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2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重难点过关测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2＝16
B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91
D．（x+10）2＝109
2．由二次函数y＝2（x
3
﹣）2+1 可知（ ）
A．图象开口向下
B．图象向左平移1 个单位得到y＝2（x
2
﹣）2+1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3
D．当x＜3 时，y 随x 的增大而增大
3．已知函数y＝（k
3
﹣）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
4．某超市一月份的营业额为200 万元，已知第一季度的总营业额共1000 万元．如果平均每月增长率为x，
则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
5．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c 上的三个点，则y1，y2，y3的大
小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
6．已知x1，x2是一元二次方程x2
6
﹣x+3＝0 的两个实数根，则x1x2的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．﹣3
D．3
7．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，
共有121 名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x 人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121
B．（1+x）2＝121
C．1+x2＝121
D．1+x+x2＝121
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为
，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的
坐标为
，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）
A．7m
B．7.5m
C．8m
D．8.5m
9．若x＝﹣1 是关于x 的一元二次方程ax2+bx
1
﹣＝0 的一个根，则2020+2a
2
﹣b 的值为（ ）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
10．如图，四边形ABCD 中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 的对应点与
点D 重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC 的长度为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
11．如图，点F 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，将以点F 为直角顶点的直角△FEG 绕点F 旋转
（△FEG 的边EG 始终在正方形ABCD 外），若正方形ABCD 边长为3，则在旋转过程中△FEG 与正
方形ABCD 重叠部分的面积为（ ）
A．9
B．3
C．4.5
D．2.25
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其
中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中
结论正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
13．已知一元二次方程x2+kx
3
﹣＝0 有一个根为1，则k 的值为 ．
14．已知P（m+2，3）和Q（2，n
4
﹣）关于原点对称，则m+n＝ ．
15．如图，在宽为4、长为6 的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的
面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程
．
16．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C，D 为水柱的落
水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣
（x
5
﹣）2+6，则CD 的长为 m．
17．在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点E 在AD 边上，AE＝4，点P 为矩形内一点且∠APE＝90°，点
M 为BC 边上一点，连接PA，DM，则PM+DM 的最小值为
．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2
4
﹣a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2
2
﹣x
3|
﹣的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或x≥3 时，函数值y 随x 值的增大而增大；
④当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1 时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有
.（填正确的序号）
三、解答题（本题共8 小题，共66 分．第19-20 题每题6 分，第21-23 题每题8 题，其他每题10 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6 分）解方程：
（1）x2
2
﹣x
15
﹣
＝0； （2）2x2+3x＝1．
20．（6 分）关于x 的一元二次方程x2+2x+2m＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0 的两个根，且x1
2+x2
2＝8，求m 的值．
21．（8 分）如图，在长为50m、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要
使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
22．（8 分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1 的9×11 网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、
C（3，4）均在格点上．
（1）边AC 的长等于 ．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C 直线l，把△ABC 翻折，得到△A'B'C，使点B 的对应点B'恰好落在边AC 上，请在如图
所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l 的解析式．
23．（8 分）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以
1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．
（1）如果P，Q 分别从A，B 同时出发那么几秒后，PQ 的长度等于
cm？
（2）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm2？请说明理由．
24．（10 分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100 盏，每盏台灯的利润为12 元．为了扩
大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1 元，平均每天会多售出20 盏．
（1）若要实现每天销售获利1400 元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？
（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？
25．（10 分）问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△CDE 中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝
∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．
尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E 是AC 边上一点，点F 是BE 上一
点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE 面积为30，求BF 的长．
拓展创新 M 是等腰Rt△ABC 外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝
，
直接写出MB 的长．
26．（10 分）如图，已知抛物线y＝ax2+
x+4 的对称轴是直线x＝3，且与x 轴相交于A、B 两点（B 点在
A 点的右侧），与y 轴交于C 点．
（1）A 点的坐标是
；B 点坐标是
；
（2）直线BC 的解析式是：
；
（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B、C 重合），是否存在点P，使△PBC 的面积
最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接
写出点M 点坐标．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重难点过关测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
二、单项选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方后可得（ ）
A．（x+5）2＝16
B．（x+5）2＝1
C．（x+10）2＝91
D．（x+10）2＝109
【答案】A
【解答】解：方程x2+10x+9＝0，
整理得：x2+10x＝﹣9，
配方得：x2+10x+25＝16，即（x+5）2＝16，
故选：A．
2．由二次函数y＝2（x
3
﹣）2+1 可知（ ）
A．图象开口向下
B．图象向左平移1 个单位得到y＝2（x
2
﹣）2+1
C．图象的对称轴为直线x＝﹣3
D．当x＜3 时，y 随x 的增大而增大
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x
3
﹣）2+1 中的a＝2＞0，且顶点坐标是（3，1），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，当x＜3 时，y 随x 的增大而减小，
∴选项A、C、D 不符合题意；
∵二次函数y＝2（x
3
﹣）2+1 图象向左平移1 个单位得到y＝2（x
3+1
﹣﹣
）2+1，即y＝2（x
2
﹣）2+1．
∴选项B 符合题意．
故选：B．
3．已知函数y＝（k
3
﹣）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
【答案】B
【解答】解：①当k
3≠0
﹣
时，（k
3
﹣）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2
4
﹣ac＝22
4
﹣（k
3
﹣）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k
3
﹣＝0 时，y＝2x+1，与x 轴有交点．
故选：B．
4．某超市一月份的营业额为200 万元，已知第一季度的总营业额共1000 万元．如果平均每月增长率为x，
则由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【答案】D
【解答】解：∵一月份的营业额为200 万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
5．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c 上的三个点，则y1，y2，y3的大
小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2+c 的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x+1）2+c 上的三个点，
∴点A 关于对称轴x＝﹣1 的对称点是（0，y1），
∴y3＞y2＞y1，
故选：C．
6．已知x1，x2是一元二次方程x2
6
﹣x+3＝0 的两个实数根，则x1x2的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．﹣3
D．3
【答案】D
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2
6
﹣x+3＝0 的两个实数根，
∴x1x2＝3，
故选：D．
7．奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效隔离，经过两轮传染，
共有121 名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了x 人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121
B．（1+x）2＝121
C．1+x2＝121
D．1+x+x2＝121
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则1+x+x（x+1）＝121，
整理得：（1+x）2＝121．
故选：B．
8．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为
，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的
坐标为
，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）
A．7m
B．7.5m
C．8m
D．8.5m
【答案】C
【解答】解：把A
代入
得：
＝﹣
×9+k，
∴k＝
，
∴y＝﹣
（x
3
﹣）2+
，
令y＝0 得﹣
（x
3
﹣）2+
＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB 的长度为8m，
故选：C．
9．若x＝﹣1 是关于x 的一元二次方程ax2+bx
1
﹣＝0 的一个根，则2020+2a
2
﹣b 的值为（ ）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
【答案】C
【解答】解：∵把x＝﹣1 代入ax2+bx
1
﹣＝0 得：a﹣b
1
﹣＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a
2
﹣b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
10．如图，四边形ABCD 中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°，点C 的对应点与
点D 重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC 的长度为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵△EBD 是由△ABC 旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE 是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝
＝
＝
，
∴AC＝DE＝
，
故选：D．
11．如图，点F 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，将以点F 为直角顶点的直角△FEG 绕点F 旋转
（△FEG 的边EG 始终在正方形ABCD 外），若正方形ABCD 边长为3，则在旋转过程中△FEG 与正
方形ABCD 重叠部分的面积为（ ）
A．9
B．3
C．4.5
D．2.25
【答案】D
【解答】解：如图，连接FD，
∵点F 是AC 的中点，四边形ABCD 是正方形，
∴∠DFC＝90°，DF＝FC，∠FDN＝∠FCM＝45°，
∴∠DFN+∠NFC＝90°，
∵EF⊥EG，
∴∠MFC+∠NFC＝90°，
∴∠DFN＝∠CFM，
∴△MFC≌△NFD（ASA），
∴S△MFC＝S△NFD，
∴S 四边形FMCN＝S△MFC+S△NFC＝S△NFD+S△NFC＝S△DFC，
∵正方形ABCD 的边长为3，
∴AC＝3
，
∴FD＝FC＝
，
∴S△DFC＝
×FD×FC＝
×
×
＝
，
∴重叠部分四边形EMCN 的面积为
．
故选：D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x1，x2，其
中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中
结论正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x＝
＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x 轴有两个交点，∴b2
4
﹣ac＞0，
当x＝2 时，y＝4a+2b+c＜0，
当x＝1 时，a+b+c＝2．
∵
＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，
②4a+2b+c＜0，
③a﹣b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a
2
﹣c＜﹣8，
上面两个相加得到6a＜﹣6，
∴a＜﹣1．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
13．已知一元二次方程x2+kx
3
﹣＝0 有一个根为1，则k 的值为
2
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝1 代入方程得1+k
3
﹣＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
14．已知P（m+2，3）和Q（2，n
4
﹣）关于原点对称，则m+n＝ ﹣
3
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵P（m+2，3）和Q（2，n
4
﹣）关于原点对称，
∴m+2＝﹣2，n
4
﹣＝﹣3；
解得m＝﹣4 n＝1；
∴m+n＝﹣3．
15．如图，在宽为4、长为6 的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的
面积15，设铺设的石子路的宽为x，依题意可列方程 （
4﹣
x ）（
6﹣
x ）＝
15
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设铺设的石子路的宽应为x 米，由题意得：
（4﹣x）（6﹣x）＝15，
故答案为：（4﹣x）（6﹣x）＝15．
16．某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C，D 为水柱的落
水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣
（x
5
﹣）2+6，则CD 的长为
22
m．
【答案】22．
【解答】解：当y＝0 时，﹣
（x
5
﹣）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D 的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
17．在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点E 在AD 边上，AE＝4，点P 为矩形内一点且∠APE＝90°，点
M 为BC 边上一点，连接PA，DM，则PM+DM 的最小值为
3
2
﹣
．
【答案】3
2
﹣．
【解答】解：如图2，
∵∠APE＝90°，
∴点P 在以AE 为直径的⊙O 上运动，
作点D 关于BC 的对称点G，连接OG，交BC 于M，交⊙O 于P，
则PM+DM 最小，最小值为PG 的长，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CG＝CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
在Rt△ODG 中，DG＝CD+CG＝6，OD＝AD﹣OA＝5
2
﹣＝3，
∴OG＝
＝
＝3
，
∴PG＝OG﹣OP＝3
2
﹣，
∴PM+DM 的最小值为：3
2
﹣．
故答案为：3
2
﹣．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2
4
﹣a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2
2
﹣x
3|
﹣的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或x≥3 时，函数值y 随x 值的增大而增大；
④当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1 时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有
①②③④
.（填正确的序号）
【答案】①②③④．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2
2
﹣x
3|
﹣，
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1 或x≥3 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确
的；
④函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x 的值为x＝﹣1 或x＝3，因此④
也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1 或x＞3，函数值要大于当x＝1 时的y＝|x2
2
﹣x
3|
﹣＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8 小题，共66 分．第19-20 题每题6 分，第21-23 题每题8 题，其他每题10 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6 分）解方程：
（1）x2
2
﹣x
15
﹣
＝0；
（2）2x2+3x＝1．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）
．
【解答】解：（1）∵x2
2
﹣x
15
﹣
＝0，
∴（x+3）（x
5
﹣）＝0，
则x+2＝0 或x
5
﹣＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x＝1
移项得2x2+3x
1
﹣＝0，
a＝2，b＝3，c＝﹣1，
Δ＝32
4×2×
﹣
（﹣1）＝17＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
，
．
20．（6 分）关于x 的一元二次方程x2+2x+2m＝0 有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0 的两个根，且x1
2+x2
2＝8，求m 的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0 有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4
8
﹣m＞0，
解得：m＜
．
故m 的取值范围为m＜
．
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，
∵x1
2+x2
2＝（x1+x2）2
2
﹣x1x2＝4
4
﹣m＝8，
所以m＝﹣1
验证当m＝﹣1 时Δ＞0．
故m 的值为m＝﹣1．
21．（8 分）如图，在长为50m、宽为38m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要
使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设路宽应为x 米
根据等量关系列方程得：（50
2
﹣x）（38
2
﹣x）＝1260，
解得：x＝4 或40，
40 不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4 米．
22．（8 分）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1 的9×11 网格中，点A（﹣1，1）、B（3，1）、
C（3，4）均在格点上．
（1）边AC 的长等于
5
．
（2）请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC＝45°；
（3）沿过点C 直线l，把△ABC 翻折，得到△A'B'C，使点B 的对应点B'恰好落在边AC 上，请在如图
所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A'B'C，并直接写出直线l 的解析式．
【答案】（1）5；
（2）作图见解析部分；
（3）作图见解析部分，y＝2x
2
﹣．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）、B（3，1）、C（3，4），
∴AB＝4，BC＝3，
∴AC＝
＝
＝5，
故答案为：5；
（2）如图，点P 即为所求；
（3）如图，△A'B'C 即为所求；
直线l 的解析式为：y＝2x
2
﹣．
23．（8 分）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以
1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．
（1）如果P，Q 分别从A，B 同时出发那么几秒后，PQ 的长度等于
cm？
（2）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）设x 秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2
）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3 秒后，PQ 的长度等于2
；
（2）△PQB 的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t 秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQB＝
×BP×QB＝7
×（5﹣t）×2t＝7
∴t2
5
﹣t+7＝0
Δ＝52
4×1×7
﹣
＝25
28
﹣
＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB 的面积不能等于7cm2．
24．（10 分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100 盏，每盏台灯的利润为12 元．为了扩
大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1 元，平均每天会多售出20 盏．
（1）若要实现每天销售获利1400 元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？
（2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）要实现每天销售获利1400 元，则每盏台灯应降价5 元；
（2）每盏台灯降价3.5 元时商场获利润最大，最大利润是1445 元．
【解答】解：（1）设每盏台灯应降价x 元，依据题意列方程得：
（12﹣x）（100+20x）＝1400
整理得x2
7
﹣x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
∵让消费者得到实惠，
∴x＝5，
答：要实现每天销售获利1400 元，则每盏台灯应降价5 元．
（2）设商场获利润为W 元，则
W＝（12﹣x）（100+20x）
＝﹣20x2+140x+1200
＝﹣20（x
35
﹣
）2+1445，
∵﹣20＜0，
∴当x＝3.5 时，W 取得最大值1445 元，
答：每盏台灯降价3.5 元时商场获利润最大，最大利润是1445 元．
25．（10 分）问题背景 如图1，在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△CDE 中，AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝
∠DCE＝90°，求证：AE＝BD．
尝试应用 如图2，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E 是AC 边上一点，点F 是BE 上一
点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE 面积为30，求BF 的长．
拓展创新 M 是等腰Rt△ABC 外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，若∠AMC＝75°，AM＝2，CM＝
，
直接写出MB 的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】问题背景
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE 和△BCD 中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
尝试应用
解：过点C 作DC⊥CF 交BE 延长线于点D，连接AD，
由问题背景可知：△BFC≌△ADC，
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
∵∠BEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴AD⊥BE 于点D，
∵△ABE 的面积为30，
∴
，
∴（BF+4）×BF＝60，
解得：BF＝6，BF＝﹣10（舍去）．
∴BF＝6．
拓展创新
解：如图3，作CH⊥CM，且CH＝CM，连接MH，AH，
∴△CMH 为等腰直角三角形，
∴∠CMH＝45°，
∴△CBM≌△CAH（SAS），
∴BM＝AH，
∵∠AMC＝75°，
∴∠AMH＝∠AMC+∠CMH＝75°+45°＝120°，
∵CM＝
，
∴MH＝
CM＝2，
∵AM＝2，
∴AM＝MH，
过点M 作MG⊥AH 于点G，
∴∠MAG＝30°，AG＝GH，
∴MG＝1，
∴AG＝GH＝
，
∴AH＝2
，
∴BM＝2
．
26．（10 分）如图，已知抛物线y＝ax2+
x+4 的对称轴是直线x＝3，且与x 轴相交于A、B 两点（B 点在
A 点的右侧），与y 轴交于C 点．
（1）A 点的坐标是 （﹣
2 ，
0 ）
；B 点坐标是 （
8 ，
0 ）
；
（2）直线BC 的解析式是：
y ＝﹣
x +4
；
（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B、C 重合），是否存在点P，使△PBC 的面积
最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接
写出点M 点坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+
x+4 的对称轴是直线x＝3，
∴﹣
＝3，解得：a＝﹣
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣
x2+
x+4．
当y＝0 时，﹣
x2+
x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．
故答案为（﹣2，0），（8，0）．
（2）当x＝0 时，y＝4，
∴点C 的坐标为（0，4）．
设直线BC 的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：
，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣
x+4．
故答案为y＝﹣
x+4．
（3）假设存在，设点P 的坐标为（x，﹣
x2+
x+4），过点P 作PD∥y 轴，交直线BC 于点D，则点
D 的坐标为（x，﹣
x+4），如图所示．
∴PD＝﹣
x2+
x+4﹣（﹣
x+4）＝﹣
x2+2x，
∴S△PBC＝
PD•OB＝
×8•（﹣
x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x
4
﹣）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4 时，△PBC 的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC 的面积最大，最大面积是16．
（4）如图，
当AC 为平行四边形的边时，点N 的纵坐标的绝对值为4，
可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），
N3（3﹣
，﹣4），N4（3+
，﹣4），可得M3（5﹣
，0），M4（5+
，0），
当AC 为对角线时，可得M1（﹣8，0），
综上所述，满足条件的点M 的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+
，0），（5﹣
，0）．
