苏科9上数学第1次月考第1-2章_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》9年级上册（语数外）（人教、北师等多版本）_9年级数学上_苏科第一次月考

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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题：本题共6 小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2 y11 B．x2 3 C．x2130 D．2x10
x
2．用配方法解一元二次方程 x24x10 ，下列变形正确的是（ ）
A．(x2)230 B．(x4)2 15
C．(x2)2 3 D．(x2)2 3
3．如图，在V ABC中，ACB90，AC 4，点D在边AB上，且AD5，以AC为直径作O，设线段CD
的中点为P，则点P与O的位置关系是（ ）
A．点P在O内 B．点P在O上 C．点P在O外 D．无法确定
第3题 第5题
4．已知x、x 是关于x的方程 x2ax40 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x  x B．x x 0 C．x x 0 D．x 0,x 0
1 2 1 2 1 2 1 2
5．如图，将O沿弦AB折叠，点C在AmB 上，点D在AB 上，若ACB73，则ADB的值为（ ）
A．107 B．108 C．110 D．106
6．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在O上，且AB与O相切，若O的半径为1，则菱形ABCD的
周长为（ ）
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A． 4 2 B．4 3 C．6 D．8
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
7．关于y的方程y(y2)4(y2)的解是 ．
8．当m0时，关于x的方程 x22xm0 根的情况是 ．
9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程 x26x80 的一个根，则这个三角形的周长
是 ．
10．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH 如图摆放，使得C、E 两点刚好重合，
且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
第10题 第12题 第13题
11．已知O的半径为2，V ABC内接于O， AB2 ，则∠ACB ．
12．如图，PA与O相切于点
A
，PO与弦 相交于点C，OBOP，若OB3，OC1，则PA的长为 ．
13．如图所示，点A是半圆上一个三等  分  点，点B是AN 的中点，点P是直径MN上一动点，若O的
直径为2，则APBP的最小值是 ．
14．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，O为某
紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在O上，直线l过点O，且lAB于点D，交O于点C．若AB12，
CD2，则这个紫砂壶的壶口半径 r 的长为
15．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在V ABC中，AB AC10，BC16，
如果V ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r 的取值范围
是 ．
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第15题 第16题
16．如图，菱形ABCD中， AB2 ，DEBC于点E，F为CD的中点，连接AE,AF,EF．若AFE90，
则△AEF 的外接圆半径为 ．
三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本小题6分）解下列方程：
(1)x22x40； (2)xx33x．
18．（本小题5分）如图，A，P，B，C 是O上的四个点，APCCPB 60 ．求证：V ABC是等边
三角形．
19．（本小题5 分）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生
活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，
每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不
低于 180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
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20．（本小题6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，BAC ADB．
(1)求BAD的度数；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F ，若AC AD，BF 2，求此圆半径的长．
21．（本小题6分）如图，AB、CD是O的两条弦，AC与BD相交于点E，ABCD．
(1)求证：ACBD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EOBC．
22．（本小题4分）已知关于x的一元二次方程x22xm10有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设p是方程的一个实数根，且满足(p22p3)(m4)7 ，求m的值．
23．（本小题6分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做
这个损矩形的直径．
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(1)如图①，在损矩形ABCD中，ABC ADC 90，则该损矩形的直径是线段 ．
(2)在图①中线段AC上确定一点 P，使损矩形的四个顶点都在以点P 为圆心的同一个圆上（即损矩
形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要
保留作图痕迹）
24．（本小题6分）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多定理：
如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，垂足为M，如果直线MEBC，垂足为 E，并且
交边 于点 F，那么AF FD．

证明：∵ACBD，MEBC，
∴CBDBCM 90，CMEBCM 90．
∴CBDCME．
又∵CBD① ，（同弧所对的圆周角相等）
CMEAMF，
∴CADAMF．
∴AF ② ．
…
任务：
(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______；
(2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：
如图，已知Rt△ABC中，BAC 90，AB AC2，BC，AC分别交O于点D，E，连接AD，BE交
于点 P．过点P作MN∥BC，分别交DE，AB于点M，N．若 ADBE ，求AN的长．
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25．（本小题6分）关于x的一元二次方程ax2bxc0a0如果有两个不相等的实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
(1)方程①x26x80，②x2x20中，是“倍根方程”的序号______；
(2)若一元二次方程x29xc0是“倍根方程”，求出c的值；
2ab
(3)若x2axb0a0是“倍根方程”，求代数式 的值．
ab
26．（本小题12分）
在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点 P从点A 出发，沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动，
同时点Q从点B 出发沿BC边向点C 以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C 两点后就
停止移动，设两点移动的时间为t 秒t0，回答下列问题：
(1)如图1，当t 为几秒时，PBQ的面积等于8cm2？
3
(2)如图2，当t 秒时，试判断VDPQ的形状，并说明理由；
2
(3)如图3，以Q 为圆心，PQ为半径作Q．
①在运动过程中，是否存在这样的t 值，使Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相
切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
②若Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出 t 的取值范围．
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2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册第1章-第2章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题：本题共6 小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2 y11 B．x2 3 C．x2130 D．2x10
x
【答案】C
【详解】解：A、方程x2 y11是二元二次方程，故本选项错误；
1
B、方程x2 3是分式方程，故本选项错误；
x
C、方程 x2130 是一元二次方程，故本选项正确；
D、方程2x10是一元一次方程，故本选项错误．故选：C．
2．用配方法解一元二次方程 x24x10 ，下列变形正确的是（ ）
A．(x2)230 B．(x4)2 15
C．(x2)2 3 D．(x2)2 3
【答案】A
【详解】解： x24x10 ，
配方得： x24x430 ，
∴x22 30，故选：A．
3．如图，在V ABC中，ACB90，AC 4，点D在边AB上，且AD5，以AC为直径作O，设线段CD
的中点为P，则点P与O的位置关系是（ ）
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A．点P在O内 B．点P在O上 C．点P在O外 D．无法确定
【答案】C
【详解】解：连接OP，
∵以AC为直径作O，线段CD的中点为 P，
∴OP是CAD的中位线，
1
∴OP= AD=2.5，
2
1
∵AOCO AC  2，
2
∴22.5，
∴点 P与O的位置关系是点P 在O外．故选：C．
4．已知x、x 是关于x的方程 x2ax40 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x  x B．x x 0 C．x x 0 D．x 0,x 0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【详解】解：A．Q (a)2 41(4)a2 160，
∴x  x ，结论A正确，符合题意；
1 2
B、∵x、x 是关于x的方程 x2ax40 的两根，
1 2
∴x x a，
1 2
∵a的值不确定，
∴B 结论不一定正确，不符合题意；
C、∵x、x 是关于x的方程 x2ax40 的两根，
1 2
∴x x 4，结论C 错误，不符合题意；
1 2
D、∵x x 4，
1 2
∴x、x 异号，结论D错误，不符合题意．故选：A．
1 2
5．如图，将O沿弦AB折叠，点C在AmB 上，点D在AB 上，若ACB73，则ADB的值为（ ）
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A．107 B．108 C．110 D．106
【答案】A
【详解】解：作AmB 所对的圆周角AEB，如图，
Q ACBAEB180 ，
AEB18073107 ，
O沿弦AB折叠，点C在AmB 上，点D在AB 上，
ADBAEB107 ．故选：A
6．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在O上，且AB与O相切，若O的半径为1，则菱形ABCD的
周长为（ ）
A． 4 2 B．4 3 C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：连接OB、OD，
ABCD是菱形，
AD AB ，
OAOA，ODOB，
△OAD≌△OAB，
ODAOBA，
AB
与O相切，
OBAB，
OBAODA90，
即OBBC，点
B
在O上，
AD与O相切．
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∴BOD 2BCD 2BAD ，
∵BODBAD3609090180，
∴BAD60，
1
∴BAO BAD30，
2
∵OB1，
∴AO2，
∴ AB 22 12  3 ，
∴菱形ABCD的周长为4 3，故选：B．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
7．关于y的方程y(y2)4(y2)的解是 ．
【答案】y 2，y 4
1 2
【详解】解：y(y2)4(y2)，
(y2)(y4)0，
y20或y40，
解得y 2，y 4．故答案为：y 2，y 4．
1 2 1 2
8．当m0时，关于x的方程 x22xm0 根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【详解】解：关于x的方程 x22xm0 ，
∴b24ac2241m44m，
∵m0，
∴44m0，
∴关于x的方程 x22xm0 有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．
9．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程 x26x80 的一个根，则这个三角形的周长
是 ．
【答案】13
【详解】解：解 x26x80 得：x 2，x 4，
1 2
∵一个三角形的两边长分别为3和6，
∴设第三边长为a，则63a63，即3a9，
∵第三边是方程 x26x80 的一个根，
∴a4，
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∴这个三角形的周长是36413，故答案为：13．
10．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH 如图摆放，使得C、E 两点刚好重合，
且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【答案】
2 5
【详解】解：由题意可知，ABBC2，CFCH HG4，
取CH 的中点O，则OC OH 2，OB4，
连接OA，OF ，OG，
由勾股定理可得： OA AB2OB2 2 5 ， OFOG2 5 ，
∴OAOFOG，
即：点O为A、F 、G三点所作圆的圆心，
则该圆的半径为 ，故答案为： ．
2 5 2 5
11．已知O的半径为2，V ABC内接于O， AB2 ，则∠ACB ．
【答案】30或150
【详解】解：如图，
∵ABOAOB2，
∴VAOB是等边三角形，
∴AOB60，
当点 C 在优弧AB上时，
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1
∴ACB AOB 30 ，
2
当点 C 在劣弧AB上时，记为C，
∴ACBACB180，
∴ACB18030150，
∴ACB的度数为30或150．故答案为：30或150．
12．如图，PA与O相切于点
A
，PO与弦 相交于点C，OBOP，若OB3，OC1，则PA的长为 ．

【答案】4
【详解】解：连接OA，如图，
∵PA与O相切于点
A
，
∴OAPA，
∴OAP90，
∵OBOP，
∴BOC90，
∵OAOB，
∴BOAB，
∵BOCB90，OABPAC 90，
∴OCBPAC，
∵OCBPCA，
∴PCAPAC，
∴PAPC，
设PAx，则PCx，POx1，
∵OAOB3，
∴32x2 x12，
解得x4，
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即PA的长为4，故答案为：4．
13．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN 的中点，点P是直径MN上一动点，若O的
直径为2，则APBP的最小值是 ．
【答案】
2
【详解】解：作点
B
关于MN的对称点B，连接AB交MN于点
P
，连接BP，
此时APBP AB最小，连接OB，如图所示．
点
B
和点B关于MN对称，
PBPB．
点
A
是半圆上一个三等分点，点
B
是AN 的中点，
AON 180360，BONAON 2 30 ，
AOBAONBON 90 ．
OAOB1，
AB 11 2 ．故答案为： 2 ．
14．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，O为某
紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在O上，直线l过点O，且lAB于点D，交O于点C．若AB12，
CD2，则这个紫砂壶的壶口半径 r 的长为
【答案】10
【详解】解： l  AB，AB12，
1
BDDA AB6，
2
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CD2，
ODr2，
此时有r262 r22，
解得：r10，
紫砂壶的壶口半径r的长为10，故答案为：10．
15．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在V ABC中，AB AC10，BC16，
如果V ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r 的取值范围是 ．
【答案】r 3.2或 4r2 17
【详解】解：设点O为V ABC的重心，
∵AB AC 10,BC 16,AD为中线，
ADBC,BADCAD,
1
∴BDCD BC  8,AD AC 2CD 2 10282 6,
2
连接BO,CO,则OD2,AO4,
∴ BO BD2OD2  8222 2 17 ,
过点O作OE AC,OF  AB,于点E，F，
∴OEOF
1 1 1 1
∵S  BCAD  166 48, S  BCOD 162 16,
ABC 2 2 BOC 2 2
1 1
∴S S  481616 ACOE,
AOB AOC 2 2
∴OE 3.2,
∴V ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r 的取值范围是r 3.2或
4r2 17
故答案为：r 3.2或 4r2 17
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16．如图，菱形ABCD中， AB2 ，DEBC于点E，F为CD的中点，连接AE,AF,EF．若AFE90，
则△AEF 的外接圆半径为 ．
1 3
【答案】
2
【详解】解：如图，延长EF 交AD的延长线于G，
∵四边形ABCD是菱形， AB2 ，
∴ADCD AB2，AD∥BC，
∴GDF C，
∵F 是CD的中点，
∴DF CF，
GDF C

在 DFG和△CFE中，DF CF ，

DFGCFE
∴DFG≌CFEASA，
∴DGCE,GF EF，
∵AFE90，
∴AF EF，
∴
AF
垂直平分EG，
∴AE  AG，
设DGCEx，则AE AG ADDG2x，
∵AGBC，DEBC，F 是CD的中点，
1
∴DE AG，EF  CD1，
2
∴EGEFGF 2EF 2，
在RtADE和RtVDEG中，由勾股定理得： AE2AD2 DE2 EG2DG2，
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即2x222 22x2，
解得x 31或x 310（不符合题意，舍去），
∴AE 2x2 311 3 ，
又∵AFE90，
1 1 3
∴△AEF 的外接圆半径为 AE  ，
2 2
1 3
故答案为： ．
2
三、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本小题6分）解下列方程：
(1)x22x40； (2)xx33x．
【详解】（1）解：x22x40，
x22x4，
x22x15 ，
x12 5，
x1 5，
所以x 1 5，x 1 5．……………………3分
1 2
（2）xx33x，
xx3x30，
x3x10，
x30或x10，
所以x 3，x 1．……………………6分
1 2
18．（本小题5分）如图，A，P，B，C 是O上的四个点，APCCPB 60 ．求证：V ABC是等边
三角形．
【详解】证明：APCCPB60，
ABC APC 60，BAC CPB60，……………………4分
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ABC 是等边三角形．……………………5分
19．（本小题5 分）每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生
活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，
每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不
低于 180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【详解】解：设每辆轮椅降价x元，由题意，
 x 
得200x 60 412160．……………………2分
 10 
解得x 10，x 40．……………………3分
1 2
200x180，
0 x20．
x 40（不合题意，舍去）．……………………4 分
2
10
60 464（辆）．
10
所以，这天售出了64 辆轮椅．……………………5分
20．（本小题6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分ABC，BAC ADB．
(1)求BAD的度数；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F ，若AC AD，BF 2，求此圆半径的长．
【详解】（1）解：∵BAC ADB，BAC CDB，
∴ADBCDB，
∵BD平分ABC，
∴ABDCBD ，……………………1分
∵BDBD，
∴△ABD≌△CBD，
∴BADBCD，ADCD ，……………………2分
∵四边形ABCD是圆内接四边形．
∴BADBCD180 ．
∴BAD90；……………………3分
（2）∵BAD90，
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∴BD是圆的直径，
∵ADCD,AC AD，
∴AC CD AD，
∴ ACD是等边三角形，……………………4分
∴ACDCAD60，
∴ABDCBD60，
∴FBC60，
∵CF∥AD，
∴FBAD90，
∴F 90,BCF 30，
∴BC2BF 4，……………………5分
∵BCD90,BDC180BCDCBD30，
∴BD2BC8，
∴圆的半径是4．……………………6分
21．（本小题6分）如图，AB、CD是O的两条弦，AC与BD相交于点E，ABCD．
(1)求证：ACBD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EOBC．
【详解】（1）证明：∵ABCD，
∴ABCD ，
∴ABADCDAD ，
即 BD AC ．
∴ACBD．……………………3分
（2）证明：连接OB、OC、BC．
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∵ABCD，
∴ABCD ，
∴ACBDBC．
∴EBEC，
∵OBOC，
∴E、O都在BC的垂直平分线上．
∴EOBC．……………………6分
22．（本小题4分）已知关于x的一元二次方程x22xm10有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设p是方程的一个实数根，且满足(p22p3)(m4)7 ，求m的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 x22xm10 有两个实数根，
∴b24ac44(m1)0 ，
解得m2；……………………2 分
（2）解：∵p是方程的一个实数根，则p22pm10，则p22p34m ，
又(p22p3)(m4)7 ，即(4m)(4m)7，
解得：m3（舍去）或3．
故m的值为3．……………………4分
23．（本小题6分）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做
这个损矩形的直径．
(1)如图①，在损矩形ABCD中，ABC ADC 90，则该损矩形的直径是线段 ．
(2)在图①中线段AC上确定一点 P，使损矩形的四个顶点都在以点P 为圆心的同一个圆上（即损矩
形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要
保留作图痕迹）
【详解】（1）解：根据损矩形直径的定义，可得线段AC是损矩形ABCD的直径，
故答案为：AC；……………………2分
（2）解：如图，作线段AC的垂直平分线，交AC于 P，连接BP，DP，以P为圆心，
AP
为半径作
圆即可，
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点P为AC中点，
1
PAPC AC．
2
ABC ADC 90，
1
BPPC AC，
2
PAPBPCPD，
1
点A、B、C、D在以P 为圆心， AC为半径的同一个圆上．……………………6分
2
24．（本小题6分）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多定理：
如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，垂足为M，如果直线MEBC，垂足为 E，并且
交边 于点 F，那么AF FD．

证明：∵ACBD，MEBC，
∴CBDBCM 90，CMEBCM 90．
∴CBDCME．
又∵CBD① ，（同弧所对的圆周角相等）
CMEAMF，
∴CADAMF．
∴AF ② ．
…
任务：
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(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______；
(2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：
如图，已知Rt△ABC中，BAC 90，AB AC2，BC，AC分别交O于点D，E，连接AD，BE交
于点 P．过点P作MN∥BC，分别交DE，AB于点M，N．若 ADBE ，求AN的长．
【详解】（1）证明：∵ACBD，MEBC，
∴CBDBCM 90，CMEBCM 90．
∴CBDCME．
又∵CBDCAD ，（同弧所对的圆周角相等）
CMEAMF ，
∴CADAMF．
∴AF MF ．
…
故答案为：①CAD；②MF；……………………3分
（2）解：四边形ABDE是O内接四边形，
BACBDE180，
BAC90，
BDE 90，即DECB，
NM∥CB，
MN DE，
ADBE，
AN BN ，
1
PN  AB1．……………………6分
2
25．（本小题6分）关于x的一元二次方程ax2bxc0a0如果有两个不相等的实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
(1)方程①x26x80，②x2x20中，是“倍根方程”的序号______；
(2)若一元二次方程x29xc0是“倍根方程”，求出c的值；
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2ab
(3)若x2axb0a0是“倍根方程”，求代数式 的值．
ab
【详解】（1） x26x80 的根为x 2，x 4，
1 2
x 2x ，
2 1
x26x80 是“倍根方程”；
x2x20的根为x 2，x 1，
1 2
x 2x ，
1 2
x2x20 不是“倍根方程”；故答案为：①；……………………3分
（2）由一元二次方程 x29xc0 是“倍根方程”，设 x29xc0 的两个根为k和2k，
k2k 9
 ，
k2k c
解得c18；
经检验，c18符合题意，
c的值为18；
b
（3）由(x2)(axb)0(a0) 得x 2，x  ，
1 2 a
(x2)(axb)0(a0) 是“倍根方程”，
b b
 1或 4，即ab或b4a，
a a
2ab 2aa 1
当ba时，   ；
ab aa 2
2ab 2a4a 2
当b4a时，   ；
ab a4a 5
2ab 1 2
代数式 的值为 或 ．……………………6分
ab 2 5
26．（本小题12分）
在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，
同时点Q从点B 出发沿BC边向点C 以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C 两点后就
停止移动，设两点移动的时间为t 秒t0，回答下列问题：
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(1)如图1，当t 为几秒时，PBQ的面积等于8cm2？
3
(2)如图2，当t 秒时，试判断VDPQ的形状，并说明理由；
2
(3)如图3，以Q 为圆心，PQ为半径作Q．
①在运动过程中，是否存在这样的t 值，使Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相
切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
②若Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出 t的取值范围．
【详解】（1）解：当运动时间为t 秒时，PAtcm，BQ2tcm，
PB6tcm，BQ2tcm，
PBQ的面积等于8cm2，
1 1
 PBBQ 6t2t，
2 2
1
 6t2t 8，
2
解得：t 2，t 4，
1 2
答：当t 为 2秒或4秒时，PBQ的面积等于8cm2；……………………3分
（2）解：VDPQ的形状是直角三角形，
理由如下：
3 3
当t 秒时，AP cm，QB3cm，
2 2
3 9
PB6  cm，CQ1239cm，
2 2
在RtPDA中， PD2 DA2PA2
2
3
122

2
585
 ，
4
同理，在Rt△PBQ和Rt△DCQ中，
117
由勾股定理得DQ2 117，PQ2  ，
4
117 585
117  ，
4 4
DQ2PQ2 PD2，
VDPQ是直角三角形；……………………6分
（3）解：①存在；
（ⅰ）由题意可知Q与AB、BC不相切；……………………7分
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（ⅱ）如图1，当t 0时，点P与点A 重合时，点B与点Q重合，
DAB90，
DPQ90，
DPPQ，
DP为Q的切线；……………………8分
（iii）当Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示，
由题意可知：PB6tcm，BQ2tcm，PQCQ122tcm，
在Rt△PQB中，由勾股定理得，PQ2  PB2QB2，
即6t22t2 122t2，
解得：t =18+12 3，t 1812 3（舍去），
1 2
综上，当t 0或t=18+12 3时，Q与四边形DPQC的一边相切；……………………9分
②（i）当t 0时，Q与四边形DPQC有两个公共点；……………………10分
（ii）如图3，当Q经过点D时，Q与四边形DPQC有两个公共点；
由题意知：PB6tcm，BQ2tcm，CQ122tcm，DC6cm，
由勾股定理得：DQ2 DC2CQ2 62122t2，
PQ2  PB2QB26t22t2，
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DQPQ，
DQ2 PQ2，
即：62122t2 6t22t2，
整理得：t236t1440，
解得：t 6 1318，t 6 1318（舍去），
1 2
当0t6 1318时，Q与四边形DPQC有三个公共点．……………………12分
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