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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章空间向量与立体几何~第二章2.3直线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在空间直角坐标系中，点 关于 平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为
原来的相反数，即 ．故选：C.
2．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为直线 可化为 ，则其斜率为 ，设其倾斜角为 ，
则 ，所以 .故选：B.
3．已知空间向量 ， ，则 以 为单位正交基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】空间向量 ， ，则 ，故 以 为单位正交
基底时的坐标为 .故选：B.
4．过点 和 ，的直线的一般式方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由直线过点 和 ，可得直线的截距式得直线方程为 ，整理得 ，
即直线的一般式方程为 .故选：C.
5．已知空间向量 ，则 在 上的投影的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】由向量 ，得 ， ，则 在 上的投影向量为
，所以 在 上的投影的模为 ．故选：A
6．已知直线 ，且与以点 ， 为端点的线段有公共点，则直线 斜率 的取值范
围为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
直线 恒过定点 ，直线 过点 时，设直线的斜率为 ，所以 ，
直线 过点 时，设直线的斜率为 ，所以 ，要使直线 与线段 有公共点，则直线 的
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学科网（北京）股份有限公司斜率的取值范围为 .故选： .
7．已知 ， 两点到直线l： 的距离相等，则a的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】因为点 ， 到直线l： 的距离相等，所以 ，即
，化简得 ，解得 或 。
8、在空间直角坐标系 中， ， ， ，点 在直线 上运动，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由点 在直线 上运动，故可设 ， ，
则 ， ，
所以
，故当 时， 取得最小值 .
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）将正方形 沿 折叠如图所示，其中点 分别为 的中点，点 将线段
三等分，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，由点 分别为 的中点，得 ，而 ，
因此 ，A正确；对于B， ，B错误；对于C， 长度相等，方向
不同，C错误；对于D， ，D正确．故选：AD
10．已知直线l： 与n： ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．直线l恒过点
D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为
【答案】AC
【详解】对于A项，若 ，则 ，解得 或 ，经检验，均符合，故A项正确；
对于B项，若 ，则 ，解得 或 ，故B项不
成立；对于C项，因为 ，则由 得 ，所以l恒过
点 ，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点 ，则 ，
得 ，所以直线n的方程为 ，斜截式为 ，故D项不成立．故选：AC.
11．如图，在棱长均为2的平行六面体 中，底面 是正方形，且
，下列选项正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 长为
B．异面直线 与 所成角的余弦值为
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意有： ，所以
，所以 ，故A正确；
，所以 ，所以
，
所以 ，故B错误；
由 ， ，所以
，所以 ，故C正确；
由 ，
所以 ，故D正确；故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ， ，若 、 、 三向量共面，则实数 等于 .
【答案】
【详解】因为 、 、 三向量共面，所以存在唯一实数对 ，使得 ，
即 ，所以 ，解得 .
13．若某直线被两平行线 与 所截得的线段的长为 ，则该直线的倾斜角大
小为 .
【答案】 或
【详解】因为直线 与 平行，所以 与 之间的距离 ．设直线 与
的夹角为 ，因为直线 被直线 与 截得的线段长为 ，所以 ，解得
．因为直线 的斜率为1，所以其倾斜角均为 ，所以直线 的倾斜角为 或 ．
14．在正四棱锥 中， ，设平面 与直线 交于点 ，则
.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，因为 共面，
所以 ，解得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且 ，
， ， ， ．求证：
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2) ；
(3) 三点共线．
【详解】（1）证明：由 ， ，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，
H四点共面．
（2）证明：由 ， ， ，得
， ．
（3）证明：由（2）知 ，所以 ，
．
即 ，又 与 有一个公共点，所以 三点共线．
16．（15分）已知直线 ．
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由直线 可得斜率为 ，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ， 则依题意有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ；
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 ，代入 得 ，此时 ；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为 ， 依题意 ，解得 ，
此时直线方程为 ，即
综上所述：所求直线方程为 或 ．
17．（15分）已知空间中三点 ， ， ．
(1)设 ，且 ，求 的坐标；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；
(3)求 的面积．
【详解】（1）由已知得 ．因为 ，所以可设 ，
所以 ，解得 ，所以 或
．
（2）设 ，因为ABCD是平行四边形，所以 ，由 ， ， ，
得 ， ，所以 ，故 ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）由题可得 ， ，所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 的面积 ．
18．（17分）如图，在直四棱柱 中， ， ， ， ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若 为线段 上的动点，求 到直线 距离的最小值．
【详解】（1）证明：由直四棱柱 知 底面 ，
因为 平面 ，所以 ，又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ．
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以 ∽ ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， 两两垂直，所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴，
轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 ， ， ， ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知， 为平面 的一个法向量．设 为平面 的一个法向量，
因为 ， ，所以 ，即 ，令 ，可得 ．
所以 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
（3）设 ， ，则 ， ，
设 到直线 的距离为 ，则
，
所以当 时， ，即 到直线 距离的最小值为 ．
19．（17分）已知 是棱长为2的正方体 表面上一动点， ， 分别是线段 和
的
中点，点 满足 ，且 ，设 的轨迹围成的图形为多边形 ．
(1)证明： 为平行四边形；
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学科网（北京）股份有限公司(2)是否存在 ，使得 和底面 的夹角为 ．若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
(3)证明：点 和 形成的多面体的体积为定值．
【详解】（1） ， 截面 ，当 在点 处时， 在平面 内的射影为 ，
当 在点 时， 在平面 内的射影为 ，令 分别为 的中点，过 的截面 与
和 均垂直，即与 垂直，即截面 为 ，当 在点 处时， 在平面 内的射影为
， 在平面 内的射影为 ，过 的截面为 与 和 均垂直，即与 垂直，即截
面 为 ，当 在 上移动时，截面 绕 转动，当 在点 时， 在面 射影为 ，
由面面平等的性质可知截面 总为平行四边形；
（2）不存在
理由：以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
过 作 于 ，由题意得 平面 ， 是平面 的一个法向量，
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学科网（北京）股份有限公司为平面 的一个法向量， 为 和底面 的夹角， ，
存在 ，使得 和底面 的夹角大于 ； 不否存在 ，使得 和底面 的夹角为 ．
（3）设截面 与 交于点 ，与 交于 ，四棱锥 被平面 分成两个三棱锥为三棱锥
，三棱锥 ，两个三棱锥底面无论截面 变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正
方体的棱长， 三棱锥 ，三棱锥 的体积为定值， 点 和 形成的多面体为定值．
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