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2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2 x
2−3 x−1 B．x( x−3)=2(3−x) C．
D．
( x +1)( x−2)−x
2=0
2．如图，在矩形ABCD中，AB =8，
，将矩形沿AC折叠，点D落在点D
'处，则重叠部分
△AFC的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
3．若关于x的方程(k −1) x
2−2 x +1=0有实数根，则实数k的取值范围（ ）
A．k <2
B．k <2且k ≠1
C．k ≤2且k ≠1
D．k ≤2
4．为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6 周累计调查
的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到0.01）为（ ）
抽查车辆数
200
400
800
1500
2400
4000
礼让行人的驾驶员人数
169
332
689
1272
2047
3404
礼让行人的频率
0.845
0.830
0.861
0.848
0.853
0.851
A．0.83
B．0.84
C．0.85
D．0.86
5． 用配方法解一元二次方程x
2−4 x =5时，此方程可变形为( x +a)
2=b的形式，则a+b的值为(
)
A．3
B．
C．11
D．7
6．如图，在△ABC中，
，AC = 4，
，P 为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，
于点F，点M 为EF中点，则AM最小值为（ ）
A．1
B．6
5
C．5
2
D．3
2
7．一个菱形的两条对角线长分别为6 和8，则该菱形的周长为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
8．在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021 年上学期每天作业平
均时长为100 min，经过2021 年下学期和2022 年上学期两次调整后，2022 年下学期平均每天作业时
长为70 min．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列
条件能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB = AD且AC ⊥BD
B．AC ⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD =∠ABC且
D．
且AB = AD
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．
∠ABC =120°，点A(−3,0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD + PE的最小值是（
）
A．3
B．5
C．2√2
D．3
2 √3
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10 小题，每小题3 分，共40 分．
11．若关于x 的一元二次方程x
2+2 x +m=0有两个相等的实数根，则m 的值为 ．
12．若关于x 的二次方程x
2−3 x +n=0的两根x1和x2满足x1+ x2−2= x1⋅x2，则n 的值是 ．
13．数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．
如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B 的坐标是(1,3)，则AC的长是 ．
14．在一个不透明的袋子中装有4 张形状大小质地完全相同的卡片.它们上面分别标有数字：−3、
、
0、2，随机抽取一张卡片，记下数字为m，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则(m,n)落
在第三象限的概率是 .
15．若a是方程x
2+ x−1=0的解，则代数式−3a
2−3a+2023的值为 ．
16．在正方形ABCD的外侧以CD为边作等边△CDE，连接AE，则∠BAE的度数是 ．
17．（2023 春·四川南充·八年级校考期中）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD =8，
AB =6，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是 ．
18．（2023 春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，
，对角线
，过
点D作DH ⊥AB交于点
，则线段DH长度为 ．
19．（2023 春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
DH ⊥AB于点
，连接
，若∠BAD =60°，AD =2，则OH = ．
20．（2023 春·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形ABCD的面积为1．A1、B1、C1、D1
分别为AB、BC 、CD、DA的中点，若四边形A1B1C1 D1的面积为S1，A2、B2、C2、D2分别为
A1B1、B1C1、C1 D1、D1 A1的中点，四边形A2B2C2 D2的面积记为
，…，依此类推，第n 个四
边形An BnCn Dn的面积记为Sn，则Sn= ．
三、解答题：本题共7 小题，共60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（6 分）（2023·重庆·九年级统考学业考试）解方程：
(1)x
2−1=3(x−1)； (2)2 x
2−11 x +12=0．
22．（8 分）如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF ⊥AE，垂足为G，交CD于点
F．求证：AE = BF．
23．（8 分）（2023 春·四川宜宾·八年级期末）已知；如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点
O，∠ACB =30° , AB =2．
(1)求AC的长．
(2)以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
24．（9 分）今年超市以每件25 元的进价购进一批商品，当商品售价为40 元时，三月份销售256 件，
四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400 件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调
查发现，该商品每降价1 元，月销量增加5 件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250 元？
25．（9 分）（2023·河南洛阳·校联考一模）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以
来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种
情况可分如下四类：A 类——接种了只需要注射一针的疫苗，B 类——接种了需要注射二针，且二针
之间要间隔一定时间的疫苗；C 类——接种了要注射三针；D 类——还没有接种．图1 与图2 是根据
此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
(1)此次抽样调查的人数是 人；(2)m= ；n= ；
(3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2 名志愿
宣传者，现有3 男2 女共5 名居民报名，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
26．（10 分）（2023 秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡梅溪湖中学校考开学考试）如圈，在Rt△ABC
中，CA ⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF ∥BC交ED的延长
线于点F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形
是菱形；
(2)若CF =2，∠FAC =30°，求AB的长．
27．（10 分）（2023 春·山东威海·八年级校联考期末）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图
形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光
来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩
形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形
，若△ABC的面积为12，BC =6，则此完美矩
形的边长FG =______，面积为______．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若平行四边形ABCD的面积为20，
，则完美矩形AEFG的周长为______．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形
，若EF : EH =3:4，AD =15，求此
完美矩形的周长为多少．
2023-2024 学年九年级数学上学期第一次月考
A 卷·基础知识达标测
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2 x
2−3 x−1 B．x( x−3)=2(3−x) C．
D．
( x +1)( x−2)−x
2=0
【答案】B
【解析】解：A．根据一元二次方程的定义，2 x
2−3 x−1不是等式，所以2 x
2−3 x−1不是一元二次
方程，故A 不符合题意．
B．根据一元二次方程的定义，由x( x−3)=2(3−x)，得x
2−x−6=0，所以 x( x−3)=2(3−x)是
一元二次方程，故B 符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，
中等式的左边不是整式，所以
不是一元二次
方程，故C 不符合题意．
D．根据一元二次方程的定义，由( x +1)( x −2)−x
2=0，得
，所以( x +1)( x −2)−x
2=0不
是一元二次方程，故D 不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整
式方程，若是，再对它进行整理、如果能整理为a x
2+bx +c =0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元
二次方程．
2．如图，在矩形ABCD中，AB =8，
，将矩形沿AC折叠，点D落在点D
'处，则重叠部分
△AFC的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA =∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA =∠D
'CA，
∴∠CAF =∠D
'CA，
∴FA = FC，
在Rt△BFC中，B F
2+ BC
2=C F
2，即4
2+(8−AF )
2= A F
2，
解得，AF =5，
则△AFC的面积= 1
2 × AF ×BC = 1
2 ×5×4 =10，
故选C．
3．若关于x的方程(k −1) x
2−2 x +1=0有实数根，则实数k的取值范围（ ）
A．k <2
B．k <2且k ≠1
C．k ≤2且k ≠1
D．k ≤2
【答案】D
【解析】解：当k −1=0，即k =1时，方程化为−2 x +1=0，解得x = 1
2；
当k −1≠0，即k ≠1，方程(k −1) x
2−2 x +1=0为一元二次方程，
∵方程(k −1) x
2−2 x +1=0有实数根，
∴Δ=(−2)
2−4 (k −1)≥0，
解得k ≤2，
综上所述，k的取值范围为k ≤2．
故选：D．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的根与
有如下关系：
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无
实数根．
4．为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6 周累计调查
的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到0.01）为（ ）
抽查车辆数
200
400
800
1500
2400
4000
礼让行人的驾驶员人数
169
332
689
1272
2047
3404
礼让行人的频率
0.845
0.830
0.861
0.848
0.853
0.851
A．0.83
B．0.84
C．0.85
D．0.86
【答案】C
【解析】由表格数据知，随着抽查车辆数的增加，“礼让行人”的频率逐渐稳定在0.85 附近，
所以由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为0.85，
故选：C．
【点拨】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6． 用配方法解一元二次方程x
2−4 x =5时，此方程可变形为( x +a)
2=b的形式，则a+b的值为(
)
A．3
B．
C．11
D．7
【答案】D
【解析】解：∵x
2−4 x =5
∴x
2−4 x + 4 =5+ 4，即( x−2)
2=9，
则a=−2，b=9，
∴a+b=−2+9=7，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，
，AC = 4，
，P 为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，
于点F，点M 为EF中点，则AM最小值为（ ）
A．1
B．6
5
C．5
2
D．3
2
【答案】B
【解析】解：连接AP，
∵在△ABC中，
，AC = 4，
，
∴A B
2+ A C
2=3
2+ 4
2=25= BC
2，
∴∠BAC ＝90°．
又∵PE⊥AB于E，
于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF = AP．
∵M 是EF的中点，
∴AM = 1
2 EF = 1
2 AP，
当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
即AP = AB⋅AC
BC
= 12
5 ，
∴AM的最小值是12
5 × 1
2 = 6
5．
故选：B．
7．一个菱形的两条对角线长分别为6 和8，则该菱形的周长为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【解析】解：如图所示：
由题意可知
，
根据菱形性质可知AC ⊥BD，AO = 1
2 AC =3,BO = 1
2 BD = 4，
∴在Rt△ABO中，∠AOB =90°，则AB =√A O
2+ BO
2=√3
2+ 4
2=5，
∴该菱形的周长为4 AB = 4×5=20，
故选：C．
8．在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021 年上学期每天作业平
均时长为100 min，经过2021 年下学期和2022 年上学期两次调整后，2022 年下学期平均每天作业时
长为70 min．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，
根据题意得：
，
故选：C．
9．（2023 春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列
条件能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB = AD且AC ⊥BD
B．AC ⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD =∠ABC且
D．
且AB = AD
【答案】D
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB = AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC ⊥BD，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC和BD互相平分，
∵AC ⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD =∠ABC =90°，
不能证明四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又AB = AD，
∴四边形ABCD是正方形，符合题意；
故选D．
10．（2023·全国·九年级专题练习）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．
∠ABC =120°，点A(−3,0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD + PE的最小值是（
）
A．3
B．5
C．2√2
D．3
2 √3
【答案】A
【解析】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E
'，连接D E
'交AC与点P，此时
PD + PE有最小值为D E
'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC =120°，点A(−3,0)，
∴OA =OC =3，∠DBC =60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴D E
' =OC =3，
即PD + PE的最小值是3，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．
11．若关于x 的一元二次方程x
2+2 x +m=0有两个相等的实数根，则m 的值为 ．
【答案】1
【解析】∵关于x的一元二次方程x
2+2 x +m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即2
2−4×1×m=0，
解得m=1．
故答案为：1．
12．若关于x 的二次方程x
2−3 x +n=0的两根x1和x2满足x1+ x2−2= x1⋅x2，则n 的值是 ．
【答案】1
【解析】解：∵关于x 的二次方程x
2−3 x +n=0的两根为x1和x2，
∴x1+ x2=3，x1⋅x2=n，
由x1+ x2−2= x1⋅x2得
，
解得n=1，
故答案：1．
13．数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．
如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B 的坐标是(1,3)，则AC的长是 ．
【答案】√10
【解析】解：连接OB，过B作BM ⊥x轴于M，
∵点B 的坐标是(1,3)，
∴OM =1，BM =3，由勾股定理可得：
∴OB =√1
2+3
2=√10，
∵四边形OABC为矩形，
∴OB = AC，
∴AC =√10，
故答案为：C．
14．在一个不透明的袋子中装有4 张形状大小质地完全相同的卡片.它们上面分别标有数字：−3、
、
0、2，随机抽取一张卡片，记下数字为m，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则(m,n)落
在第三象限的概率是 .
【答案】1
4
【解析】解：列表如下：
−3
0
2
−3
(−3,−3) (−1,−3) (0,−3) (2,−3)
(0,−1)
0
(−3,0)
(−1,0)
(0,0)
(2,0)
2
(−3,2)
(2,2)
由表知，共有16 种等可能结果，其中落在第三象限的有4 种结果，
所以落在第三象限的概率为1
4 ，
故答案为：1
4 ．
【点拨】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是
不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．若a是方程x
2+ x−1=0的解，则代数式−3a
2−3a+2023的值为 ．
【答案】2020
【解析】解：∵a是方程x
2+ x−1=0的解，
∴a
2+a−1=0，
∴a
2+a=1，
∴−3a
2−3a+2023=−3(a
2+a)+2023=−3×1+2023=2020
故答案为：2020．
16．在正方形ABCD的外侧以CD为边作等边△CDE，连接AE，则∠BAE的度数是 ．
【答案】75°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
，AD = DC，
∵△CDE是等边三角形，
，DE = DC，
，AD = DE，
，
；
故答案为：75°．
17．（2023 春·四川南充·八年级校考期中）如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD =8，
AB =6，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是 ．
【答案】48
【解析】∵△ABO向右平移得到△DCE，
S△ABO= S△DEC
∴△ABO平移过程扫过的面积是矩形ABCD的面积，
∵AD =8，AB =6
∴矩形ABCD的面积为48
∴△ABO向右平移过程中扫过的面积是48
故答案为：48．
18．（2023 春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，
，对角线
，过
点D作DH ⊥AB交于点
，则线段DH长度为 ．
【答案】120
13
【解析】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
，
∴AO = 1
2 AC =12, AC ⊥BD，
∵
，
∴OB =√A B
2−A O
2=5，则BD =2OB =10，
∵S
ABCD
菱
形= 1
2 AC ⋅BD = AB⋅DH，
∴1
2 ×24×10=13 DH，
解得：DH = 120
13 ，
故答案为：120
13 ．
19．（2023 春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
DH ⊥AB于点
，连接
，若∠BAD =60°，AD =2，则OH = ．
【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD = AB，OD =OB，
∵∠BAD =60°，
∴△BAD是等边三角形，
∵AD =2，
∴OD =OB = 1
2 BD = 1
2 AD =1，
∵DH ⊥AB，
∴OH = 1
2 BD =1．
故答案为：1．
20．（2023 春·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形ABCD的面积为1．A1、B1、C1、D1
分别为AB、BC 、CD、DA的中点，若四边形A1B1C1 D1的面积为S1，A2、B2、C2、D2分别为
A1B1、B1C1、C1 D1、D1 A1的中点，四边形A2B2C2 D2的面积记为
，…，依此类推，第n 个四
边形An BnCn Dn的面积记为Sn，则Sn= ．
【答案】1
2
n
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，A1、B1、C1、D1分别为AB、BC 、CD、DA的中点，
∴A D1= D D1, A A1= DC1,∠A =∠D，
∴△A A1 D1≌△DC1 D1，
∴A1 D1=C1 D1，
同理可得：A1 D1=C1 D1= A1B1=C1B1，
∴四边形A1B1C1 D1为菱形，
连接A1C1,B1 D1，则A1C1= AD ,B1 D1= AB，
∴S1= 1
2 A1C1⋅B1 D1= 1
2 AB⋅AD = 1
2 S
ABCD
矩
形= 1
2，
同理可得：S2= 1
2 S1= 1
2 × 1
2 =(
1
2)
2
，
S3= 1
2 S2= 1
2 ×(
1
2)
2
=(
1
2)
3
，
……
Sn=(
1
2)
n
= 1
2
n．
故答案为：1
2
n．
三、解答题：本题共7 小题，共60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（6 分）（2023·重庆·九年级统考学业考试）解方程：
(1)x
2−1=3(x−1)； (2)2 x
2−11 x +12=0．
【答案】(1)x1=1，x2=2；(2)x1= 3
2 ，x2= 4．
【解析】（1）∵x
2−1=3(x−1)，
∴(x +1)(x−1)−3(x−1)=0，
∴(x +1−3)(x−1)=0，
∴(x−2)(x−1)=0，
解得：x1=1，x2=2；
（2）解：∵2 x
2−11 x +12=0，
∴(2 x−3)( x−4)=0，
解得：x1= 3
2 ，x2= 4．
22．（8 分）如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF ⊥AE，垂足为G，交CD于点
F．求证：AE = BF．
【答案】证明见解析．
【解析】解：∵BF ⊥AE，
∴∠EAB+∠GBA =90°，
∵∠GBA +∠FBC =90°，
∴∠EAB =∠FBC，
∵∠EAB =∠FBC，∠EBA =∠BCF，AB = BC，
∴
，
∴AE = BF．
23．（8 分）（2023 春·四川宜宾·八年级期末）已知；如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点
O，∠ACB =30° , AB =2．
(1)求AC的长．
(2)以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
【答案】(1)4；(2)2√3
【解析】（1）解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC =90°，
在Rt△ABC中，∠ACB =30°，
∴AC =2 AB = 4．
（2）解；在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC =√4
2−2
2=2√3，
∴S△ABC = 1
2 AB⋅BC = 1
2 ×2×2√3=2√3．
∵矩形ABCD，
∴AC =2OC，
∴S△BOC = 1
2 S△ABC =√3，
∵菱形OBEC，
∴菱形OBEC的面积=2S ΔBOC =2√3．
24．（9 分）今年超市以每件25 元的进价购进一批商品，当商品售价为40 元时，三月份销售256 件，
四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400 件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调
查发现，该商品每降价1 元，月销量增加5 件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250 元？
【答案】(1)25%；(2)5 元
【解析】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为x，
根据题意得：256(1+ x)
2= 400，
解得：
或
（不符合题意，舍去）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25 %；
（2）解：设商品降价m元，则每件获利(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)件，
根据题意得：(40−m−25)(400+5m)= 4250，
整理得：m
2+65m−350=0，
解得：m1=5或m2=−70（不符合题意，舍去）；
∴当商品降价5 元时，商场六月份可获利4250 元．
25．（9 分）（2023·河南洛阳·校联考一模）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以
来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种
情况可分如下四类：A 类——接种了只需要注射一针的疫苗，B 类——接种了需要注射二针，且二针
之间要间隔一定时间的疫苗；C 类——接种了要注射三针；D 类——还没有接种．图1 与图2 是根据
此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
(1)此次抽样调查的人数是 人；
(2)m= ；n= ；
(3)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2 名志愿
宣传者，现有3 男2 女共5 名居民报名，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
【答案】(1)200；(2)40，30；(3)3
5
【解析】（1）解：20÷10 % =200（人），
故答案为：200；
（2）解：B 类人数对应的百分比为：80÷200= 40 %，
∴m= 40，
C 类人数为：200×15 % =30，
∴n=30，
故答案为：40，30；
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女1
女2
男
1
男2，男
1
男3，男
1
女1，男
1
女2，男
1
男
2
男1，男
2
男3，男
2
女1，男
2
女2，男
2
男
3
男1，男
3
男2，男
3
女1，男
3
女2，男
3
女
1
男1，女
1
男2，女
1
男3，女
1
女2，女
1
女
2
男1，女
2
男2，女
2
男3，女
2
女1，女
2
共有20 种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有12 种，
∴恰好抽到一男一女的概率为12
20 = 3
5．
26．（10 分）（2023 秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡梅溪湖中学校考开学考试）如圈，在Rt△ABC
中，CA ⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF ∥BC交ED的延长
线于点F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形
是菱形；
(2)若CF =2，∠FAC =30°，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)AB =2
【解析】（1）解：证明：∵AF ∥BC
∴∠AFD =∠CED，
∵D是AC的中点，
∴CD = AD，
∴在△AFD和△CED中，{
∠ADF =∠CDE =90°
∠AFD =∠CED
AD =CD
∴△AFD ≌△CED (AAS)
∴FD = ED
∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直平分)
（2）∵四边形AECF是菱形
∴AE =CE = BE =CF =2，AF ∥CE，EF ⊥AC
∵∠FAC =30°，AF ∥CE
∴∠FAE =60°
∴△AEF是等边三角形，
∴EF = AF =2，
又CA ⊥AB，EF ⊥AC
∴EF ∥AB，
又AF ∥EB
∴四边形AFEB是平行四边形，
∴AB = EF =2．
27．（10 分）（2023 春·山东威海·八年级校联考期末）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图
形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光
来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩
形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形
，若△ABC的面积为12，BC =6，则此完美矩
形的边长FG =______，面积为______．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若平行四边形ABCD的面积为20，
，则完美矩形AEFG的周长为______．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形
，若EF : EH =3:4，AD =15，求此
完美矩形的周长为多少．
【答案】(1)3，6；(2)13；(3)42
【解析】（1）解：由折叠可知，BF = DF ,CG = DG, AH = DH =CH，
∴DF + DG= BF +CG，点H 是AC中点，
∵2 DF +2 DG = BC =6，
∴DF + DG =3，
即FG =3，
如图，连接AD，
∵四边形EHGF是矩形，
∴HG⊥BC，
∵CG = DG , AH =CH，
∴HG∥AD，
∴ HG = 1
2 AD，AD⊥BC，
∵ S ΔABC = 1
2 BC ⋅AD =12，
∴AD = 4，
∴HG = 1
2 AD =2，
∴完美矩形的面积为3×2=6；
故答案为：3，6
（2）解：由折叠可知BE = HE，CF = HF，
∴EF = 1
2 BC = 5
2，
同理可知S△ABE= S△AHE，S
AHFG
四
边
形= S
D
四
边
形，
∴矩形AEFG的面积为20÷2=10，
∴AE =10÷ 5
2 = 4，
∴长方形AEFG的周长为2(4+ 5
2)=13；
（3）解：如图，连接EG，
由折叠可得点E，G分别是AB，CD的中点，
∴AE = 1
2 AB，DG = 1
2 DC，
由题意知AB =CD，AB∥CD，
∴AE = DG，AE∥DG，
∴AEGD为平行四边形，
∴AD = EG = HF =15，
在Rt△HEF中，设
，则EH = 4 x，
由勾股定理得：HF =5 x，
又∵5 x =15，
∴x =3，
∴EF =9，EH =12，
∴周长为：2(9+12)= 42．
