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2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重点难点过关测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．如图，菱形ABCD的顶点A，B 分别在y 轴正半轴，x 轴正半轴上，点C 的横坐标为10，点D 的
纵坐标为8，若直线AC 平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9
B．√41
C．6
D．3
2．班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在C 座位，三位同学随机坐在
A 、B、D三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（ ）
A．1
4
B．
C．
D．1
2
3．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外完全相同的小球，其中有9 个黄球，摇匀后任意摸出一球记
下颜色后放回，大量重复实验后发现摸到黄球的频率稳定在30 %，估计盒中小球的个数n 为
（ ）
A．20
B．24
C．28
D．30
4．（2023 春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC =3，将△ABC沿
AC折叠，点B对应点为点E，则EF
AF =（ ）
A．
B．7
25
C．7
24
D．
5．若a，b 是方程x
2+2 x−2023=0的两根，则a
2+3a+b=（ ）
A．2024
B．2023
C．2022
D．2021
6．对于一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c =0，则b
2−4 ac≥0；
②若方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则方程a x
2+bx +c =0必有两个不相等的实根；
③若c 是方程a x
2+bx +c =0的一个根，则一定有
成立；
④存在实数m、n(m≠n)，使得am
2+bm+c =an
2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
7．某商场销售一款T恤，进价为每件40 元，当售价为每件60 元时，平均每周可卖出200 件，为扩
大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1 元，平均每周可多卖出8 件，
若要使每周销售该款T恤获利8450 元，设每件降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8 x)=8450
B．(20−x)(200+ x)=8450
C．
D．(20−x)(200+8 x)=8450
8．如图，在正方形ABCD中，点E 在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C．若
AD =2，则矩形DEFG的面积是（ ）
A．2
B．4
C．2√2
D．
9．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，
CD于点E，F，且∠EOF =90°，OC与EF交于点G．下列结论中：①△OEF是等腰直角三角形；
②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的1
4 ；③OC = EF；④D F
2+C F
2= E F
2．正确的有
（ ）
A．①③④
B．②③
C．①②③④
D．①②④
10．勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究
做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400 余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使
用的图形.以Rt△ABC(∠ABC =90°)的三边a,b,c为边分别向外作三个正方形：正方形ACED、正
方形AFHB、正方形BCNM，再作CG⊥FH垂足为G，交AB于P，连接BD，CF.则结论：①
∠DAB =∠CAF，②△DAB ≌△CAF，③S
ACED
正
方
形=2S△ADB，④S
AFGP
矩
形=2S△ACF.正确的结论有
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．
11．（2023 春·重庆巴南·八年级统考期中）如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折
叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD =10，CF = 4，则DE的长为 ．
12．（2023 春·江苏常州·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC =80°，延长
BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得
，过点D作DF ⊥CM，垂足为点F．若
，
则BD = ．
13．已知关于x的一元一次方程3 x−6=0与一元二次方程x
2+bx +c =0有一个公共解，若关于x的一
元二次方程
有两个相等的实数解，则b+c的值为 ．
14．一个三角形的两边长为3 和5，第三边长为方程x
2−5 x +6=0的根，则这个三角形的周长为
．
15．已知关于一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，有下列说法：
①若a−b+c =0则b
2−4 ac≥0；
②若方程a x
2+bx +c =0两根为1 和2，则2a−c =0；
③若方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则方程a x
2+bx +c =0必有实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．（填写序号）
16．（2023 春·山东烟台·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是边长为3 的菱形，对角线
AC 、BD的长度分别是关于x 的一元二次方程x
2−mx −x +2m=0的两实数根，DH ⊥AB于点H，
则DH的长度是 ．
17．若实数x 满足
，则x
2−x +1= ．
18．（2023 春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC =60°，
点E为AB中点，点P在对角线BD上运动，若PE + PA =√3，则AB长的最大值为 ．
19．（2023 春·江西赣州·八年级校联考期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，
∠BAE =30°，若点F在正方形ABCD的边上，且AE = EF，则∠AEF的度数为 ．
20．（2023·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD =6，点E为边BC
上的动点，连接AE，过点E作EF ⊥AE，且EF = AE，连接CF，则线段CF长度的最小值为 ．
三、解答题：本题共7 小题，共60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（6 分）（2023 春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
AB = BC =2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．
(1)求证：四边形CDEF为菱形；
(2)连接DF交AC于点G，若DF =3，CD = 5
2，求四边形CDEF的面积．
22．（8 分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了
部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/
min
人数
0< x ≤20
20
20< x ≤40
a
40< x ≤60
25
60< x ≤80
15
x>80
10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中a=______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60< x ≤80”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四
本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，
请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
23．（8 分）已知关于x的方程
．
(1)圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
(2)当m=2时；
①若该方程有实数解，求n的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为x1和x2，满足
，求n的值．
24．（9 分）盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万
人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次．
(1)求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价
25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小
长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，
又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
25．（9 分）图1 是某重型卡车，图2 是一个长方体木箱从重型卡车上卸下某时刻的平面示意图．已
知重型卡车车身的高度AC为4m，卸货时会利用到辅助挡板BA，此时BA弯折落在B A
'处（即
B A
' = BA），AC ⊥A
'C，经过测量得A
'C =2m，ED =5m，四边形DEFG为矩形，当木箱底部顶
点G 与点A
'重合时（A
'C为水平线，AM，BN，A
'C互相平行）．
(1)求BA的长．
(2)求图中木箱上点F 到直线A
'C的距离．
26．（10 分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于
点E，CF ∥AE交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形
是矩形．
(2)若四边形ABCD为菱形，H 为AB中点，连接
，若DF =3，AE = 4，则
长为 ．
27．（10 分）（2023 春·山东德州·八年级统考期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC
的中点，∠AEF =90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
(1)［观察猜想］填空：AE与EF的数量关系___________（提示：取AB的中点M，连接EM）；
(2)［类比探究］如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余
条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)［拓展应用］如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其
余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
B 卷·重点难点过关测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．如图，菱形ABCD的顶点A，B 分别在y 轴正半轴，x 轴正半轴上，点C 的横坐标为10，点D 的
纵坐标为8，若直线AC 平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9
B．√41
C．6
D．3
【答案】B
【详解】解：连接AC，BD交于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC ⊥BD , AM = 1
2 AC ,BM = 1
2 BD，
∵AC平行x 轴，AO⊥OB，
，
∵点C 的横坐标为10，点D 的纵坐标为8，
AC =10,BD =8，
∴AM = 1
2 ×10=5,BM = 1
2 ×8= 4，
∴AB =√A M
2+ B M
2=√5
2+ 4
2=√41．
∴菱形ABCD的边长值为√41．
故选B．
2．班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在C 座位，三位同学随机坐在
A 、B、D三个座位，则甲、乙两位同学座位相邻的概率是（ ）
A．1
4
B．
C．
D．1
2
【答案】C
【详解】解：画树状图如下：
共有6 种等可能的结果，其中甲、乙两位同学座位相邻的结果有4 种，即AB、AD、BA 、DA，
∴甲、乙两位同学座位相邻的概率为4
6 = 2
3，
故选：C．
3．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外完全相同的小球，其中有9 个黄球，摇匀后任意摸出一球记
下颜色后放回，大量重复实验后发现摸到黄球的频率稳定在30 %，估计盒中小球的个数n 为
（ ）
A．20
B．24
C．28
D．30
【答案】D
【详解】由于该盒子中共有n 个小球，
则：9
n =30 %，
解得：n=30，
∴该盒子中小球个数为30 个，
故选：D．
4．（2023 春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC =3，将△ABC沿
AC折叠，点B对应点为点E，则EF
AF =（ ）
A．
B．7
25
C．7
24
D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB = 4，BC =3，
∴AB =CD = 4，BC = AD =3，
，AB∥CD，
∴∠FCA =∠BAC，
由折叠可知，
，AB = AE = 4，CE = BC =3，∠BAC =∠FAC =∠FCA，
∴AF =CF ，
设EF = x，则AF =CF = 4−x，
在Rt△CEF中，E F
2+C E
2=C F
2，
x
2+3
2=(4−x)
2，
解得：x = 7
8，
∴EF = 7
8，AF = AE−EF = 4−7
8 = 25
8 ，
∴EF
AF = 7
25．
故选B．
5．若a，b 是方程x
2+2 x−2023=0的两根，则a
2+3a+b=（ ）
A．2024
B．2023
C．2022
D．2021
【答案】D
【详解】解：由题意，a
2+2a−2023=0，a+b=−2，
∴a
2+2a=2023．
∴a
2+3a+b=a
2+2a+a+b=2023−2=2021．
故选：D.
6．对于一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c =0，则b
2−4 ac≥0；
②若方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则方程a x
2+bx +c =0必有两个不相等的实根；
③若c 是方程a x
2+bx +c =0的一个根，则一定有
成立；
④存在实数m、n(m≠n)，使得am
2+bm+c =an
2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【详解】解：∵ a+b+c =0
∴x =1是一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的一个解，即方程有解，
∴b
2−4 ac≥0，①正确；
方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则−4 ac>0，即4 ac<0
方程a x
2+bx +c =0的判别式为b
2−4 ac>0，
∴方程a x
2+bx +c =0必有两个不相等的实根，②正确；
若c 是方程a x
2+bx +c =0的一个根，则ac
2+bc +c =0，即c (ac +b+1)=0
∴c =0或
，③错误；
由am
2+bm+c =an
2+bn+c可得，a(m
2−n
2)+b(m−n)=0
即(m−n)(am+an+b)=0
∵m≠n
∴m−n≠0
∴am+an+b=0
所以m、n只需要满足am+an+b=0即可得到am
2+bm+c =an
2+bn+c，④正确；
故选：B
7．某商场销售一款T恤，进价为每件40 元，当售价为每件60 元时，平均每周可卖出200 件，为扩
大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1 元，平均每周可多卖出8 件，
若要使每周销售该款T恤获利8450 元，设每件降低x元，则可列方程为（ ）
A．(60−x)(200+8 x)=8450
B．(20−x)(200+ x)=8450
C．
D．(20−x)(200+8 x)=8450
【答案】D
【详解】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60−x−40=(20−x)元，平均每周可售出
(200+8 x)件，
根据题意得：(20−x)(200+8 x)=8450，
故选：D．
8．如图，在正方形ABCD中，点E 在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C．若
AD =2，则矩形DEFG的面积是（ ）
A．2
B．4
C．2√2
D．
【答案】B
S
DEFG
矩
形=2S△ECD即可求解．
【详解】解：连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S△ECD= 1
2 S
ABCD
正
方
形= 1
2 ×2×2=2，
∴S
DEFG
矩
形=2S△ECD=2×2= 4，
故选：B．
9．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，
CD于点E，F，且∠EOF =90°，OC与EF交于点G．下列结论中：①△OEF是等腰直角三角形；
②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的1
4 ；③OC = EF；④D F
2+C F
2= E F
2．正确的有
（ ）
A．①③④
B．②③
C．①②③④
D．①②④
【答案】D
【详解】解：①在正方形ABCD中，OC =OD，∠COD =90°，∠ODC =∠OCB = 45°，
∵∠EOF =90°，
∴∠COE =∠EOF −∠COF =90°−∠COF =∠DOF，
，
∴△COE ≌△DOF (ASA)，
∴OE =OF，
是等腰直角三角形，故①正确；
②∵△COE ≌△DOF
∴四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的1
4 ，故②正确；
③当四边形OECF是矩形时，
，故③不一定正确；
④∵△COE ≌△DOF，
，
∵四边形ABCD为正方形，
，
在Rt△ECF中，C E
2+C F
2= E F
2，
∴D F
2+C F
2= E F
2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故选：D．
10．勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究
做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400 余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使
用的图形.以Rt△ABC(∠ABC =90°)的三边a,b,c为边分别向外作三个正方形：正方形ACED、正
方形AFHB、正方形BCNM，再作CG⊥FH垂足为G，交AB于P，连接BD，CF.则结论：①
∠DAB =∠CAF，②△DAB ≌△CAF，③S
ACED
正
方
形=2S△ADB，④S
AFGP
矩
形=2S△ACF.正确的结论有
（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【详解】解：由题意可得AD = AC，AB = AF，∠DAC =∠BAF =90°，
∵∠DAB =∠DAC +∠CAB，∠CAF =∠BAF +∠CAB，
∴∠DAB =∠CAF，
∵{
DA = AC
∠DAB =∠CAF
AB = AF
，
∴△DAB ≌△CAF(SAS)，
故①、②符合题意，正确；
延长DA至点L，过点B做垂线BL⊥DL，
由题意可知四边形DLBE为矩形，
∴DE = BL=b，
故S△DAB= 1
2 × DA ⋅BL= 1
2 b
2，
S□ACED=b
2，
故S
ACED
正
方
形=2S△ADB，③符合题意，正确；
；
延长FA至点K，过点C做垂线CK ⊥KF，
由题意可知四边形KFGC为矩形，
故KC = FG，
S
AFGP
矩
形= AF ⋅FG=c⋅FG，
SΔACF = 1
2 ⋅AF ⋅CK = 1
2 c⋅FG，
故S
AFGP
矩
形=2S△ACF，④符合题意，正确．
．
故选：D．
二、填空题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．
11．（2023 春·重庆巴南·八年级统考期中）如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿AE折
叠，使点D落在BC边上的点F处．若AD =10，CF = 4，则DE的长为 ．
【答案】5
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AD =10，
∴∠B =∠C =90°，AD = BC =10，AB =CD，
∵CF = 4，
∴BF = BC −CF =10−4 =6，
根据折叠可得，AD = AF =10，DE = EF，
在Rt△ABF中，AB =√A F
2−B F
2=√10
2−6
2=8，
∴CD = AB =8，
设DE = EF = x，则CE =CD−DE =8−x，
在Rt△CEF中，C E
2+C F
2= E F
2，
∴(8−x)
2+ 4
2= x
2，
解得：x =5，
∴DE =5．
故答案为：5．
12．（2023 春·江苏常州·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ABC =80°，延长
BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得
，过点D作DF ⊥CM，垂足为点F．若
，
则BD = ．
【答案】8
【详解】解：如图所示，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC ⊥BD，
，
∴∠DCE =∠ABC =80°，
∴∠DCF =∠DCE−∠ECM =80°−30° =50°，
于点F，
∴∠BOC =∠DFC =90°，
∴∠CDF =90°−∠DCF =90°−50° = 40°，
在△CBD和△ABD中，{
CB = AB
CD = AD
BD = BD
，
∴△CBD ≌△ABD (SSS)，
1
2
1
2 ×80° = 40°，
∴∠CBO =∠CDF，
在△CBO和△CDF中，{
∠BOC =∠DFC
∠CBO =∠CDF
BC = DC
，
∴△CBO ≌△CDF (AAS)，
∴BO= DF = 4，
∴BD =2BO =2×4 =8，
故答案为：8．
13．已知关于x的一元一次方程3 x−6=0与一元二次方程x
2+bx +c =0有一个公共解，若关于x的一
元二次方程
有两个相等的实数解，则b+c的值为 ．
【答案】−3
【详解】解：解方程3 x−6=0得
，
∵关于x的一元一次方程3 x−6=0与一元二次方程x
2+bx +c =0有一个公共解，
∴x =2为方程x
2+bx +c =0的解，
，
∵关于x的一元二次方程
有两个相等的实数解，
∴Δ=(b−3)
2−4(c +6)=0，
把c =−2b−4代入得
，解得b1=b2=−1，
当b=−1时，
，
．
故答案为：−3．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系：一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)
的根与
有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相
等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14．一个三角形的两边长为3 和5，第三边长为方程x
2−5 x +6=0的根，则这个三角形的周长为
．
【答案】11
【详解】解：x
2−5 x +6=0
(x−3)(x−2)=0，解得：x1=3，x2=2，
∵一个三角形的两边长为3 和5，
∴第三边长的取值范围是：2< x<8，则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：11．
故答案为：11．
15．已知关于一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，有下列说法：
①若a−b+c =0则b
2−4 ac≥0；
②若方程a x
2+bx +c =0两根为1 和2，则2a−c =0；
③若方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则方程a x
2+bx +c =0必有实根；
④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①②③④
【详解】解：①若a−b+c =0，则一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)有一个根为
，
∴b
2−4 ac≥0；故①正确；
②若方程a x
2+bx +c =0两根为1 和2，则：1×2= c
a，即：2a=c，
∴2a−c =0；故②正确；
③若方程a x
2+c =0有两个不相等的实根，则：−4 ac>0，
∴b
2−4 ac>0，
∴方程a x
2+bx +c =0必有实根；故③正确；
④b=2a+c，则：b
2−4 ac =(2a+c)
2−4 ac = 4 a
2+c
2，
∵a≠0，
∴4 a
2+c
2>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故④正确；
故答案为：①②③④
16．（2023 春·山东烟台·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是边长为3 的菱形，对角线
AC 、BD的长度分别是关于x 的一元二次方程x
2−mx−x +2m=0的两实数根，DH ⊥AB于点H，
则DH的长度是 ．
【答案】7
3
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB =3，AC ⊥BD，AC =2 AO，BD =2BO，
∴∠AOB =90°，
∴A O
2+ BO
2= A B
2=3
2=9，
∵对角线AC ，BD的长度分别是一元二次方程x
2−mx −x +2m=0，即x
2−(m+1) x +2m=0的两实
数根，
∴AC + BD =2 AO+2BO=m+1，AC ⋅BD =2 AO⋅2BO =2m，
∴AO+ BO = m+1
2
，AO⋅BO = m
2 ，
∴A O
2+ BO
2=( AO+ BO)
2−2 AO⋅BO =9，
∴(
m+1
2 )
2
−m=9，
解得：m1=7，m2=−5，
∴当m=−5时，AO⋅BO = m
2 =−5
2 <0，不符合题意，舍去，
即m=7，
则AO• BO = 7
2，
∴AC ⋅BD =2 AO⋅2BO = 4 AO⋅BO = 4× 7
2 =14，
∵DH是AB边上的高，
∴S
ABCD
菱
形= AB⋅DH = 1
2 AC ⋅BD，
∴3 DH = 1
2 ×14，
∴DH = 7
3．
故答案为：7
3．
17．若实数x 满足
，则x
2−x +1= ．
【答案】3
【详解】解：设y = x
2−x
∵
，即：
，
∴2 y
2−y −6=0，
∴(2 y +3)( y −2)=0，
∴y =−3
2或y =2，
∴x
2−x =−3
2或x
2−x =2，
当x
2−x =−3
2时，即：
，
∵Δ=(−1)
2−4×1× 3
2 =−5<0，
∴此时无解，舍去；
∴x
2−x =2，
∴x
2−x +1=2+1=3
故答案为：3．
18．（2023 春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC =60°，
点E为AB中点，点P在对角线BD上运动，若PE + PA =√3，则AB长的最大值为 ．
【答案】2
【详解】解：连接PC、CE、AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，BD垂直平分AC，
∴AP = PC，
∴PE + PC = PE + PA =√3≥CE，
∵∠ABC =60°，AB = AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E为边AB的中点，由等边三角形“三线合一”可知
，∠BCE =30°，
∴∠AEC =90°，
在Rt△BCE中，设BE = AE = x，则BC = AB =2BE =2 x，由勾股定理得到CE =√3 x，
∴CE =√3 AE = √3
2 AB≤√3，
∴AB≤2，
∴AB长的最大值是2，
故答案为：2．
19．（2023 春·江西赣州·八年级校联考期末）如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，
∠BAE =30°，若点F在正方形ABCD的边上，且AE = EF，则∠AEF的度数为 ．
【答案】60°或90°或150°
【详解】解：①如图，当F在AD上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD =90°，
∵∠BAE =30°，
∴∠EAF =∠BAD−∠BAE =90°−30° =60°，
∵AE = EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF =60°；
②如图，当F在CD上时，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD =CD，∠ADE =∠CDE = 45°，∠BAD =∠ADC =90°，
∵∠BAE =30°，
∴∠EAD =∠BAD−∠BAE =90°−30° =60°，
在ΔADE和△CDE中，
{
AD =CD
∠ADE =∠CDE
DE = DE
，
∴△ADE ≌△CDE (SAS)，
∴CE = AE，∠ECD =∠EAD =60°，
∵AE = EF，
∴CE = EF，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF =60°，
在四边形AECD中，
∠AEC =360°−∠DAE−∠DCE−∠ADC =360°−60°−60°−90° =150°，
∴∠AEF =∠AEC −∠CEF =150°−60° =90°；
③如图当F和C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC = 45°，
∵∠BAE =30°，
∴∠EAC =∠BAC −∠BAE =15°，
∵AE = EF，
∴∠EFA =∠EAC =15°，
∴∠AEF =180°−∠EAC −∠ECA =180°−15°−15° =150°；
综上所述，∠AEF的度数是60°或90°或150°．
故答案为：60°或90°或150°．
20．（2023·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，AD =6，点E为边BC
上的动点，连接AE，过点E作EF ⊥AE，且EF = AE，连接CF，则线段CF长度的最小值为 ．
【答案】√2
【详解】解：如图，在BA取一点T 使得BT = BE，连接ET，在
上取一点K，使得∠FKC = 45°，
连接FK
∵∠B =90°，BT = BE，
∴∠BTE =∠BET = 45°，
∴∠ATE =∠EKF =135°，
∵
，∠AEB+∠FEK =90°，
∴∠TAE =∠FEK，
∵AE = EF，
∴△ATE ≌△EKF (AAS)，
∴AT = EK，
∵矩形ABCD中，AB = 4，AD =6，
∴CD = AB = 4，BC = AD =6，
∵BT = BE，
∴AB = BK = 4，
∴CK = BC −BK =2，
点F 在射线KF上运动，当CF ⊥KF时，CF的值最小，最小值为√2
2 ×2=√2．
故答案为：√2．
三、解答题：本题共7 小题，共60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（6 分）（2023 春·河南洛阳·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，
AB = BC =2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．
(1)求证：四边形CDEF为菱形；
(2)连接DF交AC于点G，若DF =3，CD = 5
2，求四边形CDEF的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)6
【详解】（1）证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF = 1
2 AB，EF ∥AB，CF = 1
2 BC，AE =CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵AB = BC =2CD，
∴EF =CF =CD，
∵CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，且EF =CF，
∴四边形CDEF为菱形；
（2）如图，DF与
交于点G，
∵四边形CDEF为菱形，DF =3，
∴DF ⊥CE，DG = 1
2 DF = 3
2，EG=GC，
，
在Rt△CDG中，GC =√C D
2−DG
2=√(
5
2)
2
−(
3
2)
2
=2，
∴CE =2GC = 4，
∴四边形CDEF的面积为：1
2 CE⋅DF = 1
2 ×4×3=6．
22．（8 分）（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了
部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/
min
人数
0< x ≤20
20
20< x ≤40
a
40< x ≤60
25
60< x ≤80
15
x>80
10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中a=______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60< x ≤80”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四
本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，
请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】(1)100，30；(2)54°；(3)140名；(4)1
6
【详解】（1）解：∵40< x ≤60组的人数为25，占比为25 %，且25÷25 % =100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20< x ≤40组占比30 %，30 %×100=30，
∴
，
故答案为：100，30．
（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“60< x ≤80”有15名，
且15÷100×360° =54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60< x ≤80”所对应的圆心角度数为54°．
（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400=140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为140名．
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D
标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P = 2
12 = 1
6．
23．（8 分）已知关于x的方程
．
(1)圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
(2)当m=2时；
①若该方程有实数解，求n的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为x1和x2，满足
，求n的值．
【答案】(1)正确，理由见解析；(2)①
；②−3．
【详解】（1）解：圆圆的结论正确，理由如下：
，
∴该方程一定为一元二次方程，
故圆圆的结论正确．
（2）当m=2时，则方程为x
2−4 x +n=0，
①若该方程有实数解，则Δ=(−4)
2−4×1⋅n=16−4 n≥0，
解得
，
∴若该方程有实数解，n的取值范围是
；
②若该方程的两个实数解分别为x1和x2，则x1+ x2= 4，x1 x2=n，
∵
，
，
，
，
整理得n
2−2n−15=0，
解得n=5或n=−3，
∵n≤4，
∴n的值为−3．
24．（9 分）盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万
人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次．
(1)求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价
25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小
长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，
又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】(1)20 %；(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实
现平均每天6300元的利润额．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，由题意得：
5(1+ x)
2=7.2，
解得：x1=0.2=20 %，x2=−2.2（不符合题意，舍去），
答：大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为20 %；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：( y −6)[300+30(25−y)]=6300，
整理得：y
2−41 y + 420=0，
解得：y1=20，y2=21，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y =20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300
元的利润额．
25．（9 分）图1 是某重型卡车，图2 是一个长方体木箱从重型卡车上卸下某时刻的平面示意图．已
知重型卡车车身的高度AC为4m，卸货时会利用到辅助挡板BA，此时BA弯折落在B A
'处（即
B A
' = BA），AC ⊥A
'C，经过测量得A
'C =2m，ED =5m，四边形DEFG为矩形，当木箱底部顶
点G 与点A
'重合时（A
'C为水平线，AM，BN，A
'C互相平行）．
(1)求BA的长．
(2)求图中木箱上点F 到直线A
'C的距离．
【答案】(1)5
2 m；(2)3m．
【详解】（1）解：∵AC ⊥A
'C，B A
' = BA，
∴∠BC A
' =90°，
∵AC = 4，
在Rt△BC A
'中，设B A
' = BA = x，则BC = 4−x，
∴BC
2+ A
'C
2= B A
' 2，即(4−x)
2+2
2= x
2，
解得：x = 5
2，即BA = 5
2，
答：BA的长为5
2 m；
（2）解：过点F 作FQ⊥A
'C交NB于H，
∵四边形DEFG为矩形，ED =5m，
∴
，
∴FB = FG−BG =5−5
2 = 5
2，
∴FB = BG，
∵AM，BN，A
'C互相平行，
∴FH = HQ，HQ = BC，
∵BA = 5
2，
∴BC = 4−5
2 = 3
2，
∴F 到直线A
'C的距离为FQ =2× 3
2 =3m，
答：F 到直线A
'C的距离3m．
26．（10 分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC ，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于
点E，CF ∥AE交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形
是矩形．
(2)若四边形ABCD为菱形，H 为AB中点，连接
，若DF =3，AE = 4，则
长为 ．
【答案】(1)见解析；(2)5
2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵CF ∥AE，
∴四边形
是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC =90°，
∴平行四边形
是矩形．
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD = AB = BC ，AO=CO，
∵四边形
是矩形，
∴AF =CE，
∴BE = DF =3，
∵∠AEB =90°，
∴AB =√A E
2+ B E
2=√4
2+3
2=5，
∴
，
∵H 为AB中点，
∴AH = BH，
∴OH = 1
2 BC = 5
2．
故答案为：5
2．
27．（10 分）（2023 春·山东德州·八年级统考期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC
的中点，∠AEF =90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
(1)［观察猜想］填空：AE与EF的数量关系___________（提示：取AB的中点M，连接EM）；
(2)［类比探究］如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余
条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)［拓展应用］如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其
余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
【答案】(1)AE = EF；(2)成立，理由见解析；(3)成立，证明见解析．
【详解】（1）解：AE = EF，理由如下：
如图1，取AB中点M，连接EM，
∵四边形ABCD是正方形，CF平分∠DCG，
∴∠ABC =∠BCD =∠D =∠BAD =90°，AB = BC =CD，
1
2 ∠DCG = 45°，
∵E是边BC的中点，M为AB中点，
∴AM = BM = BE =CE，
∴∠BME =∠DCF = 45°，
∴∠AME =135° =∠ECF，
∵∠B =90
0，∠AEF =90°
∴
，∠AEB+∠FEC =90°，
∴∠BAE =∠FEC，
在△AME和△ECF中，{
∠MAE =∠FEC
AM = EC
∠AME =∠ECF
，
∴△AME ≌△ECF (ASA)，
∴AE = EF；
（2）解：AE = EF成立，理由如下：
如图2，在AB上截取BM = BE，连接ME，
∵∠B =90
0，BM = BE
∴∠BME =∠BEM = 45°，
∴∠AME =135° =∠ECF，
∵AB = BC，BM = BE，
∴AM = EC，
同（1）可得∠BAE =∠FCE，
在△AME和△ECF中，{
∠MAE =∠FEC
AM = EC
∠AME =∠ECF
，
∴△AME ≌△ECF (ASA)，
∴AE = EF；
（3）解：AE = EF成立．
证明：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN =CE，连接
．
∵AB = BC，AN =CE
∴BN = BE，
∴∠N =∠NEC = 45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE = 45°，
∴∠N =∠ECF = 45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，∠BAD =90°，
∴∠DAE =∠BEA，∠DAN =∠AEF =90°，
∴∠NAE =∠CEF，
∴△ANE ≌△ECF (ASA)，
∴AE = EF．
