北京9上数学第1次月考第18-19章_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》9年级上册（语数外）（人教、北师等多版本）_9年级数学上

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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．抛物线y(x2)21的顶点坐标是（ ）
A．2,1 B．2,1 C．2,1 D．2,1
k
2．若反比例函数y k 0的图象经过点P2,3，则该函数的图象不经过的点是（ ）
x
A．3,2 B．1,6 C．1,6 D．1,6
3．如图，已知12，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
AB AC AB BC
A．C E B．BADE C．  D． 
AD AE AD DE
AE 1
4．如图，在菱形ABCD中，点E 在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若  ，AB6，则 AF
ED 2
的长为（ ）
4
A．2 B． C．3 D．4
3
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 1 
5．若A ,y  ，B1,y ，C2,y 三点都在二次函数yx22h的图象上，则y ，y ，y 的大小关
 2 1 2 3 1 2 3
系为（ ）
A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
k
6．如图，点
A
是反比例函数y 的图象上的一点，过点
A
作ABx轴，垂足为
B
．点C为y轴上一点，
x
连接AC，BC．若V ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．6 D．3
BD
7．如图，V ABC和VADE都是等腰直角三角形，ABCADE90．连接BD，CE．则 的值为（ ）
CE
A． 1 B． 2 C．
2
D．2
2 2
8．某小区有一块绿地如图中等腰直角V ABC所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其
中点 P，M，N 分别在边AC，BC，AB上，记PM x，PN  y，图中阴影部分的面积为S，当x 在
一定范围内变化时，y和S都随x 的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8 小题，每小题2分，共16分。
9．顶点是5，0，形状、开口方向与抛物线y7x2都相同的二次函数的表达式为 ．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点A3,y 和B  2,y 在反比例函数y k k0的图象上，则y y
1 2 x 1 2
（填“”“”或“”）．
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11．将二次函数yx24x5向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，BAC 90,AD  BC于点D，AB3,BC 5，则BD ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2 bxc(a0)的图象与x轴交于A(2,0)，
B
两点，
并且过C(m,n)和D(2m,n)，则点
B
的坐标为 ．
3
14．如图，若点P 在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x 轴于点M，PN⊥y
x
轴于点N，则矩形PMON 的面积为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OECD交BC于点E，连接AE交BD于点F，
BF
则  ．
BD
16．如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在边BC上，DF  AE，垂足为F ．若DF 6，则线
段 的长为 ．
BE
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
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17．（4 分）如图，AC，BD相交于点O，AD．
求证：△AOB∽△DOC
18．（5 分）已知抛物线yx2bxc经过点(1,0)，(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
19．（6 分）已知二次函数yax1x3，过点2，5．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当x取何值时，y0．
20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点
P
处放一水平的平面镜，光线从
点
A
出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若ABBD，CDBD，测得AB1.5m，
BP2m，PD6m，则该古城墙CD的高是？
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k
21．（6分）如图，一次函数y  xm的图象与反比例函数y 的图象交于A，
B
两点，且与x轴
x
交于点C，点A的坐标为2,1．
(1)求m及k的值；
(2)求VAOB的面积．
22．（5 分）如图，在V ABC中，C90，点D在AC上，DEAB于点E．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)AC4，AB5且AD3，求AE的长．
23．（5 分）在平面直角坐标系xOy中， , ， , 是抛物线yax2bx1a0上任意两点，
1 1 2 2
设抛物线的对称轴为直线xt．

(1)若点 2,1 在该抛物线上，求t 的值；
(2)当t0时，对于x 2，都有y  y ，直接写出x的取值范围．
2 1 2 1
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24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调
查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．
(1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
(2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
25．（5 分）已知y4与x成正比，当x1时，y2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
1
（2）当x 时，求函数y的值；5
2
（3）将所得函数的图象向右平移a个单位，使它过点0,6，请求出a的值．
26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m．
(1)在给出的图中画出平面直角坐标系；
(2)求出水管的长度．
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27．（8分）如图，在等腰直角
ABC
中，ACBC，D为平面上一动点，在运动过程上保持ADBD于
点D，将△BCD沿BD翻折得到 BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．
DG BG
(1)如图，若AD与BC相交于点G，求证  ；
CG AG
(2)猜想
CDF
的形状，并说明理由．
28．（8 分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C:y x2 x和直线l:yxb给出如下定义：过抛物
线C 上一点Ax ,y 作垂直于x轴的直线AB，交直线l 于点Bx ,y ，若存在实数y 满足y  y  y ，
0 1 0 2 0 1 0 2
则称点Px ,y 是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
0 0
(1)若b2，
①在点P0,0，P 1,2，P 1,3，P  2, 2  中，抛物线C 的“如意点”是______；
1 2 3 4
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值______；
(2)若边长为 2 2 的正方形RR R R 边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，
1 2 3 4
直接写出b的最小值______．
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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北京版九年级上册第18章-第19章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．抛物线y(x2)21的顶点坐标是（ ）
A．2,1 B．2,1 C．2,1 D．2,1
【答案】D
【详解】解：抛物线ya(xh)2k 的顶点坐标是h,k，
抛物线y(x2)21的顶点坐标是2,1，故选：D．
k
2．若反比例函数y k 0的图象经过点P2,3，则该函数的图象不经过的点是（ ）
x
A．3,2 B．1,6 C．1,6 D．1,6
【答案】D
【详解】解：3(2)=6，故该函数的图象经过点3,2；
1(6)=6，故该函数的图象经过点1,6；
16=6，故该函数的图象经过点1,6；
1(6)=6，故该函数的图象经不过点1,6．故选：D．
3．如图，已知12，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
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AB AC AB BC
A．C E B．BADE C．  D． 
AD AE AD DE
【答案】D
【详解】解：12，
BAC DAE，
A、添加C E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加BADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
AB AC
C、添加  ，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
AD AE
AB BC
D、添加  ，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选：D．
AD DE
AE 1
4．如图，在菱形ABCD中，点E 在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若  ，AB6，则 AF
ED 2
的长为（ ）
4
A．2 B． C．3 D．4
3
【答案】C
【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB6，
∴AB∥CD,ABCD6，
∴F ECD,FAED ，
∴△AEF∽△DEC，
AE 1
∵  ，
ED 2
AF AE 1
∴   ，
CD ED 2
∴AF 3.
故选 C．
 1 
5．若A ,y  ，B1,y ，C2,y 三点都在二次函数yx22h的图象上，则y ，y ，y 的大小关
 2 1 2 3 1 2 3
系为（ ）
A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
【答案】A
【详解】解：二次函数y (x2)2k 的图象开口向下，对称轴为x2，
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∴C(2,y )正好是抛物线的顶点坐标，
3
∴y 是二次函数的最大值，
3
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
1
又∵ 12，
2
∴y  y  y ．故选：A．
1 2 3
k
6．如图，点
A
是反比例函数y 的图象上的一点，过点
A
作ABx轴，垂足为
B
．点C为y轴上一点，
x
连接AC，BC．若V ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．6 D．3
【答案】B
【详解】如图，连接OA，
∵ABx轴，
∴OC∥AB，
∴S S 3，
OAB CAB
1
而S  k ，
OAB 2
1
∴ k 3，
2
∵k 0，
∴k 6．
故选：B．
BD
7．如图，V ABC和VADE都是等腰直角三角形，ABCADE90．连接BD，CE．则 的值为（ ）
CE
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A． 1 B． 2 C．
2
D．2
2 2
【答案】B
【详解】解：∵V ABC和VADE都是等腰直角三角形，
∴DAE BAC 45， AE 2AD ， AC 2AB ，
AE AC
∴EAC DAB，   2，
AD AB
∴VDAB∽VEAC，
BD AD 2
∴   ．
CE AE 2
故选 B．
8．某小区有一块绿地如图中等腰直角V ABC所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其
中点 P，M，N 分别在边AC，BC，AB上，记PM x，PN  y，图中阴影部分的面积为S，当x 在
一定范围内变化时，y和S都随x 的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系
【答案】B
【详解】解：设ABm (m 为常数)，
在△PCM 中，C45，CM PM ，
∴△PCM 为等腰直角三角形，
CM PM ，
∵四边形PMBN是矩形，
PNBM ，
xyPM PNCM BM  ABm ，即yxm，
∴y与x 成一次函数关系，
1 1 1
S S S  m2xy m2xxm x2mx m2，
ABC 矩形PMBN 2 2 2
∴S与 x成二次函数关系．故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8 小题，每小题2分，共16分。
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9．顶点是5，0，形状、开口方向与抛物线y7x2都相同的二次函数的表达式为 ．
【答案】y7x52
【详解】解：设抛物线的解析式为yaxh2k ，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y7x2
相同，
∴a7，
∵顶点是5，0，
∴y7x52，
∴这个函数解析式为y7x52，故答案为：y7x52．
10．在平面直角坐标系xOy中，若点A3,y 和B  2,y 在反比例函数y k k0的图象上，则y y
1 2 x 1 2
（填“”“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵k 0，
k
∴反比例函数y k 0的图象在二、四象限，
x
∵320，
∴点A3,y ，B2,y 在第四象限，y随x 的增大而增大，
1 2
∴y  y ．
1 2
故答案为：．
11．将二次函数yx24x5向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ．
【答案】y= x2
【详解】解：y x24x5x221，
由题意得，新图象函数的表达式为：yx22211x2.故答案为：y= x2．
12．如图，在Rt△ABC中，BAC 90,AD  BC于点D，AB3,BC 5，则BD ．
9
【答案】
5
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【详解】解：∵BAC 90,AD  BC ，
∴ABCBAD90，ABCACB90，
即BADACB，
∵BB，
∴ABD∽CBA,
BD AB
∴  ,
AB BC
AB2 9
则BD=  ．
BC 5
9
故答案为： .
5
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2 bxc(a0)的图象与x轴交于A(2,0)，
B
两点，
并且过C(m,n)和D(2m,n)，则点
B
的坐标为 ．
【答案】(4,0)
【详解】解：点C(m,n)和D(2m,n)在二次函数yax2 bxc(a0)的图象上，
m2m
该函数图象的对称轴为直线x 1，
2
二次函数yax2 bxc(a0)的图象与x轴交于A(2,0)，
B
两点，
点
B
的横坐标为：12(2)4，
点
B
的坐标为(4,0)，
故答案为：(4,0)．
3
14．如图，若点P 在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x 轴于点M，PN⊥y
x
轴于点N，则矩形PMON 的面积为 ．
【答案】3
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
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∵P点在第二象限，
3
∴P（﹣a，b），代入y＝﹣ 中，得
x
﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON 的面积＝PN•PM＝ab＝3，故答案为：3．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OECD交BC于点E，连接AE交BD于点F，
BF
则  ．
BD
1
【答案】
3
【详解】解：设OEa，
∵四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD交于点O，
1
∴ABCD，AB∥CD，OBODOCOA BD，DCB90，
2
∵OECD，则OEBC，
∴BE CE，则OE是△BCD的中位线，
∴CDAB2OE2a，
∵AB∥CD，OECD，
∴AB∥OE ，
∴ABF∽EOF，
∴BF:OFAB:OE2a:a2，
∴BF 2OF，
∴OBBFOF3OF，
∴BD2OB6OF，
BF 2OF 1
∴   ．
BD 6OF 3
1
故答案为： ．
3
16．如图，在矩形ABCD中，AB3，BC10，点E在边BC上，DF  AE，垂足为F ．若DF 6，则线
段 的长为 ．
BE
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【答案】4
【详解】解：四边形ABCD为矩形，
ABCD3，BC  AD10，AD∥BC，
AEBDAF，
△AFD∽△EBA ，
AF DF
  ，
BE AB
DF 6，
AF AD2DF2  100368 ，
8 6
  ，
BE 3
BE 4，
故答案为：4.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（4 分）如图，AC，BD相交于点O，AD．
求证：△AOB∽△DOC.
【详解】解：∵AC，BD交于点O，
∴BOADOC，...........................................................2分
∵AD，
∴△AOB∽△DOC. ...........................................................4分
18．（5 分）已知抛物线yx2bxc经过点(1,0)，(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
1bc0
【详解】（1）抛物线yx2bxc经过点(1,0)，(0,3)， ，
c3
b2
解得 ， ...........................................................2分
c3
y x22x3；...........................................................3分
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（2）y x22x3x124，
顶点坐标为(1,4)．...........................................................5分
19．（6 分）已知二次函数yax1x3，过点2，5．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)直接写出当x取何值时，y0．
【详解】（1）解：根据题意得：5a2123，
解得：a1，
所以二次函数的表达式为yx1x3 x22x3；...........................................................2分
（2）解：令yx1x30，
解得：x1或x3， ...........................................................4分
∴二次函数的图象与x轴交于1，0和3，0，
∵10，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当y0时，x的取值范围是1 x3．...........................................................6分
20．（5分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点
P
处放一水平的平面镜，光线从
点
A
出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若ABBD，CDBD，测得AB1.5m，
BP2m，PD6m，则该古城墙CD的高是？
【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：APBCPD，...........................................................1
分
∵ABBD,CDBD，
∴ABDCDB90，...........................................................2分
∴△ABP∽△CDP，...........................................................3分
AB BP 1.5 2
∴  ，即  ，...........................................................4分
CD DP CD 6
∴CD4.5，
∴该古城墙的高度CD是4.5m．...........................................................5分
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k
21．（6分）如图，一次函数y  xm的图象与反比例函数y 的图象交于A，
B
两点，且与x轴
x
交于点C，点A的坐标为2,1．
(1)求m及k的值；
(2)求VAOB的面积．
【详解】（1）解：由题意可得：点A(2,1)在函数y  xm的图象上，
2m1，即m1， ..........................................................1分
k
A(2,1)在反比例函数y 的图象上，
x
k
 1，
2
k 2； ....................................................................................................................3分
（2）解：连接OA、OB，
由（1）可知一次函数解析式为yx1，令y0，得x1，
点C的坐标是(1,0)， ...........................................................4分
yx1
 x 2 x 1
由
2
解得 1 ， 2 ，
 
y
x
y
1
1 y
2
2
由图象可得：点
B
的坐标为(1,2)，
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1 1 3
S S S  OC(12) 13 ............................................................6分
AOB BOC AOC 2 2 2
22．（5 分）如图，在V ABC中，C 90，点D在AC上，DEAB于点E．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)AC4，AB5且AD3，求AE的长．
【详解】（1）证明：DEAB于点E，C90，
AEDC 90，
AA，
△ADE∽△ABC； ..........................................................2分
（2）解：△ADE∽△ABC，
AD AE
  ，
AB AC
 AC4，AB5，AD3，
3 AE
  ，
5 4
12
AE  ． ...........................................................5分
5
23．（5 分）在平面直角坐标系xOy中， , ， , 是抛物线yax2bx1a0上任意两点，
1 1 2 2
设抛物线的对称轴为直线xt．

(1)若点 2,1 在该抛物线上，求t 的值；
(2)当t0时，对于x 2，都有y  y ，直接写出x的取值范围．
2 1 2 1
【详解】（1）解：∵抛物线yax2bx1a0经过点2,1，
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∴4a2b11，
∴b2a，
b
∴抛物线对称轴为直线x 1，
2a
∴t 1； ...........................................................3分
（2）解：∵a0，
∴抛物线开口向上，
∴当xt时，y随x增大而增大，当xt时，y随x 增大而减小，且离对称轴越远函数值越大；
当0x 2时，
1
∵tx x ，
1 2
∴此时满足y  y ；
1 2
当2x 0时，
1
∵t0，
∴点 M到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离，
∴此时满足y  y ；
1 2
当x 2时，一定会有x 的值满足x x ，即此时y  y ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
当x 2时，若t 0，且x x 时，此时y  y ，不符合题意；
1 1 2 1 2
综上所述，2x 2. ...........................................................5分
1
24．（6分）商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调
查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．
(1)要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
(2)该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
【详解】（1）设涨价 x元时，由题意得
6040x30010x6000， ...........................................................2分
解得x 0（舍去），x 10，
1 2
∴601070（元），
答：要想获得6000元的利润，该商品应定价为70元；...........................................................3分
（2）设涨价x时，每周售出商品的利润为y 元，
y6040x30010x10x526250， ...........................................................4分
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∴当x5时，y有最大值，最大值为6250，
∴定价为60565（元），
答：每件商品定价为65元时利润最大，最大利润为 6250元． ...........................................................6
分
25．（5 分）已知y4与x成正比，当x1时，y2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
1
（2）当x 时，求函数y的值；5
2
（3）将所得函数的图象向右平移a个单位，使它过点0,6，请求出a的值．
【详解】（1）设y4kx，
∵当x1时，y2，
∴24k，解得k 2，
∴y42x，
∴y与x之间的函数关系式为y2x4； ...........................................................2分
1  1
（2）当x 时，y2 45； ...........................................................3分
2  2
（3）设平移后的解析式为y2xa4，
将0,6代入得：20a46，解得：a1． ..........................................................5分
26．（5分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m．
(1)在给出的图中画出平面直角坐标系；
(2)求出水管的长度．
【详解】（1）解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x 轴建立平
面直角坐标系；如图所示： ...........................................................2分
（2）解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
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∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
3
解得：a=- ．
4
3
∴y=- （x-1）2+3(0≤x≤3)， ...........................................................4分
4
3 3 9
∵当 x=0 时，y=- ×（0-1）2+3=- +3= ，
4 4 4
9
∴水管的长度为 m． ...........................................................5分
4
27．（8分）如图，在等腰直角ABC中，ACBC，D为平面上一动点，在运动过程上保持ADBD于
点D，将△BCD沿BD翻折得到 BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．
DG BG
(1)如图，若AD与BC相交于点G，求证  ；
CG AG
(2)猜想CDF 的形状，并说明理由．
【详解】（1）∵ABC是等腰直角三角形，AC BC，ADBD ，
∴ADBACB90，
又∵BGDAGC，
∴△BDG∽△ACG，
DG BG
∴  ； ...........................................................3分
CG AG
（2）CDF 为等腰直角三角形，...........................................................4分
DG BG
理由：由（1）得  ．
CG AG
又∵CGDAGB，
∴△CDG∽△ABG， ...........................................................5分
∴ADCABC45，
∴BDC135，
由翻折得BDE BDC135．
∴CDE90， ...........................................................6分
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∵CF∥DE，
∴DCF CDE 90，
∴CFD45，
∴CFDCDF 45，
∴CF CD，
∴CDF 为等腰直角三角形． ...........................................................8分
28．（8 分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C:y x2 x和直线l:yxb给出如下定义：过抛物
线C 上一点Ax ,y 作垂直于x轴的直线AB，交直线l 于点Bx ,y ，若存在实数y 满足y  y  y ，
0 1 0 2 0 1 0 2
则称点Px ,y 是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
0 0
(1)若b2，
①在点P0,0，P 1,2，P 1,3，P  2, 2  中，抛物线C 的“如意点”是______；
1 2 3 4
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值______；
(2)若边长为 2 2 的正方形RR R R 边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，
1 2 3 4
直接写出b的最小值______．
【详解】（1）解：①在y x2 x中，当x0时，y0，x1时，y0，x1时，y2， x 2 时，
y2 2；
在yx2中，当x0时，y2，x1时，y1，x1时，y3， x 2 时，y2 2；
∵02，012，23， 2 2 2 ，
∴只有P0,0，P 1,3是抛物线C 的“如意点”，
1 3
故答案为：P、P ； ...........................................................2分
1 3
②点 E是点D与抛物线C 的“称心点”，
∴点 E和点D关于直线yx2对称，
∴DE的长等于点D到直线yx2的距离的两倍，
∴当点D到直线yx2的距离最大时，DE有最大值，
根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线yx2围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C 的如意
点，
∴当平行于直线yx2的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，
设直线y  xt恰好与抛物线yx2x有一个交点，
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yxt
联立 得 x2t0 ，
yx2x
∴024t0，
解得t 0，
∴x200，解得x0，
∴此时点D与原点重合；
如图所示，设直线yx2分别与x轴，y 轴交于G、H，则G2，0，H0，2，
∴OG OH  2，
∴ GH  OG2OH2 2 2 ，
设DE、GH 交于F，则DF GH，
1 1
∴ OFGH  OGOH ，
2 2
1 1
∴ 2 2OF  22，
2 2
∴ OF  2 ，
∴DE 2 2，
最大
故答案为：
2 2
； ...........................................................5分
（2）解：由（1）可得，抛物线C 的“如意点”组成的区域即为直线yxb与抛物线yx2x围成
的封闭区域（包括边界），
∴抛物线C 的“称心点”一定在直线yxb与抛物线yx2x围成的封闭区域外面，
∵边长为 2 2 的正方形RR R R 边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C 的“称心点”，
1 2 3 4
∴正方形RR R R 边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形RR R R 边上的点部分是“如意
1 2 3 4 1 2 3 4
点”，部分时“称心点”时b的值大，
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∴当恰好正方形RR R R 上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线yxb一定经
1 2 3 4
过正方形RR R R 的一条对角线，
1 2 3 4
此时有RR∥x轴，
1 2
1 1
∴此时R、R 关于抛物线对称轴对称，即关于直线x  对称，
1 2 2 2
1
∴R的横坐标为  2，
1 2
1  1  2  1  7
在yx2x中，当x  2时，y  2   2 ，
2  2   2  4
 1 7 
∴R   2，  2 ，
1 2 4 
 1 7  1 7
把R   2，  2 代入yxb中得  2b ，
1 2 4  2 4
9
∴b  2，
4
9
∴b的最小值即为  2． ...........................................................8分
4
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