文档内容
2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，故选：C.
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，则 .
故选：D.
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
学科网（北京）股份有限公司C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】不等式 等价于 等价于 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
故 能推出 成立，但是 成立不一定有 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由正数 ， 满足 ，
得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：B.
5．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
故选：A.
6．下列命题中真命题的个数是（ ）
①命题“ ， ”的否定为“ ， ”；
②“ ”是“ ”的充要条件；
③集合 ， 表示同一集合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】①全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“ ， ”的否定为“ ，
”，正确；
② 且 ，则 ，反之 ，如 ，但此时
，因此不是充要条件 ，错误；
③集合 ， 不是同一集合．错误，
正确的命题只有一个．
故选：B.
7．已知集合 ，若 有两个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【详解】因为 ， ，
由于 有两个元素，
则 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
故选：C.
8．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公
式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并
大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得
积．”如果把以上这段文字写成公式，就是 ．现将一根长为 的木条，
截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为 ，则该三角形面积的最大值为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，
代入得 ，
由基本不等式： 所以 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，
所以 时，面积 取得最大值 ．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．“ ”的充要条件是“ ”
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【详解】对于A， ，解得 ，
即 ，正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“ ”的否定为： ，错误；
对于C，若 ，则 ，反之若 ，则 ，
所以“ ”的充要条件是“ ”，正确；
对于D，若 ，则 不一定成立，如 ，但 ，
反之，若 ，则 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，正确.
故选：ACD.
10．下列结论中，错误的结论有（ ）
A． 取得最大值时 的值为
B．若 ，则 的最大值为
学科网（北京）股份有限公司C．函数 的最小值为
D．若 ， ，且 ，那么 的最小值为
【答案】ABC
【详解】对于A，因为 ，则函数的对称轴为 ，
所以 取得最大值时 的值为 ，故A错误；
对于B，令 ，
若 ， ， ， ，当 时取等号，
所以 ，则 ，则 的最大值为 ，故B错误；
对于C，函数 ，
令 ，当 时，解得 ，不满足题意，故C错误；
对于D，若 ， ，且 ，
所以 ，
当 时，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABC.
11．我们知道，如果集合 ，那么 的子集 的补集为 且 ，类似地，对于集合
我们把集合 且 ，叫作集合 和 的差集，记作 ，例如：
，则有 ，下列解答正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．已知 ，则
B．已知 或 ，则 或x≥4}
C．如果 ，那么
D．已知全集U、集合 、集合 关系如上图中所示，则
【答案】BCD
【详解】根据差集定义 即为 且 ，
由 ，可得 ，所以A错误；
由定义可得 即为 且 ，
由 或 ，可知 或x≥4}，即B正确；
若 ，则对于任意 ，都满足 ，所以 且 ，因此 ，所以C正
确；
易知 且 在图中表示的区域可表示为 ，也即 ，可得
，所以D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合 ， ，若满足 ，则实数a的值为 ．
【答案】－3
【详解】由题意可得， 且 ，
当 时，解得 ，
此时 ， ， ，不符合题意，舍去；
当 时，解得 ，
当 时， ， ， 中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ， ，符合题意，
综上所述， ，
故答案为：－3.
13．已知关于 的不等式 ，若此不等式的解集为 ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当 时， ，与客观事实矛盾，
故此时不等式的解集为 ， 符合；
当 时， 为一元二次不等式，若此不等式的解集为 ，
则有 ，
综上，实数m的取值范围是 .
故答案为： .
14．已知关于 的不等式组 的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 的取值范围
为 ．
【答案】
【详解】由 ，得 或 ，
所以 的解集与 或 的交集中存在整数解，且只有
一个整数解.
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足
要求；
学科网（北京）股份有限公司当 时， 的解集为 ，此时不满足题设；
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足
要求.
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
设集合 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ；(2) .
【详解】（1）当 时， ，而 ，因此 ，
所以 或 .
（2）由 ，得 ，
当 时，则 ，解得 ，满足 ，因此 ；
当 时，由 ，得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
16．（15分）
设 ，已知集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1） ，解得 ，
，
当 时，得 ，
所以 .
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 ，
解方程 得 或 ，
当 时， ，不满足题意；
当 ，即 时， ，
因为 ，所以 ，解得 ；
当 ，即 时， ，显然不满足题意.
综上， 的取值范围为 .
17．（15分）
我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为
10元，售价为15元，月销售8万瓶.
(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润
（月总利润 月销售总收入 月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价 元，并投 万
学科网（北京）股份有限公司元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 万瓶，则
当每瓶售价 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【答案】(1) ；
(2)当每瓶售价 元时，下月的月总利润最大为 万元.
【详解】（1）设提价 元，由题意知每瓶饮料利润为 元，
则月销量为 万瓶，
所以提价后月总销售利润为 万元，
因为原来月销售总利润为 万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以 ，即 ，解得 ，
所以售价最多为 元，
故该饮料每瓶售价最多为 元；
（2）由题意，每瓶利润为 元，
月销售量为 万瓶，
设下月总利润为 ， ，
整理得： ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
，当且仅当 时取等号，
故当售价 元时，下月的月总利润最大为 万元.
18．（17分）
学科网（北京）股份有限公司已知集合 ，其中 是关于 的方程
的两个不同的实数根.
(1)若 ，求出实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 的两根分别为 ，
故 ，
故 ；
（2）因为 ，所以 ，
又 的两根分别为 ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
19．（17分）
《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．
通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图
形中，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径的半圆弧于D，连
结OD，作CE⊥OD，垂足为E，请从下列不等式①、②、③中选出表示CD≥DE的序号（不需要写出
推导过程，只需选出不等式序号即可），并证明选出的不等式．
学科网（北京）股份有限公司① （a＞0，b＞0）；② （a＞0，b＞0）；③ （a＞0，b＞0）．
【答案】答案见解析
【详解】选择：②
下面证明： ，
作差法： ，
当且仅当 时，等号成立，
故 成立．
学科网（北京）股份有限公司
