青岛9上数学第1次月考第1-2章_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》9年级上册（语数外）（人教、北师等多版本）_9年级数学上

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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（青岛版）
（时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：青岛版九年级上册第1章~第2章。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，VAOB和△AOB位似，原点O是位似中心，位似比为1:2．若点B的坐标为4,2，则点
B
的
坐标为（ ）
A．2,1 B．2,1 C．1,2 D．1,2
3．如图，已知AB∥CD∥EF且AC:CE3:4，BD9，则
BF
的长为（ ）
A．12 B．13 C．18 D．21
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4．如图所示，V ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值是（ ）
1 2 5 5
A． B． C． D．1
3 5 5
1
5．利用数学课本上的计算器计算 sin52，正确的按键顺序是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
2
1  3 
6．V ABC中，若sinA  cosB 0，A，B是锐角，则V ABC的形状是（ ）
 
2 2
 
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．如图，一山坡的坡度 i1: 3 ．小明从山脚 A 出发，沿山坡到达点 B ，已知 A ， B 的水平距离 AC 100 3
米，则小明上升的高度是（ ）
200 3
A．100米 B．200米 C．
50 3
米 D． 米
3
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC3:2，连接AE交BD于点F ，则 DEF与△BAF
的面积之比为（ ）
A．2:5 B．3:5 C．9:25 D．4:25
9．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆AB的影子长BC 6m，通过上网搜
索资料得知此时此处的太阳高度角56，则旗杆AB的高度是（ ）
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A．6tan56m B．6cos56m
6
C． m D．6sin56m
tan56
10．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点， AD:AB 3:2 ，CP:BP1:2，连接EP并延长，交AB的延长
线于点F， AP 、 BE 相交于点O．下列结论：①EP平分CEB；② BF2 PBEF ；③EFEP4AOPO；
④ PFEF 2AD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．如图，同一时刻在阳光照射下，树 的影子BC3m，小明的影子BC1.5m，已知小明的身高
AB1.7m，则树高AB ．
1
12．若sin15 ，则锐角等于 度．
2
13．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知ACB为天桥的坡面与地面BC的夹角，
3
且 sinACB ，则坡面AC的长度为 ．
5
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14．如图，ABC中，D、E 分别是AB、AC上的点，要使 ADE∽ACB，需添加一个条件是 ．（只
要写一个条件）
15．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC60cm，高AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形
的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是 .
第15题图 第16题图
16．如图，V ABC是边长为 1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，
它的面积记为S ，取 BE 的中点E ，作E D∥FB，EF ∥EF，得到四边形E DFF ，它的面积记作S ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
照此规律，则S  ．
2023
三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题 10分）计算：
1
1
(1)6tan230 3sin602sin45； (2) 8   4cos45( 3)0．
2
18．（本题 9分）如图，在Rt△ABC中，C 90，AB13，BC 12，求tanB的值．
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19．（本题 9分）如图，AC，BD相交于点O，AD．求证：V AOB∽VDOC．
20．（本题10分）如图，AC与BD交于点O，OAOD，ABODCO，E为BC延长线上一点，过点E
作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)若 AB2 ，BC3，CE1，求EF的长．
21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，V ABC的三个顶点坐标分别为A2,1、B3,2、C1,4．
(1)以原点O 为位似中心，在第二象限内画出将V ABC放大为原来的2倍后的△ABC ．
1 1 1
(2)画出V ABC绕C 点逆时针旋转 后得到的A BC．
2 2
22．（本题12分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆BC，悬臂 和安装在D 处的摄
像头组成．如图2 是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂ABl，AB27cm，BC60cm，
CD66cm，固定ABC148，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
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图1 图2
(1)当悬臂CD与桌面l 平行时，BCD______°；
(2)悬臂端点C 到桌面l 的距离约为多少？
(3)已知摄像头点D 到桌面l的距离为45cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角
BCD的度数约为多少？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）
23．（本题 12分）【问题呈现】
如图，VABC和V ADE是有公共顶点的直角三角形，BAC DAE 90，点P 为射线BD、CE的交
点．探究CP，BD的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，若V ABC和V ADE是等腰直角三角形，求证：CPBD；
(2)如图2，若ABCADE30，（1）中结论CPBD是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，AB4，AD3，将V ADE绕点A 旋转使点E恰好落在线段AB
上，请直接写出此时 的长度．
PB
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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（青岛版）
（时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：青岛版九年级上册第1章~第2章。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．两图形形状不同，不符合题意；
B．两图形形状相同，符合题意；
C．两图形形状不同，不符合题意；
D．两图形形状不同，不符合题意．故选：B．
2．如图，VAOB和△AOB位似，原点O是位似中心，位似比为1:2．若点B的坐标为4,2，则点
B
的
坐标为（ ）
A．2,1 B．2,1 C．1,2 D．1,2
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【答案】A
【解析】∵VAOB和△AOB位似，原点O是位似中心，位似比为1:2，点B的坐标为4,2，
 1  1
∴点
B
的坐标为(4

，2 )，即2，1，故选：A．
 2  2
3．如图，已知AB∥CD∥EF且AC:CE 3:4，BD9，则
BF
的长为（ ）
A．12 B．13 C．18 D．21
【答案】D
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
BD AC
  ，
DF CE
 AC:CE 3:4，
9 3
  ，
BF9 4
解得：BF 21，故选：D．
4．如图所示，V ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值是（ ）
1 2 5 5
A． B． C． D．1
3 5 5
【答案】D
【解析】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则ADB90，ADBD3，
AD
∴tanB   1，故选：D．
BD
1
5．利用数学课本上的计算器计算 sin52，正确的按键顺序是（ ）
2
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
1
【解析】解：利用数学课本上的计算器计算 sin52，按键顺序是 .故选：B.
2
2
1  3 
6．V ABC中，若sinA  cosB 0，A，B是锐角，则V ABC的形状是（ ）
 
2 2
 
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
2
1  3 
【解析】解：∵sinA  cosB 0，
 
2 2
 
1 3
∴sinA ， cosB ，
2 2
∴A30，B=30，
∴C120，
故V ABC为等腰三角形．故选：C
7．如图，一山坡的坡度i1: 3．小明从山脚 A 出发，沿山坡到达点 B ，已知 A ， B 的水平距离AC 100 3
米，则小明上升的高度是（ ）
200 3
A．100米 B．200米 C．50 3米 D． 米
3
【答案】A
BC
【解析】解：∵山坡AB的坡度为i1: 3 ，AC 100 3米．
AC
∴解得：BC 100(米)，
则小明上升的高度是100米，故选：A．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC3:2，连接AE交BD于点F ，则 DEF与△BAF
的面积之比为（ ）
A．2:5 B．3:5 C．9:25 D．4:25
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【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD AB，
∴△DEF∽△BAF ，
∵DE:EC3:2， ∴DE:ABDE:CD3:5.
∴S ：S 32：52 9：25．故选：C．
DEF BAF
9．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆AB的影子长BC 6m，通过上网搜
索资料得知此时此处的太阳高度角56，则旗杆AB的高度是（ ）
A．6tan56m B．6cos56m
6
C． m D．6sin56m
tan56
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，ABC90，C56，BC6m ，
AB
tanC ，
BC
ABBCtanC6tan56m．故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，E 为DC的中点， AD:AB 3:2 ，CP:BP1:2，连接EP并延长，交AB的延长
线于点F， AP 、 BE 相交于点O．下列结论：①EP平分CEB；② BF2 PBEF ；③EFEP4AOPO；
④ PFEF 2AD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】解：矩形ABCD中，ABCD,ADBC,C ABC PBF 90，CD∥AB，
∵E为DC的中点，
∴AB2CE，
∵ AD:AB 3:2 ，
∴BC AD 3CE ，
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∴ BE BC2CE2 2CE AB ，
∵CD∥AB，
∴CEP∽BFP，CEPF，
∴CE:BF CP:BP1:2，
即BF 2CEBE，
∴BEF F CEP，
∴EP平分CEB，故①正确；
CE 1 3
在RtBCE中，tanCBE    ，
BC 3 3
∴CBE30，
∴CEB60，
∴BEF F CEP30CBE，
∵BEPFEB，
∴ BEP∽FEB，
BE PE
∴  ，
EF BE
即 BE2 PBEF ，
∴ BF2 PBEF ，故②正确；
∵BF 2CE AB，ABCB，
∴APPF ，
∴BAPF 30，
∵ABOABCCBE60，
∴AOB90，
3
∴ AO 3OB,PO OB ，BF  AB2OB，
3
3
∴ AOPO 3OB OBOB2，
3
3 2 3 4 3
在Rt△BFP中， BP BF  OB ， PF 2PB OB ，
3 3 3
3 2 3
∴ CP OB ，∴ PE 2PC  OB ，∴ EF 2 3OB ，
3 3
2 3
∴EFEP  2 3OB OB  4OB2 4AOPO ，故③正确；
3
4 3
∴PFEF  OB2 3OB 8OB2，
3
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∵AB2OB， AD:AB 3:2 ，
∴ AD 3OB ，∴ 2AD2 6OB2，
∴ PFEF  2AD2，故④错误．故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．如图，同一时刻在阳光照射下，树 的影子BC3m，小明的影子BC1.5m，已知小明的身高
AB1.7m，则树高AB ．

【答案】3.4m
x 1.7
【解析】解：设树高是 x米，则  ，
3 1.5
解得：x3.4．
故答案为：3.4m．
1
12．若sin15 ，则锐角等于 度．
2
【答案】15
【解析】解：∵sin15 1 ，sin30 1 ，
2 2
∴1530，
解得：15，故答案为：15．
13．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知ACB为天桥的坡面与地面BC的夹角，
3
且 sinACB ，则坡面AC的长度为 ．
5
【答案】10m
3 AB
【解析】解：由题知，sinACB  ，AB6m，
5 AC
6 3
  ，
AC 5
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解得AC 10m，故答案为：10m．
14．如图，ABC中，D、E 分别是AB、AC上的点，要使ADE∽ACB，需添加一个条件是 ．（只
要写一个条件）
AD AE
【答案】ADEC或AEDB或 
AC AB
【解析】解： A是公共角，
AD AE
要使ADE∽ACB，可添加：ADEC或AEDB或  等．
AC AB
AD AE
故答案为：ADEC或AEDB或  等（此题答案不唯一）．
AC AB
15．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC60cm，高AD40cm，把它加工成正方形零件，使正方形
的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件EGHF的边长是 .
【答案】24cm
【解析】解：设正方形零件的边长为xcm．则EG  EF  x，
由题可知，四边形KEGD是矩形，
∴KDEGx，
∵AD AKKD，AD40，
∴AK 40x，
∵AD BC ，
∴ADB90，
∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴AKE90，
∴AK EF，
∵BC∥EF，
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∴AEF∽ABC ，
EF AK
∴  ，
BC AD
x 40x
∴  ，
60 40
解得x24． 故答案为：24cm．
16．如图，V ABC是边长为 1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC ，得到四边形EDAF，
它的面积记为S ，取 BE 的中点E ，作E D∥FB，EF∥EF，得到四边形E DFF ，它的面积记作S ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
照此规律，则S  ．
2023
3
【答案】
24047
【解析】解：BC的中点E，ED∥AB，
DE CE 1
∴   ，
AB CB 2
1
DE AB，
2
ED∥AB，
CDE∽CAB ，
2 2
S DE 1 1
 CDE      ，
S  AB 2 4
CAB
1 3 3
ABC的面积是 1  ，
2 2 4
1 3
S   ，
CDE 4 4
S 1
推理 BEF  ，
S 4
BAC
1 3
S   ，
BEF 4 4
3 1 3 1 3 1 3
S        ，
1 4 4 4 4 4 2 4
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3
同理 S  S    ， S     ， S      ，…，
2 2 BEF 2 4 4 3 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4
1 1 1 1 3 1 2 3 3 3
S      （2022个 ）  .故答案为 ．
2023 2 4 4 4 4 4 42024 24047 24047
三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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17．（本题10分）计算：
(1)6tan230 3sin602sin45；
1
1
(2) 8   4cos45( 3)0．
2
【解析】（1）解：6tan230 3sin602sin45
2
 3 3 2
6   3 2
 
 3  2 2
1 3
6   2
3 2
1
  2．
2
1
1
（2）解： 8
 
4cos45( 3)0
2
2
2 224 1
2
2 22 21
1．
18．（本题9分）如图，在Rt△ABC中，C90，AB13，BC 12，求tanB的值．
【解析】解：在Rt△ABC中，C90，AB13，BC 12，
由勾股定理得 AC AB2BC2  132122 5.
AC 5
则tanB  .
BC 12
19．（本题9分）如图，AC，BD相交于点O，AD．求证：V AOB∽VDOC．
【解析】解：∵AC，BD交于点O，
∴BOADOC，
∵AD，
∴V AOB∽VDOC.
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20．（本题10分）如图，AC与BD交于点O，OAOD，ABODCO，E为BC延长线上一点，过点
E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)若 AB2 ，BC3，CE1，求EF的长．
【解析】（1）解：∵OAOD,ABO DCO ，
又∵AOBDOC ，∴AOB≌DOCAAS；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，AB2,BC 3,CE 1，
∴ABDC  2，BE BCCE 314，
EF BE EF 4
∵EF∥CD，∴BEF∽BCD，∴  ，∴  ，
CD BC 2 3
8 8
∴EF  ，∴EF的长为 ．
3 3
21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，V ABC的三个顶点坐标分别为A2,1、B3,2、C1,4．
(1)以原点O 为位似中心，在第二象限内画出将V ABC放大为原来的2倍后的△ABC ．
1 1 1
(2)画出V ABC绕C 点逆时针旋转90 后得到的A BC．
2 2
°
【解析】（1）解：如图所示，△ABC 即为所求；
1 1 1
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（2）解：如图所示，A BC即为所求．
2 2
22．（本题12分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂 ，连杆BC，悬臂 和安装在D 处的
摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图   ．已知支撑臂AB  l  ，AB27cm，
BC60cm，CD66cm，固定ABC148，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
图1 图2
(1)当悬臂CD与桌面l 平行时，BCD______°；
(2)悬臂端点C 到桌面l 的距离约为多少？
(3)已知摄像头点D 到桌面l的距离为45cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角
BCD的度数约为多少？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）
【解析】（1）解：过点 B作直线MN∥l，
∵MN∥l，∴ABN 90，
∵MB∥l，∴MN∥CD，
BCDCBN 1489058，故答案为：58.
（2）解：过点 C作CF l，垂足为 F， 过点 B作BN CF， 垂足为N， 过点D 作 DM CF,
垂足为M， 设DM 与BC交于点G，如图，
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则FN  AB27cm，BN  AF ，DM EF，DE MF ，ABN 90，DM∥l，
∵ABC148，CBN ABCABN 14890 58,
在RtCBN 中，BC60cm，CN BCsin58600.8551cm,
∴CF CNNF 512778cm，
∴悬臂端点 C 到桌面l的距离约为78cm．
（3）解：过点D作DE l ， 垂足为E， 如图，
则FN  AB27cm，BN  AF ，DM EF，DE MF ，ABN 90，DM l，
∵摄像头点 D到桌面l 的距离为45cm，
∴MF 45cm，
∴CM CF MF  784533(cm)，
在Rt△CDM中，CD66cm，CM 33cm，
CM 1
sinCDM   ,
CD 2
∴CDM 30，DCM 60，
在RtCBN 中，CBN 58，
∴BCN 32，
∴BCDDCM BCN 603228．
23．（本题12分）【问题呈现】
如图，V ABC和VADE是有公共顶点的直角三角形，BAC DAE 90，点P为射线BD、CE的交
点．探究CP，BD的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，若V ABC和V ADE是等腰直角三角形，求证：CPBD；
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(2)如图2，若ABCADE30，（1）中结论CPBD是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，AB4，AD3，将V ADE绕点A 旋转使点E恰好落在线段AB
上，请直接写出此时 的长度．
PB
【解析】（1）解：设AB、CP交于点O，如图1.
∵V ABC和VADE是等腰直角三角形，
∴ADAE,ABAC ，
AD AE
∴  ，
AB AC
∵BAC DAE 90，
∴DABBAEBAECAE90，
∴DABCAE，
AD AE
 
在 ADB和△AEC中，AB AC ，∴△ADB∽△AEC ，
 DABCAE
∴ABDACE，
∵OAC90，
∴ACEAOC90，
∵BOP AOC，
∴ABDBOP90，
∴OPB90，
即CPBD．
（2）解：成立，理由如下：
设AB、CP交于点O，如图2，
∵ADE ABC 30， BAC DAE 90，
AD AE
∴△ABC∽△ADE，∴  ，
AB AC
∵BAC DAE 90，
∴DABBAEBAECAE90，∴DABCAE，
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AD AE
 
在 ADB和△AEC中，AB AC ，∴△ADB∽△AEC ，∴ABDACE，
 DABCAE
∵OAC90，∴ACEAOC90，
∵BOP AOC，∴ABDBOP90，∴OPB90，
即CPBD．
（3）解：如图，当点 E在AB上时，
由（1）的结论可得ABDACE，
PB BE
又∵PEBAEC，∴△PBE∽△ACE ，∴  ，
AC CE
∵AB4，AD3，∴AE  AD3,AC  AB4，
∴ CE AE2AC2  3242 5 ，BE ABAE  431，
BEAC 14 4
∴PB   .
CE 5 5
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