则
．
四、解答题
15．（24-25 高一上·北京·期末）已知向量
，
，
．
(1)求
；
(2)若向量
，试用
表示
；
(3)若
，求实数
的值．
16．（23-24 高一下·江苏·阶段练习）已知向量
，
，
．
(1)求
的最小值及相应t 的值；
(2)若
与共线，求
与的夹角．
17．（23-24 高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
为
直线
上的动点．
(1)若四边形
是平行四边形，求点
的坐标；
(2)求
的取值范围．
18．（23-24 高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形
中，已知
，
，
，
，对角线
交
于点
，点
在
上，且
．
(1)求
的值；
(2)若
为线段
上任意一点，求
的取值范围．
19．（24-25 高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成
的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称
为“完美坐标系”.设
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量
，则把实数对
叫做向量
的“完美坐标”.
(1)若向量
的“完美坐标”为
，求
；
(2)已知
，
分别为向量
，
的“完美坐标”，证明：
；
(3)若向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，设函数
，
，求
的值域.
