文档内容
2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．用描述法表示正偶数集 .
【答案】
【解析】因为偶数可以表示为 ，
所以正偶数集为 ，
故答案为： .
2．已知集合 ， ，则 .
【答案】
【解析】由集合 ， ，
则 .
故答案为： .
3．已知 ，则x的范围为 .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】由 可得： ，即 ，
则 ，解得： .
故答案为：
4．设全集 ， ， ，则实数 ．
【答案】
【解析】由题设知： ，
所以 或 ，显然 时 中元素不满足互异性，而 满足题设，
所以 .
故答案为： .
5．若正实数a、b的几何平均值为 ，则2a与b的算术平均值的最小值为 ．
【答案】8
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ,当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为：8.
6．设 ： ， ： ， 是 的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ： ， ： ， 是 的充分条件，
则 ，则 ，
∴实数m的取值范围是 .
故答案为： ．
7．如图，用长度为 米的材料围成一个矩形场地，场地中间用该材料加两道与矩形的边平行的隔墙，若
使矩形的面积最大，则隔墙的长度是 米．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】设隔墙的长度为 （ ），矩形面积为 ，则另外一边长为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 最大．
故答案为： .
8．如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为 （填数字）．
【答案】3
【解析】由题意知集合 中必须包含0，2两个元素，但集合 ；
∴满足条件的集合 为： ， ， ；
∴满足条件的集合 的个数为3．
故答案为：3．
9．若非空集合 不是单元素集，则其中所有元素之和 .
【答案】2
【解析】由题意可知：集合 有两个元素，设为 ，即 ，
则方程 有两个不相等的实数根 ，则 ，
所以 .
故答案为：2.
10．集合 的子集个数为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以当 时， 不成立，
当 时， 成立，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时， 不成立，
所以满足题意的 为 ， ，
所以集合 的子集个数为： .
故答案为： .
11．关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】令 ，得 ，
由绝对值的几何意义知，
表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数a对应的点到原点的距离之和，
则 ，
即 的最小值为 ，又不等式 的解集为R，
所以不等式 在R上恒成立，
有 ，
当 时，显然成立，
当 时，有 ，解得 ，
即实数a的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
12．集合 ， ， 都是非空集合，现规定如下运算： 且
．假设集合 ， ， ，其中实数 ， ，
， ， ， 满足：（1） ， ； ；（2） ；（3）
．计算 ．
【答案】 或
【解析】 ，得 ； ，得 ；
∴ ， ；同理 ，
∴ ．由(1)(3)可得 ．
∴ ， ， ．
或 ．
故答案为： 或 .
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（
）
A．a、b都不能被5整除 B．a、b都能被5整除
C．a、b不都能被5整除 D．b能被5整除
【答案】A
【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故选：A.
14．当 时，函数 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．9
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】∵ ，∴ ， ,
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选：A.
15．已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 或 ，解得 或 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，满足要求.
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即 .
当 时，则 ，由 ，
可得 ，即 ，
综上所述， ，
故选:B.
16．设数集 ，且M、N都是集合 的子集，如果把
学科网（北京）股份有限公司叫做集合 的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，M的长度为 ，N的长度为 ，当集合M∩N的长度为最小值时， M与N应分别
在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是 ，
故选C．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．已知集合 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)“ ”是“ ”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为 ， ，（3
分）
当 时，则 ，所以 . （6分）
（2）因为“ ”是“ ”的充分非必要条件，所以 是 的真子集，又 ，
，
所以 ，解得 ，即实数a的取值范围为 . （14分）
18．已知集合 ，集合 ．
(1)若 ，求 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， 且 ，求p的值．
【解析】（1）因为 ，所以 ,即1是方程 的根，
所以 ，解得 ，
所以由方程 解得 或 ，
所以 , （3分）
又由 解得 或 ，
所以 ,所以 . （6分）
（2）由题可知 是方程 的两个根，
因为 ，所以 ，解得 或 ， （8分）
由韦达定理得 ，
因为 ，
即 解得 或 ，
又因为 或 ，所以 . （14分）
19．第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关
代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，
该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革
新和营销策略改革，并提高定价到 元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为
学科网（北京）股份有限公司固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件
时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【解析】（1）设定价为 元，则销售量为 万件，
由已知可得， ， （2分）
整理可得， ，解得 ，
所以，该商品每件定价最多为50元. （6分）
（2）由已知可得， ， .
因为 ，所以 ， （12分）
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以， .
所以，当该商品改革后的销售量 至少应达到 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入
与总投入之和，商品的每件定价为20元. （14分）
20．已知非空实数集 ， 满足：任意 ，均有 ；任意 ，均有 ．
(1)直接写出 中所有元素之积的所有可能值；
(2)若 由四个元素组成，且所有元素之和为3，求 ；
(3)若 非空，且由5个元素组成，求 的元素个数的最小值．
【解析】（1）已知非空实数集 满足：任意 ，均有 ，且 在实数范围内无解，所
以 ，
所以 ，又 ，
则集合 中的元素是以 的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，则S中所有元素之积的所有可能值为 或 ； （4分）
（2）已知非空实数集 满足：任意 ，均有 ，且
所以 ，且 ，又 ，
则集合 中的元素是以 的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且 ，
若 由四个元素组成，则 ，且所有元素之和为3，
所以 ，整理得 ，
解得 或 ， （8分）
当 或 或 或 时， ，
综上， ； （10分）
（3）由（1）（2）集合 的元素个数分别是以 和 为最小正周期循环，
且当 时，同一周期内其余元素不相等，
因而 和 互素，所以 和 中的各组最多只能有一个公共元素，
因为 有五个元素，若要使 的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时T包含12个元素，
中包含 个元素， （14
分）
学科网（北京）股份有限公司若 ，此时从 中选出5个元素属于 ，此时S包含15个
元素， 中包含 ，
所以 的元素个数最小值为13. （18分）
21．集合 是由 个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，
就称集合 为“可分集合”．
(1)判断集合 、 是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合 一定不是“可分集合”；
(3)若集合 是“可分集合”，证明 是奇数．
【解析】（1）解：对于 ，去掉 后， 不满足题中条件，故 不是“可分集合”，
对于 ，集合 所有元素之和为 .
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
学科网（北京）股份有限公司当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意；
当去掉元素 时，剩下的元素之和为 ，剩下元素可以组合 、 这两个集合，显然符合
题意.
综上所述，集合 是“可分集合”. （4分）
（2）证明：不妨设 ，
若去掉元素 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有 ①，或者 ②，
若去掉元素 ，将集合 分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有 ③，或者 ④，
由①③得 ，矛盾，由①④得 ，矛盾，
由②③得 矛盾，由②④得 矛盾，
故当 时，集合 一定不是“可分集合”． （10分）
（3）设 中所有元素之和为 ，由题意得 均为偶数，
故 的奇偶性相同，
①若 为奇数，则 为奇数，易得 为奇数，
②若 为偶数，此时取 ，可得 仍满足题中条件，集合 也是“可分集合”，
若 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知 为奇数
综上，集合 中元素个数为奇数. （18分）
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