冀教9上数学第1次月考第23-25章_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》9年级上册（语数外）（人教、北师等多版本）_9年级数学上_第一次月考(2024秋)

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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（冀教版）
（满分120分，时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版九年级上册第23章~第25章。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16 小题每题2分.每小题均有
四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，
且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数据的方差不可能是（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3
2．问题“解方程x23x30”，嘉嘉说“其中一个解是x1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数
根的和为3”，珍珍说“b24ac0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
3．用配方法解方程 x24x1 ，配方后结果正确的是（ ）
A．(x2)2 3 B．(x2)2 5 C．(x2)2 3 D．(x2)2 5
4．如图，在正方形网格图中，V ABC与ABC是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
5．将V ABC的三边长分别增加50%得到 ABC，若V ABC的高是4，则 ABC中与之对应的高是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．2
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6．若a,b是方程 x2 2023x20 的两个实数根，则abab的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4046 D．2023
7．一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC 30cm，CE 50cm，BD45cm，则BF （ ）
A．60cm B．65cm C．75cm D．120cm
8．某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高
为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，则与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变 B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数变大 D．平均数变大，中位数不变
1
9．如果样本方差S2  x 22x 22x 22x 22，那么这个样本的平均数和样本容量分别
4  1 2 3 4 
为（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
10．若关于x的一元二次方程(m1)x2x10有实数根，则m的取值范围是（ ）
5 5
A．m B．m
4 4
5 5
C．m 且m1 D．m 且m1
4 4
11．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃
矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点
A
，
B
，Q在同一水平线上，ABC
和AQP均为直角，
AP
与BC相交于点D．测得AB20cm，BD10cm，AQ8m，则树高为（ ）
A．8m B．8cm C．
4m
D．4cm
12．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割（黄金比为
51
0.618），如图，B为AC 的黄金分割点ABBC，AC 的长为15cm，则AB 的长约为（ ）
2
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A．5.7cm B．8.5cm C．9.3cm D．9.5cm
13．若m是关于x的方程 x22024x10 的根，则  m22024m4  m22024m4  的值为（ ）
A．15 B．15 C．16 D．16
n m
14．已知实数m,nmn满足2m23m10， 2n23n10 ，则  的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B． C． D．
2 2 4 4
15．关于x的方程 x22mxm240 的两个根x，x 满足x 2x 3，且x x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3 B．1 C．3 D．9
16．如图，在等腰Rt△ABC中ACB90， AC5 2 ，D为边BC上一点，以AD为边，在如图所示位置
作正方形
ADEF
，点O为正方形
ADEF
的对称中心，且OC 2，则
AF
的长为（ ）
A．8 B． 2 13 C． 4 2 D．2 17
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19 小题各4分，每空2分，答案写
在答题卡上）
17．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为
x甲
，
x乙 ，方差分别为s
甲
2，s
乙
2 ，若 x甲  x乙 ，s
甲
2 1.6，s
乙
2 1.2，则 的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
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18．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行
有n 个点…．容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，300是前多少行的点数的和呢？若设前
n行的点数和是300，可列方程为 ，经计算可知300是前 行的点数和．
19．如图，在VABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
BE
与AC交于点F，设AF x，
EF  y．
（1）当BE AC，x9，y3时，AD的长是 ；
（2）当BDBF ，2x7y时， DEF与△ABD的面积之比是 ．
三、解答题（本大题共 7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（本小题满分9分）
解下列一元二次方程：
(1)5x32 x29； (2)x26x180 ； (3)2x27x30.
21．（本小题满分9分）
已知关于x的一元二次方程x2mx60．
(1)小明在解方程x2mx60时，得到一个根为x3，求m的值．
(2)在（1）的条件下，设x，x 是该方程的两个根，求x x 2xx 的值．
1 2 1 2 1 2
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22．（本小题满分9分）
某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，
第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别
用两种方式进行了统计，如图1：
(1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学
习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？
(2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、
丙三人的得票情况如图 2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、“得
票”三项测试得分按4:2:4的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生．
23．（本小题满分10分）
如图，在VABC中AB AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APDB．
(1)求证：；
(2)若AD3，AC5，求 AP2的值．
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24．（本小题满分10分）
问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图
AB BD
①，已知AD是V ABC的角平分线，可证  ．小慧的证明思路是：如图②，过点C 作CE∥AB，
AC CD
AB BD
CE交AD的延长线于点 E，构造相似三角形来证明  尝试证明：
AC CD
AB BD
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：  ．
AC CD
应用拓展：
（2）如图③，在Rt△ABC中，BAC 90，D是边BC上一点，连接AD，将 ACD沿AD所在直线折
叠，点C 恰好落在边AB上的E点处．若AC 1， AB2 ，求DE的长．
25．（本小题满分12分）
保定市的西大街是具有民国风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，今年十一
小长假第一天西大街游客人数为6000人次，第三天游客人数达到7260人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为
25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每
把扇子降价x元．请解答以下问题：
①填空：每天可售出扇子___________把（用含x的代数式表示）；
②若该商店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降
价多少元？
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26．（本小题满分13分）
如图，在Rt△ABC中，ACB90，AB5，AC4，Q为AB的中点．动点P 从点A出发沿线段AC
以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，连接PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ，且边MN与点
B始终在边PQ同侧．设点P 的运动时间为t 秒t0．
(1)线段BC的长为________；
(2)线段CP的长为________（用含t 的代数式表示）；
(3)当正方形PMNQ的顶点M 落在V ABC的边上时，求t 的值；
(4)当正方形PMNQ的边MN的中点落在线段AC上时，求t 的值和正方形的面积．
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2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷
（冀教版）
（满分120分，时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：冀教版九年级上册第23章~第25章。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16 小题每题2分.每小题均有
四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，
且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数据的方差不可能是（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】解：∵甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，
∴乙班参赛学生身高数据的方差大于3.4，
∴乙班参赛学生身高数据的方差不可能为3．故选：D.
2．问题“解方程 x23x30”，嘉嘉说“其中一个解是x1”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数
根的和为3”，珍珍说“b24ac0 ，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
【答案】C
【解析】解：方程 x23x30 中，a1，b3，c3，
b24ac3241330，
此时方程无实数根，珍珍说得对．故选C．
3．用配方法解方程 x2 4x1 ，配方后结果正确的是（ ）
A．(x2)2 3 B．(x2)2 5 C．(x2)2 3 D．(x2)2 5
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【答案】B
【解析】解： x24x1
∴ x24x414 ，
∴(x2)2 5；
故选 B．
4．如图，在正方形网格图中，V ABC与ABC是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【解析】连接AA，CC，交于点O，
∴点O是位似中心，故答案为：D．
5．将V ABC的三边长分别增加50%得到ABC，若V ABC的高是4，则ABC中与之对应的高是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【解析】解：ABC的三边长分别增加50%得到ABC，
△ABC∽△ABC，且相似比为2∶3，
ABC的高是4，
△ABC中与之对应的高为：41.56，故选：B．
6．若a,b是方程x22023x20的两个实数根，则abab的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4046 D．2023
【答案】C
【解析】解：a,b是方程 x22023x20 的两个实数根
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2023 2
ab  2023,ab  2
1 1
abab220234046．故选：C．
7．一个三层折叠花架如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC 30cm，CE 50cm，BD45cm，则BF （ ）
A．60cm B．65cm C．75cm D．120cm
【答案】D
AC BD
【解析】AB∥CD∥EF ，  ，
CE DF
30 45
  ，解得DF 75，
50 DF
BF BDDF 4575120cm.故选：D．
8．某女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：172，174，178，180，180，184．现用身高
为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，则与换人前相比，场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，中位数不变 B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数变大 D．平均数变大，中位数不变
【答案】D
【解析】解：用身高为178cm的队员替换场上身高为174cm的队员，使总身高增加，进而平均数身
高变大，
换人后，从小到大排列的顺序为：172，178，178，180，180，184，因此中位数不变，故选： D．
1
9．如果样本方差S2  x 22x 22x 22x 22，那么这个样本的平均数和样本容量分别
4  1 2 3 4 
为（ ）
A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6
【答案】A
1
【解析】∵在公式S2  x x2x x2x x2平均数是x ，样本容量是n，
n  1 2 n 
1
∴在S2  x 22x 22x 22x 22中，这个样本的平均数为2，样本容量是4．
4  1 2 3 4 
故选：A．
10．若关于x的一元二次方程(m1)x2x10 有实数根，则m的取值范围是（ ）
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5 5
A．m B．m
4 4
5 5
C．m 且m1 D．m 且m1
4 4
【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m1)x2x10 有实数根，
∴m10,124m110，
5
∴m 且m1，故选：C
4
11．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃
矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点
A
，
B
，Q在同一水平线上，ABC
和AQP均为直角，
AP
与BC相交于点D．测得AB20cm，BD10cm，AQ8m，则树高为（ ）
A．8m B．8cm C．
4m
D．4cm
【答案】C
【解析】解：BD∥PQ,ABD∽AQP，
AB BD 20 10
  ，  ，
AQ PQ 800 PQ
PQ400cm4m．故选：C．
12．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割（黄金比为
51 0.618 ），如图，B为AC 的黄金分割点ABBC，AC 的长为15cm，则AB 的长约为（ ）
2
A．5.7cm B．8.5cm C．9.3cm D．9.5cm
【答案】C
【解析】解：∵B为AC的黄金分割点，ABBC，AC15cm，
AB
∴ 0.618，
AC
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∴AB0.618AC9.3(cm)．故选：C．
13．若m是关于x的方程x22024x10的根，则  m22024m4  m22024m4  的值为（ ）
A．15 B．15 C．16 D．16
【答案】A
【解析】解：∵m是关于x的方程 x22024x10 的根，
∴ m22024m10 ，∴ m22024m1 ，
∴ m22024m4  m2 2024m 4  141415，故选：A．
n m
14．已知实数m,nmn满足 2m23m10 ，2n23n10，则  的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】B
【解析】解：实数m,nmn满足 2m23m10 ，2n23n10，
m，nmn是一元二次方程 2x23x10 的两个实数根，
3 1
mn ，mn ，
2 2
2
3  1
 n  m  m2n2  mn22mn   2   2   2    13，故选：B．
m n mn mn 1 2

2
15．关于x的方程x22mxm240的两个根x，x 满足x 2x 3，且x x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3 B．1 C．3 D．9
【答案】C
【解析】解：方程x22mxm240的两个根x，x ，
1 2
x x  2m，xx m24，
1 2 1 2
 x 2x 3，x x 2m3x 3，xx 2x 23x m24，
1 2 1 2 2 1 2 2 2
2m3 4m3
x  ，x  ，
2 3 1 3
2m3 2
2  2m3m24，
 3 
解得：m 3，m 9，
1 2
4m3 2m3
 x x ，  ，
1 2 3 3
解得：m3，故m3，故选：C.
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16．如图，在等腰Rt△ABC中ACB90， AC5 2 ，D为边BC上一点，以AD为边，在如图所示位置
作正方形ADEF ，点O为正方形ADEF 的对称中心，且OC 2，则
AF
的长为（ ）
A．8 B．2 13 C． 4 2 D． 2 17
【答案】D
【解析】解：如图，连接OA，OD．
∵四边形ADEF 是正方形，OAOD，AOD 90，AD AF ，
AD 2OA ，OAD 45，
ACB是等腰直角三角形，ACB90，
AB 2AC ，CAB45，
OADCAB，OACDAB，
AD AB
   2，DAB∽OAC，
AO AC
BD AB
   2，
OC AC
OC 2，BD 2 2 ，
，
ACBC5 2
CD BCBD3 2 ，
AD AC2CD2   5 2 2   3 2 2  2 17 ，
AF  AD2 17 ．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19 小题各4分，每空2分，答案写
在答题卡上）
17．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为x甲 ，
x乙 ，方差分别为s
甲
2，s
乙
2 ，若x甲 x乙 ，s
甲
2 1.6，s
乙
2 1.2，则 的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
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【答案】乙
【解析】解：S2 1.6，S2 1.2，∴S2 S2 ，
甲 乙 甲 乙
∴乙的成绩更稳定．故答案为：乙．
18．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行
有n 个点…．容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和，300是前多少行的点数的和呢？若设前
n行的点数和是300，可列方程为 ，经计算可知300是前 行的点数和．
n(n1)
【答案】 300，24
2
【解析】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点，
则前五行共有(12345)个点，
前10 行共有(12345678910) 个点，
L ，
前n行共有(12345n)个点，
n(n1)
然后求它们的和，前n行共有 个点，
2
n(n1)
由题意可得： 300，整理得 n2n6000 ，
2
(n24)(n25)0，n 24，n 25，
1 2
Q n为正整数，n24．
n(n1)
∴300是前24行的点数之和；故答案为： 300，24．
2
19．如图，在V ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
BE
与AC交于点F，设AF x，
EF  y．
（1）当BE AC，x9，y3时，AD的长是 ；
（2）当BDBF ，2x7y时， DEF与△ABD的面积之比是 ．
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1
【答案】5，
4
【解析】解：（1）当BE AC，x9，y3时，得EFD90，AF 9，EF3，
设ADa，则DF 9a，
由题意可得DE ADa，
∴在RtEFD中，由勾股定理可得 DF2EF2 DE2，
即9a232 a2，解得：a5，
故答案为：5.
（2）当BDBF ，2x7y时，
∵BDBF ，∴BDF BFD，
又∵∠ADB180∠BDF，∠EFD180∠BFD，
∴ADBEFD，
由题意可得AE，∴ EDF∽ABD，
AD AB BD
∴   ，
EF ED DF
x 7 AF 7
∵2x7y，∴  ，∴  ，
y 2 EF 2
∴设EF 2n，DF mn，AF 7n，
则ADED7mn，
A D B D 7mn BD
∵  ，∴  ，
E F D F 2n mn
 7mm2
n
 47mm2
n
∴ ，∴ ，
BF BD ABBE 
2 2
7mn
2n

∴  47mm2 n 7mn，整理得： 2m221m450 ，
2
15
解得：m  （不符合题意，舍去），m 3，
1 2 2
∴ED4n，AB8n，
2
S ED 1
∴ DEF    ，
S  AB 4
ABD
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1
故 DEF与△ABD的面积之比是 .
4
1
故答案为： ．
4
三、解答题（本大题共 7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（本小题满分9分）
解下列一元二次方程：
(1)5x32 x29；
(2)x26x180 ；
(3)2x27x30.
【解析】（1）5x32  x29，
5x32 x3x3，
5x32x3x30，
x35x15x30，
x34x180，
∴x30，4x180，
9
解得x 3，x .（3分）
1 2
（2） x26x180 ，
x26x18 ，
x26x927 ，
x32 27，
x33 3，
解得x 33 3，x 33 3.（6分）
1 2
（3） 2x27x30 ，
2x1x30，
∴2x10，x30，
1
解得x  ，x 3． （9分）
1 2 2
21．（本小题满分9分）
已知关于x的一元二次方程 x2 mx60 ．
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(1)小明在解方程 x2 mx60 时，得到一个根为x3，求m的值．
(2)在（1）的条件下，设x，x 是该方程的两个根，求x x 2xx 的值．
1 2 1 2 1 2
【解析】（1）解：∵x3是关于x的一元二次方程 x2 mx60 的解，
∴32 3m60，
解得m1；（4分）
（2）解：∵m1，
∴一元二次方程为 x2x60 ，
b c
∴x x  1，xx  6，（7分）
1 2 a 1 2 a
∴x x 2xx 12611211．（9分）
1 2 1 2
22．（本小题满分9分）
某校德育处组织三好学生评比活动，每班只有一个名额．现某班有甲、乙、丙三各学生参与竞选，
第一轮根据“品行规范”、“学习规范”进行量化考核．甲、乙、丙的量化考核成绩（单位：分）分别
用两种方式进行了统计，如图1：
(1)若计算甲、乙、丙三名学生第一轮“品行规范”、“学习规范”考核成绩平均分后，“品行规范”、“学
习规范”考核成绩均不低于三名学生的平均分的学生，被推选为三好学生，直接判断应推选谁？
(2)为公平起见，老师决定进行第二轮竞选，由本班的50位学生进行投票，每票计6分，甲、乙、
丙三人的得票情况如图 2（没有弃权票，每名学生只能选一人）．若将“品行规范”、“学习规范”、
“得票”三项测试得分按4:2:4的比例确定最后成绩，通过计算谁将会被推选为三好学生．
959085
【解析】（1）解：“品行规范”的平均数为： 90（分），
3
∴甲、乙两位同学的品行规范得分不低于平均分；
808590
“学习规范”的平均分为： 85（分），
3
∴乙、丙两位同学的学习规范得分不低于平均分；
∴两项均满足的为乙同学，
∴应推选乙． （4 分）
（2）解：甲投票分数为：5036%6108（分），
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乙投票分数为：5030%690（分），
丙投票分数为：5034%6102（分）．
∵“品行规范”、“学习规范”、“得票”三项测试得分按4:2:4的比例确定最后成绩，
9548021084
∴x  97.2（分），（6分）
甲 433
904852904
x  89（分），（7分）
乙 433
8549021024
x  92.8（分），（8分）
丙 433
∴甲将会被推选为三好学生．（9分）
23．（本小题满分10分）
如图，在V ABC中AB AC，点P、D 分别是BC、AC边上的点，且APDB．
(1)求证：APD∽ACP；
(2)若AD3，AC5，求 AP2的值．
【解析】（1） ABAC，BC，
APDB，
APD C ，
又 PADCAP，
APD∽ACP；（4分）
（2）由（1）得，APD∽ACP，
AP AD
  ，
AC AP
AP2  ACAD3515．（10分）
24．（本小题满分10分）
问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图
AB BD
①，已知AD是V ABC的角平分线，可证  ．小慧的证明思路是：如图②，过点C 作CE∥AB，
AC CD
AB BD
CE交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明  尝试证明：
AC CD
AB BD
（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：  ．
AC CD
应用拓展：
（2）如图③，在Rt△ABC中，BAC90，D是边BC上一点，连接AD，将 ACD沿AD所在直线折
叠，点C 恰好落在边AB上的E点处．若AC 1， AB2 ，求DE的长．
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【解析】（1）证明：∵CE∥AB，
∴EEAB，BECB，
∴△CED∽△BAD ，
CE CD
∴  ，（2 分）
AB BD
∵EEAB，EABCAD，
∴E CAD，
∴CECA，
AB BD
∴  ．（4分）
AC CD
（2）∵将 ACD沿AD所在直线折叠，点C 恰好落在边AB上的E点处，
∴CADBAD，CDDE，
AB BD
由（1）可知，  ，
AC CD
2 BD
又∵AC 1， AB2 ，∴  ，
1 CD
∴BD2CD，（6分）
∵BAC90，
∴ BC  AC2 AB2  1222  5.（8分）
∴ BDCD 5 ，
5
∴3CD 5，∴ CD ，
3
5
∴DE  ．（10分）
3
25．（本小题满分12分）
保定市的西大街是具有民国风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，今年十一
小长假第一天西大街游客人数为6000人次，第三天游客人数达到7260人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)景区内某商店推出了特色木质团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为
25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每
把扇子降价x元．请解答以下问题：
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①填空：每天可售出扇子___________把（用含x的代数式表示）；
②若该商店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降
价多少元？
【解析】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
依题意得，60001x2 7260，
解得，x0.1或x2.1（舍去），
∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为0.1；（4分）
（2）①解：由题意知，每天可售出扇子30030x把，
故答案为：30030x；（6分）
②解：依题意得，25x730030x5760 ，
整理得，x2x60，
解得，x2或x6，（10分）
∵想尽可能地减少库存，
∴每把扇子应降价6元．（12分）
26．（本小题满分13分）
如图，在Rt△ABC中，ACB90，AB5，AC4，Q为AB的中点．动点P 从点A出发沿线段AC
以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，连接PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ，且边MN与点B
始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t 秒t0．
(1)线段BC的长为________；
(2)线段CP的长为________（用含t的代数式表示）；
(3)当正方形PMNQ的顶点M落在V ABC的边上时，求t 的值；
(4)当正方形PMNQ的边MN的中点落在线段AC上时，求t 的值和正方形的面积．
【解析】（1）解：∵ACB90，AB5，AC4，
∴ BC AB2  AC2  52 42 3 ；（2分）
（2）解：∵动点P 从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，
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∴APt，∴PCACAP4t；（4分）
（3）解：依题意，①当点M落在AC上时，如图1，
∵四边形PMNQ是正方形，∴PMN ACB90，
∴PQ∥MN∥BC，∴△APQ∽△ACB，
AP AQ 1 t 1
∴   ，即  ，
AC AB 2 4 2
解得t 2； （6分）
②当点M落在BC上时，如图2，
过点 Q作QK  AC于点 K，∴QKP90，
∵ACB90，∴∠ACB=QKP90，
∵四边形PMNQ是正方形，∴QPM 90，QPPM ，
∴CPM KPQ90，
又∵APQKQP90，∴CPM KQP．
KQPCPM

在KQP和△CPM中，QKPPCM，∴△KQP≌△CPM(AAS)，

OP PM
∴PC QK .
又∵QKABCA90，∴KQ∥BC，∴△AKQ∽△ACB，
KQ AQ 1 1 3 3
∴   ，即KQ CB ，∴PC QK  ，
CB AB 2 2 2 2
3 5
∴4t  ，∴t  ，
2 2
5
∴当正方形PMNQ的顶点M落在V ABC的边上，t 的值为2或 .（8分）
2
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（4）解：当点MN的中点F落在AC边上时，如图 3，
过点 Q作QE  AC于点E，∴PEQ90，
∵四边形PMNQ是正方形，∴QPM 90，M 90，
∴∠M=PEQ90，
∴MPFPFM 90，MPFQPF 90，
∴PFM QPF， ∴△QPE∽△PFM ，
PE EQ PE MF 1
∴  ，∴   ，（10分）
MF PM EQ PM 2
1 3 1
由（3）②可知QE  BC  ，AE  AC  2，
2 2 2
PE 1
 3
∴ 3 2 ，∴PE ，
4
2
3 5 5
∴APAEPE  2  ，∴t  ．
4 4 4
2 2
3 3 45
在Rt△PQE中，PQ2 PE2EQ2      ，
4 2 16
45
∴S  ．（13分）
正方形PMNQ
16
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