鲁教549上数学第1次月考第1-2章_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》9年级上册（语数外）（人教、北师等多版本）_9年级数学上

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2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的）
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA 的值为（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
4 3 5 5
2. 某河堤横断面如图所示，堤高BC10米，迎水坡AB的坡比是 1: 3 （坡比是坡面的铅直高度BC与
水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．
10 3
米 B．20米 C．
20 3
米 D．30米
k
3.对于函数y （k＜0），下列说法错误的是（ ）
x
A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y 的值随x的增大而增大 D．当 x＜0时，y的值随x的增大而减小
4. 计算5sin302cos245tan260的值是（ ）
1 1
A． 2 B． C． D．1
2 2
5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos∠B 的值为（ ）
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A． 1 B． 2 C． 3 D． 3
2 2 2 3
6
6. 已知三个点x,y ,x ,y ,x ,y 在反比例函数y 的图象上，其中x 0x x ，下列结论中正
1 1 2 2 3 3 x 1 2 3
确的是（ ）
A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y
3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3
7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假
设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40 45 60
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最°低
k
8. 在同一直角坐标系中，函数ykxk 与y k 0的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
9. 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高 2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E 的仰角为
45°，再向电视塔方向前进100米到达B 处，又测得电视塔顶端E 的仰角为60°，则电视塔的高度
EC 为（ ）
A．（50 3+152）米 B．（52 3+150）米
C．（50 3+150）米 D．（52 3+152）米
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5
10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y (x0)和
x
3
y (x0)的图象交于 A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP 的中点，连接 DC，BC，
x
则△DBC 的面积为( )
9 11
A． B．4 C．5 D．
4 4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 函数y＝（m+1） xm2m3是y关于x 的反比例函数，则m＝ ．
12. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为
k
13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y 的图像于A、B两点，BC y轴
x
于点C， 的面积为6，则k的值为 ．
△   
14. 如图，一艘邮轮从港口 P 处出发，沿北偏东60方向行驶200海里到 A 港口，卸货后向正南方向
行驶到
B
港口，此时
P
港口在邮轮的北偏西45方向上，这时邮轮与港口
P
相距 海里．（保留
根号）
1 1 1
15. 已知点P(a,b)为直线y x2与双曲线y 的交点，则  的值等于 ．
x b a
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3
16. 如图，直线l 的解析式为 y x1 ，与x,y轴分别相交于A,P两点，过点P作PPO的平分线
1
3
交x轴于点A，过点A作x 轴的垂线与直线l相交于点P，作PPA 的平分线交x轴于点A ，过点A
1 1 1 2 1 1 2 2
作x轴的垂线与直线l 相交于点P ……按此规律进行下去，则点P的横坐标为 ．
2 n
三、解答题（本大题共 10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（1）2sin3012 22
 0
（2）2cos60 3tan30 2sin45 1 2
4
18．（6分） 在菱形ABCD中，DEAB，sinA ，BE 2，求cosDBE的值．
5
19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河
岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M 作MNAB， 垂足为N，
测得AB50m，MAB22，MBA67．
(1)设MN x米， 则AN的长为 ． (用含x的代数式表示)
(2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m )．
3 15 2 12 5 12
参考数据：sin22 ,cos22 ,tan22 ， sin67 ,cos67 ,tan67
8 16 5 13 13 5
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20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面
的面积为 5103m2．
（1）所需的瓷砖块数 n与每块瓷砖的面积S（单位： m2）有怎样的函数关系？
（2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积
都是 80cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2:2:1，需要三种瓷砖各多少块？
21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60方向直线延伸，测绘员在A处
测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，
测得小区M位于 C 的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设
的管道最短，并求AN的长．
22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥
的截横面，桥顶 平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为i1∶3， 长10m，天桥另一斜面AB
的坡角ABC4  5  ．  
(1)求点 D 到地面BC的距离；
(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面 的坡角变为30°，改建后斜面为AF ，
则斜面AF 的坡角F 30，试计算此改建需占路面的宽度F  B  的长(结果精确到0.1m)(参考数据
31.73)
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k 1
23．（10分）如图，已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象与一次函数y＝﹣ x+n的图象交于第二、
x 2
四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x 轴的垂线，垂足为点C，△AOC 的面积为4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
1 k
（2）根据图象直接写出 xn 的解集．
2 x
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A，C 分别在
1 k
坐标轴上，点B 的坐标为(4,2)，直线y  x3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y 的图
2 x
象经过点M，N．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P 在 x轴上，且 OPM 的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
25．（12分）关于三角函数有如下的公式：
①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
③tan（α+β）＝
tantan
 1tantan2 0  ．
1tantan
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan
tan45tan60 1 3 (1 3)(1 3) 42 3
（45°+60°）＝ ＝ ＝ ＝ ＝(2 3)．
1tan45tan60 11 3 (1 3)(1 3) 2
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
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（1）求cos75°的值；
（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A 处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C
的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC 为42m，求建筑物CD的高．
26．（12分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数y x 的图
x1
象与性质．使用“描点法”作出函数y x 的图象．
x1
列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．
1 2 4 3
x … 2 1 0 2 3 4 …
2 3 3 2
x 2 1 3 4
y … 0 1 2 4 3 2 …
x1 3 2 2 3
描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线
x1两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题：
(1)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x1时，y随x的增大而________．（填写“增大”或“减小”）
②函数y x 的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标）
x1
③小明发现，函数y x 的图象是双曲线，他觉得函数y x 的图象是由一个反比例函数的图象经
x1 x1
x
x11
1
过平移得来的，并进行了如下变形：y  1 ，请试着在平面直角坐标系中画出
x1 x1 x1
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反比例函数y 1 的图象，并观察得出函数y x 的图象是由函数y 1 的图象经过怎样的平移变换得
x x1 x
到的：_____________．
(2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数
4x6
y 图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标．
2x1
(3)若直线ykx11(k 0)与函数y x 的图象相交于A、B两点，
A
的横坐标是m，
B
的纵坐标是
x1
n，则m1n1__________．
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2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：反比例函数+直角三角形的边角关系。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的）
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，则sinA 的值为（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
4 3 5 5
【答案】C
BC 4
【解析】根据勾股定理可得， BC  AB2AC2  4,所以sinA  .
AB 5
2. 某河堤横断面如图所示，堤高BC10米，迎水坡AB的坡比是 1: 3 （坡比是坡面的铅直高度BC与
水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．
10 3
米 B．20米 C．
20 3
米 D．30米
【答案】A
【详解】∵迎水坡AB 的坡比
1: 3
，
BC 1
∴  ，
AC 3
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∵堤高BC10米，
∴ AC  3BC  31010 3(米)；故选A.
k
3.对于函数y （k＜0），下列说法错误的是（ ）
x
A．它的图像分布在二、四象限 B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y 的值随x的增大而增大 D．当 x＜0时，y的值随x的增大而减小
【答案】D
【详解】 k0，
根据反比例函数的性质，
A.它的图像分布在二、四象限，说法正确；
B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
C. 当x＞0时，y 的值随x的增大而增大，说法正确；
D. 当x＜0时，y 的值随x的增大而增大，所以D 错误．故选：D．
4. 计算 5sin302cos245tan260的值是（ ）
1 1
A． 2 B． C． D．1
2 2
【答案】B
1 1 1
【详解】解：原式= 5 2 3 .故选B.
2 2 2
5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos∠B 的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 3
2 2 2 3
【答案】B
【详解】
作AD垂直BC 的延长线于点D
则△ABD 为等腰直角三角形，∠B=45°
2
∴ cosB ；故答案选择B.
2
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6
6. 已知三个点x,y ,x ,y ,x ,y 在反比例函数y 的图象上，其中x 0x x ，下列结论中正
1 1 2 2 3 3 x 1 2 3
确的是（ ）
A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y
3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3
【答案】C
6
【详解】解：∵反比例函数y 中k 60，
x
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵x 0x x ，
1 2 3
∴y  y  y ，故选：C．
1 3 2
7. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假
设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ）
同学 甲 乙 丙
放出风筝线长 100m 100m 90m
线与地面交角 40 45 60
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最°低
【答案】B
2 3
【详解】解：根据题意得， 100sin40100sin45100 50 2 m， 90sin6090 45 3 m，
2 2
∴ 50 2 45 3 ，
∴90sin60100sin45100sin40，
∴丙所放的风筝最高，故选：B．
k
8. 在同一直角坐标系中，函数ykxk 与y k 0的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：①当k0时，
一次函数ykxk 经过一、二、四象限，
k
反比例函数的y k 0的图象经过一、三象限，
x
故A选项的图象符合要求，
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②当k 0时，
一次函数y=-kx+k 经过一、三、四象限，
k
反比例函数的y k 0的图象经过二、四象限，
x
没有符合条件的选项．故选： ．
A
9. 如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高 2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E 的仰角为
45°，再向电视塔方向前进100米到达B 处，又测得电视塔顶端E 的仰角为60°，则电视塔的高度
EC 为（ ）
A．（50 3+152）米 B．（52 3+150）米
C．（50 3+150）米 D．（52 3+152）米
【答案】A
【详解】解：在RtEAM 中， EAM 45，
AM EM ，
设EM x米，
在Rt△ENM 中，
ENM 60，
3
MN  EM tan30  x，
3
AN 100，
3
100 x x，
3
解得： x50 3150，
AD2，
EC 50 3150250 3152；故选A.
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5
10. 如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y (x0)和
x
3
y (x0)的图象交于 A，B两点．若点C是y轴上任意一点，点D是AP 的中点，连接 DC，BC，
x
则△DBC 的面积为( )
9 11
A． B．4 C．5 D．
4 4
【答案】D
3
【详解】解：∵点B 在反比例函数y (x0)上
x
1 3
∴△PBC 的面积= |k|=
2 2
5
∵点 A在反比例函数y (x0)上
x
1 5
∴△PAC的面积= |k|=
2 2
∵点 D是AP 的中点，
5 1 5
∴△PDC的面积= × = ;
2 2 4
3 5 11
∴△DBC 的面积= + = ；故选：D．
2 4 4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 函数y＝（m+1） xm2m3是y关于x 的反比例函数，则m＝ ．
【答案】2
【详解】解：∵函数y＝（m+1） xm2m3是y关于x 的反比例函数，
∴ m2m31 且m+1≠0，
解得：m2；故答案为：2．
12. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为
【答案】 5 或4
16 5
【详解】解：如图，在ABC中，AB AC，过A作ADBC于D，
当AB AC 5,BC 8时，
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则CD4，
CD 4
在RtACD中，cosC   ；
AC 5
当AB AC8，BC5时，则CD2.5，
在RtACD中，cosC  CD  2.5  5 ；故答案为： 5 或4
AC 8 16 16 5
k
13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y 的图像于A、B两点，BC y轴
x
于点C， 的面积为6，则k的值为 ．
△   
【答案】6
k
【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数y 相交于A、B两点，
x
∴A、B两点关于原点对称，
∴OAOB，
∴S S ，
BOC AOC
∵V ABC的面积为6，
1
∴S  S 3，
BOC 2 ABC
k
又∵
B
是反比例函数y 图像上的点，且BC y轴于点C，
x
1
∴S  k 3，解得k 6，
△BOC
2
∵该反比例函数图像在二、四象限，
∴k 0，
∴k 6．故答案为：6．
14. 如图，一艘邮轮从港口 P 处出发，沿北偏东60方向行驶200海里到 A 港口，卸货后向正南方向
行驶到
B
港口，此时
P
港口在邮轮的北偏西45方向上，这时邮轮与港口
P
相距 海里．（保留
根号）
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【答案】
100 6
【详解】如图所示，作PDAB于D点，
根据题意可得APD30，AP200，
∴在RtAPD中，AD100， PD100 3 ，
又∵B45，
∴△PBD为等腰直角三角形，
∴ PB 2PD 2100 3100 6 海里 ，故答案为： 100 6 ．
1 1 1
15. 已知点P(a,b)为直线y x2与双曲线y 的交点，则  的值等于 ．
x b a
【答案】-2
1
【详解】∵点P（a，b）为直线y=x-2 与双曲线y 的交点，
x
∴b=a-2，b=- 1，
a
∴a-b=2，ab=-1．
1 1 ab 2
∴  =  =-2．故答案是：-2．
b a ab -1
3
16. 如图，直线l 的解析式为 y x1 ，与x,y轴分别相交于A,P两点，过点P作PPO的平分线
1
3
交x轴于点A，过点A作x 轴的垂线与直线l相交于点P，作PPA 的平分线交x轴于点A ，过点A
1 1 1 2 1 1 2 2
作x轴的垂线与直线l 相交于点P ……按此规律进行下去，则点P的横坐标为 ．
2 n
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【答案】 2n1  3
3
【详解】解：把x0代入 y x1 得：y1，
3
3 3
把y0代入 y x1 得：0 x1，
3 3
解得： x 3 ，
∴ OA 3 ，OP1，
OA 3
∴tanAPO   3 ，
OP 1
∴APO60，
∴PAO 906030，PPO18060120，
1
∵PA平分PPO，
1 1
1
∴OPA  12060，
1 2
∴AAP906030，
1
∴AAPPAO，
1
∴AP AP，
1
∵PO AA ，
1
∴OA OA  211  3，
1
 
∴A 3,0 ，
1
∵PA  x轴，
1 1
∴P的横坐标为
3
，
1
同理得：OA 3 3  221  3，
2
此时P 的横坐标为  221  3；
2
OA 7 3  231  3，
3
此时P 的横坐标为  231  3；
3
……
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P的横坐标为 2n1  3；
n
故答案为： 2n1  3．
三、解答题（本大题共 10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（1）2sin3012 22
 0
（2）2cos60 3tan30 2sin45 1 2
1
【详解】解：（1）原式2 12 2
2
112 2
 2 ；（3分）
1 3 2
（2）原式2  3  2 1
2 3 2
1111
0．（3分）
4
18．（6分） 在菱形ABCD中，DEAB，sinA ，BE 2，求cosDBE的值．
5
【详解】
4
解：sinA ，
5
设DE4x，
则AD5x，AE3x，
BE 2，
AB3x2，（2分）
AB AD，
3x25x，
x1，
DE 4，
BD DE2BE2  4222 2 5 ，（2分）
BE 2 5
cosDBE   ．（2分）
BD 2 5 5
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19．（6分）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河
岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M 作MNAB， 垂足为N，
测得AB50m，MAB22，MBA67．
(1)设MN x米， 则AN的长为 ． (用含x的代数式表示)
(2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到0.1m )．
3 15 2 12 5 12
参考数据：sin22 ,cos22 ,tan22 ， sin67 ,cos67 ,tan67
8 16 5 13 13 5
【详解】（1）解：在RtAMN中，MAN 22，∠MNA90，
MN x
∴AN   2.5x米，故答案为：2.5x米；（2分）
tan∠MAN tan22
（2）解：在Rt△BMN 中，MBN 67，∠MNB90，
MN x 5
∴BN    x米，（2分）
tan∠MBN tan67 12
∵AB50m，
5
∴2.5x x50 ，（1 分）
12
解得x17.1，∴这段河流的宽度约为17.1米．（1分）
20．（8分）新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖．已知楼体外表面
的面积为 5103m2．
（1）所需的瓷砖块数 n与每块瓷砖的面积S（单位： m2）有怎样的函数关系？
（2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积
都是 80cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2:2:1，需要三种瓷砖各多少块？
【详解】解：（1）∵每块瓷砖的面积S=楼体外表的总面积÷所需的瓷砖块数n块，
5000
由此可得出S与n的函数关系式是：S= ；（3分）
n
（2）当S=80×10-4=8×10-3 m2时，
5000
n= =625000，（2分）
8103
设用灰瓷砖2x块，则白瓷砖、蓝瓷砖分别为2x 块、x块，
依据题意得出：x+2x+2x=625000，
解得：x=125000，（2分）
∴需要灰瓷砖250000 块，白瓷砖250000块、蓝瓷砖为125000块．（1分）
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21．（8分）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60方向直线延伸，测绘员在A处
测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，
测得小区M位于 C 的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设
的管道最短，并求AN的长．
【详解】解：如图所示，作MT∥AB，
根据题意，∠5=∠2=30°，TMC 160，
∴AMC 306090，（2分）
过M 作MN  AC，垂足为N，此时MN最小，（1分）
在RtACM 中，360430，
1
∴CM  AC1000米，（2分）
2
在Rt△NCM中，CMN 30，
1
∴CN  CM 500米，（2分）
2
∴AN  ACCN 20005001500（米）．（1分）
22.（8分）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天桥
的截横面，桥顶 平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为i1∶3， 长10m，天桥另一斜面AB
的坡角ABC4  5  ．  
(1)求点 D 到地面BC的距离；
(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面 的坡角变为30°，改建后斜面为AF ，
则斜面AF 的坡角F 30，试计算此改建需占路面的宽度F  B  的长(结果精确到0.1m)(参考数据
31.73)
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【详解】（1）作DH BC于点
H
，
ADBC，
∵斜面 的坡度为i1: 3,

1 3
tanDCH   ，
3 3
DCH 30,（2分）
1
DH  CD 5,
2
答：点D到地面BC的距离为5m；（1分）
（2）作 AGBC于点G，
∵天桥斜面 的坡角ABC45，
BG AG  D  H 5，（2分）
∵斜面AF 的坡角F 30，
AG
tanF  ，
BG
AG 5
FG   5 3
tan30 3 ，（2分）
3
FBFGBG 5 35 3.7m,（1分）答：此改建需占路面的宽度FB的长约为3.7m．
k 1
23．（10分）如图，已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象与一次函数y＝﹣ x+n的图象交于第二、
x 2
四象限内的点A（a，4）、B（8，b），过点A作x 轴的垂线，垂足为点C，△AOC 的面积为4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
1 k
（2）根据图象直接写出 xn 的解集．
2 x
【详解】解：（1）∵点A（a，4），
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∴AC＝4，
1
∵S ＝4，即 OCAC=4，
△AOC
2
∴OC＝2，（2分）
∵点 A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣2，4），（2分）
k 1
将A（﹣2，4）代入y＝ 得：k＝﹣8，代入y＝﹣ x+n 得：n＝3，（2分）
x 2
8 1
∴反比例函数的关系式为：y＝﹣ ，一次函数的解析式为y＝﹣ x+3；（1分）
x 2
1 k
（2）由图象可以看出﹣ x+n＜ 的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8．（3分）
2 x
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A，C 分别在
1 k
坐标轴上，点B 的坐标为(4,2)，直线y  x3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y 的图
2 x
象经过点M，N．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P 在 x轴上，且 OPM 的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【详解】（1）B(4,2)，四边形OABC是矩形，
OABC 2，（1分）
1
将y2代入y  x3得：x2，
2
M(2,2)，（2分）
k
把M 的坐标代入y 得：k 4，
x
4
反比例函数的解析式是y ；（2分）
x
4
（2）把x4代入y 得：y1，即CN 1，
x
S S S S
四边形BMON 矩形OABC AOM CON
1 1
42 22 414，（2分）
2 2
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1
由题意得： |OP|AO4，
2
AO2
|OP|4，（2分）
点
P
的坐标是(4,0)或(4,0)．（1分）
25．（12分）关于三角函数有如下的公式：
①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
③tan（α+β）＝
tantan
 1tantan2 0  ．
1tantan
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan
tan45tan60 1 3 (1 3)(1 3) 42 3
（45°+60°）＝ ＝ ＝ ＝ ＝(2 3)．
1tan45tan60 11 3 (1 3)(1 3) 2
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
（1）求cos75°的值；
（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A 处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C
的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC 为42m，求建筑物CD的高．
6 2
【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝ ﹣ ；（4 分）
4 4
（2）∵β＝75°，BC＝42米，
3
1
∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42×
tan45tan30
＝42× 3 ＝42（ 3+2）米，（3分）
1tan45gtan30 3
1
3
∵α＝60°，BC＝42米
∴A、D垂直距离为BC•tanα＝42
3
米，（3分）
∴CD＝AB﹣42
3
＝84米．（1分）
答：建筑物CD的高为84米．（1分）
26．（12分）参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数y x 的图
x1
象与性质．使用“描点法”作出函数y x 的图象．
x1
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列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．
1 2 4 3
x … 2 1 0 2 3 4 …
2 3 3 2
x 2 1 3 4
y … 0 1 2 4 3 2 …
x1 3 2 2 3
描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线
x1两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题：
(1)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x1时，y随x的增大而________．（填写“增大”或“减小”）
②函数y x 的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标）
x1
③小明发现，函数y x 的图象是双曲线，他觉得函数y x 的图象是由一个反比例函数的图象经
x1 x1
x
x11
1
过平移得来的，并进行了如下变形：y  1 ，请试着在平面直角坐标系中画出
x1 x1 x1
反比例函数y 1 的图象，并观察得出函数y x 的图象是由函数y 1 的图象经过怎样的平移变换得
x x1 x
到的：_____________．
(2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数
4x6
y 图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标．
2x1
(3)若直线ykx11(k 0)与函数y x 的图象相交于A、B两点，
A
的横坐标是m，
B
的纵坐标是
x1
n，则m1n1__________．
【详解】（1）解：图象如下： （2分）
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观察图象可得：
①当x1时，y随x的增大而减小；
故答案为：减小；（1 分）
②函数y x 的图象关于点1,1中心对称；故答案为：1,1；（1分）
x1
③列表如下：
x … 3 2 1 1 2 3 …
1 1 1 1 1
y …   1 1 …
x 3 2 2 3
1
画出y 的图象如图所示，
x
观察得出函数y x 的图象是由函数y 1 的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到；
x1 x
故答案为：向上平移1 个单位，再向右平移1个单位得到；（1分）
4x6 22x14 4
（2）y   2 ，（2分）
2x1 2x1 2x1
∵x,y均为整数，
∴2x11,2,4，
∴x0,1
∴y6,2，
∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为(0,6),(1,2)．（2分）
（3）由直线ykx11k 0可知直线经过点1,1，
∵直线ykx11k 0与函数y x 的图象相交于A、B两点，A 的横坐标是m，B的纵坐标是
x1
n，
∴A、B关于点1,1成中心对称，点A的纵坐标为n2，
x x11 1 1
由y  1 可知，n21 ，
x1 x1 x1 m1
1
∴n1 ，
m1
∵m1，
∴m1n11，
故答案为：1（3分）
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