文档文本内容
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知关于x 的一元二次方程x2+5x﹣m＝0 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1
B．（x﹣1）2＝1
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
4．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4 万人，五月份
为5.76 万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．4（1+x）＝5.76
B．4（1+x）2＝5.76
C．4（1+x）+4（1+x）2＝5.76
D．5.76（1+x）2＝4
5．抛物线y＝x2向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2
D．y＝（x﹣1）2+2
6．将抛物线C1：y＝（x﹣2）2向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函
数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+2
B．y＝（x﹣5）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2
D．y＝（x+1）2﹣2
7．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD＝25°，△ABD 经旋转后到达△ACE 的位
置，那么旋转了（ ）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
8．已知函数y＝2x2﹣4ax+5，当x≥2 时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥2
B．a＜2
C．a≤2
D．a＞2
9．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D，C 分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则
∠AED′等于（ ）
A．70°
B．65°
C．50°
D．25°
10．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1 时，y 随x 的增大而增大
11．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
12．二次函数y＝﹣ax2+bx 的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
13．抛物线y＝3（x﹣2）2+4 的顶点坐标是
．
14．一元二次方程（x+1）2＝9 的两根分别为
．
15．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1 时，y 随x 的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
16．点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
17．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为81 元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列
出方程为
．
18．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N 的坐标为
．
三、解答题（本题共8 小题，共66 分．第19-20 题每题6 分，第21-23 题每题8 题，其他每题10 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6 分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（6 分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）
（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4 个单位，再向上平移2 个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，
并写出点C2的坐标；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC 绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
22．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m 的值．
23．（8 分）如图，把一块长为40cm，宽为20cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸
板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求
剪去小正方形的边长．
24．（10 分）某服装店以每件30 元的价格购进一批T 恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试
销发现，在每件40 元的基础上涨价，则每月销售量y（件）与每件涨价x（元）符合一次函数关系，
如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．（10 分）把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1 所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE 绕点A 按
逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D 在线段BE 上，且BC＝13，DE＝7，求CE 的长．
（3）当旋转角α＝
时，△ABD 的面积最大．
26．（10 分）已知，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y 轴交于点C，与x 轴交于A，B 两点，点A 在点B
左侧．点B 的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）直接写出C 点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求△ADC 面积的最大值．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
二、单项选择题（本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．已知关于x 的一元二次方程x2+5x﹣m＝0 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
【答案】A
【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1
B．（x﹣1）2＝1
C．（x+1）2＝2
D．（x﹣1）2＝2
【答案】D
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
4．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4 万人，五月份
为5.76 万人．设平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．4（1+x）＝5.76
B．4（1+x）2＝5.76
C．4（1+x）+4（1+x）2＝5.76
D．5.76（1+x）2＝4
【答案】B
【解答】解：设平均每月增长率为x，可列方程为：
4（1+x）2＝5.76．
故选：B．
5．抛物线y＝x2向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2
D．y＝（x﹣1）2+2
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝x2向右平移1 个单位，得：y＝（x﹣1）2；
再向下平移2 个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
6．将抛物线C1：y＝（x﹣2）2向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位得到抛物线C2，则抛物线C2的函
数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+2
B．y＝（x﹣5）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2
D．y＝（x+1）2﹣2
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2向右平移3 个单位，再向上平移2 个单位后所得直线解析式为：y
＝（x﹣2﹣3）2+2，即y＝（x﹣5）2+2．
故选：A．
7．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD＝25°，△ABD 经旋转后到达△ACE 的位
置，那么旋转了（ ）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，
∴∠BAC 等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
8．已知函数y＝2x2﹣4ax+5，当x≥2 时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）
A．a≥2
B．a＜2
C．a≤2
D．a＞2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4ax+5，
∴该二次函数的对称轴为直线
，
又∵当x≥2 时，y 随x 的增大而增大，
∴a≤2，
故选：C．
9．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D，C 分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则
∠AED′等于（ ）
A．70°
B．65°
C．50°
D．25°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD 为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
10．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＞1 时，y 随x 的增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意，
B、抛物线的顶点为（1，3），本选项不符合题意，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，本选项符合题意，
D、因为开口向下，所以当x＞1 时，y 随x 的增大而减小，本选项不符合题意，
故选：C．
11．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4 且k≠3
D．k≤4 且k≠3
【答案】B
【解答】解：①当k﹣3≠0 时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0 时，y＝2x+1，与x 轴有交点．
故选：B．
12．二次函数y＝﹣ax2+bx 的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：由二次函数y＝﹣ax2+bx（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝ax﹣b 的图象经过第一、二、三象限，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．）
13．抛物线y＝3（x﹣2）2+4 的顶点坐标是 （
2 ，
4 ）
．
【答案】（2，4）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+4 是其顶点式，
∴抛物线y＝3（x﹣2）2+4 的顶点坐标是（2，4）．
故答案为：（2，4）．
14．一元二次方程（x+1）2＝9 的两根分别为
x 1＝
2 ，
x 2＝﹣
4
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x+1）2＝9，
∴x+1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
15．在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1 时，y 随x 的增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1 时，y 随x 的增大而增大．
故答案为：增大．
16．点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 （﹣
5 ，
2 ）
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两点关于原点对称，
∴这两点对应的横、纵坐标均互为相反数
∴点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
17．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为81 元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列
出方程为
100
（
1 ﹣
x ）
2 ＝
81
．
【答案】100（1﹣x）2＝81．
【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
18．以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N 的坐标为 （﹣
4 ，
3 ）
．
【答案】（﹣4，3）．
【解答】解：如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N 的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
三、解答题（本题共8 小题，共66 分．第19-20 题每题6 分，第21-23 题每题8 题，其他每题10 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6 分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【答案】2．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
20．（6 分）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）＝0，
解得x+2＝0，x﹣4＝0，
x1＝﹣2，x2＝4．
21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）
（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4 个单位，再向上平移2 个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，
并写出点C2的坐标；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC 绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（1，1）；
（2）如图，△A2 B2 C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，3）；
（3）如图，旋转中心为点P（﹣3，﹣1）．
22．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m 的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出
，
由x1+x2+3x1x2＝1 得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
23．（8 分）如图，把一块长为40cm，宽为20cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸
板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为576cm2，求
剪去小正方形的边长．
【答案】2cm．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则该无盖纸盒的底面是长为（40﹣2x）cm，宽为（20﹣
2x）cm 的矩形，
根据题意得：（40﹣2x）（20﹣2x）＝576，
整理得：x2﹣30x+56＝0，
解得：x1＝2，x2＝28（不符合题意，舍去）．
答：剪去小正方形的边长为2cm．
24．（10 分）某服装店以每件30 元的价格购进一批T 恤，物价部门规定某销售单价不得低于成本．经试
销发现，在每件40 元的基础上涨价，则每月销售量y（件）与每件涨价x（元）符合一次函数关系，
如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
（2）当涨价多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y 与x 之间的函数关系式为y＝﹣10x+700，自变量x 的取值范围是0≤x≤70；
（2）当涨价30 元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大，最大利润是16000 元．
【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，
则
，解得
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y＝﹣10x+700，
∵﹣10x+700≥0，
∴x≤70，
∴自变量x 的取值范围是0≤x≤70；
（2）设服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润为w 元，
根据题意得：w＝（40+x﹣30）y＝（10+x）（﹣10x+700）＝﹣10x2+600x+7000＝﹣10（x﹣30）
2+16000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30 时，w 有最大值，最大值为16000，
∴当涨价30 元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大，最大利润是16000 元．
25．（10 分）把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1 所示的位置摆放，∠A＝90°，将△ADE 绕点A 按
逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D 在线段BE 上，且BC＝13，DE＝7，求CE 的长．
（3）当旋转角α＝
90°
或
270°
时，△ABD 的面积最大．
【答案】（1）见解析；
（2）5；
（3）90°或270°．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE 都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∠BAC＝∠DAE＝90°，
则∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：如图，过点A 作AH⊥BE 于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE 是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH 是斜边中线，
∴AH＝DH＝EH＝
DE＝
，
在Rt△ABC 中，∠ABC＝45°，BC＝13，
∴AB＝BCcos∠ABC＝
，
在Rt△ABH 中，BH＝
＝
，
∴BD＝BH﹣DH＝5，
∴CE＝BD＝5；
（3）解：∵D 点轨迹在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，
∴AD 的长度为定值，
∵AB 的长度为定值，
∴△ABD 底边AB 上的高≤AD，
∴当AD⊥AB 时，△ABD 面积最大，即点D 在直线AC 上，
①如图当α＝90°时，AD⊥AB，△ABD 面积最大，
②如图3﹣2，当α＝270°时，AD⊥AB，△ABD 面积最大，
∴当α 为90°或270°时，△ABD 面积最大；
故答案为：90°或270°．
26．（10 分）已知，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y 轴交于点C，与x 轴交于A，B 两点，点A 在点B
左侧．点B 的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）直接写出C 点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求△ADC 面积的最大值．
【答案】（1）点C 的坐标为（0，﹣3）；
（2）抛物线的解析式为y＝
x2+
x﹣3．
（3）△ADC 面积的最大值为6．
【解答】解：（1）∵点B 的坐标为（1，0），OC＝3OB，
∴OB＝1，OC＝3，
∴点C 的坐标为（0，﹣3）．
（2）将B（1，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+3ax+c，得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y＝
x2+
x﹣3．
（3）过点D 作直线DE∥y 轴，交AC 于点E，交x 轴于点F，过点C 作CG⊥DE 于点G，如图所示．
当y＝0 时，有
x2+
x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝1，
∴点A 的坐标为（﹣4，0），
∴AB＝5．
设直线AC 的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得：
，解得：
，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣
x﹣3．
设点D 的坐标为（t，
t2+
t﹣3），则点E 的坐标为（t，﹣
t﹣3），
∴ED＝﹣
t﹣3﹣（
t2+
t﹣3）＝﹣
t2﹣3t，
∴S△ADC＝S△AED+S△CED，
＝
AB•OC+
ED•AF+
ED•CG，
＝
ED•AO，
＝
×4（﹣
t2﹣3t），
＝﹣
t2﹣6t
＝﹣
（t+2）2+6．
∵﹣
＜0，
∴当t＝﹣2 时，△ADC 的面积取最大值，最大值为6．
答：△ADC 面积的最大值为6．
