1
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
课程标准
学习目标
1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算，会计算向量的
长度及两向量的夹角.
3.会利用向量的坐标关系，判定两个向量平
行或垂直.
4.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标
系刻画点的位置.
5 掌握空间直角坐标系中两点之间的距离公
式和中点坐标公式
1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示:掌握空间向
量数量积的坐标表示
2.掌握空间向量的模、夹角
3.掌握空间向量坐标与空间向量平行与垂直的关系
知识点01 正交基底与单位正交基底
正交基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常
用{i,j,k}表示
【即学即练1 】（22-23 高二上· 山东烟台· 阶段练习）设{⃑i,⃑j ,⃑k }是单位正交基底，已知⃑
a=⃑i+⃑j ,⃑b=⃑j+⃑k ,⃑c =⃑k +⃑i，若向量⃑p在基底{⃑a,⃑b,⃑c }下的坐标为(8,6,4)，则向量⃑p在基底{⃑i,⃑j ,⃑k }下的坐标
是（ ）
2
A．(10,12,14)
B．(14,12,10)
C．(12,14,10)
D．(4,3,2)
【即学即练2】（20-21 高二·江苏·课后作业）已知{⃑i,⃑j ,⃑k}为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标：
(1)⃑a=−2⃑i+8⃑j+3⃑k；
(2)⃑b=−5⃑i+2⃑k．
知识点02 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0 和一个单位正交基底{i，j，k}以0 为原点，分别以i，j，k 的方向为正方
向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O 叫作坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫
作xoy 平面、yoz 平面和xoz 平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，
则称这个坐标系为右手直角坐标系。
【即学即练3】（23-24 高二上·上海·期中）如图所示，以长方体ABCD−A1B1C1 D1的顶点D 为坐标原点，
过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若⃗D B1
的坐标为(3,4,2)，则⃗A C1
的坐标为
．
3
【即学即练4】（24-25 高二上·上海·随堂练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AD = A A1=2，
AB =6，E、F 分别为A1 D1、D1C1的中点，分别以DA、DC、D D1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系D−xyz．求点E、F 的坐标．
知识点03 空间直角坐标系中的点坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A 在三条坐标轴上的射影，即通过点A 作三个平面分别垂直于x 轴、y
轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴和z 轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R 在相应数轴上的坐标依次为x，y，
z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A 点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z 分别叫作点A 的横
坐标，纵坐标，竖坐标。
【即学即练5】（23-24 高二下·江苏南京·期中）已知点B (3,−1,0),⃗AB =(−2,−5,3)，则点A坐标为
（ ）
A．(1,−6,3)
B．(5,4 ,−3)
C．(−1,6,−3)
D．(2,5,−3)
【即学即练6】（22-23 高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点A(1,−2,−3)关于x轴的对称点
为（ ）
4
A．(−1,2,3)
B．(1,2,−3)
C．(1,2,3)
D．(−1,−2,−3)
知识点04 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v 是两个实数，ua＋vb＝( ux
1＋
vx
2，
uy
1＋
vy
2，
uz
1＋
vz
2)；
⑤a·b＝x1x2＋
y 1y2＋
z 1z2；
⑥|a|＝＝；
⑦当a≠0 且b≠0 时，cos〈a，b〉＝＝．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则⃗AB=⃗OB-⃗OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，
z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
【即学即练7】（23-24 高一下·天津·阶段练习）已知A (2,−4 ,−1)，B =(−1,5,1)，C (3,−4,1)，令⃗
a=⃗CA，⃗b=⃗CB，则⃗a+⃗b对应的坐标为（ ）
A．(5,−9,2)
B．(−5,9,−2)
C．(5,9,−2)
D．(5,−9,−2)
【即学即练8 】（23-24 高二下· 甘肃酒泉· 期末）已知向量⃗a=(1,0,3),⃗b=(0,−1,2),⃗c =(3,1,0)则⃗
a⋅(⃗b−⃗c)=（ ）
A．－3
B．3
C．9
D．0
难点：空间向量与动点问题
5
示例1：（多选）（23-24 高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，
M为B1C1边的中点，点P在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）．
A．不存在点P，使得D1 P⊥A D1
B．过三点A , M , D1的正方体ABCD−A1B1C1 D1的截面面积为9
8
C．若D1 P⊥B1 D ,则P点在正方形ABCD内运动轨迹长为2√2
D．点N在棱B B1上，且B1 N = 4 NB，若D1 P⊥NP，则点P的轨迹是圆
【题型1：空间向量的坐标表示】
例1．（23-24 高二上·湖北·期末）已知点A (2,0,1),B (0,2,0),C (0,0,3), D (1,1,0), E (0,0,a)，直线DE 平
行△ABC所在的平面，则a=（ ）
A．1
2
B．3
2
C．2
D．5
2
变式1．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,−4)关于原点中心对称的点
为B，而点B关于x轴对称的点为C，则⃗AC =（ ）
A．(−2,0,0)
B．(−2,3,0)
C．(−2,0,−4)
D．(1,0,−4)
6
变式2．（23-24 高二上·重庆九龙坡·期中）若M (1,0,2)，N (2,m+1,3)，P(2,2,n+1)三点共线，则
m+n=（ ）
A．4
B．-2
C．1
D．3
变式3 ．（23-24 高二上· 四川成都· 阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，
AB =5, AD = 4 , A A1=3，以直线DA , DC , D D1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则
下列结论中不正确的是（ ）
A．点A关于直线D D1对称的点为(−4,0,0)
B．点C1关于点B对称的点为(8,5,−3)
C．点B1的坐标为(3,5,4)
D．点C关于平面AB B1 A1对称的点为(8,5,0)
变式4．（23-24 高二上·山西运城·阶段练习）已知正方体ABCD−A
' B
'C
' D
'的棱长为1，以D为原点，
DA , DC , D D
'所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面
A
' BC
'内的是（ ）
A．(
2
3 , 2
3 , 1
3)
B．(
3
4 , 3
4 , 1
2)
C．(
1
2 , 1
2 , 1
2)
D．(−1, 3
2 ,1)
变式5．（23-24 高二上·福建厦门·阶段练习）设⃗a1=2⃗m−⃗j+⃗k，⃗a2=⃗m+3⃗j−2⃗k，⃗a3=−2⃗m+⃗j−3⃗k，⃗
a4=3⃗m+2⃗j+5⃗k，其中⃗m，⃗j，⃗k是两两垂直的单位向量，若⃗a4= λ⃗a1+ μ⃗a2+ v⃗a3
，则实数λ，μ，v的值分
别是（ ）
A．1，−2，3
B．−2，1，−3
C．−2，1，3
D．−1，2，3
变式6．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知空间向量⃗a=(−3,2,m),⃗b=(−1,−1,3),⃗c =(1,−4 ,n)，若⃗
a,⃗b,⃗c共面，则m+n= ．
变式7．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD 的顶点
A (0,−2,1),B (2,−3,0),C (2,0,1)，则顶点D 的坐标为 ．
变式8．（23-24 高二上·山东聊城·阶段练习）已知直线l经过A (−2,1,1)，B (1,0,−3)两点，直线l上一点P，
7
使得⃗AP =−⃗AB，则点P坐标 ．
【题型2：空间向量的加减数乘与数量积】
例2．（23-24 高二上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面
ABCD 为正方形，M 为AB 的中点，N 为PD 的中点.若PA=4，AB=2，则⃗MN ⋅⃗PC = .
变式1．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知O为原点，⃗OA =(1,2,3)，⃗OB =(2,1,2)，⃗OP =(1,1,2)，点Q
在直线OP上运动，则⃗QA ⋅⃗QB取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．(
1
2 , 3
4 , 1
3)
B．(
1
2 , 2
3 , 1
3)
C．(
4
3 , 4
3 , 8
3)
D．(
4
3 , 4
3 , 7
3)
变式2．（23-24 高二上·福建泉州·期末）四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PC ⊥平面ABCD，M在棱
PC上，|⃗AD|=2，则⃗AM ⋅⃗BC =（ ）
A．−4
B．4
C．−3√2
D．3√2
变式3．（23-24 高二上·河北沧州·阶段练习）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在
第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵
ABC −A1B1C1
中
，
AB⊥AC，
AB =2, AC = A A1=3,⃗BE =⃗E A1,⃗CF =2⃗F A1
，
则⃗
AE⋅⃗BF =
（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．1
2
变式4 ．（多选）（23-24 高二上· 河北石家庄· 期末）如图，长方体ABCD−A1B1C1 D1中，
C C1=C1 D1=2，C1B1=1，点P为线段B1C上一点，则⃗C1 P⋅⃗D1 P的值可以为（ ）
8
A．1
3
B．4
5
C．2
3
D．2
变式5．（23-24 高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点A(2,−1,3)关于平面xOz 的对称点为
B，则⃗OA ⋅⃗OB = ．
变式6．（23-24 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知空间向量⃗a=(1,0,2),⃗b=(−2,1,3)，则⃗a−2⃗b=
.
变式7．（23-24 高二下·上海·期中）已知⃗a=(−1,2,0)，⃗b=(2,0,1)，则(2⃗a+3⃗b)⋅(⃗a−⃗b)= .
变式8 ．（23-24 高二上· 四川泸州· 期末）已知向量⃗a=(1,1, x)，⃗b=(1,1,2)，⃗c =(1,−1,1)，若
(⃗a+⃗c)⋅⃗b=−1，则实数x = ．
【方法技巧与总结】
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
（2）由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
【题型3：空间向量的模长】
例3．（23-24 高二下·上海·期中）已知⃗AB =(0,1,2)，则|⃗AB|=
.
变式1．（2024 高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A (1,0,2)，B (0,2,1)，点C，D
分别在x 轴，y 轴上，且AD⊥BC，那么|⃗CD|的最小值是（ ）
9
A．√5
5
B．2√5
5
C．√2
2
D．√2
变式2．（23-24 高二上·广东惠州·阶段练习）在空间直角坐标系中，A(−1,2,0)，点B(−1,1,2)关于y 轴
的对称点为C，则|⃗AC |=（ ）
A．√5
B．√11
C．3
D．√10
变式3．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗BC =3⃗EC，
点P在底面正方形ABCD上移动（包含边界），且满足B1 P⊥D1 E，则线段B1 P的长度的最大值为
（ ）
A．3√190
10
B．√22
C．3√2
D．√166
3
变式4．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A −BCD中，AB⊥平面BCD ,∠BCD =π
2
，
BC =2 AB =2CD =2，点P为棱AC的中点，E , F分别为直线DP, AB上的动点，则线段EF的最小值为
（ ）
A．√2
4
B．√2
2
C．√10
4
D．√5
2
变式5．（23-24 高二下·贵州六盘水·期中）已知⃗a=(2,1,0)，⃗b=(−1,0,1).则|⃗a+⃗b|=
.
变式6．（23-24 高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，点P 坐标可记为(x , y , z)：定义柱面坐标系，
在柱面坐标系中，点P 坐标可记为(r ,θ , z)．如图所示，空间直角坐标(x , y , z)与柱面坐标(r ,θ , z)之间的
10
变换公式为：x =r cosθ,y =r sinθ,z = z．则在柱面坐标系中，点A(1,π
2 ,2)与点B (2,θ ,−1)两点距离的
最小值为 .
变式7．（23-24 高二上·浙江绍兴·期中）已知向量⃗a=(0,−1,1),⃗b=(4,1,0)，| λ⃗a+⃗b|=√29，则λ =
.
变式8．（24-25 高二上·上海·课堂例题）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，动点M 在线段
C C1上，动点P 在平面A1B1C1 D1上，且AP⊥平面MB D1．
(1)当点M 与点C 重合时，求线段AP 的长度；
(2)求线段AP 长度的最小值．
【题型4：空间向量的夹角】
例4．（23-24 高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量⃗a=(1,2,2)，⃗b=(−2,1,−1).
(1)求⃗a⋅⃗b；
(2)求|2⃗a−⃗b|；
(3)求cos⟨⃗a,⃗b⟩.
变式1 ．（23-24 高二上· 河南鹤壁· 阶段练习）已知{ i
→
, j
→
, k
→
}
是空间的一个单位正交基底，且
11
AB
→
=−i
→
+ j
→
−k
→，CD
→
=2 i
→
+ j
→
+ k
→，则⃗AB与⃗CD夹角的余弦值为（ ）
A．1
2
B．−1
3
C．√3
3
D．−√2
3
变式2．（23-24 高二上·辽宁·阶段练习）如图，在正方形中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且
AE = BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合．现将四边形EFCD沿直
线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小（ ）
A．先变小后变大
B．先变大后变小
C．不发生变化
D．由小变大
变式3 ．（多选）（23-24 高二上· 陕西咸阳· 阶段练习）如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1中，
CA =CB=1,∠BCA =90
∘，棱A A1=2, M , N分别是A1B1, A1 A的中点，则（ ）
A．|⃗BN|=√3
B．⃗B A1⋅⃗M C1=0
C．V B−C1 MN = 3
2
D．cos⟨⃗B A1,⃗C B1⟩= √30
10
变式4．（多选）（23-24 高二上·福建泉州·期中）在菱形纸片ABCD中，E，F 分别为AD，BC的中点，O
是菱形ABCD的中心，AB =2，∠ABC = 2π
3
，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，以O 为
原点，OB，OC，OD所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
（ ）
12
A．E(0,−√3
2 , 1
2)
B．F(
√3
2 , 1
2 ,0)
C．⃗EF =(
1
2 ,√3,−1
2)
D．cos∠EOF =−3
4
变式5．（24-25 高二上·上海·随堂练习）若⃗a=(−1, λ ,−2)，⃗b=(2,−2,−1)，⃗a与⃗b的夹角为π
3
，则λ 的
值为 ．
变式6．（2024 高二上·全国·专题练习）已知向量⃗a=(√3,0,1)，⃗b=(k ,2,0)，若⃗a与⃗b夹角为π
3
，则k的值
为 ．
变式7．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知⃗OA =(1,0,0)，⃗OB =(1,1,0), ⃗OC =(1,1,1)，点M在直线OC
上运动，则cos⟨⃗OA ,⃗MB⟩的最大值为 .
【题型5：空间向量的投影】
例5．（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量⃗a=(9,8,5)，⃗b=(2,1,1)，则向量⃗a在向量⃗b
上的投影
向量⃗c =（ ）
A．(
31
3 ,−31
6 ,−31
6 )
B．(−31
3 , 31
6 , 31
6 )
C．(
31
3 , 31
6 , 31
6 )
D．(−31
3 ,−31
6 ,−31
6 )
变式1．（23-24 高二上·云南昭通·期末）已知空间向量⃗a=(2,1,−3)，则向量⃗a在坐标平面xOz上的投影向
量是（ ）
A．(0,2,1)
B．(2,1,0)
C．(0,1,−3)
D．(2,0,−3)
变式2．（23-24 高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量⃗a=(1,1,√2),⃗b=(−3,2,0)，则⃗a+⃗b
在⃗a上的投影向量
13
为（ ）
A．(
3
2 , 3
2 , 3√2
2 )
B．(
√15
10 , √15
10 , √30
10 )
C．(
3
4 , 3
4 , 3√2
4 )
D．(−2
5 , 3
5 , √2
5 )
变式3．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆台OO1的轴截面为等腰梯形ABCD , AB =2CD , E
在上底面的圆周上，且∠C O1 E = 45
∘，则⃗AE在⃗AB上的投影向量为（ ）
A．3+√2
8⃗
AB
B．4+√2
8⃗
AB
C．3+√3
8⃗
AB
D．4 +√3
8⃗
AB
变式4 ．（多选）（23-24 高二上· 江苏盐城· 期末）在空间直角坐标系O−xyz中，已知点
A (2,0,0),B (1,1,−2),C (2,3,1)，则（ ）
A．|⃗AC|=2√3
B．异面直线OB与AC所成角的余弦值为√15
30
C．⃗AB⋅⃗BC =−5
D．⃗OB在⃗BC上的投影向量的模为3√11
11
变式5．（24-25 高二上·上海·随堂练习）已知向量⃗a=(2,−3,0)，⃗b=(0,3,4)，则向量⃗a在向量⃗b
方向上的投
影向量为 ．
变式6．（23-24 高二上·福建莆田·阶段练习）已知向量⃗a在向量⃗b上的投影向量是−√3
2⃗b，且⃗b=(1,1,−1)，
则⃗a⋅⃗b= .
变式7.（23-24 高二上·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，E为棱
14
B1C1上的动点，则⃗AE在⃗AC方向上的投影向量的模的取值范围为 ．
【题型6：空间向量的平行、垂直与锐角、钝角问题】
例6．（23-24 高二下·江苏连云港·期中）设x , y ∈R，向量 ⃗a=(x ,1,1),⃗b=(1,−1, y),⃗c =(2,−2,2),
且⃗a⊥⃗c ,⃗b//⃗c，则x + y的值为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3
变式1．（23-24 高二上·浙江湖州·期末）已知向量⃗a=(k ,1,2)，⃗b=(k ,0,−2)，则“k =2”是“⃗a⊥⃗b
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
变式2．（24-25 高二上·上海·课堂例题）已知空间向量⃗a=(1,2,−2)、⃗b=(3, λ , μ−1)，若⃗a//⃗b
，则
λ+ μ= ．
变式3．（23-24 高二下·湖北·开学考试）已知⃗a=(m+1,1,−1)，⃗b=(1,n,3)，其中m>0，n>0，若⃗a⊥⃗b
，
则1
m + 4
n
的最小值为 ．
变式4．（23-24 高二上·辽宁大连·期末）若空间向量⃗a=(1,1, x)，⃗b=(2, x ,4)，向量⃗a、⃗b
夹角为锐角，则
x的取值范围是
变式5．（22-23 高二下·江苏·课后作业）若⃗a=(2,−1,4)，⃗b=(−1,t ,−2)，若⃗a与⃗b
的夹角是钝角，则t 的
值的取值范围为
.
变式6．（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点A (2,0,−2)，B (1,−1,−2)，C (3,0,−4)，设⃗
a=⃗AB，⃗b=⃗AC.
(1)已知(⃗a+k⃗b)⊥⃗b
，求k的值；
15
(2)若|⃗c|=6，且⃗c∥⃗BC，求⃗c的坐标.
变式7．（22-23 高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a
→
=(x ,1,1),b
→
=(1, y ,1), c
→
=(2,−4,2), x , y ∈R
，
且⃗a⊥⃗b,⃗b∥⃗c.
(1)求|⃗a+⃗b|；
(2)求向量⃗a+⃗b与2⃗a+⃗b−⃗c夹角的大小.
变式8．（23-24 高二上·广西河池·阶段练习）已知⃗a=(x ,1,0)，⃗b=(−1, y ,2)，⃗c =(2,−2,1)，|⃗b|=√5，⃗
a⊥⃗c，
(1)若⃗a+ k⃗b、2⃗a+⃗b共线，求实数k；
(2)若向量⃗a+ k⃗b与2⃗a+⃗b所成角为锐角，求实数k的范围．
【题型7：最值与取值范围问题】
例7．（23-24 高二上·广东湛江·阶段练习）已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为⃗l =(2,m,1)，平
面α的一个法向量为⃗n=(−1,1,n)，(m>0,n>0)，则1
m + 1
n
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．4√2
D．2√2
变式1.（23-24 高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在四棱锥D1−ABCD中，D1 D⊥平面ABCD，四边形
ABCD是正方形，且D1 D = DA = DC =3，E，F 分别为D1B的三等分点，若P 为底面ABCD上的一个动
点，则|PE|+|PF|的最小值为（ ）
A．√11
B．5√2
2
C．1+√6
D．3√3
变式2．（多选）（23-24 高二上·浙江·期中）已知向量⃗e1=(t ,2t ,2),⃗e2=(2t −2,−t ,−1)，则下列结论正
确的是（ ）
A．若⃗e1⊥⃗e2，则t =−1 B．若⃗e1 ∥ ⃗e2，则t = 4
5
16
C．|⃗e1|的最大值2
D．|⃗e1|的最小值√2
变式3．（23-24 高二下·江苏扬州·阶段练习）已知点O(0,0,0)，A (1,2,2)，B (2,1,1)，P(1,0,2)，点Q在直
线OP上运动，当⃗QA ⋅⃗QB取得最小值时，点Q的坐标是 ．
变式4．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）在棱长为3 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E 满足⃗
A1 E =2⃗E B1
，点F 在平面BC1 D内，则||A1 F|+| EF |的最小值为 .
变式5．（23-24 高二上·河北衡水·阶段练习）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为正方形，
AB =2，SD⊥底面ABCD，点E、F分别为SC、AB的中点，若线段SD上存在点G，使得¿⊥GF，则线
段SD的长度最小值为 .
变式6．（23-24 高二下·上海·阶段练习）在空间直角坐标系O−xyz中，有两点A(0,−2,4),B(2,1,5), P
是xOy平面上任意一点，则|AP|+|BP|的最小值为 .
变式7．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）已知A(1,−2,1)，向量⃗a=(−3,4,12)，且满足⃗AB =2⃗a
(1)求点B的坐标；
(2)若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当⃗MA ⋅⃗MB取最小值时，求点M的坐标．
一、单选题
1．（河南省开封市2023-2024 学年高二下学期7 月期末数学试题）已知⃗a=(2,−1,3)，⃗b=(4,2, x)，且⃗
a⊥⃗b，则x =（ ）
A．−6
B．−2
C．2
D．6
2．（23-24 高一下·湖南·期末）已知A (−2,1,3),B (1,−1,4)，则⃗AB =（ ）
17
A．(3,0,1)
B．(−1,−2,1)
C．(−1,0,7)
D．(3,−2,1)
3 ．（23-24 高二下· 甘肃兰州· 期中）空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面xOy的对称点是
（ ）
A．(−1,−2,3)
B．(−1,2,3)
C．(1,−2,3)
D．(1,2,−3)
4．（23-24 高一下·天津·阶段练习）已知向量：⃗a=(−3,2,5)，⃗b=(1,5,−1)，则⃗a−2⃗b=
（ ）
A．(−4 ,−3,4)
B．(−5,−8,7)
C．(−5,−8,3)
D．(−1,−3,6)
5．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量⃗a=(0,0,1)，⃗b=(1,−1,1)，向量⃗a+⃗b
在向量⃗a上的投影向
量为（ ）．
A．(0,0,2)
B．(0,0,1)
C．(0,0,−1)
D．(0,0,−2)
6．（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知空间三点A (1,1,1)，B (−1,0,4)，C (2,−2,3)，
则⃗AB与⃗CA的夹角为（ ）
A．π
3
B．π
6
C．2π
3
D．5π
3
7．（23-24 高二下·福建莆田·期末）已知向量⃗AB =(1,m,−3)，⃗AC =(−3,6,9)，若A，B，C三点共线，
则m=（ ）
A．−3
B．−2
C．2
D．3
8．（23-24 高二下·福建漳州·期末）已知向量⃗a=(1,0,2)，⃗b=(−2,1,−2)，⃗c =(0,1, λ)，若⃗a，⃗b
，⃗c三个
向量共面，则实数λ=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（23-24 高二上·四川宜宾·期末）已知向量⃗a=(2 x ,1,1),⃗b=(1,−y ,2)，则（ ）
A．若x = 1
4 , y =−2，则⃗a//⃗b
B．若x =1, y =1，则⃗a⊥⃗b
C．若x = 1
2 , y =1，则cos⟨⃗a,⃗b⟩= √2
3
18
D．若x = 1
2 , y =1，则向量⃗a在向量⃗b上的投影向量⃗c =(
1
3 ,−1
3 , 2
3)
10．（23-24 高二上·重庆·期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量⃗a，⃗b
，⃗c满足(⃗a⋅⃗b)⋅⃗c =⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)
B．在空间直角坐标系中，点P(−1,3,5)关于坐标平面yOz的对称点是N (1,3,5)
C．已知⃗a=⃗e1−2⃗e2+⃗e3
，⃗b=−⃗e1+3⃗e2+2⃗e3
，⃗c =−3⃗e1+7⃗e2
，{⃗e1,⃗e2,⃗e3}为空间向量的一个基底，则向
量⃗a，⃗b，⃗c能共面
D．已知A(−1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,−2,0)，则向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量是11
14 (3,1,2)
11．（23-24 高二上·广东揭阳·阶段练习）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量⃗a,⃗b(⃗a≠⃗0,⃗b≠⃗0)，若⃗a⊥⃗b
，则⃗a⋅⃗b=0
B．若空间四个点P , A ,B ,C，⃗PC = 1
4⃗PA + 3
4⃗PB，则A ,B ,C三点共线
C．已知{⃗a,⃗b,⃗c }
是空间的一组基底，若⃗m=⃗a+⃗c，则{⃗a,⃗b,⃗m}
也是空间的一组基底
D．已知向量⃗a=(1,1, x)，⃗b=(−3, x ,9)，若x< 3
10
，则〈⃗a,⃗b 〉为钝角
三、填空题
12．（23-24 高二上·四川宜宾·期末）已知A(1,1,0),B(0,4,0),C(2,2,2)，则向量⃗AB在⃗AC上的投影向量
的坐标是 .
13．（22-23 高二上·北京·阶段练习）若异面直线l1,l2
的方向向量分别是⃗a=(0,−2,−1)，⃗b=(2,0,4)，
则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于 ．
14．（22-23 高二上·北京丰台·阶段练习）已知空间向量⃗a=(1,0,2),⃗b=(−2,1,3)，则|⃗a−⃗b|= ，
(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−2⃗b)= ．
四、解答题
15．（23-24 高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A (−2,0,2)，B (−1,1,2)，C (−3,0,4)，设⃗a=⃗AB，⃗
b=⃗AC．
(1)若k⃗a+⃗b与k⃗a−2⃗b互相垂直，求实数k的值；
19
(2)若|⃗c|=3，⃗c //⃗BC，求⃗c．
16．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点A (2,0,−2)，B (1,−1,−2)，C (3,0,−4)，设⃗
a=⃗AB，⃗b=⃗AC．
(1)若|⃗c|=6，且⃗c∥⃗BC，求向量⃗c；
(2)已知向量k⃗a−⃗b与⃗b互相垂直，求k的值；
(3)若点P(1,−1,m)在平面ABC上，求m的值．
17．（23-24 高二上·广西玉林·阶段练习）已知⃗a=(x ,4,1),⃗b=(−2, y ,−1),⃗c =(3,−2, z),⃗a∥⃗b,⃗b⊥⃗c
．
(1)求实数x , y , z的值；
(2)求⃗a+⃗c与⃗b+⃗c夹角的余弦值．
18 ．（22-23 高二上· 广东佛山· 阶段练习）如图，在空间直角坐标系O−xyz中，正方体
ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，顶点A位于坐标原点，若E是棱B1C1的中点，F是侧面CD D1C1的中心．
(1)求点E，F的坐标及|⃗EF|；
(2)求向量⃗EF在DC
→
1
方向上的投影向量．
19．（21-22 高二·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PBC为等腰直角三角形，且
∠CPB =90°，四边形ABCD 为直角梯形，满足AD // BC，CD⊥AD，BC =CD =2 AD = 4，
PD =2√6．
20
(1)若点F 为DC 的中点，求cos〈⃗AP ,⃗BF 〉；
(2)若点E 为PB 的中点，点M 为AB 上一点，当⃗EM ⊥⃗BF时，求|⃗AM |
|⃗AB|
的值．
