文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
强化卷·考试版
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 选择性必修第一册（第一章—第二章（2.3 节）） 。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在平面直角坐标系xOy 中，设点
，
，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在平行六面体
中，
为
与
的交点．若
，则下列向量
中与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知平面
的一个法向量为
，点
在
外，点
在
内，且
，则点
到平
面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．点
在圆
上运动，它与点
所连线段中点为
，则点
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
为空间中四点，任意三点不共线，且
，若
四
点共面，O 不在该平面上，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．9
7．在平面直角坐标系
中，一只蚂蚁从点
出发，爬到
轴后又爬到圆
上，则它爬行的最短路程是（ ）
A．
B．4
C．8
D．
8．如图，长方体
中，
，点
在四边形
的边上，沿
移动，则异面直线
和
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
，
，
这三条直线有唯一公共点，则实数
的可能
取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
是曲线
上一动点，若满足
的点
恰有2 个，则实数的取值可能
是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
11．如图，在多面体
中，
平面
．四边形
是正方形，且
．
分别是线段
的中点，
是线段
上的一个动点（不含端点
，
），则下列说法错误的是（ ）
A．不存在点
，使得异面直线
与
所成的角为
B．存在点
，使得
C．三棱锥
体积的取值范围为
D．当点
运动到
中点时，
与平面
所成的余弦值为
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．过点
，且在x 轴、y 轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．
13．在直三棱柱
中，
，点
为侧面
上的任意一点，则
的取值范围是 .
14．如图，在摩天轮底座中心
与附件的景观内某点
之间的距离
为160m．摩天轮与景观之间有一建
筑物，此建筑物由一个底面半径为15m 的圆柱体与一个半径为15m 的半球体组成．圆柱的底面中心
在线
段
上，且
为45m．半球体球心
到地面的距离
为15m．把摩天轮看作一个半径为72m 的圆
，
且圆
在平面
内，点
到地面的距离
为75m．把摩天轮均匀旋转一周需要30min，若某游客乘坐
摩天轮（把游客看作圆
上的一点）旋转一周，则该游客能看到点
的时长为 ．（只考虑此建筑物
对游客视线的遮挡）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知直线的方程为
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
的直线交坐标轴正半轴于
两点，当
面积最小时，求
的周长．
16．（15 分）
已知圆
与圆
关于原点对称．
(1)求圆
的标准方程；
(2)设点
为圆
上任意一点，求代数式
的最值．
17．（15 分）
如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，四边形BCFG 为菱形，
，平
面
平面BCFG，D 为棱AB 的中点，记平面ABC 和平面AFG 的交线为l.
(1)证明：
；
(2)在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE 与平面ACF 所成角的正弦值为
？若存在，
求E 的位置；若不存在，请说明理由.
18．（17 分）
已知过点
的直线与圆
相交于
、
两点，直线
．
(1)当
时，求直线的方程；
(2)设
为直线
上的动点，过
作圆
的两条切线
、
，切点分别为
、
，求四边形
面积
的最小值；
(3)是否存在直线，使得向量
与
共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理
由．
19．（17 分）
向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应
用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使
得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概
念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外
积），记作：
．规定：①
为同时与
，
垂直的向量，且与
为相反向量；②
（
为向量
与
的夹角）；
(1)证明：
；
(2)如图，已知棱长均为1 的平行六面体
，且
，计算
的值，并解释其几何意义．
(3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面
，
，
，
上，且两相邻平行平面距离为1，求该
四面体的棱长．
