25李永乐《线性代数辅导讲义》做题本（数一）_考研_数学_03.李永乐_25李永乐《做题本》（全）_25李永乐《线性代数辅导讲义》做题本（数一）

李永乐线代强化 · 目录 目录 第一章 行列式 .............................................................................................................................................. 2 例题部分 ............................................................................................................................................... 2 习题部分(p28) ................................................................................................................................ 17 第二章 矩阵 ............................................................................................................................................... 22 例题部分 ............................................................................................................................................ 22 习题部分(p64) ................................................................................................................................ 42 第三章 n 维向量 ...................................................................................................................................... 49 例题部分 ............................................................................................................................................ 49 习题部分(p94) ................................................................................................................................ 65 第四章 线性方程组 ................................................................................................................................. 70 例题部分 ............................................................................................................................................ 70 习题部分(p126) ............................................................................................................................. 85 第五章 特征值与特征向量 .................................................................................................................. 91 例题部分 ............................................................................................................................................ 91 习题部分(p155) .......................................................................................................................... 106 第六章 二次型 ........................................................................................................................................ 112 例题部分 ......................................................................................................................................... 112 习题部分(p183) .......................................................................................................................... 125 第 1 页，共128页李永乐线代强化 · 1.行列式 第一章 行列式 例题部分 P9【例1.1】计算 第 2 页，共128页 1 − 2 3 4 2 1 − 4 3 3 − 4 − 1 − 2 4 3 2 1 = _________ . P9【例1.2】(2022数农) 0 b 0 0 a a 0 b 0 0 0 a 0 b 0 0 0 a 0 b b 0 0 a 0 = ( ) (A)a5 +b5. (B) − a 5 + b 5 . (C) a 5 − b 5 . (D) − a 5 − b 5 .李永乐线代强化 · 1.行列式 P10【例1.3】 第 3 页，共128页  2 0 1 4 , 2 1 , 3  行列式 0 a 0 c a 0 c 0 b 0 d 0 0 b 0 d = ( ) (A) ( a d − b c ) 2 . (B) − ( a d − b c ) 2 . (C) a 2 d 2 − b 2 c 2 . (D) b 2 c 2 − a 2 d 2 . P10【例1.4】计算 D = a + 1 − x 0 0 x a 2 x − x 0 a 3 0 x − x a 4 0 0 x = _________ .李永乐线代强化 · 1.行列式 P11【例1.5】四阶行列式 第 4 页，共128页 D = a a a a 1 2 3 4 − 1 x 0 0 0 − 1 x 0 0 0 − 1 x = _________ . P11【例1.6】四阶行列式 D = 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 = ________.李永乐线代强化 · 1.行列式 P12【例1.7】计算 第 5 页，共128页 D n = a + 1 a 1 a 1 a 1 b a a 2 a a 2 + 2 2 b a a a 3 a 3 3 + 3 b a a a a n n n n + b = _________ . P13【例1.8】计算四阶行列式 4 1 0 0 3 4 1 0 0 3 4 1 0 0 3 4 =_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 1.行列式 P14【例1.9】(2008,局部)设 第 6 页，共128页 A =  2 a a 2 1 2 a 2 a 1 2 a 1 a 2 2 a a 2 1 2 a  是 n 阶矩阵.证明 A = ( n + 1 ) a n . 练习:(2015,1)n阶行列式 2 − 0 0 0 1 0 2 − 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 2 − 1 2 2 2 2 2 = _________ .李永乐线代强化 · 1.行列式 P16【例1.10】(2021,2/3)多项式 第 7 页，共128页 f ( x ) = x 1 2 2 x x 1 − 1 1 2 x 1 2 x − 1 1 x 中 x 3 项的系数为__________. 练习:多项式 f ( x ) = x 3 x 6 − x 0 3 1 − 1 1 − 2 2 8 2 x 5 − 3 − 5 的常数项为__________. P17【例1.11】设 α , β , γ 1 , γ 2 , γ 3 都是四维列向量,且 A = α , γ 1 , γ 2 , γ 3 = m , B β , 2 1 , 3 2 , 3 n    = = ,则 A − 2 B = _________.李永乐线代强化 · 1.行列式 P17【例1.12】已知 第 8 页，共128页 A = x x x 1 2 3 y y y 1 2 3 z z z 1 2 3 = m ,则 B = 2 2 2 x x x 1 2 3 + + + 3 3 3 y 1 y 2 y 3 2 2 2 y y y 1 2 3 + + + 3 3 3 z 1 z 2 z 3 2 2 2 z z z 1 2 3 + + + 3 3 3 x 1 x 2 x 3 = _________. P18【例1.13】已知 A 是三阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是三维线性无关的列向量,若 A α 2 = α 1 + α 3 , A α 3 = α 1 + 3 α 2 + 2 α 3 A α 1 = α 2 + α 3 , ,则 A * = ___________.李永乐线代强化 · 1.行列式 P18【例1.14】设矩阵 第 9 页，共128页 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  ,矩阵 B 满足 A B A * = 2 B A * + E ,其中 E 为单位矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,则 2 B T = _________. P19【例1.15】已知 A 是三阶矩阵,且 A = 1 3 , E 是二阶单位矩阵,则 D = O 3 E ( 3 A ) − 1 + O ( 2 A ) * = ________. 1 2 0   练习:A,B均为三阶矩阵,满足AB+2A+B+E=O,若B合 1 2 0 ,则 A+E =_________.    1 2 1 李永乐线代强化 · 1.行列式 P19【例1.16】设 第 10 页，共128页 A , B 为三阶矩阵,且 A = 3 , B = 2 , A + B = a ,则 A − 1 + B − 1 = ________. P19【例1.17】已知 A 是四阶正交矩阵且 A  0 , B 是四阶矩阵,如 B − A = 5 ,则 E − A B T = _______. P20【例 1.18】设 A 是三阶矩阵, A 的特征值是 1 , 2 , − 1 ,如果 B = A 2 − 2 A + 3 E ,则 B = _______.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 1.行列式 P20【例1.19】设 第 11 页，共128页 A 是二阶矩阵, α , β 是线性无关的二维列向量,且 A α = 3β,Aβ=3α,则 A + 2 E = ________. P20【例1.20】已知矩阵 A 和 B 相似,其中 B =  0 0 3 0 2 0 1 0 0  ,则 A + E = _________. 练习:已知 A 是三阶矩阵, E 是三阶单位矩阵,如果 A , A − 2 E , 3 A + 2 E 均不可逆,则 A + E = _________.李永乐线代强化 · 1.行列式 P21【例1.21】若 第 12 页，共128页 1 1 3 1 1 5 1 1 3 0    − − − − − = ,则 = ________. P21【例1.22】若 1 a 1 1 1 a a 1 1 0    − − − − + − − = ,则 = _________.李永乐线代强化 · 1.行列式 P22【例1.23】三元一次方程组 第 13 页，共128页  2 4 x 1 x 1 x 1 + − + x 2 x 2 x 2 + + + x 3 9 3 x x = 3 3 = = 1 , 4 1 , 6 的解中,未知数x 的值必为( ) 2 (A)1. (B) 5 2 . (C) 7 3 . (D) 1 6 . P22【例1.24】设 A =  1 a 1 a 1 1 0 1 − 1  , B 为三阶非零矩阵,且AB=O,则 a = _________.李永乐线代强化 · 1.行列式  1 1 1    x  1 a a a 1  1 2 n   x   1  练习:(1996,3)设A= a2 a2 a2 ,x=  2 ,B= ,其中  1 2 n             an−1 an−1 an−1  x n  1 1 2 n 第 14 页，共128页 a i  a j ( i  j , i , j = 1 , 2 , , n ) , 则线性方程组 A T x = B 的解是________. P24【例1.25】证明:设 A 是 n 阶反对称矩阵,若 A 可逆,则 n 必是偶数.李永乐线代强化 · 1.行列式 P24【例1.26】设 第 15 页，共128页 A 是 n 阶非零矩阵,满足 A 2 = A ,且 A  E ,证明行列式 A = 0 . 练习:设 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,证明当 m  n ,必有行列式 A B = 0 .李永乐线代强化 · 1.行列式 P25【例1.27】设 第 16 页，共128页 A = 1 − 2 3 − 4 1 3 4 2 2 4 1 0 − 1 2 6 1 ,则 (1) A 12 − 2 A 22 + 3 A 32 − 4 A 42 = ________. (2) A 31 + 2 A 32 + A 34 = __________. P26【例 1.28】已知 A = 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 3 0 那么行列式 A 所有元素的代数余子式之和为_________.李永乐线代强化 · 1.行列式 练习:(2021,1)设 第 17 页，共128页 A =  a ij  为三阶矩阵, A ij 为元素 a ij 的代数余子式,若 A 的每行元素之和均为 2, 且 A = 3 ,则 A 11 + A 21 + A 31 = _________. 习题部分(p28) 1 1 1 1 1 a 0 0 2 x 3 1 −1 1−a a 0 (1) =0,则x=_________. (2) =_________. 3 3 x 6 0 −1 1−a a 4 4 6 x 0 0 −1 1−a李永乐线代强化 · 1.行列式 (3) 第 18 页，共128页 x 0 0 4 − 1 x 0 3 0 − 1 x 2 0 0 − 1 1 = ________. (4) 1 − − − 1 1 1 2 0 − 2 − 2 3 3 0 − 3 n n n 0 = ________. 1 2 3 n−1 n −1 1 0 0 0 (5) 0 −1 1 0 0 =_________. 0 0 0 −1 1李永乐线代强化 · 1.行列式 (6)已知 第 19 页，共128页 α 1 , α 2 , α 3 , β , 均为四维列向量,又 A =  α 1 , α 2 , α 3 , β  ,B=α ,α ,α ,γ,若 1 2 3 A = 3 , B = 2 ,则 A + 2 B = __________. (7)设A,B均为 n 阶矩阵, A = 2 , B = − 3 ,则 2 A * B T = ________. (8)设 α 1 , α 2 , α 3 均为三维列向量,记矩阵A=α ,α ,α ,B=α +α +α ,α +2α +4α , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 1 + 3 α 2 + 9 α 3  .如果 A = 1 ,那么 B = __________.李永乐线代强化 · 1.行列式 2.选择题 (1)α,β,,, 均为四维列向量, A = α,,, =5,B = β,γ ,γ ,γ =−1,则 1 2 3 1 2 3 1 2 3 第 20 页，共128页 A + B = ( ) (A)4. (B)6. (C)32. (D)48. (2)已知 α 1 , α 2 , α 3 , β , 均为四维列向量,若四阶行列式 α 1 , α 2 , α 3 , a , β , α 1 , α 2 , α 3 b ,   = + = 那么四 阶行列式 2β,α ,α ,α =( ) 3 2 1 (A)2a−b. (B) 2 b − a . (C) − 2 a − 2 b . (D) − 2 a + 2 b . (3)设 A 为 n 阶矩阵,则行列式 A = 0 的必要条件是( ) (A)A的两行元素对应成比例. (B)A中必有一行为其余各行的线性组合. (C)A中有一列元素全为0. (D)A中任一列均为其余各列的线性组合.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 1.行列式 3.解答题 (1)已知 第 21 页，共128页 A 是n阶矩阵,满足A2 =E,AE,证明 A+E =0. (2)已知 a , b , c 不全为零,证明齐次方程组  a a b c x 2 x 1 x 1 x 1 + + + + b x x x x 2 3 4 3 + c x 4 = = = = 0 0 0 0 , , , 只有零解.李永乐线代强化 · 2.矩阵 第二章 矩阵 例题部分 P40【例2.1】设 第 22 页，共128页 α , β 是三维列向量, β T 是 β 的转置,如果 α β T =  1 − 2 3 − 1 2 − 3 2 − 4 6  ,则 α T β = _________. 2 6 4    P40【例2.2】已知A= −1 −3 −2 ,则    2 6 4   A n = ________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P41【例2.3】若 第 23 页，共128页 A =  0 2 1 0 0 3 0 0 0  ,则 A 2 = _ _ _ _ _ _ _ _ , A 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . P42【例2.4】若 A =  1 0 0 2 1 0 3 4 1  ,则An =_________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P42【例2.5】已知 第 24 页，共128页 A =  2 0 2 0 3 0 1 0 2  , B =  1 0 0 0 − 0 1 0 0 0  ,若 X 满足 A X + 2 B = B A + 2 X ,则 X 4 = __________. P43【例2.6】设矩阵 A 可逆,证明 (I)( A*)−1 = ( A−1)* ;(II) ( A * ) * = A n − 2 A ( n  3 ) .李永乐线代强化 · 2.矩阵 P43【例2.7】已知 第 25 页，共128页 A , B 均为 n 阶可逆矩阵,证明 ( A B ) * = B * A * . P44【例2.8】三阶矩阵 A , B 1  满足关系式A*BA= ( 5A*)* +BA,且A=  2  ,则     3  B = ________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P44【例2.9】设 第 26 页，共128页 A 是 n 阶矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,证明: r ( A * ) =  n 1 0 , , , 若 若 若 r r r ((( A A A ))) = =  n n n , − − 1 1 , . 练习: 1 ( 2 0 0 5 , 3 ) 设矩阵 A =  a ij  3 3 满足 A * = A T ,其中A*为 A 的伴随矩阵,AT为 A 的转置矩阵, 若 a 11 , a 12 , a 13 为三个相等的正数,则 a 11 为( ) 3 (A) . (B)3. (C) 3 1 3 . (D) 3.李永乐线代强化 · 2.矩阵 练习: 第 27 页，共128页 2  2 0 1 9 , 2 3  设 A 是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若线性方程组 A x = 0 的基础解系中只有 2个向量,则 r ( A * ) = ( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. P45【例2.10】若 A =  0 1 − 1 1 − 2 1 3 0 1  ,则 A − 1 = __________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P46【例2.11】设 第 28 页，共128页 α , β 是相互正交的 n 维列向量, E 是 n 阶单位矩阵,A= E+αβT,则 A − 1 = __________. P46【例2.12】 ( 2 0 0 0 , 2 ) 设 A =  1 − 2 0 0 0 3 − 4 0 0 0 5 − 6 0 0 0 7  , E 为4阶单位矩阵,且 B = ( E + A ) − 1 ( E − A ) , 则 ( E + B ) − 1 = __________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P47【例2.13】已知 第 29 页，共128页 A 是 n 阶对称矩阵,且 A 可逆,若 ( A − B ) 2 = E ,化简 ( E + A − 1 B T ) T ( E − B A − 1 ) − 1 . P47【例2.14】已知A,B均为 n 阶矩阵,且A与 E − A B 都是可逆矩阵,证明 E − B A 可逆.李永乐线代强化 · 2.矩阵 练习:设 第 30 页，共128页 A , B , C 均为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 B = E + A B ,C=A+CA,则B−C=( ) (A)E. (B) − E . (C) A . (D) − A . P48【例2.15】设 α = ( 1 , − 2 ,1 ) T , A = E + k α α T ,其中k 0.如果 A 是正交矩阵,则 k = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 2.矩阵 P48【例2.16】在实对称矩阵求特征向量构造正交矩阵的问题上,常见的错误是: 1 0 1 1 0 0 1 −1 0       (1) 0 1 0 ; (2) 0 1 0 ; (3) 1 2 −1 ; (4)        1 0 −1   1 0 0   1 −1 1   第 31 页，共128页  1 1 1 3 3 3 − 1 0 2 1 2 1 0 1 2 2  . P48【例2.17】 ( 2 0 0 4 , 4 ) 设 A =  a ij  3 3 是正交矩阵,且 a 11 = 1 , b = (1 , 0 , 0 ) T ,则线性方程组Ax=b 的解是____________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P49【例2.18】设 第 32 页，共128页 A , B 均为 n 阶正交矩阵,且 A + B = 0 ,证明 A + B = 0 . P49【例2.19】已知 A 是n阶正交矩阵,证明 A * 是正交矩阵.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P50【例2.20】已知 第 33 页，共128页 A =  a a a 11 21 31 a a a 12 22 32 a a a 13 23 33  , B =  a 21 a + a 11 2 31 a 31 a 23 a + a 13 2 33 a 33 a 22 a + a 12 2 32 a 32  , 若 A − 1 =  1 0 0 2 4 0 3 5 6  ,则 B − 1 = __________. P50【例2.21】已知 A 是三阶矩阵, P 是三阶可逆矩阵,且 P − 1 A P =  1 3 2  ,若 P =  α 1 , α 2 , α 3  , Q =  α 1 , α 1 + α 2 , − 2 α 3  ,则 Q − 1 A Q = ( ) (A)  1 0 0 2 3 0 0 0 − 2  . (B)  1 0 0 − 2 3 0 0 0 2  . (C)  1 2 0 0 3 0 0 0 − 2  . (D)  1 − 2 0 0 3 0 0 0 2  .李永乐线代强化 · 2.矩阵 P51【例2.22】设 第 34 页，共128页 A 是三阶可逆矩阵,将 A 的第2行的-3倍加到第1行得矩阵 B ,再将 B 的第 1列的2倍加到第3列得矩阵5E,则A=___________. P51【例2.23】已知三阶矩阵 A 可逆,将 A 的第2列与第3列交换得矩阵 B ,把 B 的第2列乘 以-2得矩阵 C ,则满足 P A * = C * 的矩阵 P 为__________. P52【例2.24】设矩阵 A =  1 a 0 0 − 2 1 1 1 a  与 B =  1 0 0 0 1 0 1 1 0  等价,则 a = __________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P52【例2.25】设 第 35 页，共128页 A =  3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 1 0 0 9 3  ,则 A n = __________. P53【例2.26】 ( 2 0 0 4 , 4 ) 设 A =  0 1 0 − 0 0 1 0 0 − 1  , B = P − 1 A P ,其中 P 为三阶可逆矩阵,则 B2004 −2A2 =___________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 【例2.27】 第 36 页，共128页  2 0 0 9 , 2 1 , 3  设 A , B 均为二阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵.若 A = 2 , B = 3 , 则分块矩阵  O B A O  的伴随矩阵为( )  O 3B* (A) . (B)   2A* O   3 O A * 2 B O *  . (C)  2 O B * 3 A O *  . (D)  3 O B * 2 A O *  . P54【例2.28】设 H =  A O C B  ,其中 A , B 分别是m阶和n阶可逆矩阵,证明矩阵 H 可逆,并求其 逆.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P55【例2.29】 第 37 页，共128页  1 0 0 0 1 2 0 0 1  2010  1 2 3 2 3 4 3 4 5   0 0 1 0 1 0 1 0 0  2011 = __________. P55【例2.30】已知 A X = B ,其中 A =  1 2 − 1 3 6 − 3 3 9 3  , B =  2 7 4 − 1 4 1 3 1 − 1 − 7  ,求矩阵 X .李永乐线代强化 · 2.矩阵 P56【例2.31】分块矩阵的初等矩阵 第 38 页，共128页  E P O E  或  E O P E  ;  P O O E  或  E O O P  ;  O E E O   E P O E   A C B D  =  P A A + C P B B + D   E O P E   A C B D  =  A + C P C B + D P D   P O O E   A C B D  =  P C A P D B   E O O P   A C B D  =  A P C P B D   O E E O   A C B D  =  C A D B  左乘是不是类似于初等矩阵左乘的效果? 那么右乘会如何? P57【例2.32】已知 A , B 均为 n 阶矩阵.证明 A B B A = A + B  A − B .李永乐线代强化 · 2.矩阵 P57【例2.33】已知 第 39 页，共128页 A =  1 2 1 2 a 3 5 7 2  ,若 r ( A ) = 2 ,则 a = _________. P58【例2.34】设 A =  2 6 4 3 t 6 4 2 3  , B =  1 3 0  ( 2 , 3 , 4 ) ,若秩 r ( A + A B ) = 2,则t=_________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 P58【例2.35】 第 40 页，共128页 n 阶矩阵 A =  a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a  的秩 = ________. P60【例2.36】已知 A =  1 3 2 a 2 − − 1 2 − 2 1 a  , B 是三阶非零矩阵,且 A B = O ,证明r(A)=2.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 2.矩阵 P60【例2.37】已知 第 41 页，共128页 A , B 均是三阶矩阵,矩阵 X 满足 A X A − B X B = B X A − A X B + E , 其中 E 是三 阶单位矩阵,则X=( ) (A)( A2 −B2)−1 . (B) ( A − B ) − 1 ( A + B ) − 1 . (C) ( A + B ) − 1 ( A − B ) − 1 . (D)条件不足,不能确定. 1 0 0 0   0 1 0 0 P60【例2.38】(2000,1)设矩阵A的伴随矩阵A* = ,且 1 0 1 0   0 −3 0 8 A B A − 1 = B A − 1 + 3 E ,其中 E 为四阶单位矩阵,求矩阵 B .李永乐线代强化 · 2.矩阵 练习: 第 42 页，共128页  2 0 1 5 , 2 3  设矩阵 A =  a 1 0 1 a 1 0 − a 1  ,且 A 3 = O . (I)求 a 的值. (II)若矩阵 X 满足 X − X A 2 − A X + A X A 2 = E ,其中E为三阶单位矩阵,求 X . 习题部分(p64) 1.填空题 (1)已知 A 是三阶矩阵,且所有元素都是-1,则 A 4 + 2 A 3 = __________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (2)求逆 (A) 第 43 页，共128页  0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 1 0 0 0  − 1 = (B)  1 3 0 0 2 5 0 0 0 0 2 − 1 0 0 − 5 3  − 1 = (C)  1 0 0 1 1 0 − 1 − 1 1  − 1 = (D)  1 1 1 1 0 − 1 1 0 1  − 1 = (3)设A是n阶矩阵,满足(A−E)3 =(A+E)3,则(A−2E)−1=_________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (4)已知 第 44 页，共128页 A =  − 3 2 3 2 a − 1 − 2 3 1  , B 是三阶非零矩阵,且 A B = O ,则 a = _________. 2 1 (5)设矩阵A= ,E为二阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+ 2E,则B=________.   −1 2 (6)设 A 是三阶矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,若 A =4,则 A * −  1 2 A  − 1 = _________.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (7)设 第 45 页，共128页 A 为三阶矩阵, P =  α 1 , α 2 , α 3  是三阶可逆矩阵, Q =  α 1 , 2 α 1 + α 2 , α 3  ,如 P − 1 A P =  1 1 0 1 − 0 1 0 0 2  ,则 Q − 1 A Q = _________. (8)已知AX=B,其中 A =  1 2 3 2 4 5  , B =  2 4 7 1 5 0 9 − 1 − 2 3  则X =__________. 2.选择题 (1)设A,B均为 n 阶矩阵,正确命题是( ) (A)若AB=O,则 ( A + B ) 2 = A 2 + B 2 . (B)若ABO,则 B 0. (C)若 A B  O ,则 B  O . (D)若A2 =O,则A=O.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (2)(1996,3)设 第 46 页，共128页 n 阶矩阵 A 非奇异 ( n  2 ) , A * 是 A 的伴随矩阵,则( ) (A) ( A * ) * = A n − 1 A . (B) ( A * ) * = A n + 1 A . (C) ( A * ) * = A n − 2 A . (D)( A*)* = An+2A. (3)设 A = E − 2 α α T ,其中 α = ( a 1 , a 2 , , a n ) T 且 α T α = 1 ,则错误的结论是( ) (A) A T = A . (B) A 2 = A . (C)AAT =E. (D) α 是A的特征向量. (4)设矩阵 A , B 满足 A * B A = 2 B A − 8 E ,若 A =  1 3 0 0 − 2 3 0 0 1  ,则 B = ( ) (A)-16. (B)-1. (C)8. (D)16.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (5)设 第 47 页，共128页 A =  1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1  ,若 A 的伴随矩阵 A * 的秩为1,则 a = ( ) (A)1. (B)-1. (C) − 1 3 . (D)3. 3.解答题 (1)设A是 n 阶矩阵,若 ( A + E ) 3 = O ,证明矩阵A可逆.李永乐线代强化 · 2.矩阵 (2)A是三阶矩阵,交换 第 48 页，共128页 A 的1,2两行得到矩阵 B ,交换 B 的1,2两列得 Λ =  1 2 3  ,求 A n 和 B A * . (3)设 B 是mn矩阵, B B T 可逆, A = E − B T ( B B T ) − 1 B ,其中 E 是 n 阶单位矩阵.证明: (I)AT =A. (II) A 2 = A .李永乐线代强化 · 3.n维向量 第三章 n 维向量 例题部分 P73【例3.1】下列向量组中,线性无关的是( ) (A) 第 49 页，共128页 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T , ( 0 , 0 , 0 , 0 ) T . (B) ( 1 , 2 , − 1 ) T , ( 3 , 5 , 6 ) T , ( 0 , 7 , 9 ) T , ( 1 , 0 , 2 ) T . (C)(a,1,2,3)T,(b,1,2,3)T,(c,3,4,5)T,(d,0,0,0)T. (D)(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,6,0)T,(a,0,c,5,6)T. P73【例3.2】若 α 1 = ( 1 , 3 , 4 , − 2 ) T , α 2 = ( 2 ,1 , 3 , t ) T , α 3 = ( 3 , − 1 , 2 ,0)T线性相关,则 t = ________.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P74【例3.3】若 第 50 页，共128页 α 1 = ( 1 , 2 , 3 ,1 ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 2 , − 1 ) T , α 3 = ( 2 , 6 , a , 5 ) T , α 4 = ( 3 , 4 , 7 , − 1 ) T 线性相关,则 a = _________. P74【例3.4】已知 α 1 , α 2 , , α s , β 1 , β 2 , , β s− 1 都是 n 维向量,下列命题中错误的是( ) α  α  α  (A)如果 1 , 2 , , s−1 线性相关,则       β  β  β  1 2 s−1 α 1 , α 2 , , α s− 1 , α s 线性相关. (B)如果秩 r ( α 1 , α 2 , , α s , β 1 , β 2 , , β s− 1 ) = r ( β 1 , β 2 , , β s−1 ) ,则 α 1 , α 2 , , α s 线性相关. (C)如果 α 1 , α 2 , , α s 线性相关,且 α s 不能由 α 1 , α 2 , , α s− 1 线性表出,则 α 1 , α 2 , , α s− 1 线性相关. (D)如果 α s 不能由 α 1 , α 2 , , α s− 1 线性表出,则 α 1 , α 2 , , α s 线性无关.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 3.n维向量 P75【例3.5】已知 第 51 页，共128页 n 维向量 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,证明 3 α 1 + 2 α 2 , α 2 − α 3 ,4α −5α 线性无关. 3 1 P76【例3.6】设 A 是 n 阶矩阵, α 是 n 维列向量,若 A m − 1α  0 , A m α = 0 ,证明向量组 α , A α , A 2 α , , A m − 1 α 线性无关.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P76【例3.7】设 第 52 页，共128页 A 是 n 阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是 n 维列向量,若 A α 1 = α 1  0 , A α 3 = α 2 + α 3 A α 2 = α 1 + α 2 , ,证明向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关. P77【例3.8】  2 0 0 8 , 3 2 , 4  设 A 为三阶矩阵, α 1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 − 1 ,1 的特征向量,向量 α 3 满足 A α 3 = α 2 + α 3 ,证明 α 1 , α 2 , α 3 线性无关.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P77【例3.9】设 第 53 页，共128页 A 是 m  n 矩阵,秩 r ( A ) = n , α 1 , α 2 , α 3 是 n 维线性无关的列向量.证明 A α 1 , A α 2 , A α 3 线性无关. 【例3.10】设四维列向量 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,且与四维非零列向量 β 1 , β 2 均正交,证明 (I)β ,β 线性相关; 1 2 (II)α ,α ,α ,β 线性无关. 1 2 3 1李永乐线代强化 · 3.n维向量 练习:已知 第 54 页，共128页 1 , 2 是矩阵 A 不同的特征值, α 1 , α 2 是特征值 1 的线性无关的特征向量, β 是特征值 2 的特征向量.证明 α 1 , α 2 , β 线性无关. 练习:已知 A =  α 1 , α 2 , , α m  , B =  β 1 , β 2 , , β m  且 P A = B ,其中P是可逆矩阵,若 α 1 , α 3 , α 5 线性相 (无)关,则 β 1 , β 3 , β 5 线性相(无)关.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P79【例3.11】已知 第 55 页，共128页 n 维向量 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,若 β 1 , β 2 , β 3 可用 α 1 , α 2 , α 3 线性表出,设  β 1 , β 2 , β 3  =  α 1 , α 2 , α 3  C , 证明 β 1 , β 2 , β 3 线性无关的充分必要条件是 C  0 . P79【例3.12】已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,向量组 α 1 + a α 2 , α 1 + 2 α 2 +α ,aα −α 线性相关,则 3 1 3 a = __________.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P80【例3.13】已知向量组 第 56 页，共128页 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( ) (A)α +α ,α +α ,α +α . 1 2 2 3 3 1 (B)α +α ,α +2α ,α +2α +α ,α −α +5α . 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 (C)α +2α ,2α +3α ,3α −α . 1 2 2 3 3 1 (D) α 1 + α 2 − α 3 , 2 α 1 + 3 α 2 + 1 2 α 3 , 3 α 1 + 5 α 2 + 2 5 α 3 . P80【例3.14】设 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , a ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 2 , − a ) T , α 3 = ( 3 , 5 , b + 4 , 2 ) T , β = ( 3 , 4 , 7 , − 2 ) T .试讨论当 a , b 为何值时, (I)β不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示; (II) β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,并求出表示式.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P81【例3.15】 第 57 页，共128页 ( 2 0 0 5 , 2 ) 确定常数 a ,使向量组 α 1 = ( 1 ,1 , a ) T , α 2 = (1 ,a,1)T,α =(a,1,1)T可由向量 3 组 β 1 = ( 1 ,1 , a ) T , β 2 = ( − 2 , a , 4 ) T , β 3 = ( − 2 , a , a ) T 线性表示,但向量组 β 1 , β 2 , β 3 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. P82【例3.16】 ( 1 9 9 2 ,1 ) 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性相关,向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关,问 (1)α 能否由 1 α 2 , α 3 线性表出?证明你的结论; (2)α 能否由 4 α 1 , α 2 , α 3 线性表出?证明你的结论.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P83【例3.17】设向量 第 58 页，共128页 β 可以由向量组 α 1 , α 2 , , α m 线性表出,但 β 不能由向量组α ,α , ,α 线 1 2 m−1 性表出.判断 (1)α 能否由 m α 1 , , α m − 1 , β 线性表出,为什么? (2)α 能否由 m α 1 , , α m − 1 线性表出,为什么? 练习:  2 0 1 3 , 2 1 , 3  设 A , B , C 均为 n 阶矩阵,若 A B = C 且 B 可逆,则( ) (A)矩阵C的行向量与矩阵 A 的行向量等价. (B)矩阵 C 的列向量与矩阵 A 的列向量等价. (C)矩阵 C 的行向量与矩阵 B 的行向量等价. (D)矩阵 C 的列向量与矩阵 B 的列向量等价.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P84【例3.18】已知 第 59 页，共128页 α 1 = ( 1 ,1 , 4 , 2 ) T , α 2 = ( 1 , − 1 , − 2 , 4 ) T , α 3 = ( − 3 , 1 , a , − 1 0 ) T , α 4 = ( 1 , 3 ,1 0 , 0 ) T ,求向 量组α ,α ,α ,α 的秩,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 1 2 3 4 P95【例3.19】已知 n 维向量 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,若 β 2 = 3 α 1 + ( k + 3 ) α 2 + 3 α 3 , β 3 = 5 α 1 + 5 α 2 + ( k + 5 ) α 3 . β 1 = ( k + 1 ) α 1 + α 2 + α 3 , 若 β 1 , β 2 , β 3 线性相关,求向量组 β 1 , β 2 , β 3 的一 个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P85【例3.20】已知向量组 第 60 页，共128页 ( I ) α 1 = ( 1 ,1 , a ) T , α 2 = ( 1 , a ,1 ) T 和 ( I I ) β 1 = ( a ,1 ,1 ) T , β 2 = ( 4 ,1 , − 5 ) T 等价, 则 a = _________. P85【例 3.21】设向量组(I)可由向量组(II)线性表出,且秩 r ( I ) = r ( I I )? ,证明向量组(I)与(II) 等价.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 3.n维向量 P86【例3.22】设 第 61 页，共128页 A 是 m  n 矩阵, B 是ns矩阵,证明秩 r ( A B )  m in ( r ( A ) , r ( B ) ) . P87【例3.23】证明:(1) r ( A + B )  r ( A , B )  r ( A ) + r ( B ) ; A B (2)r =r(A)+r(B).   O B李永乐线代强化 · 3.n维向量 P87【例3.24】 第 62 页，共128页 ( 2 0 0 8 ,1 ) 设 A = α α T + β β T , α , β 是三维列向量, α T 为α的转置, β T 为 β 的转置. (1)证明秩 r ( A )  2 ; (2)若 α , β 线性相关,则 r ( A )  2 . 练习: 1  2 0 1 8 , 2 1 , 3  设 A , B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X Y ) 表示分块矩阵,则( ) (A)r(A AB)=r(A). (B) r ( A B A ) = r ( A ) . (C) r ( A B ) = m a x  r ( A ) , r ( B ) . (D) r ( A B ) = r ( A T B T ) .李永乐线代强化 · 3.n维向量 练习:(2021,1)证明 第 63 页，共128页 r  B A A O A T  = 2 r ( A ) . 向量空间(仅数学一) P90【例3.25】 ( 2 0 0 3 ,1 ) 从 R 2 的基 α 1 =  1 0  , α 2 =  1 − 1  到基 β 1 =  1 1  , β 2 =  1 2  的过渡矩阵为 ___________.李永乐线代强化 · 3.n维向量 P90【例3.26】已知 第 64 页，共128页 α 1 = ( 1 , 2 ,1 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 3 ) T , α 3 = ( 3 , 7 ,1 ) T 与 β 1 = ( 2 ,1 ,1 ) T , β =(5,2,2)T, 2 β 3 = ( 1 , 3 , 4 ) T 是 R 3 的两组基,那么,在这两组基下有相同坐标的向量是___________. P91【例3.27】已知 α 1 , α 2 , α 3 和 β 1 , β 2 , β 3 是 R 3 的两组基,由基 α 1 , α 2 , α 3 到基 β 1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵是 C .其中 C =  0 − 2 1 1 − 3 4 1 − 2 4  ,而 β 1 = ( 0 ,1 , 1 ) T , β 2 = ( − 1 ,1 , 0 ) T , β 3 = ( 1 , 2 ,1 ) T . (1)求基α ,α ,α . 1 2 3 (2)求向量 ( 9 , 6 , 5 ) T  = 在基α ,α ,α 下的坐标. 1 2 3 (3)若向量 δ 在基 β 1 , β 2 , β 3 下的坐标是 ( 1 , − 3 , 5 ) T ,求 δ 在基α ,α ,α 下的坐标. 1 2 3李永乐线代强化 · 3.n维向量 P91【例3.28】设 第 65 页，共128页 α 1 = ( 1 , 2 , − a ) T , α 2 = ( 1 ,1 , 2 ) T , β 1 = ( a , 5 ,1 0 ) T , β 2 = ( 4 , a ,1 ) T .若 α 1 , α 2 , β 1 , β 2 生成的 向量空间 L ( α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ) ,维数是二. (1)求a. (2)证明 α 1 , α 2 和 β 1 , β 2 都是L(α ,α ,β ,β )的基,并求由基 1 2 1 2 α 1 , α 2 到 β 1 , β 2 的过渡矩阵. 习题部分(p94) 1.填空题 (1)向量α =(1,4,2)T,α =(2,7,3)T,α =(0,1,a)T可以表示任一个三维向量,则 1 2 3 a 的取值为 _________.李永乐线代强化 · 3.n维向量 (2)已知向量组 第 66 页，共128页 α 1 = ( 1 , 3 , 2 , a ) T , α 2 = ( 2 , 7 , a , 3 ) T , α 3 = ( 0 , a , 5 , − 5 ) T 线性相关,则 a = _________. (3)向量组 α 1 = ( 1 , 3 , 6 , 2 ) T , α 2 = ( 2 ,1 , 2 , − 1 ) T , α 3 = (1 , − 1 , a , − 2 ) T 的秩为2,则 a = _________. (4)设矩阵 A =  1 1 0 0 1 1 1 2 1  , α 1 , α 2 , α 3 为线性无关的三维列向量组,则向量组Aα ,Aα ,Aα 的秩为 1 2 3 ___________._李永乐线代强化 · 3.n维向量 (5)设矩阵 第 67 页，共128页 A =  1 0 2 3 1 − a 1 1 1 1 3 5 1 b 4 7  ,若 r ( A ) = 3 ,则 a , b 满足条件___________. 1 1 2 5 (6)已知A=  3 −2,0,3,B=  2 a 7  ,若      5   1 3 2  r ( A B + 2 B ) = 2 ,则a=________. 2.选择题 (1)设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,则线性无关的向量组是( ) (A)α −α ,α −α ,α −α . (B) 1 2 3 1 2 3 α 1 − α 2 , 2 α 2 + 3 α 3 , α 1 + α 3 . (C)α −α ,2α +α ,α +α +α . (D)α +α ,2α +3α ,5α +8α . 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2李永乐线代强化 · 3.n维向量 (2)设 第 68 页，共128页 α 1 =  1 0 6 a 1  , α 2 =  1 − 1 2 a 2  , α 3 =  2 0 7 a 3  , α 4 =  0 0 0 a 4  ,其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 为任意实数,则( ) (A) α 1 , α 2 , α 3 必线性相关. (B) α 1 , α 2 , α 3 必线性无关. (C)α ,α ,α ,α 必线性相关. (D) 1 2 3 4 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 必线性无关. (3)若r(α ,α , ,α )=r(sr),则( ) 1 2 s (A)向量组中任意r−1个向量都线性无关. (B)向量组中任意 r 个向量都线性无关. (C)向量组中任意 r + 1 个向量都线性相关. (D)向量组中任意 r 个向量都线性相关. (4)向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性无关的充分必要条件是( ) (A)α ,α , ,α 中任意 1 2 s s − 1 个向量都线性无关. (B)存在向量α 使向量组 s+1 α 1 , α 2 , , α s , α s+ 1 仍线性无关. (C)存在不全为0的一组数 k 1 , k 2 , , k s 使 k α1 1 + k 2 α 2 + + k αs s  0 . (D)任意不全为0的一组数 k 1 , k 2 , , k s 恒有 k α1 1 + k 2 α 2 + + k αs s  0 .李永乐线代强化 · 3.n维向量 3.解答题 (1)已知 第 69 页，共128页 n 维向量组(I) α 1 , α 2 , , α s 与(II) α 1 , α 2 , , α s , β 有相同的秩,证明 β 可以由 α 1 , α 2 , , α s 线性表出. (2)已知 n 维向量 α 1 , α 2 , , α s 非零且两两正交,证明 α 1 , α 2 , , α s 线性无关. (3)设 α 1 , α 2 , β 1 , β 2 均是三维列向量,且 α 1 , α 2 线性无关, β 1 , β 2 线性无关,证明存在非零向量,使 得既可由 α 1 , α 2 线性表出也可由 β 1 , β 2 线性表出.当 α 1 =  1 0 2  , α 2 =  2 − 3 1  , β 1 =  − 3 2 − 5  , β 2 =  0 1 1  时,求 出所有的向量 γ .李永乐线代强化 · 4.线性方程组 第四章 线性方程组 例题部分 P102【例4.1】求齐次方程组 第 70 页，共128页  x 2 x 1 x 1 + 2 + x + 3 + 2 x 3 x 2 3 + + x 4 x 4 x 3 − 4 + x + 4 5 x 5 x 4 + 6 x 5 = = = 0 0 0 , , 的基础解系. P103【例4.2】 ( 2 0 0 4 ,1 )  (1+a)x +x + +x =0, 1 2 n  2x +(2+a)x + +2x =0, 设有齐次线性方程组 1 2 n (n2),试问  nx +nx + +(n+a)x =0  1 2 n a 为何 值时,该方程组有非零解?并求其通解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P104【例4.3】已知 第 71 页，共128页 η 1 = ( 1 ,1 , 2 , 3 ) T , η 2 = ( 5 , − 1 , − 8 , 9 ) T 是 A x = 0 的基础解系,对 α 1 = ( 1 , − 1 , − 4 ,1 ) T , , α 2 = ( − 2 ,1 , 5 , − 3 ) T , α 3 = (1 , 2 , 7 0 ) T , α 4 = ( 0 ,1 , 3 ,1 ) T ,则 A x = 0 的基础解系可以是( ) (A) k α1 1 + k 2 α 2 ,  k 1 , k 2 . (B) α 1 + α 2 , α 3 + α 4 . (C)α ,α 的等价向量组. (D) 1 2 2 α 1 − α 4 , α 1 + α 4 . P105【例4.4】已知 A 是三阶非零矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组Ax=b的3个线性无关 的解.证明: α 1 − α 2 , α 1 − α 3 是齐次方程组 A x = 0 的基础解系.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 练习: 第 72 页，共128页 1  2 0 2 0 , 2 3  设四阶矩阵 A =  a ij  不可逆, a 12 的代数余子式 A 12  0 , α 1 , α 2 , α 3 , α 4 为矩阵 A 的 列向量组, A * 为 A 的伴随矩阵,则方程组 A * x = 0 的通解为( ) (A)x=kα +k α +k α ,其中 1 1 2 2 3 3 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. (B)x=kα +k α +k α ,其中 1 1 2 2 3 4 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. (C)x=kα +k α +k α ,其中 1 1 2 3 3 4 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. (D)x=kα +k α +k α ,其中 1 2 2 3 3 4 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. 练习:(2004,3)设n阶矩阵 A 的伴随矩阵A* O,若 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 是非齐次线性方程组 A x = b 的互 不相等的解,则对应的齐次线性方程组 A x = 0 的基础解系( ) (A)不存在. (B)仅含一个非零解向量. (C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P106【例4.5】解方程组 第 73 页，共128页  x 2 x 1 x 1 − 1 − x − x 2 x 3 + 2 + 2 + x x x 4 3 3 + + x 2 4 x 4 = = = 1 3 2 , , , 并求满足x =−x 的所有解. 1 2 P107【例4.6】当 a 取何值时,线性方程组  − a x x x 1 1 2 + − 3 4 x x 2 2 + ( a + 1 ) x 3 + − = x 3 3 x 0 = 3 1 = , 3 , 无解、有唯一解、有无 穷多解?并在有解时求其所有解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P108【例4.7】已知线性方程组 第 74 页，共128页  x x x x 1 1 1 1 − − + + x 3 x 7 2 x 2 x − 2 + 2 2 − a + x 5 x 1 3 x 3 0 + 3 + x + 3 3 x 2 4 x + 4 x 4 7 = 4 = x 0 , = − 1 , = 4 1 b , , 讨论参数a,b取何值时,方程组有解、 无解;当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解. P109【例4.8】 ( 2 0 0 4 , 4 ) x +x +x +x =0, 1 2 3 4  设线性方程组2x +x +x +2x =0,已知(1,−1,1,−1)T 1 2 3 4  3x +(2+)x +(4+)x +4x =1,  1 2 3 4 是该方程组的一个解.试求 (I)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (II)该方程组满足 x 2 = x 3 的全部解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P110【例4.9】四元方程组 第 75 页，共128页 A x = b 中,系数矩阵的秩 r ( A ) = 3 , α 1 , α 2 , α 3 是方程组的三个解,若 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ,1 ) T , α 2 + α 3 = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T ,则方程组通解为__________. 练习:  2 0 1 7 , 2 1 , 3  设三阶矩阵 A =  α 1 , α 2 , α 3  有3个不同的特征值,且 α 3 = α 1 + 2 α 2 . (I)证明 r ( A ) = 2 . (II)若β=α +α +α ,求方程组Ax=β的通解. 1 2 3李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P112【例4.10】 第 76 页，共128页 ( 2 0 0 0 , 2 ) 已知 α =  1 2 1  , β =  1 1 20  , γ =  0 0 8  , A = α β T , B = β T α .求解方程 2 B 2 A 2 x = A 4 x + B 4 x + γ . P112【例4.11】  2 0 1 6 , 2 3  设矩阵 A =  a 1 1 + 1 1 0 1 1 a − a + a 1  , β =  2 a 0 1 − 2  ,且方程组Ax=β无解. (I)求 a 的值. (II)求方程组ATAx=ATβ的通解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P113【例4.12】线性方程组 第 77 页，共128页 A x = b 1 0 3 2 −1    a−3 2 6 a−1 经初等行变换其增广矩阵化为 ,  a−2 a −2     −3 a+1 若方程组无解,则 a = ( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. P114【例4.13】下列命题中正确的命题是( ) (A)方程组 A x = b 有唯一解 A 0. (B)若 A x = 0 只有零解,那么 A x = b 有唯一解. (C)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解. (D)若 A x = b 有两个不同的解,那么 A x = 0 有无穷多解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P115【例4.14】设 第 78 页，共128页 A 是 m  n 矩阵,非齐次线性方程组 A x = b 有解的充分条件是( ) (A)A的行向量组线性无关. (B)A的行向量组线性相关. (C)A的列向量组线性无关. (D) A 的列向量组线性相关. P115【例4.15】线性方程组 A x = b 的系数矩阵是 4  5 矩阵,且 A 的行向量组线性无关,则错误 的命题是( ) (A)齐次线性方程组 A T x = 0 只有零解. (B)齐次线性方程组ATAx=0必有非零解. (C)任意b,方程组Ax=b必有无穷多解. (D)任意b,方程组ATx=b必有唯一解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P116【例4.16】设有两个四元齐次线性方程组(I) 第 79 页，共128页  x x 1 2 + − x x 2 4 = = 0 0 , ; (II)  x x 1 2 − − x x 2 3 + + x x 3 4 = = 0 0 , . 试问方程 组(I)和(II)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由. P117【例4.17】 ( 2 0 0 2 , 4 ) * 已知四元齐次线性方程组(I)和(II)的基础解系分别是 (I)α =(5,−3,1,0)T,α =(−3,2,0,1)T和(II)β =(2−1,a+2,1)T, β =(−1,2,4,a+8)T,求方程组(I) 1 2 1 2 和(II)的非零公共解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P118【例4.18】 第 80 页，共128页  2 0 0 7 , 1 3 , , 2 4  设线性方程组  x x x 1 1 1 + + + x 2 4 2 x x + 2 2 + + x 3 a a = x 2 3 x 0 , = = 3 0 , 0 与方程x +2x +x =a−1有公共 1 2 3 解,求 a 的值及所有公共解. P119【例4.19】设 A 与 B 均是n阶矩阵,且秩r(A)+r(B)n,证明方程组Ax=0与 B x = 0 有非 零公共解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P119【例4.20】 第 81 页，共128页  2 0 0 5 , 3 4  已知齐次方程组(I)  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + x x 3 2 2 x + + 3 + 2 a x x 5 3 3 x = = = 3 0 0 , 0 , 和(II)  x 2 1 x + 1 b + x b 22 + x 2 c x + 3( c + 1 ) x 3 = = 0 0 , 同解,求 a , b , c 的值. P120【例4.21】设 A 是 m  n 阶矩阵,证明齐次线性方程组(I)ATAx=0与( )Ax=0同解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 练习:已知 第 82 页，共128页 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  s 矩阵,若 r ( A ) = n ,证明 A B x = 0 与 B x = 0 同解. 练习: 2 ( 2 0 2 2 ,1 ) * 设 A , B 为n阶矩阵,且 A x = 0 与 B x = 0 同解,证明  A O B B  y = 0 与  B O A A  y = 0 同解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P121【例4.22】与矩阵 第 83 页，共128页 A =  1 1 2 − 1  可交换的所有矩阵是_________. P122【例4.23】 ( 2 0 1 3 , 2 , 3 ) 设 A =  1 1 a 0  , B =  0 1 1 b  ,当 a , b 为何值时,存在矩阵 C 使得 A C − C A = B ?并求所有矩阵 C .李永乐线代强化 · 4.线性方程组 P123【例4.24】已知 第 84 页，共128页 A =  1 0 2 1 1 3 1 − a 1  和 B =  a 1 2 + 3 − 2 0 1 a 2 1 + 4  ,知Ax=0有非零解且 A 经列变 换能得到矩阵 B . (I)求 a 的值. (II)求满足 A P = B 的可逆矩阵 P . (III) A 能否经行变换得到矩阵B?请说明理由. P124【例4.25】 ( 2 0 0 0 , 3 ) 设向量组 α 1 = ( a , 2 ,1 0 ) T , α 2 = ( − 2 ,1 , 5 ) T , α 3 = ( − 1 ,1 , 4 ) T , β = ( 1 , b , c ) T .试 问当 a , b , c 满足什么条件时 (1)β可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出,且表示唯一? (2)β不能由α ,α ,α 线性表出? 1 2 3 (3)β可由α ,α ,α 线性表出,但表示法不唯一?并写出一般表达式. 1 2 3李永乐线代强化 · 4.线性方程组 习题部分(p126) 1.填空题 (1)方程 第 85 页，共128页 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 0 的通解是___________. (2)设矩阵 A =  3 2 1 − − 2 a a 2 2 1 − − a a 2 − 1 1 a  , b =  1 a − 1  ,若方程组 A x = b 有解且不唯一,则 a = __________. (3)已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次方程组 A x = β 的3个不同的解,若 a α 1 + 3 α 2 + b α 3 是Ax=0的解, 4aα −3bα −α 是Ax=β的解,则a=_________. 1 2 3李永乐线代强化 · 4.线性方程组 (4)设 第 86 页，共128页 α 1 , α 2 , α 3 是四元非齐次线性方程组 A x = b 的3个解向量,且秩 r ( A ) = 3 ,若 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , 2 α 2 − 3 α 3 = ( 0 ,1 , − 1 , 0 ) T ,则方程组 A x = b 的通解是__________ (5)已知方程组  2 4 x x x 1 1 1 + − + x x 2 3 2 x = + 3 + 2 0 x 3 tx 3 = = 0 0 的系数矩阵是 A .若 B 是三阶非零矩阵且 A B = O ,则 B = _________.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 (6)已知 第 87 页，共128页 A 是三阶矩阵,且 r ( A * ) = 1 .若 ξ 1 = ( − 3 , 2 , 0 ) T , ξ 2 = (1 , 0 , 2 ) T 是方程组 A x = b 的2个解, 则方程组 A x = b 的通解是__________. 2.选择题 (1)设齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系是 η 1 , η 2 , η 3 , η 4 ,则此方程组的基础解系还可以是 ( ) (A) η 1 + η 2 , η 2 + η 3 , η 3 + η 4 , η 4 + η 1 . (B) η 1 − η 2 , η 2 − η 3 , η 3 + η 4 , η 4 + η 1 . (C) η 1 , η 2 + η 3 , η 1 + η 2 − η 3 + η 4 . (D) η 1 − η 2 , η 2 − η 3 , η 3 − η 4 , η 4 + η 1 . (2)设 A 是 m  n 矩阵,秩 r ( A ) = n − 2 ,若α ,α ,α 是非齐次线性方程组 1 2 3 A x = b 的3个线性无关 的解, k 1 , k 2 为任意常数,则方程组 A x = b 的通解是( ) (A) k 1 ( α 1 − α 2 ) + k 2 ( α 2 − α 3 ) . (B) α 1 + k 1 ( α 2 + α 3 ) + k 2 ( α 1 + α 3 ) . 1 (C) (α +α +α )+k (α −α )+k (α −α ). (D) 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 1 (α +α )+k (α −α )+k (α −α ). 2 1 2 1 2 3 2 3 2李永乐线代强化 · 4.线性方程组 (3)设 第 88 页，共128页 A 是秩为 n − 1 的 n 阶矩阵, α 1 与 α 2 是齐次方程组 A x = 0 的两个不同的解向量,则 A x = 0 的通解必定是( ) (A)k(α +α ). (B)k(α −α ). (C) 1 2 1 2 k 1 . (D)α −α . 1 2 3.解答题 (1)设 A =  1 3 2 4  ,求与矩阵 A 可交换的矩阵. (2)设矩阵 A =  1 0 1 2 1 a 1 a 0 2 a 1  ,若齐次线性方程组 A x = 0 的基础解系有2个线性无关的解向量, 试求方程组 A x = 0 的通解.李永乐线代强化 · 4.线性方程组 x +3x +2x +x =1, 1 2 3 4  (3)设线性方程组x +ax −ax =−1,问 a 为何值时方程组有解?并在有解时求其所有的解. 2 3 4  x +2x +3x =3, 1 2 4 (4)设A=α ,α ,α ,α 是四阶矩阵,方程组Ax=b的通解是(2,1,0,1)T +k(1,−1,2,0)T.证明: 1 2 3 4 第 89 页，共128页 α 4 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出,但α 可由 4 α 1 ,α ,b线性表出并写出表达式. 2李永乐线代强化 · 4.线性方程组 第 90 页，共128页公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 第五章 特征值与特征向量 例题部分 P134【例5.1】求矩阵 第 91 页，共128页 A =  1 1 − 3 1 − 2 1 − 2 3 1  的特征值与特征向量. 1 2 4   P135【例5.2】求矩阵A= 0 3 5 的特征值与特征向量.    0 0 6 李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P135【例5.3】求矩阵 第 92 页，共128页 A =  2 4 6 1 2 3 3 6 9  的特征值与特征向量. P136【例5.4】求矩阵 A =  3 1 0 0 − 1 0 0 1 3 4 5 3 0 − − − 1 3 1  的特征值与特征向量.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 【例5.5】已知 第 93 页，共128页 a  0 ,求矩阵 A =  1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1  的特征值、特征向量. P138【例5.6】设A是 n 阶矩阵, α 是矩阵A属于特征值的特征向量,即A=,0,求解 A + k E 、 A 2 、A−1的特征值与特征向量.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P138【例5.7】已知 第 94 页，共128页 A 是三阶矩阵,如果非齐次线性方程组 A x = b 有通解5b+kη +k η ,其中 1 1 2 2 η 1 , η 2 是 A x = 0 的基础解系,求 A 的特征值和特征向量. P139【例5.8】如果P−1AP=B, (1)若Aα=α,α0,则求解P−1AP的特征值和特征向量. (2)若 B α α , α 0  =  ,则求解 A 的特征值与特征向量.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P139【例5.9】已知 第 95 页，共128页 A , B 是三阶矩阵且 A 可逆,证明 A B 和 B A 有相同的特征值. P139【例5.10】设 A 为三阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是线性无关的三维列向量, A α 2 = α 3 , A α 3 = 2 α 2 + α 3 A α 1 = − 2 α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 , ,求 A 的特征值、特征向量.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P140【例5.11】已知 第 96 页，共128页 A  B ,且 B =  2 1 3 1 1 0 3 0 1  ,则秩 r ( A 2 + A − 2 E ) = ___________. P140【例512】不能相似对角化的矩阵是( ) 1 2 1   (A) 0 3 0 . (B)    0 0 0   1 1 1 2 2 2 − − − 3 3 3  . (C)  1 2 3 1 2 3 1 2 3  . (D)  1 2 3 2 4 5 3 5 6  .李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P140【例5.13】判断矩阵 第 97 页，共128页 A 和 B 是否相似,并说明理由. 1 2 2 4 (1)A= ,B= .     0 0 0 0 3 0 3 1 (2)A= ,B= .     0 3 0 3 2 0 0 2 1 0     (3)A= 0 2 2 ,B= 0 2 1 .      0 0 2   0 0 2  2 1 −1 2 0 1     P141【例5.14】证明A= 1 2 1 和B= −1 3 1 相似.      −1 1 2   2 0 1 李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 练习:在此题条件下,求可逆矩阵 第 98 页，共128页 P 使 P − 1 A P = B . P142【例5.15】设 A 是三阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是三维线性无关的列向量,且 A 1 1 2 2 3 ,     A 2 1 3 2 6 3 , = − +     = + − A 3 0  = . (I)判断矩阵 A 能否相似对角化,说明理由. (II)求秩 r ( A + E ) .李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P143【例5.16】已知 第 99 页，共128页 A 是三阶矩阵满足 A 2 = 5 A 且 r ( A ) = 2 .证明A必可相似对角化. P143【例5.17】已知 A =  1 − 2 − 4 − − 2 x 2 − 4 − 2 1  和 B =  5 0 0 0 y 0 0 0 − 4  相似,则 y = __________.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P144【例5.18】已知矩阵 第 100 页，共128页 A =  1 − 1 1 a 4 − 2 − − 5 3 3  的特征值有重根,判断矩阵 A 能否相似对角化,并 说明理由. 练习:(2003)设矩阵 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 a  1   可逆,向量α= b 是矩阵A*的一个特征向量,是    1  α 对应的 特征值,其中 A * 是 A 的伴随矩阵.试求 a , b 和的值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P145【例5.19】 第 101 页，共128页  2 0 2 1 , 2 3  设矩阵 A =  2 1 1 1 2 a 0 0 b  仅有两个不同的特征值.若 A 相似于对角矩阵, 求 a , b 的值,并求可逆矩阵 P ,使 P − 1 A P 为对角矩阵. P146【例5.20】设 A 为二阶矩阵,α ,α 是线性无关的二维列向量,且满足 1 2 A α 2 = − 2 α 1 + 3 α 2 A α 1 = α 2 , . (I)求矩阵 A 的特征值. (II)求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P147【例5.21】已知矩阵 第 102 页，共128页 A =  1 2 4 3  和 B =  6 − 1 a b  相似,求 a , b 的值,并求可逆矩阵 P 使 P − 1 A P = B . P147【例5.22】已知 A =  1 0 1 1 a − 1 2 2 0  ,且 0  = 是 A 的特征值,求 a 和An.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P148【例5.23】设 第 103 页，共128页 A =  3 − 1 4 − 1  , P =  2 − 1 3 − 1  , B = P − 1 A P ,求 A 100 . P149【例5.24】已知 A 是3阶矩阵,特征值是 1 , − 1 , 0 对应的特征向量依次为 α 2 = ( a , a + 3 , a + 2 ) T , α 1 = ( 1 , 2 a , − 1 ) T , α =(a−2,−1,a+1)T,又知 3 a 使方程组  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + 2 x ( x 2 a 2 − + + x 4 a 3) x x 3 2 + 5 x 3 = = = 3 6 3 , , , 有无穷多 解. (I)求 a . (II)求矩阵 A 和 r ( A 2 − E ) .李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P150【例5.25】已知3阶矩阵 第 104 页，共128页 A 的第一行元素全是1,且 α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α 3 = ( 1 , − 1 , 0 ) T α 2 = ( 1 , 0 , − 1 ) T , 是矩阵 A 的3个线性无关的特征向量, (I)求矩阵 A , (II)求齐次方程组 ( A − 3 E ) x = 0 的通解. P150【例5.26】设 A 是3阶实对称矩阵,秩 r ( A ) = 2 ,若 A 2 = A ,则 A 的特征值是_________.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 P151【例5.27】设 第 105 页，共128页 A =  3 − 2 − 4 − 2 a − 2 − 4 − 2 3  的特征值有重根. (I)求 a 的值. (II)求正交矩阵Q,使QTAQ=Λ. P152【例5.28】设 A 为3阶实对称矩阵, A 的秩为2,且AB−6B=O,其中 B =  1 1 0 2 a 1 − a 2 − 3  (I)求 a 的值. (II)求矩阵 A 的特征值、特征向量. (III)求 A 和 ( A − 3 E 100 ) .李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 习题部分(p155) 1.填空题 (1)若1是矩阵 第 106 页，共128页 A =  2 5 − 1 − a 1 1 2 3 − 2  的特征值,则a=__________. (2)设 A 是三阶矩阵,且矩阵 A 的各行元素之和均为5,则矩阵 A 必有特征向量_________. 3 a (3)已知矩阵A= 只有一个线性无关的特征向量,则   1 5 a = __________.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 (4)A是四阶矩阵,伴随矩阵 第 107 页，共128页 A * 的特征值是 1 , − 2 , − 4 , 8 ,则矩阵A的特征值是________. (5)已知 α = ( 1 , a ,1 ) T 是 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 2  的特征向量,则a=__________. 2.选择题 1 1 1   (1)矩阵A= 1 3 1 的三个特征值是( )    1 1 1  (A)1,4,0. (B)2,3,0. (C)2,4,0. (D)2,4,−1.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 (2)设 第 108 页，共128页 A 是三阶不可逆矩阵, α 1 , α 2 是 A x = 0 的基础解系, α 3 是 A 属于特征值 1  = 的特征向量, 则下列不是 A 的特征向量的是( ) (A)α +3α . (B) 1 2 5 α 3 . (C)α −α . (D)α −α . 1 2 2 3 (3)与矩阵 A =  1 0 2 3  不相似的矩阵是( ) 1 0 3 5 (A) . (B) . (C)     2 3 0 1  1 3 1 3  2 1 . (D) .   1 2 (4)不能相似对角化的矩阵是( ) (A)  1 2 − 1 2 0 0 − 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0 0       . (B) 1 0 0 . (C) 0 0 0 . (D) 0 1 0 .        0 2 1   1 2 −1   0 1 2 李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 3.解答题 (1)已知 第 109 页，共128页 A 是三阶实对称矩阵,特征值是1,1,−2,其中属于=−2的特征向量是α=(1,0,1)T,求 A 3 . (2)已知矩阵 A =  2 3 0 1 0 0 1 a 3  与对角矩阵Λ相似,求a的值,并求可逆矩阵 P ,使P−1AP=Λ.李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 (3)已知 第 110 页，共128页 2  = 是矩阵 A =  4 2 2 2 4 a a 2 a + 2  的一重特征值,求 a 的值并求正交矩阵 Q 使 Q − 1 A Q = Λ . (4)设 α 1 , α 2 是矩阵 A 属于不同特征值的特征向量,证明α +α 不是矩阵 1 2 A 的特征向量.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 5.特征值与特征向量 (5)设 第 111 页，共128页 A 是 n 阶矩阵, A  O 但 A 3 = O ,证明 A 不能相似对角化.李永乐线代强化 · 6.二次型 第六章 二次型 例题部分 P163【例6.1】二次型 第 112 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) ( x 1 − 2 x 2 + x 3 ) 的矩阵 A = ___________. P163【例6.2】二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 的秩为2,则 a = __________. P164【例6.3】二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 + ( x 3 + x 1 ) 2 的正惯性指数 p = __________.李永乐线代强化 · 6.二次型 P164【例6.4】用配方法化二次型 第 113 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 3 x 22 + 3 x 23 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 为标准形,并写出所 用坐标变换. P165【例6.5】用配方法化二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 为标准形,并写出所用坐标变换.李永乐线代强化 · 6.二次型 P166【例6.6】已知二次型 第 114 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 + a x 23 + 2 x 2 x 3 经正交变换 x = P y 可化成标准形 y 21 + b y 22 − y 23 ,则 a = __________. P166【例6.7】已知二次型 x T A x = x 21 − 5 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2bx x 的秩为 2 3 2 , ( 2 ,1 , 2 ) T 是 A 的特征向量,那么经正交变换二次型的标准形是_________.李永乐线代强化 · 6.二次型 P167【例6.8】已知二次型 第 115 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 − 3 x 22 − 3 x 23 + 2 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 . (1)写出二次型 f 的矩阵表达式. (2)用正交变换把二次型 f 化成标准形,并写出相应的正交矩阵. (3)如 x T x = 5 ,求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值. P168【例6.9】已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 − x 23 + 4 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 , g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 23 + 6 y 1 y 2 . 是 否存在正交变换 x = Q y 可将 f 化成 g .若存在,则求正交矩阵 Q ,若不存在,则讲明原因.李永乐线代强化 · 6.二次型 P170【例6.10】二次型 第 116 页，共128页 x T A x 经坐标变换 x = C y 得二次型 y T B y = 2 y 22 + 2 y 23 + 2 y 2 y 3 ,则二次型 x T A x 的规范形是__________. P170【例6.11】化二次型 f = 2 x 22 + 2 x 1 x 3 为规范形,并写出所用坐标变换.李永乐线代强化 · 6.二次型 P172【例6.12】已知二次型 第 117 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x = a x 21 + a x 22 + a x 23 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 2 x 2 x 3 的规范形 是 y 21 + y 22 . (I)求a的值. (II)利用正交变换将二次型 f 化为标准形,并写出所用的正交变换. P173【例6.13】设三元二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 的矩阵 A 满足A2 −2A= O ,且α =(0,1,1)T 1 是齐次线性方程组Ax=0的基础解系. (I)求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的表达式. (II)若二次型 x T ( A + k E ) x 的规范形是 y 21 + y 22 − y 23 ,求 k .李永乐线代强化 · 6.二次型 P174【例6.14】下列矩阵中,正定矩阵是( ) 1 2 1  1 3 4 1 2 3  2 −2 0         (A) 2 5 0 . (B) 3 9 2 . (C) 2 5 7 . (D) −2 5 −1 .          1 0 −3   4 2 6   3 7 10    0 −1 2  P174【例6.15】二次型 第 118 页，共128页 x 21 + 4 x 22 + 4 x 23 + 2 tx 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 正定,则 t 的取值范围是_______.李永乐线代强化 · 6.二次型 P174【例6.16】判断 第 119 页，共128页 n 元二次型 n i= 1 x 2i + 1 i j n x xi j 的正定性. P175【例6.17】设A是三阶非零实对称矩阵,且满足 A 2 + 2 A = O ,若 k A + E 是正定矩阵,则 k _________.李永乐线代强化 · 6.二次型 P175【例6.18】已知矩阵 第 120 页，共128页 A 是 n 阶正定矩阵,证明 A − 1 是正定矩阵. P176【例6.19】已知A与A−E均是 n 阶正定矩阵,证明 E − A − 1 是正定矩阵.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李永乐线代强化 · 6.二次型 P176【例6.20】已知 第 121 页，共128页 A 是三阶对称矩阵,证明矩阵 A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 C 使 A = C T C . P177【例6.21】已知 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 2  ,求正定矩阵 B ,使 A = B 2 .李永乐线代强化 · 6.二次型 P178【例6.22】设 第 122 页，共128页 A 是 n 阶正定矩阵, B 是 n 阶反对称矩阵,证明矩阵 A − B 2 可逆. 练习:设A是 m  n 矩阵, r ( A ) = n ,证明xTATAx是正定二次型.李永乐线代强化 · 6.二次型 练习: 第 123 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 2 ) 2 + ( x 2 + a x 3 ) 2 + ( x 3 + a x 1 ) 2 是正定二次型,则 a 的取值_________. P179【例6.23】证明矩阵 A =  1 0 0 2  , B =  1 0 0 4  等价、合同但不相似. P180【例6.24】证明矩阵 A =  1 2  与 B =  1 − 4  不合同.李永乐线代强化 · 6.二次型 P180【例6.25】判断 第 124 页，共128页 A =  1 1 1 1 1 1 1 1 1  , B =  3 0 0 0 0 0 0 0 0  是否等价、相似、合同. P180【例6.26】设 A 是三阶实对称矩阵,将矩阵 A 的1,2两行互换后再1,2两列互换得到的矩 阵是 B ,试判断 A 与 B 是否等价、相似、合同.李永乐线代强化 · 6.二次型 练习:举2阶矩阵的例子,它们有相同的特征值但是不相似. 练习:(2013)矩阵 第 125 页，共128页  1 a 1 a b a 1 a 1  和  2 0 0 0 b 0 0 0 0  相似的充分必要条件是( ) (A)a=0,b=2. (B) a = 0 , b 任意常数. (C)a=2,b=0. (D) a = 2 , b 任意常数. 习题部分(p183) 1.填空题 (1)二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 − 3 x 23 − 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 − 6 x 2 x 3 的秩 r ( f ) = _______.李永乐线代强化 · 6.二次型 (2)二次型 f (x,x ,x )=2x2 +2xx −2xx +2ax x 的秩为2,则 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 第 126 页，共128页 f 在正交变换下的标准形是 ________. (3)二次型 f = x 21 − x 2 x 3 的规范形是________. (4)二次型5x2 +x2 +tx2 +4xx −2xx −2x x 正定,则 1 2 3 1 2 1 3 2 3 t ________.李永乐线代强化 · 6.二次型 (5)已知 第 127 页，共128页 A =  1 1 1 1 1 1 1 1 1  ,若A+kE是正定矩阵,则 k _______. 2.选择题 (1)与矩阵 A =  1 0 0 0 − 2 1 0 2 2  合同的矩阵是( ) 1    (A) −1 . (B)     0   1 1 − 1  . (C)  1 − 1 − 1  . (D)  − 1 − 1 − 1  . (2)对于 n 元二次型 x T A x ,下述结论中正确的是( ) (A)化 x T A x 为标准形的坐标变换是唯一的. (B)化 x T A x 为规范形的坐标变换是唯一的. (C)xTAx的标准形是唯一的. (D)xTAx的规范形是唯一的.李永乐线代强化 · 6.二次型 (3)n元二次型 第 128 页，共128页 x T A x 正定的充分必要条件是( ) (A)存在正交矩阵 P , P T A P = E . (B)负惯性指数为零. (C)A与单位矩阵合同. (D)存在 n 阶矩阵 C ,使 A = C T C . 3.解答题 (1)已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 5 x 21 + 5 x 22 + c x 23 + 2 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 − 4 x 2 x 3 的秩为2,求c,并用正交变换 把 f 化成标准形,写出相应的正交矩阵. (2)已知 A 是 n 阶正定矩阵,证明 A 的伴随矩阵 A * 是正定矩阵.李永乐线代强化 · 6.二次型 (3)设二次型 第 129 页，共128页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 − x 22 + a x 23 + 2 x 1 x 2 − 8 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 在正交变换 x = Q y 下的标准形为 1 y 21 2 y 22   + ,求 a 的值及一个正交矩阵 Q .