文档内容
卓越联盟 2025－2026 学年第一学期高二第一次月考
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，已知点 ，则 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间两点距离公式即可得到答案.
【详解】 ．
故选：C.
2. 若直线 与直线 垂直，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 求解即可.
【详解】 ，解得 ．
故选：A.
第1页/共21页
学科网（北京）股份有限公司3. 若向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的运算律以及定义即可得出.
【详解】由题意可得， ，
则 ．
故选：B
4. 已知直线 的倾斜角为 的一个方向向量为 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线 的倾斜角为 得 ，再利用直线的方向向量求得 斜率为 ，列方程求解即可.
【详解】因为直线 的倾斜角为 ，所以其斜率 ，
又因为 的一个方向向量为 ，所以 ，即 ．
故选：D.
5. 已知三点 ，则“ 三点共线”是“ 或 ”的（
）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
第2页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】求出三点共线时的所有 值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案.
【详解】当 时， 三点均在直线 上；
当 时， ，而直线 的斜率不存在，显然三点不在一条直线上；
当 时，若 三点共线，则 ，即 ，解得 或 ．
综上，若 三点共线，则 或 或 ，
故“ 三点共线”是“ －4或 ”的必要不充分条件．
故选：C.
6. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 在 上的投影向量为 ．
故选：D
7. 已知点 到直线 的距离与到 轴的距离相等，则 （ ）
A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7
【答案】D
第3页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】由题可知 ，解得 或7．
故选：D.
8. 在四棱锥 中， ，则这个四棱锥的高为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平面 的法向量，再利用点到平面的距离公式求解.
【详解】设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 ， ，即 ， ，
，故点 到平面 的距离为 ．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 三点不共线， 为平面 外一点，下列条件中能确定 四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
第4页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【分析】空间向量基本定理及推论判断即可.
【详解】因为 ，结合平面向量的基本定理可知 四点共面，所以A选项正确；
由 空 间 向 量 基 本 定 理 可 知 ， 若 四 点 共 面 ， 则 需 满 足 存 在 实 数 ， 使 得
，且 ，显然B选项不正确，C选项正确；
化简 ，可得 ，
满足 四点不共面，D选项不正确．
故选：AC
10. 如图，在四棱柱 中，四边形 是正方形，
是棱 的中点，点 在棱 上，且 .设
，则（ ）
A. B.
C. D. 向量 与 夹角的余弦值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】连接 ，由首尾相连可判断AB，再结合向量数量积运算律及夹角公式即可判断BD.
第5页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【详解】
连接 ，因为四边形 是正方形，所以 ，
则 ．A正确，
因为 是棱 的中点，所以 ．
因 为，所以 ，
则 ．B正确，
因为四边形 是正方形，所以 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，
C错误，
．
因为 ，
所以 ，
第6页/共21页
学科网（北京）股份有限公司即向量 与 夹角的余弦值是 ．D正确，
故选：ABD.
11. 在正方体 中， ， 为正方形 内（包括边界）一动点， 为 的
中点，则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ，使得
C. 若 ，则 的最大值为
D. 满足 的点 的轨迹长度为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，
建立空间直角坐标系，设点 ，其中 、 ，利用空间向量法可判断 BC选项；根据
可得出 、 的关系式，确定点 的轨迹，并求其长度，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为平面 平面 ， 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于 ，
因为四边形 是边长为 的正方形，故 ，
因此 为定值，A对；
对于B选项，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ．
第7页/共21页
学科网（北京）股份有限公司以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ．
设 ，其中 、 ，则 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以，不存在点 ，使得 ，B错；
对于C选项， ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故当 时， 的最大值为 ，C错；
对于D选项， ， ，
由 得 ，即 ，
又因为 、 ，所以 、 ，
所以点 的轨迹为平面 内的线段 ，
第8页/共21页
学科网（北京）股份有限公司即图中的线段 ，由图知 ，
故满足 的点 的轨迹长度为 ，D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 得 ，然后利用空间向量共线的坐标运算列式求解即可.
【详解】直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
因为 ，所以 ，故 ，解得 ，则 ．
故答案为：
13. 已知 为坐标原点，直线 ，则点 到 的最大距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线 必过的定点坐标，然后根据点到直线的距离求出结果.
【详解】由直线 ，得 ，
令 解得 即直线 恒过点 ，
当 时，点 到 的距离最大，最大距离为 ．
故答案为： .
14. 如图1，在菱形 中， ，将 沿对角线 翻折到 的位置，
第9页/共21页
学科网（北京）股份有限公司如图2，连接 ，构成三棱锥 ，若二面角 的平面角为 ，则三棱锥 外
接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后确定各点的坐标和三棱锥外接球的球心坐标，根据半
径相等可求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.
【详解】取 的中点 ，连接 ， ，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴，
垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
易知 外接圆的圆心坐标为 ，
可设三棱锥 外接球的球心为 ，
由 ，可得 ，解得 ，
第10页/共21页
学科网（北京）股份有限公司故三棱锥 外接球的半径的平方 ，
故外接球的表面积为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ．
（1）若 在两坐标轴上的截距为相反数，求 的值；
（2）已知直线 ，且 ，求 与 间的距离．
【答案】（1） 或 ．
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出截距，然后根据截距是相反数求出 的值即可.
（2）先根据两直线平行关系求出 ，然后根据两平行直线的距离公式求出结果.
【小问1详解】
令 ，可得 ，
令 ，可得 ．
故 ，解得 或 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
第11页/共21页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，可化为 ．
与 间的距离为 ．
16. 如图，几何体 为正三棱台，且 ，点 满足 ．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 为 的中点，证明：平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量运算性质得 为 的中点，连接 ，先用向量法证得 为平行四边形，
然后利用平行四边形性质及线面平行的判定定理证明即可．
（2）连接 ，利用线面平行的判定定理证得 平面 ，再利用平行四边形性质及线面平行的
判定定理证得 平面 ，进而利用面面平行的判定定理证明即可．
【小问1详解】
因为 ，所以 为 的中点．
连接 ．因为 ，所以 ，
则 为平行四边形，所以 ．
第12页/共21页
学科网（北京）股份有限公司又 平面 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
连接 ．因为 分别为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 为 的中点， ，所以 ，
所以 为平行四边形，所以 ．
又 平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以平面 平面 ．
17. 如图， 是圆锥 的轴截面， 是半圆弧 上靠近点 的三等分点，
是线段 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）
第13页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）取半圆弧 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴
的正方向，建立空间直角坐标系，求出向量 与 夹角的余弦值，即可得答案；
（2）求出平面 的法向量，利用 ，求解即可.
【小问1详解】
取半圆弧 的中点 ，连接 ．
易证 两两垂直，
则以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
，
则 ， ．
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
第14页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由（1）可知 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
即 ．
故点 到平面 的距离为 ．
18. 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 底 面 为 正 三 角 形 ． ， 且
为 的中点．
（1）证明： ．
（2）若 是侧棱 上一点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，结合勾股定理证明 ，进而证 平面 ，再利用
线面垂直证线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出所求线面角的正弦值，再求最值即可.
【
小问1详解】
证明：如图，连接 .因为底面 为边长为4的正三角形，
且 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，且 ，
在 中， ，
由余弦定理可得
解得 ，
在 中，因为 ，所以 ．
因为 平面 ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
解：由（1）知 平面 ，因为 ，所以 ，
则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设 ，则 ．
第16页/共21页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，则 ，则平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
19. 如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面
．
（1）证明： 平面 ．
第17页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（2）若 是棱 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值．
（3）在棱 ， ， 上分别取点 ， ， （均不与端点重合），二面角 ，
， 分别记为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件确定 ，结合面面垂直的性质定理即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
（3）设 ，求得平面 的法向量
，再由二面角公式得到 ，
， ，进而得到
，通过 ，及
进而可求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，所以 ．
第18页/共21页
学科网（北京）股份有限公司因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
由题意可知 ， ， 两两垂直，
则以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意可得 ，
则 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
【小问3详解】
第19页/共21页
学科网（北京）股份有限公司设 ．
易得：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
所以 令 ，
所以 ，
，
，
，
第20页/共21页
学科网（北京）股份有限公司所以
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
又 ，
所以 的取值范围为
第21页/共21页
学科网（北京）股份有限公司
