[A4版]900题数二线代部分做题本_考研_数学_08.李艳芳_25李艳芳《900题》做题本_数二

900 · 线代 · 目录 目 录 第一章 行列式 ................................................................... 2 A 类 ....................................................................... 2 B 类 ....................................................................... 8 C 类 ...................................................................... 10 第二章 矩阵 .................................................................... 12 A 类 ...................................................................... 12 B 类 ...................................................................... 19 C 类 ...................................................................... 24 第三章 向量 .................................................................... 26 A 类 ...................................................................... 26 B 类 ...................................................................... 31 C 类 ...................................................................... 35 第四章 线性方程组 .............................................................. 37 A 类 ...................................................................... 37 B 类 ...................................................................... 45 C 类 ...................................................................... 52 第五章 矩阵的特征值与特征向量 .................................................. 54 A 类 ...................................................................... 54 B 类 ...................................................................... 63 C 类 ...................................................................... 71 第六章 二次型 .................................................................. 75 A 类 ...................................................................... 75 B 类 ...................................................................... 85 C 类 ...................................................................... 92 第 1 页，共93页900 · 线代 · 1. 行列式 第一章 行列式 A 类 填空题 1 行列式 第 2 页，共93页 1 0 0 1 0 1 2 0 0 3 2 0 5 0 0 3 = _________ . 2 行列式 0 0               = _________ . 1 4 3 2 2 1 4 3 3 行列式 =_________ . 3 2 1 4 4 3 2 1900 · 线代 · 1. 行列式 4 n 阶行列式 第 3 页，共93页 5 2 2 2 5 2 2 2 5 = _________ . 5 行列式 b 2 + a a 2 c 2 a 2 + b 2 b c 2 a 2 + c 2 c b 2 = _________ . 6 设 a 1 , a 2 , a 3 为互不相等的实数,则 3 a 3 21 a + 3 1 5 + a 5 1 + 7 3 a 3 22 a + 3 2 5 + a 5 2 + 7 3 a 3 23 a + 3 3 5 + a 5 3 + 7 = _______ .900 · 线代 · 1. 行列式 7 行列式 第 4 页，共93页 1 2 3 4 1 2 2 2 3 2 4 1 3 2 3 3 3 4 1 4 2 4 3 4 4 = _________ . 8. n 阶行列式 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n  n = _________ . 9 n 阶行列式 1 − − 1 a 1 a − a a − 1 1 − − 1 a 1 a − a = _________ .900 · 线代 · 1. 行列式 10 记行列式 第 5 页，共93页 2 3 x x x 4 − − − x 1 2 3 x 2 x 3 x 4 x − − − + 2 3 4 4 3 x 2 x 6 + x + x 1 1 x 2 x 3 x 6 x + + + + 2 1 2 6 为 f ( x ) ,则方程 f ( x ) = 0 的根的个数为 _________ . 11 多项式 f ( x ) = x 1 2 3 x 2 x 1 − 1 1 2 3 x 1 − − 1 4 x 1 x 中 x 3 项的系数为_________ . 12 设 D = a e l k b f l k c g l k d h k l ,则 D 的第一行元素的代数余子式之和 A 1 1 + A 1 2 + A 1 3 + A 1 4 = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 1. 行列式 13 设 第 6 页，共93页 D = − 1 0 0 f 2 2 2 f f f 3 e 2 e e 4 2 e e e ,则 a 1 1 , a 1 2 的余子式之和 M 1 1 + M 1 2 = _________ . 14 设 4 阶矩阵 A=(α,γ ,2γ ,3γ ),B=(β,γ ,−γ ,γ ) ,其中 1 2 3 1 2 3 α , β , γ 1 , γ 2 , γ 3 均为 4 维列 向 量,且已知行列式 A =6,B =2 ,则行列式 A + B = _________. 15 设 A , B 为 3 阶矩阵,且 A = 2 , B = − 2 , A * + B = 2 , 则 A − B * = _ _ _ _ _ _ _ _ _ .900 · 线代 · 1. 行列式 2 1 0   16 设矩阵A= 1 3 0 ,可逆矩阵     0 0 4 第 7 页，共93页 B 满足 A B A * − B A * = B A B * ,其中 A * , B * 分别为A, B 的伴 随矩阵,则 B * = __________ . 17 已知 3 阶矩阵 A=(α ,α ,α ) ,且 1 2 3 A  0 .若 3 α 2 + 9 α 3 ) A 2 = ( α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2 α 2 + 4 α 3 , α 1 + ,则 A = __________ . 18 设 A 为 2n+1 阶矩阵,且 9AAT =E ,其中 E 为单位矩阵. 若 A  0 ,则 A − 1 3 E = __________ .900 · 线代 · 1. 行列式 B 类 填空题 1 多项式 第 8 页，共93页 f ( x ) = x 1 x − 1 2 + 1 x x 1 2 + − 1 1 x − 1 2 + 1 x 1 x 2 + − 1 x 1 1 的常数项是_________ . 2 设5阶矩阵 A 满足 E A ( 1 ) 2 ( a ) 3    − = + + ,且 A =64,则tr(A)=_________ . 3 设x为 n 维单位列向量,矩阵 A = E + a x x T .若 A = 0 ,则 a = _________ .900 · 线代 · 1. 行列式 4 设矩阵 第 9 页，共93页 A =  1 2 − 1 − 3 1 1 4 − 0 1  , B 为 3 阶正交矩阵.若存在上三角矩阵 P ,使得 B = A P ,则 P 的 对角线上各元素乘积的绝对值为______ 5 设 3 阶矩阵 A 为上三角矩阵,向量 α=(1,1,1)T 满足 A α = 3 α , A T α = 3 α , A 的特征值之 和为 3,则 A = _________ . 6 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 A = a , B = b , C =  O B B A A  ,则 C = _________ .900 · 线代 · 1. 行列式 7 设 第 10 页，共93页 A 为 n A α A α 阶矩阵, =x, = y ,且 βT b βT c b  c ,则 A = _________ . 8 已知 A , B 为 2 n 阶可逆矩阵, A − 1 + B − 1 = ( A + B ) − 1 , A = 1 ,则 A B − 1 + B A − 1 = _ _ _ _ C 类 一、填空题 1 设 A 为 n 阶矩阵, α 为 n A α 维列向量. 已知 A 0,b0 且 AT =−A, =c ,则 αT b A =_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 1. 行列式 二、解答题 2 设 3 阶矩阵 第 11 页，共93页 A = ( a ij ) =  a a a 1 1 2 1 3 1 a a a 1 2 2 2 3 2 a a a 1 3 2 3 3 3  , A 的所有代数余子式之和为 ,  A ( x ) =  a a a 1 1 2 1 3 1 + + + x x x a a a 1 2 2 2 3 2 + + + x x x a a a 1 3 2 3 3 3 + + + x x x  , A ( x ) 的所有代数余子式之和为 b ( x ) . (I) 求 A(x) − A ; (II) 求 b ( 1 ) − a .900 · 线代 · 2. 矩阵 第二章 矩阵 A 类 一、选择题 1 已知矩阵 第 12 页，共93页 A , B , C 为 n 阶矩阵,且 A B = B C ,则下列说法中,正确的是 ( ) (A) 若 A = E ,且 B  O ,则 C = E . (B) 若 A=O ,且 B  O ,则 C = O . (C) 若 B 可逆,则 A = C . (D) 若 B 可逆,则 A 与 C 等价. 2 下列矩阵中,与 A =  1 2 3 0 1 2 2 3 4 − 1 3 1  等价的是( ) 2 0 2 2 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1         (A) 2 0 2 3 . (B) 0 1 0 1 . (C) 0 1 0 1 . (D) 2 0 2 2 .                 2 0 2 4 0 0 0 1 1 0 1 0 3 0 3 3900 · 线代 · 2. 矩阵 3 设 第 13 页，共93页 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 A 4 = O ,则 ( ) (A) 对于任意非零常数 a , b , c , d , a E + b A 可逆, cE+dA2 可逆. (B) 对于任意非零常数 a,b,aE+bA 可逆,存在非零常数 c , d ,使得 c E + d A 2 不可逆. (C) 存在非零常数 a , b ,使得 a E + b A 不可逆,对于任意非零常数 c , d , c E + d A 2 可逆. (D) 存在非零常数 a , b , c , d ,使得 a E + b A 不可逆, c E + d A 2 不可逆. 4 设 A 为 3 阶矩阵, P 为 3 阶可逆矩阵,且 P − 1 A P =  1 0 0 0 2 0 0 0 3  . 若 P = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , Q = ( α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 ) ,则 Q − 1 A Q = ( ) (A)  1 0 0 0 2 0 0 0 3  . (B)  1 1 1 0 2 1 0 0 3  . (C)  1 1 − 1 0 2 1 0 0 3  . (D)  1 0 0 1 2 0 − 1 3 1  . 5 设n为大于等于3的奇数,n阶非零矩阵 A 满足A=A*,则下列说法中,正确的是( ) (A) A=−A−1 . (B) AT =−A* . (C) A−1=A* . (D) A =0 .900 · 线代 · 2. 矩阵 6 设 A,B 为 4 阶可逆矩阵, 第 14 页，共93页 A * , B * 分别为 A,B 的伴随矩阵,将 A* 的第 2 行乘以 3 加 到第 1 行上得矩阵 B * ,则 ( ) (A) 将 A 的第 1 列乘以 3 加到第 2 列上得 B . (B) 将 A 的第 1 行乘以 3 加到第 2 行上得 B . (C) 将 A 的第 1 列乘以 -3 加到第 2 列上得 B . (D) 将 A 的第 1 行乘以 -3 加到第 2 行上得 B . 7 已知矩阵 A,B 均为 n  m 矩阵 ( n , m  2 ) ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 A B T 可逆,则 r ( A ) + r ( B )  m . (B) 若 A B T = E n ,则 r(A)+r(B)m . (C) 若 A B T 不可逆,则 r ( A ) + r ( B )  m . (D) 若 ABT =O ,则 r ( A ) + r ( B )  m . 8 设 A,B 均为 n ( n  2 ) 阶矩阵,满足 A−B−AB=kE ,则下列 k 值中,使 r ( A + E ) + r ( B − E ) 最小的是( ) (A) -2 . (B) -1 . (C) 1 . (D) 2 .900 · 线代 · 2. 矩阵 9 设 第 15 页，共93页 A , B 是 n 阶矩阵, A * 是 A 的伴随矩阵,若 r ( B ) = 2 ,且 A B = O ,则 r ( A * ) = ( ) (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 . 10 已知矩阵 A 是 m  n 矩阵, B 是 n  m 矩阵,则下列说法中,正确的是( ) (A) 若 A B  0 ,则 A 行满秩, B 列满秩. (B) A B = B A . (C) A B  B A . (D) tr(AB)tr(BA) . 二、填空题 11 设矩阵 A =  1 1 1 1  , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 B A = A + B − E ,则 B = _________ .900 · 线代 · 2. 矩阵 12 已知 第 16 页，共93页 n 阶矩阵 A 满足 A = 1 n ,则 n A * − ( n A ) − 1 = _________ . 13 设 n ( n  2 ) 阶矩阵 A 可逆,且 ( A * )? − 1 = ( A T )? * ,若 A  0 ,则 A = . 14 设矩阵 A =  0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  ,则使得 A k = E 成立的最小正整数为_________ .900 · 线代 · 2. 矩阵 三、解答题 1 2 3   15 已知矩阵A= 0 1 2 ,且     0 0 1 第 17 页，共93页 A 3 − A 2 B − A B + E = O ,其中 E 是 3 阶单位矩阵,求矩阵 B . 16 设矩阵 A =  1 1 0 0 1 − 0 0 1 0 0 0 1 0 0 − 0 1  ,矩阵 B 满足   1 2 A  *  − 1 B A − 1 = 4 A B + 1 6 E ,求矩阵 B .900 · 线代 · 2. 矩阵 17 设 第 18 页，共93页 A =  0 a b a 0 c b c 0  为可逆矩阵, E 为 3 阶单位矩阵, B =  1 0 0 0 4 0 0 0 0  . (I) 计算 E−AB ,并指出 A 中元素满足什么条件时, E−AB 为可逆矩阵; (II) 当 E − A B 可逆时,证明 ( E − A B ) − 1 A =  ( A − 1 − B ) − 1  T .  1 2 4 1 0 0      18 设矩阵 A= 0 −1 2 ,Λ= 0 1 0 .         −1 3 1  0 0 − A  (I) 求 A ； (II) 求下三角矩阵 P 与上三角矩阵 Q ,使得 A = P Λ Q .900 · 线代 · 2. 矩阵 19 已知 第 19 页，共93页 n 阶矩阵 A 满足等式 A 2 − 3 A + 2 E = O ,其中 E 为 n 阶单位矩阵. 计算 r(A)+r(A −E)+r(A−2E)+r(A−3E). B 类 一、选择题 1 设 A 为 m  n 矩阵, r ( A ) = m ,则下列说法中,正确的是( ) ① 若 P 为 m 阶矩阵,且 PA=A ,则 P=E . ② 若 P 为 n 阶矩阵,且 A P = A ,则 P = E . ③ A 能通过一系列初等行变换化为形式 (E ,O) . m ④ A 能通过一系列初等列变换化为形式 (E ,O) . m (A) ① ③. (B) ① ④. (C)② ③. (D) ② ④.900 · 线代 · 2. 矩阵 2 定义运算 第 20 页，共93页  X , Y  = X Y − Y X ,其中 X 和 Y 为同阶方阵. 对于 2 阶方阵 A,B,C ,下列 命题中, 正确的是( ) (A) A,B=B,A . (B) A,B2 =E . (C) A,B,C=O . (D)     A , B  2 , C  = O . 3 设 3 阶矩阵 A =  0 b b a 0 0 a 0 0  ,则下列关于 A n ( n  2 ) 的说法中,正确的是 ( ) (A) A n 的各项元素仅与 a 有关. (B) A n 的各项元素仅与 b 有关. (C) 若 n 为奇数,则 An 的各项元素仅与 ab 有关. (D) 若 n 为偶数,则 An 的各项元素仅与 ab 有关. 4 设 A,B 均为 2 阶矩阵, A * , B * 分别为 A,B 的伴随矩阵. 若 A = 3 , B = − 1 ,则分块矩 阵  O B A E  * = ( ) −B*A* 3B* (A)   . (B)   −A* O    − A − * A B * * 3 B O *  −B*A* −A* −A*B* −A* . (C)   . (D)   .   3B* O     3B* O  公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 2. 矩阵 5 设 A,B 为 第 21 页，共93页 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X , Y ) 表示分块矩阵,则下列说法中, 不正确 的是( ) (A) r ( A , A B )  r ( A , B ) . (B) r ( B A , B )  r ( A , B ) . (C) r ( A , A B )  r ( A , B A ) . (D) r(AB,B)r(BA,B) . 6 设 A 为 n ( n  3 ) 阶非零矩阵,则下列命题中,正确命题的个数是( ) ① 当 r  ( A * ) *  = r ( A * ) 时, r ( A , A * )  n − 1 . ② 当 r  ( A * ) *  = r ( A * ) 时, r ( A − A * )  n − 1 . ③ 当 r  ( A * ) *   r ( A * ) 时, r ( A , A * ) = n . ④ 当 r  ( A * ) *   r ( A * ) 时, r ( A−A*) =n . (A) 0 . (B) 1 . (C) 2 . (D) 3 . 7 设 A 为 n(n2) 阶非零矩阵,且满足 a ij = A ij , i , j = 1 , 2 , , n ,其中 A 为 ij a ij 的代数余 子式, 则下列说法中, 正确的是 ( ) (A) A 为可逆矩阵. (B) A 为对称矩阵. (C) A 0. (D) A 的所有元素的平方和为 n .900 · 线代 · 2. 矩阵 二、填空题 8 设 第 22 页，共93页 n 阶矩阵 A 满足方程 A 3 = A 2 + A ,则 ( A 2 + A + E ) − 1 = . 9 设 α = ( 1 , 0 , 2 ) T , β = ( 4 ,1 , − 2 ) T . 记 A = α β T ,则 ( E + A ) n = _________ . 10 设 n 维列向量 α =  1 4 , 0 , , 0 , 4 3  T ,矩阵 A = E − 2 α α T , B = E + 4 α α T ,其中 E 为 n 阶单位矩阵,则 E + A n B n = _________ .900 · 线代 · 2. 矩阵 11 设矩阵 第 23 页，共93页 A =  1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1  ,则 A 的所有元素的代数余子式之和为_________ . 12 设 A , B 为 n 阶矩阵,则 A B 2 A A B B 2 = _________ . 三、解答题 13 已知 A 为 3 阶可逆矩阵,将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B ,再将 B 的第 1 列乘以 - 2 得到矩阵 C . 若矩阵 P 满足 PA* =C* ,求矩阵 P .900 · 线代 · 2. 矩阵 14 设矩阵 第 24 页，共93页 A =  − − 4 a a 9 − 2 − 3 a − 3 a + 1  ,且满足 A = − 2 ( A − 3 E ) − 1 , (I) 确定 a ; (II) 设矩阵 X 满足方程 A X A − 4 A X + X A − 4 X − 1 2 A = O ,求矩阵 X . C 类 选择题 1 对于 n 阶矩阵 A 和 B ,下列命题中,正确的是( ) (A) 若 A B 可逆,则 E − A B 可逆. (B) 若 AB 不可逆,则 E − A B 可逆. (C) 若 E−BA 可逆,则 E − A B 可逆. (D) 若 E−BA 不可逆,则 E − A B 可逆.900 · 线代 · 2. 矩阵 2 设矩阵 第 25 页，共93页 A 为 4  2 矩阵,B为 2  4 矩阵,且满足 A B =  1 0 − 0 1 0 1 0 − 1 − 0 1 0 1 0 − 0 1 1  ,则 B A = ( ) 1 0 (A) . (B)   0 3  2 0 0 2  . (C)  4 0 0 0  . (D) 由已知条件不能确定. 3 设 A = ( a ij ) 为 n 阶矩阵,且其元素满足 a ij = − a ji , β 为n维非零列向量,矩阵 B =  A β T β 0  ,则 ( ) (A) 若 r(A)=n ,则 n 为奇数,且 r ( B ) = n . (B) 若 r(A)=n ,则 n 为奇数,且 r ( B ) = n + 1 . (C) 若 r(A)=n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n . (D) 若 r(A)=n ,则 n 为偶数,且 r ( B ) = n + 1 .900 · 线代 · 3. 向量 第三章 向量 A 类 一、选择题 1 已知向量组 第 26 页，共93页 α 1 = ( 1 , 2 ,1 ) T , α 2 = ( 3 , 5 ,1 ) T , α 3 = ( 3 , 7 , 5 ) T , α 4 = ( − 1 ,1 ,1 ) T , α 5 = ( − 5 ,1 , 5 ) T ,则下列各 选项中的向量组线性相关的是( ) (A) α 1 , α 2 , α 3 . (B) α 1 , α 2 , α 5 . (C) α 2 , α 4 , α 5 . (D) α 3 , α 4 , α 5 . 2 下列关于向量组 α 1 , α 2 , α 3 的陈述中,不正确的是( ) (A) 若存在实数 k ,使得 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则 α ,α ,α 必线性相关. 1 2 3 (B) 若存在实数 k ,使得 α +kα ,α 线性无关,则 α ,α ,α 可能线性无关. 1 3 2 1 2 3 (C) 若对任意实数 k ,均有 α 1 + k α 3 , α 2 线性相关,则 α 1 , α 2 , α 3 必线性相关. (D) 若对任意实数 k ,均有 α 1 + k α 3 , α 2 线性无关,则 α 1 , α 2 , α 3 必线性无关. 3 已知向量组 I : α 1 = ( 0 ,1 , 2 , 3 ) T , α 2 = ( 3 , 0 ,1 , 2 ) T , α 3 = ( 2 , 3 , 0 ,1 ) T 和向量组 :β = 1 (2,1,1,2)T ,β =(0,−2,1,1)T ,β =(4,4,1,3)T ,则下列说法中,正确的是( ) 2 3 (A) 向量组 I 可由向量组 II 线性表示, 但向量组 II 不能由向量组 I 线性表示. (B) 向量组 II 可由向量组 I 线性表示, 但向量组 I 不能由向量组 II 线性表示. (C) 向量组 I 和向量组 II 可互相线性表示. (D) 向量组 I 和向量组 II 均不可由对方线性表示.900 · 线代 · 3. 向量 4 设向量组 I:α ,α , ,α 可由向量组 1 2 t 第 27 页，共93页 : β 1 , β 2 , , β , 线性表示,向量组 I 和 II 的秩分别 为 r,r ,则 ( ) 1 2 (A) 若 t = s ,则 r1 = r2 . (B) 若 r1 = t ,则 s  t . (C) 若 t  s ,则 r1  r2 . (D) 若 r 2 = s ,则 s  t . 5 已知向量组 I:α ,α , ,α 的秩为 1 2 t r1 ,向量组 Ⅱ:β ,β , ,β 的秩为 1 2 s r2 ,则下列命题中, 正确的个数为 ( ) ① 若向量组 I 能被向量组 II 线性表示,则 r1  r2 . ② 若向量组 I 不能被向量组 II 线性表示,则 r1  r2 . ③ 若向量组 I 和向量组 II 等价,则 r1 = r2 . ④ 若向量组 I 和向量组 II 不等价,则 r1  r2 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 6 设 A , B , C 均为 n 阶矩阵,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若矩阵 A 与 C 等价,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价. (B) 若矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 A 与 C 等价. (C) 若 AB=C ,且矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价,则矩阵 B 可逆. (D) 若 A B = C ,且矩阵 B 可逆,则矩阵 A 的行向量组与矩阵 C 的行向量组等价.900 · 线代 · 3. 向量 7 设向量组 I:α ,α ,α 可由向量组Ⅱ: 1 2 3 第 28 页，共93页 α 1 , α 2 , β 线性表示,则( ) (A) 若 α 3 与 β 线性无关,则 α 3 可由 α 1 , α 2 线性表示. (B) 若 α 3 与 β 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. (C) 若向量组 I 与向量组 II 等价,则 α 与 3 β 线性相关. (D) 若 α 3 与 β 线性相关但与 α 1 线性无关,则向量组 I 与向量组 II 等价. 二、填空题 a  1   1        8 设向量组 α = 1 ,α = a ,α = −1 线性相关,但其中任意两个向量均线性无关, 则 1   2   3         1 −1  a  a = _________ . 9 若向量 β=(0,1,−1,b)T 可以表示为 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 1 , 3 , 2 , 3 ) T , α 3 = ( 1 , 4 , a , 2 ) T , α =(1,4,1,a+1)T 的线性组合,且表示方法不唯一,则 4 a b = _________ .900 · 线代 · 3. 向量 三、解答题 10 已知向量组 第 29 页，共93页 α 1 =  0 1 2  , α 2 =  2 0 1  , α 3 =  a 2 1  b  1  8       与向量组 β = 1 ,β = 0 ,β = 7 具有相同的 1   2   3         0 −1 6 秩,且 β 1 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,求 a , b 的值. 11 设向量组 I : α 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T , α 2 = ( 0 ,1 , − 1 ) T , α 3 = ( 1 , 2 , 4 ) T 不能由向量组 II β 2 = ( 2 , 4 , 6 ) T , β 3 = ( 1 , 5 , a ) T : β 1 = ( 2 , 2 , 2 ) T , 线性表示,求 a 的值,并将 β 1 , β 2 , β 3 用 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 12 确定常数 a ,使向量组 α 1 = ( 1 ,1 , 4 ) T , α 2 = ( 1 , a , 4 ) T , α 3 = ( − 1 , − 1 , a ) T 可由向量组 β 1 =(a+2,1,1)T ,β =(1,a+2,1)T ,β =(1,1,a+2)T 线性表示,但向量组 β ,β ,β 不能由向量组 2 3 1 2 3 α 1 , α 2 , α 3 线性表示.900 · 线代 · 3. 向量 13 已知 第 30 页，共93页 α 1 = ( 1 , 0 , − 1 , a ) T , α 2 = ( 0 ,1 , a , a ) T , α 3 = ( − a , a , a , 0 ) T , β = ( b , 0 ,1 , 2 ) T ,问: (I) a , b 满足什么条件时, β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示? (II) a,b 满足什么条件时, β 能由 α 1 , α 2 , α 3 唯一地线性表示?并写出此表示式(要求表示 式中不含 b ). 14 已知向量组 A : α 1 = ( 1 ,1 , 0 ,1 ) T , α 2 = ( a , a + 1 , a , a + 1 ) T , α 3 = ( 1 , 2 , a + 1 , a + 2 ) T , α 4 = ( a , a − 1 , 0 , a ) T , α 5 = ( a , a + 1 , 3 , a + 3 ) T ,且 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是该向量组的一个极大无关组,但 α 1 , α 2 , α 3 , α 5 不是该向量组的极大无关组.求 a ,并用 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 表示α . 5公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 3. 向量 B 类 一、选择题 1 设向量组 第 31 页，共93页 α 1 , α 2 , α 3 线性无关,已知 α 2 + α 3 , β 3 = α 1 + ( 1 − k ) α 2 + α 3 β 1 = ( k + 1 ) α 1 + ( k − 1 ) α 2 − ( k + 1 ) α 3 , β 2 = α 1 + ,当向量组 β 1 , β 2 , β 3 线性无关时,参数 k 满足的条件是( ) (A) k 0 或 k  − 1 . (B) k  0 且 k  − 1 . (C) k =0 . (D) k = − 1 . 2 设向量组 A:α ,α , ,α 包含 1 2 n n 个 m 维向量 ( n  m ) ,则下列命题中,正确的是( ) (A) 若 α 1  0 ,则 α 1 必能由其他向量线性表示. (B) 若 α 1  0 ,则必存在 2  k  n ,使得 α k 能由 α ,α , ,α 线性表示. 1 2 k−1 (C) 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α n ) 必可经过初等行变换化为矩阵 ( E , O ) E O 或 的形式.   O O (D) 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α n ) 必可经过初等列变换化为矩阵 ( E , O ) 或  E O O O  的形式. 3 设 α 1 , α 2 , α 3 与 β ,β ,β 为 3 维列向量组的两个不同的极大无关组,且 1 2 3 ( α 1 , α 2 , α 3 ) = (β ,β ,β )A.向量 ξ (i=1,2,3) 满足 1 2 3 i ξ i = x 1 αi 1 + x 2 αi 2 + x 3 αi 3 = y 1 βi 1 + y 2 βi 2 + y 3 βi 3 ,且 (x ,x ,x )=(y ,y ,y )B ,则( ) 1i 2i 3i 1i 2i 3i ( ) (A) 若矩阵 y 可逆,则 ij B = A . (B) 若矩阵 ( y ) 可逆,则 B=A−1 . ij ( ) (C) 若矩阵 y 可逆,则 ij B T = A ( ) . (D) 若矩阵 y 可逆,则 ij B T = A − 1 .900 · 线代 · 3. 向量 4 设 第 32 页，共93页 n ( n  3 ) 阶矩阵 A = ( a ij ) 不可逆, A ij 是 a ij 的代数余子式,其中 A 1 1  0 ,则下列行向 量中,必为 A 的伴随矩阵 A * 的行向量组的一个极大无关组的是( ) (A) ( A 1 1 , A 1 2 , , A 1 n ) . (B) ( A 1 1 , A 2 1 , , A n 1 ) . (C) (A ,A , ,A ) . (D) 以上都不正确. 12 22 n2 5 已知 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是 3 维非零列向量,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 3 ,则 α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. ② 若 α 可由 4 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则 2  r ( α 1 , α 2 , α 3 )  3 . ③ 若 r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = 2 ,则 α 4 必不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. ④ 若 α 4 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示,则 r ( α 1 , α 2 , α 3 )  2 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 6 设向量 α 1 ( 1 ,1 , 0 , 0 ) T , α 2 ( 1 , 0 ,1 , 0 ) T , α 3 ( 1 , 0 , 0 ,1 ) T , α 4 ( ,1 , x , x 2 ) T , α s  = = = = = ,1 , 1 x , 1 x 2 T    . 若 对所有 x0 , I : α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与向量组 II : α 1 , α 2 , α 3 , α 5 恒等价,则  的 取值 范围是 ( ) (A) 3 4   . (B) 3 4   或 1  = . 5 5 (C)  . (D)  或 =1 . 4 4900 · 线代 · 3. 向量 7 设 A,B 为 第 33 页，共93页 n 阶矩阵,则下列命题中,错误的是( ) (A) 若 B 和 A B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (B) 若 B 和 A + B 都是正交矩阵,则 A 也是一个正交矩阵. (C) 若 A 是正交矩阵, x 是 n 维列向量,则 x 和 A x 的长度相等. (D) 若 A 是正交矩阵, x , y 是相互正交的两个 n 维列向量 ,则 A x , A y 也相互正交. 二、填空题 1 2 −1 8 设矩阵 A=  2 1 1  ,α=(a,b,1)T ,若     3 0 2  A α 与 α 线性相关,则 a = _________ . 9 已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩为 2,且 α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 = 0 , α 1 + 3 α 4 = 0 ,则该向量组中不同的 极大无关组的个数是____.900 · 线代 · 3. 向量 三、解答题 10 设 第 34 页，共93页 A =  1 − 1 1 − 2 2 4 3 − 3 − 3  , ξ 1 =  1 − − 1 1  . (I) 求满足 A =2,A2 =6 的所有向量 2 1 3 1 2 , 3  . (II) 对(I) 中的任意向量 ξ 2 , ξ 3 ,证明 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 线性无关. 11 设 A 为 3 阶矩阵, α 1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 1,2 的特征向量,向量 α 3 满足 A α 3 = 2 α 1 + α 2 + 3 α 3 ,且 α +α +α 0. 1 2 3 (I) 证明 α ,α ,α 线性无关; 1 2 3 (II) 令 P=(α ,α ,α ) ,求 P−1AP. 1 2 3900 · 线代 · 3. 向量 12 设 第 35 页，共93页 n 维列向量组 α 1 , , α s 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系, β 是 n 维非 零列向量, β , β + α 1 , , β + α s 线性相关. 证明: β 也是齐次线性方程组 Ax=0 的一 个解. C 类 一、选择题 1 设 A 为 3 阶正交矩阵且A3 =E.已知 α , β 均为3维非零向量,且满足 α , A α 线性无关,α, Aα,A2α线性相关,βTα=βTAα=0.下列命题中,错误的是( ) (A) α,A2α 线性无关. (B) β,Aβ 线性无关. (C) α , A α , β 线性无关. (D) β , A β , A 2 β 线性相关. 2 设 A 为 2 阶矩阵, α 1 , α 2 为 2 维列向量,其中 α 1  0 , A α 1 = − α 1 , A α 2 = α 1 − α 2 ,则下列向 量组中, 线性相关的是 ( ) (A) α ,A899α . (B) 1 2 α 1 , A 8 9 9 α 2 − α 2 . (C) α ,A900α . (D) 1 2 α 1 , A 9 0 0 α 2 − α 2 .900 · 线代 · 3. 向量 二、解答题 3 设α 为3阶矩阵A的属于特征值1的特征向量.3维列向量α ,α 满足Aα =−2α , 1 2 3 2 3 第 36 页，共93页 A α 3 = α 2 + 2 α 3 ,且 α 3  0 .证明: (I) α 1 , α 2 , α 3 线性无关; (II) A3−3A2 +4A=2E .900 · 线代 · 4. 线性方程组 第四章 线性方程组 A 类 一、选择题 1 设 第 37 页，共93页 A 是 ( n + 1 )  n 矩阵, b 是 n + 1 维列向量,行列式 A , b  0 ,则非齐次线性方程组 A x = b ( ) (A) 有唯一解. (B) 有无穷多解. (C) 无解. (D) 不能确定解的情况. 2 设矩阵 A =  1 1 2 1 3 4 a 3 + 1 2 a 2 a + 2  , b =  2 d d 2  ,则非齐次线性方程组 A x = b 无解的充分必要 条件为( ) (A) a = − 1 , d = − 1 或 d = 2 . (B) a = 1 , d = − 1 或 d = 2 . (C) a=−1,d −1 且 d  2 . (D) a=1,d −1 且 d  2 . 3 设 A 为 3 阶非零矩阵,下列命题中,是齐次线性方程组 A x = 0 有非零解的充分条件的个 数为( ) ① 非齐次线性方程组 A * x = b 有唯一解. ② 非齐次线性方程组 A*x=b 有无穷多解. ③ 非齐次线性方程组 AATx=b 有唯一解. ④ 非齐次线性方程组 AATx=b 有无穷多解. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900 · 线代 · 4. 线性方程组 4 设矩阵 第 38 页，共93页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ,非齐次线性方程组 A x = b 的通解为 x = k 1  1 0 1 0  + k 2  − 0 2 1 1  +  3 1 2 0  ,其中 k 1 , k 2 为任意常数,则下列说法中,错误的是( ) (A) b 必可由 α 1 , α 2 线性表示. (B) b 必可由 α 2 , α 3 线性表示. (C) b 必可由 α 1 , α 3 , α 4 线性表示. (D) b 必可由 α 2 , α 3 , α 4 线性表示. 5 已知 α 1 = ( 2 ,1 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , 0 , − 1 ) T 是方程组  a x 2 x 1 1 − 1 x 1 + 2 − a 2 x 2 x 2 x + − 2 x x + 3 3 a = = x 3 3 b 2 3 , = b 1 , 的两个解,则该方程组的 通解为( ) (A) k ( 1 ,1 ,1 ) T + ( 2 ,1 , 0 ) T ,其中 k 为任意常数. (B) k ( − 1 ,1 ,1 ) T + ( 2 ,1 , 0 ) T ,其中 k 为任意常数. (C) k(1,−1,1)T +(1,0,−1)T ,其中 k 为任意常数. (D) k ( 1 ,1 , − 1 ) T + ( 1 , 0 , − 1 ) T ,其中 k 为任意常数. 6 设 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系,则下列各组向量中,仍为 A x =0的基础解系的是( ) (A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α 1 . (B) α +α +α ,α +α +α ,α +α +α ,α +α +α . 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2 (C) α −α ,α −α ,α −α ,α −α . 1 2 2 3 3 4 4 1 (D) α −2α ,2α +α ,−4α −α ,−α +α . 1 2 1 3 2 4 3 4900 · 线代 · 4. 线性方程组 二、填空题 7 已知方程组 第 39 页，共93页  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + a x 3 x 2 x 2 + 2 − x + 2 3( x = a 3 1 + = , 2 4 ) x 3 = 3 , 无解,则 a = _________ . 8 设 A 为 m  n 矩阵, B 为 n  m 矩阵. 已知 A B x = 0 只有零解,则方程组 A x = 0 的 基础解 系中的向量个数为_____ 9 已知方程组  x x − 1 1 x + + 1 2 ( + x a ( 2 2 a + + − 3 1 3 x + 3 ) x 2 ) x 2 4 + − x = 4 3 x + 3 3 x + 3 0 , ( a ( a + − 3 5 ) x 4 ) x 4 = = 0 , 0 的基础解系中恰有两个解向量,则 a = _________ .900 · 线代 · 4. 线性方程组 10 已知矩阵 第 40 页，共93页 A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是一个 3  4 的行满秩矩阵,且 α 3 + α 4 = 0 , b = α 1 + α 2 , 则方 程组 A x = b 的通解为_________ . 11 设四元非齐次线性方程组 A x = b 的系数矩阵 A 的秩 r ( A ) = 3 ,且它的三个解向量 α 1 , α 2 , α 3 满足 α +2α =(2,4,6,−2)T ,α +2α =(0,2,−2,0)T ,则 1 2 1 3 A x = b 的通解为 _________ . 12 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0,且其伴随矩阵 A * 为非零矩阵,则 A x = 0 的通 解为_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 4. 线性方程组 2x +x =1, 13 已知线性方程组  1 3 与 x 1 +ax 2 +x 3 =0 第 41 页，共93页  x a 1 x + 1 + 2 x x 2 2 + = x 2 3 = 0 , 有公共解,则 a = _________ . 三、解答题 14 设矩阵 A =  1 0 0 b a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1  , b =  1 − 0 0 1  . (I) 计算行列式 A ; (II) 当 a 为何值时,方程组 A x = b 有无穷多解,并求其通解.900 · 线代 · 4. 线性方程组 15 设矩阵 第 42 页，共93页 A =  2 1 0 a − a + 1 2 1 1 a  , b =  1 1 1  . (I) 当 a 为何值时,方程组 A x = b 无解,有唯一解,有无穷多解? (II) 当方程组有无穷多解时, 求其通解. 16 设矩阵 A =  1 0 − 1 2 1 2 1 − 0 1 3 − 4 6  , E 为 3 阶单位矩阵. (I) 求方程组 A x = 0 的一个基础解系; (II) 求满足 AB=E 的所有矩阵 B .900 · 线代 · 4. 线性方程组 17 设 第 43 页，共93页 A , B , X 均为 3 阶矩阵，其中 A =  a 2 2 2 + 5 a 3 2 + 9 2 a 3 2 2 + 6  , B =  a 2 1 2 + 3 a 2 1 + 6 a 2 2 1 + 4  . 问 a 为何值时,矩阵方程 AX−B=BX 无解、有唯一解、有无穷多解? 在有解时,解此方 程. 18 设矩阵 A =  1 a 2 0  , B =  1 0 b − 1  . (I) 当 a,b 满足什么条件时,存在矩阵 C 使得 AC−CA=B ; (II) 进一步,若 A = 1 2 ,求所有矩阵 C .900 · 线代 · 4. 线性方程组 19 已知 第 44 页，共93页 α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 4 ,1 ) T 都是方程组 A x = b 的解, β=(3,4,1,2)T 是方程组 A x = 0 的解,且 r ( A ) = 2 . 求 A x = b 的通解. 20 已知 n  m 矩阵 A = ( α 1 , α 2 , , α m ) 的秩为 m . 若非零矩阵 B 的列向量组是线性方程 组 A T x = 0 的一个基础解系,求线性方程组 BTy=0 的通解. x +2x +3x =0, 1 2 3  21 已知齐次线性方程组 (i) 2x +3x +5x =0, 和 (ii) 1 2 3  x 1 +ax 2 +bx 3 =0  x 2 1 x + 1 x + 2 b + 2 x c 2 x 3 + = ( c 0 + , 1 ) x 3 = 0 同解,求 a,b,c 的值.900 · 线代 · 4. 线性方程组 22 设四元齐次线性方程组 (i) 第 45 页，共93页  x x 1 2 − + x 2 x 4 = = 0 0 , , ( ii)  − x x 1 1 − + x x 3 2 + + x x 4 4 = = 0 0 . , (I) 求方程组 ( i ) 与 ( ii ) 的基础解系; (II) 求方程组 ( i ) 与 (ii ) 的公共解. B 类 一、选择题 1 设 A 为 n ( n  2 ) 阶矩阵, B 为 n 阶可逆矩阵, b 为 n 维列向量,则下列命题中,错 误的是( ) (A) 若方程组 Ax=b 有解,则方程组 ABx=b 有解. (B) 若方程组 A x = b 有解,则方程组 B A x = b 有解. (C) 若方程组 Ax=0 有非零解,则方程组 A B x = 0 有非零解. (D) 若方程组 Ax=0 有非零解,则方程组 B A x = 0 有非零解.900 · 线代 · 4. 线性方程组 2 设 第 46 页，共93页 A 为 n  m 矩阵,且 mn . 若 A A T = E n ,则( ) (A) A x = 0 只有零解. (B) A x = b 必有解. (C) A T x = b 必有解. (D) 若 m 维列向量组 β 1 , β 2 , , β s 线性无关,则 A β 1 , A β 2 , , A β s 必线性无关. 3 设 A 为 n 阶矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,则下列条件中,为线性方程组 ( E − A ) x = 0 只 有零解 的充分条件的是( ) (A) ATA=E ,且 A =−1 . (B) A T A = E ,且 A = 1 . (C) AT =−A . (D) 存在某 n 维列向量 α 使得 A = α α T . 4 设 3 阶实对称矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , α 1 − α 2 + α 3 = ( 1 , − 1 ,1 ) T , A 3 + ( a 5 − 1 ) A 2 + 2 a 3 A + a E = O ,且 tr ( A ) = 1 ,则Ax=0的通解为( ) (A) k(1,1,0)T ,其中 k 为任意常数. (B) k ( − 1 , 0 ,1 ) T ,其中 k 为任意常数. (C) k(1,1,0)T +l(−1,0,1)T ,其中 k,l 为任意常数. (D) k(1,−1,1)T +l(−1,0,1)T ,其中 k , l 为任意常数.900 · 线代 · 4. 线性方程组 5 设 第 47 页，共93页 A 为非零矩阵, α 1 , α 2 , α 3 是齐次线性方程组 A x = 0 的一个基础解系, k , l , m 是非零 常数,则下列各组向量中,仍为 A x = 0 的基础解系的是( ) (A) k α T1 α 2 α 3 , lα T2 α 3 α 1 , m α T3 α 1 α 2 . (B) αTα α +kαTα α ,αTα α +lαTαα ,αTαα +mαTα α . 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 (C) kα +lα ,lα +mα ,mα +kα . 1 2 2 3 3 1 (D) k α 1 + lα 2 + m α 3 , lα 1 + m α 2 + k α 3 , m α 1 + k α 2 + lα 3 . 2 +2 5 7   6 设矩阵 A= 1 3 +3 2 ,则下列条件中,不能使方程组     1 1 2 3 A x = 0 的任意两个解均 线性相关的是 ( ) (A) =−2 . (B) =−1 . (C) 0  = . (D) 1  = .900 · 线代 · 4. 线性方程组 7 设3阶矩阵 第 48 页，共93页 A =  b − − 2 a 1 b − − − 1 a 2 1 a b − − − a 2 1  , α =  b a 1 − 1  , β =  a b + 2 + 1 1  均为 A x = b 的解,则下列命题 中,错误的是 ( ) (A) b =  0 1 − 1  . (B) ( 0 , 0 , − 1 ) T 是 A x = b 的解. (C) 0 是 A 的一个特征值. (D) r ( A * ) = 0 . 8 设矩阵 A =  3 21 2 − 1 2 1 2  ,向量 α 1 满足Aα= +α,则下列向量中可能为 1 A 1 1 α 的是( ) (A)  9 1 1  10 . (B) . (C)   11  1 1 9  . (D)  1 1 1 0  . 9 设 A 为n(n3)阶矩阵,ATx=0与 A * x = 0 有非零公共解,则( ) (A) r ( A * ) = n − 1 . (B) r ( A * )  n − 1 . (C) r ( A*) =1 . (D) r ( A * ) = 0 .900 · 线代 · 4. 线性方程组 二、填空题 10 已知函数 第 49 页，共93页 f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d 的图形过点 ( 1 ,1 ) , ( 2 ,1 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 3 1 ) ,则 f ( x ) = _________ . 11 若 3 阶矩阵 A 有三个特征值 0 , 3 , 5 , u , v , w 分别为属于 0 , 3 , 5 的一个特征向量,则线性 方程 组 Ax=v+w 的通解为____. 12 设 A= ( a ) 是正交矩阵,且 a =1,b=(0,1,0)T ,则线性方程组 Ax=b 的解是____ ij 22 33900 · 线代 · 4. 线性方程组 13 设 3 阶矩阵 A=(α ,α ,α ) 满足 1 2 3 第 50 页，共93页 A α 1 = ( 1 , 0 ,1 ) T , A α 2 = ( 0 ,1 , 0 ) T , A α 3 = ( 0 , 0 , 0 ) T , α 3  0 ,则线性方程组 A x = ( 1 ,1 ,1 ) T 的通解为_____ 三、解答题 14 设矩阵 A =  1 1 0 1 0 − 1  . (I) 求所有满足 B A = E 的矩阵 B ,并求 A B 的特征值; (II) 在满足 B A = E 的基础上,找到一个矩阵 B ,使得 A B 有一个特征向量为 β = ( 1 , 2 , 3 ) T .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 4. 线性方程组 15 设4维列向量 第 51 页，共93页 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 两两线性无关, α 1 + 2 α 2 + α 3 = 0 ,且 α 4 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 记矩阵A=(α ,α ,α ,α ),求非齐次线性方程组 1 2 3 4 A x α 2 α 4 的通解. 16 设3阶矩阵A=(α ,α ,α )的列向量满足 1 2 3 α 3 = α 1 + 2 α 2 ,且存在非零列向量 v ,使得 ( A + E ) v  0 , ( A + E ) 2 v = 0 . (I) 证明 r(A)=2 ; (II) 设 β = α 1 + 2 α 2 + 3 α 3 ,求方程组 A x = β 的通解.900 · 线代 · 4. 线性方程组 C 类 一、选择题 1 设 第 52 页，共93页 A 为 m  n 矩阵, B 为 n  m 矩阵,且 mn.若 A T A = E n ,则( ) (A) A x = 0 必有非零解. (B) A x = b 必有解. (C) r(AB)=r(B) . (D) r(BA)=r(B) . 2 设 A 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 A x = 0 与 A*x=0 有非零公共解的充分条件 的个数是 ( ) ① r  A A *   3 . ② r ( A , A * )  3 . ③ r(A)=2 ,且 A* 是对称矩阵. ④ r ( A ) = 2 ,且 A * 不是对称矩阵. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 3 若 n 阶矩阵 A 的各行、各列元素之和均为 0,则下列命题中,正确的是( ) ① A* 必为实对称矩阵. ② A* 的每个元素都相等. ③ 若 r(A)=n−1 ,则 A 必为实对称矩阵. ④ Ax=0 与 A*x=0 必有非零公共解. (A) ①②. (B) ①②③. (C) ①④. (D) ①③④.900 · 线代 · 4. 线性方程组 二、解答题 4 设 第 53 页，共93页 n 维列向量 α i = ( a i1 , a i2 , , a in ) T ,其中 i = 1 , 2 , , r , r  n ,且向量组 α 1 , α 2 , , α r 线 性无关, β 为齐次线性方程组  a a a 1 1 2 1 r1 a a a 1 2 r 2 2 2 a a a 1 n 2 n rn   x x x 1 2 n  =  0 0 0  的非零解,证明: α 1 , α 2 , , α r , β 的秩为 r + 1 .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 第五章 矩阵的特征值与特征向量 A 类 一、选择题 1 下列矩阵中,与矩阵 第 54 页，共93页  1 0 0 0 1 0 1 2 2  相似的是( ) (A)  1 0 0 0 1 2 0 0 2  . (B)  1 0 2 1 1 0 0 0 2  . (C)  1 0 0 1 1 0 0 2 2  . (D)  1 2 1 0 1 1 1 2 2  . 二、填空题 2 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,,− . 若行列式 A 3 2  = − ,则  = _________ . 3 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1,3,4 ,则 A*+2A−9E =_________ .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 4 设矩阵 第 55 页，共93页 A =  a 4 1 − b 0 1 0 3 − a  , A = − 3 . 若 α = ( 1 ,1 , − 1 ) T 为 A * 的属于特征值  的一个特征 向量,则  = _________ .  0 1 −1   5 设矩阵 A= 1 0 1 ,则 A4 的最大特征值为_________ .     −1 1 0  1 4 −7    6 矩阵 A= 2 8 −12 的最小特征值为_________ .     3 12 −17900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 7 已知矩阵 A 与 第 56 页，共93页 B 相似,其中 A =  2 − 2 1 1 x 2 1 2 2  , B =  8 y − 5 2 0 2 − 1 5 1 0 1 − 6  ,将矩阵 B 的特征值 记成 1 , 2 , 3    ,则 (+ +)2 − =_________ . 1 2 3 1 2 3 8 已知  3 2 1  为 3 阶矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量, A 的第一列为 α 1 ,第二 列为 α 2 ,则_________ . 1 0 0 1    0 1 t−2 2−t   9 设4阶矩阵A= 只有一个线性无关的特征向量，且t 0，则t= 0 t+3 1 −3−t    1 t2 t3 1   ________ .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 10 设矩阵 第 57 页，共93页 B =  1 0 1 0 − 0 1 1 0 1  ，已知矩阵A与B相似，则秩 r ( E + A ) + r ( E − A ) = _______ . 11 设 , 为3维列向量， T  为的转置，若矩阵 T  相似于  1 1 1 1 1 1 1 1 1  ，则 T =________ .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 0 1 1 0 1 0     12 设矩阵A= 1 0 1 ,P= 0 2 1 ，         1 1 0 1 0 3 第 58 页，共93页 B = P − 1 A P , 求 B + E 的特征值与特征向量，其中 A * 为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. 5 3 0   13 若矩阵A= 1 3 0 相似于对角矩阵     0 a 2  ，试确定常数a的值，并求一个可逆矩阵P，使得 P−1AP=900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 3 1 1 −   2 2   1 1 14 设矩阵 A= a − ,已知方程组 Ax=0 有非零解.   2 2   1 1   −1   2 2  (I) 求 第 59 页，共93页 a 的值; (II) 求一个可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P 为对角矩阵. 15 设矩阵 A =  2 1 a 0 1 0 1 1 − 1  有一个二重特征值,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化.900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 16 设 A 为 3 阶实对称矩阵, A* 为 A 的伴随矩阵. 已知 A =−12,tr(A)=1 ,且 (1,0,−2)T 是方程组 ( A*−4E ) x=0 的一个解,其中 E 为 3 阶单位矩阵. 求一个正交矩阵 第 60 页，共93页 Q ,使得 Q T A Q 为对角矩阵. 17 设矩阵 A =  2 4 4 4 2 4 4 4 2  . (I) 求 A 的特征值及其对应的特征向量;  1    (II) 计算 A2n −1 .     −3公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 18 设 A 为 3 阶实对称矩阵,其特征值为 第 61 页，共93页 2 , 2 ,  . 若 A = 4 ,且 ( 2 ,1 , 0 ) T , ( 0 ,1 , 2 ) T 为 A 的 两个特征向量,求矩阵 A . 19 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1 , 2 0 , 3 2    = = = ,且 α =(1,1,1)T 是 1 A 的属于 1  的一个特征向量. 记 B = A 2 − 2 A + 2 E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (I) 验证 α 是矩阵 1 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (II) 求矩阵 B .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 20 已知矩阵 第 62 页，共93页 A =  2 1 0 1 x 0 3 3 2  与 B =  1 0 0 4 2 0 0 0 y  相似. (I) 求 x , y ; (II) 求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B . 0 0 0 0   0 1 1 0 21 证明矩阵   与 0 1 1 0   0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2  相似.900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 22 设 第 63 页，共93页 A 为 2 阶矩阵, α 和 β 为 2 维列向量,且 A α , A β 线性无关. 矩阵 P = ( α , β ) . (I) 证明: P 为可逆矩阵. (II) 若 A α = β , A β = 2 α ,求 P − 1 A P ,并判断 A 是否相似于对角矩阵. B 类 一、选择题 1 设 A 为 n ( n  2 ) 阶矩阵,若1不是 A 的特征值,且 A = − 1 ,则下列命题中,正确的是( ) ① 2 不是 A + A − 1 的特征值. ② 2 不是 A + A * 的特征值. ③ -1 不是 A + A T − A A T 的特征值. ④ 1 不是 A − A * + A A * 的特征值. (A) ①②. (B) ③④. (C) ①④. (D) ②③.900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 2 设 第 64 页，共93页 n ( n  3 ) 阶矩阵 A = E − k α α T ,其中 k  0 , α  0 .若 A 2 = E ,则下列命题中,错误的是( ) (A) n − tr ( A ) 为偶数. (B) A = − 1 . (C) A 可相似对角化. (D) A 有 n−1 个线性无关的属于特征值 -1 的特征向量.   a 2a 1−3a   3 设矩阵 A=1 2 −2  ,且   a 2  a 1−a  3 3  f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x ,则下列命题中,错误的是( ) (A) r(A)=2 . (B) A = 0 . (C) f ( A ) = O . (D) r(A),A, f (A) 至少有一个与 a 的取值有关. 4 设 4 阶矩阵 A =  1 1 − 0 1 a 0 a 0 1 − 2 3 0 a − 2 a 2  的四个特征值都为正,且恰有两个不同的特征值,其中一 个特征值为2,则下列结论中, 正确的个数为 ( ) ① A = 4 a . ② 2 是 A 的单特征值. ③ A 可相似对角化. ④ a 的值无法确定. (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 5 设 第 65 页，共93页 A 为 3 阶非零矩阵, A 的特征多项式为 f ( )  .下列命题中,错误的是( ) (A) 若 f ( 1 ) = 0 ,则方程组 A 2 x = x 有非零解. (B) 若 f ( 1 ) = 0 ,则方程组 A 2 x = A x 有非零解. (C) 若方程组 A3x=x 对所有 3 维列向量 x 均成立,则 f ( 1 ) = 0 . (D) 若方程组 A3x=Ax 对所有 3 维列向量 x 均成立,则 f ( 1 ) = 0 . 6 下列关于实对称矩阵的命题中,正确的是( ) (A) 存在实对称矩阵 A ,使得 tr ( A 2 )  0 . (B) 存在实对称矩阵 A ,使得 A 2 + E 不可逆. (C) 不存在实对称矩阵 A ,使得 A 2 = A ,但 tr(A)r(A) . (D) 以上说法均不正确. 1 1 7 设 A,B 是 3 阶可逆矩阵, A  ,B  ,则下列各项中,是 2 2 A 与 B 相似的充分条件 的为( ) (A) A + A T 与 B + B T 相似. (B) A + A − 1 与 B + B − 1 相似. (C) AT +A−1 与 B T + B − 1 相似. (D) A * + A − 1 与 B*+B−1 相似.900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 8 设 第 66 页，共93页 A 为 2 阶矩阵, E 为 2 阶单位矩阵, A 2 + E = O ,则下列结论中,正确的是 ( ) (A) A = 1 . (B) A T = A . (C) A T = − A . (D) A 不是正交矩阵. 9 设A为3阶实矩阵,并且满足 A 4 = E ,其中E为 3 阶单位矩阵,则下列结论中,正确的是( ) (A) 必有 A2 =E . (B) 必有 A2 =−E . (C) 若 A 相似于对角矩阵,则 tr ( A ) 必为奇数. (D) 若 A 不相似于对角矩阵,则 tr ( A ) 必为偶数. 二、填空题 10 设 A 为 3 阶矩阵, α ,α ,α 为线性无关的向量组. 若 Aα =α +α ,Aα =α +α ,Aα 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 =α +α ,则 A =_________ . 1 2900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 11 设 3 阶实对称矩阵 第 67 页，共93页 A 仅有两个不同的特征值 ,  ,且 A * =  1 a b 1 1 c 1 1 d  ,则 2 2   + = _________ . 12 设 A 为 3 阶实对称矩阵,特征值为 1,2,3,α=(1,−1,0)T ,β=(1,1,−2)T分别为 A 的属于特征 值 1 和 2 的特征向量,则 A 的第一行元素之和为_____.900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 13 设 第 68 页，共93页 A , B , C 均为 3 阶矩阵,满足 A B = − 2 B , C A T = 2 C ,其中 B =  1 − 2 1 2 1 − 1 3 0 1  , C =  1 − 2 1 − 2 4 − 2 1 − 2 1  . (I) 求矩阵 A ; (II) 证明:对于任意的3维列向量 x 0 , A 1 0 0 x 0 与x 必线性相关. 0 0 2 3   14 已知矩阵 A= 1 1 0 .     0 0 0 (I) 求 A n , n 为正偶数. (II) 设 3 阶矩阵B满足B2 =BA.记 B 2 n = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , B 4 n = ( β 1 , β 2 , β 3 ) ,将 β 1 , β 2 , β 3 分别表示 为α ,α ,α 的线性组合. 1 2 3900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 15 设 3 阶矩阵 第 69 页，共93页 A 有三个不同的特征值 0 ,1 , 2 , α 1 , α 2 , α 3 分别为属于 0 ,1 , 2 的一个特征向量.记 β = α 1 + α 2 + α 3 . (I) 证明 β , A β , A 2 β 线性无关; (II) 确定 a , b , c ,使得矩阵 B =  0 1 0 0 0 1 a b c  与矩阵A相似,并求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B , 并将结果用 A , β 表示; (III) 求 B900 的各列元素之和. 16 设 u , v , w 是三个 3 维列向量,其中 u , v 线性无关. 3 阶矩阵 A 满足 A u = v , A v = u , A w = u + v + w . (I) 证明: u + v , w , u − v 线性无关. (II) 求 r ( A 5 0 − E ) .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 17 设 第 70 页，共93页 A 为 3 阶实对称矩阵, α =  1 0 1  为属于特征值 3 的一个特征向量. (I) 若A满足 r ( 3 E − A )  1 ,且 A 2 − 4 A + 3 E = O ,求A. (II) A 为第(I)问中所求矩阵, B =  3 0 0 0 1 0 0 1 1  .是否存在可逆矩阵 P 为矩阵方程 A X − X B = O 的解?若存在,求 P ,若不存在,说明理由. 18 设 α 1 , α 2 , α 3 是两两正交的 4 维单位列向量组, β 1 = 1 3 α 1 + 2 3 α 2 − 2 3 α 3 , β 2 = 2 3 α 1 − 2 3 α 2 − 1 3 α 3 , β 3 = 2 3 α 1 + 1 3 α 2 + 2 3 α 3 . (I) 证明 β 1 , β 2 , β 3 也是两两正交的单位列向量组. (II) 记矩阵 B=(β ,β ,β ) ,证明方程组 BTx=0 有非零解. 1 2 3 (III) 设单位列向量 β 4 为方程组BTx=0的一个非零解,且Cβ =(−1)i β (i=1,2,3,4),证明 i i C 为实对称矩阵.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 C 类 一、选择题 1 若矩阵 第 71 页，共93页 A , B 为 n 阶正交矩阵,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① A =  1 . ② 若 A 存在实特征值,则必为  1 . ③ A B 也是正交矩阵. ④ 若 A = − B ,则 A+B 必不可逆. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 2 设 A 为 3 阶实对称矩阵, A 的各行元素之和均为 0,若 A 的全部非零特征值为1,6,则下列命 题中,正确的个数为 ( ) ① A* 的全部元素均不为 0 . ② ( A*)* O . ③ 6 是 A* 的唯一非零特征值. ④ A*x=0 与 A x = 0 有非零公共解. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 二、填空题 3 设 第 72 页，共93页 A 为可相似对角化的 4 阶矩阵, α 为 4 维非零列向量. 若 α , A α , A 2 α , A 3 α 线性无 关,则 A 的不同特征值的个数为_____ ( ) 4 设 3 阶矩阵 A= a 满足各行元素之和均为 2,且 ij A = 1 2 . 若矩阵 B(t)= ( a +t ) ,则 ij B ( 1 ) = _________ .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 三、解答题 ( ) 5 设 3 阶矩阵 A= a 满足 A 的各列元素之和均为1. ij (I) 若 第 73 页，共93页 ξ 为各分量之和为 1 的 3 维列向量,求 A ξ 的各分量之和. (II) 若 k 为任意正整数,证明: A k 的各列元素之和均为 1,且 1 为 Ak 的一个特征值. (III) 记 α = ( 1 ,1 ,1 ) T ,若 β 为 A k 的属于特征值 ( λ 1 )   的特征向量,求 α T β . 6 设A为 3 阶实对称矩阵, B 为可相似对角化的 3 阶正交矩阵,满足 A = B , r ( E + B ) = r ( 2 E − A ) = 1 . (I) 求 A 的所有特征值; (II) 若 A , B 所有的公共特征向量均与 ( 0 ,1 ,1 ) T 线性相关,且(1,1,−1)T与 ( 0 ,1 ,1 ) T 为 A 的属于不 同特征值的特征向量,求 A .900 · 线代 · 5. 矩阵的特征值与特征向量 7 设 第 74 页，共93页 A , B 均为 2 阶实对称矩阵, A 的特征值为 1 , 2 , B 的特征值为2,3.证明: (I) 若存在 ξ ξTAξ ,使得 =2,则 ξTξ ξ 为 A 的属于特征值 2 的特征向量; (II) 若存在  ,使得 T A T 2 , T B T 3       = = ,则 AB=BA.900 · 线代 · 6. 二次型 第六章 二次型 A 类 一、选择题 1 设 α,β 均为 3 维列向量,二次型 第 75 页，共93页 f = x T α β T x ,则下列关于 f 的秩的说法中,正确的个数 为 ( ) ① 可能为 0 . ② 可能为 1 . ③ 可能为 2 . ④ 可能为 3 . (A) 1 . (B) 2 . (C) 3. (D) 4 . 2 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = P y 下的标准形为 y 21 − 2 y 22 + 3 y 23 ,其中 P = ( e 1 , e 2 , e 3 ) .若 Q = ( e 2 , e 1 , − e 3 ) ,则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Q y 下的标准形为( ) (A) − 2 y 21 + y 22 + 3 y 23 . (B) − 2 y 21 + y 22 − 3 y 23 . (C) y2 −2y2 +3y2 . (D) 2y2 + y2 +3y2 . 1 2 3 1 2 3900 · 线代 · 6. 二次型 3 设 第 76 页，共93页 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵,若 A 2 − A = 2 0 E ,且 A = − 1 0 0 ,则二 次型 x T A x 的规范形为( ) (A) y 21 + y 22 − y 23 . (B) − y 21 − y 22 − y 23 . (C) 5 y 21 + 5 y 22 − 4 y 23 . (D) 5 y 21 − 5 y 22 + 4 y 23 . 4 已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x T A x 的正惯性指数为 2,其中 A 为实对称矩阵, r ( A ) = 3 ,且 A 3 + 2 A 2 − 8 A = O ,则( ) (A) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 在正交变换下的标准形为 4 y 21 + 2 y 22 − 2 y 23 . (B) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 在正交变换下的标准形为 4 y 21 + 4 y 22 − 2 y 23 . (C) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 的规范形为 y 21 + y 22 + y 23 . (D) f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) 的规范形为 y 21 + y 22 − y 23 . 5 二次型 f (x ,x ,x )=(x +2x )2 +(2x −3x )2 −(x −x +2x )2 的正惯性指数与负惯性指数 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 依次为( ) (A) 2,0 . (B) 1 ,1 . (C) 2,1. (D) 1,2 .900 · 线代 · 6. 二次型 6 已知 a0 ,二次型 第 77 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = − 7 x 21 + 2 x 22 − 4 x 23 − 2 a x 1 x 2 + 2 0 x 1 x 3 + 8 a x 2 x 3 的正惯性指数 与负惯性指数相同,则 f 所对应矩阵的最大特征值为( ) (A) 3 . (B) 6 . (C) 9. (D) 12. 7 设 A , B 为 n 阶正定矩阵,P为 n 阶可逆矩阵,则下列矩阵中,不一定是正定矩阵的是( ) (A) A * + B * . (B) ( A + B ) * . (C) P T A P + B . (D) P T A P − B . 8 设 n ( n  3 ) 阶正定矩阵 A =  1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1  ,则 a 不可能为( ) 1 1 1 1 (A) . (B) . (C) − . (D) − . n−1 n n−1 n900 · 线代 · 6. 二次型 9 现有两个命题: ① A* 对称当且仅当 A 对称; ② A* 正定当且仅当A正定.下列说法中, 正确的是( ) (A) ①, ② 均正确. (B) ① 正确, ② 错误. (C) ① 错误, ② 正确. (D) ①, ② 均错误. 10 下列矩阵中,与 第 78 页，共93页  1 0 0 0 − 0 1 0 0 0  合同的是( )  2 −1 0   1 −1 −1     (A)  1 0 −1  .(B)  −1 1 1  . (C)      0 1 − 2 −1 1 1   1 0 1 0 1 0 1 0 1  1 1 1   . (D) 1 0 1 .     1 1 1  0 −1 1 −1 0 0     11 设矩阵A= −1 0 1 ,B= 0 2 0 ,则A与B( )          1 1 0  0 0 3 (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 相似但不合同. (D) 不相似且不合同.900 · 线代 · 6. 二次型 12 设矩阵 第 79 页，共93页 A =  1 1 1 1 1 1 1 1 1  , B =  0 0 0 0 0 0 1 2 3  , C =  1 0 0 0 0 0 0 0 0  ,则必有 ( ) (A) A 与 B 相似, A 与 C 合同. (B) A 与 B 相似, B 与 C 合同. (C) A 与 C 相似, A 与 B 不合同. (D) A 与 C 不相似, A 与 C 不合同. 13 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 b x 1 x 3 经可逆线性变换 x = P y 可化为二次型 g(y ,y ,y )=−y2−3y2+3y2+8y y ,则参数 a,b 的取值范围为 1 2 3 1 2 3 2 3 ( ) (A) a  0 , − 1  b  1 . (B) a  0 , − 1  b  1 . (C) a  0 , b  1 或 b  − 1 . (D) a  0 , b  1 或 b−1 .900 · 线代 · 6. 二次型 二、填空题 14 二次型 第 80 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 3 x 22 + 5 x 23 + 4 x 1 x 2 + 6 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 的秩为_________ . 15 设二次型 f (x ,x ,x )=(x +x )2 +(x +x )2 +(x +ax )2,当 1 2 3 1 2 1 3 2 3 a = 时, f 的秩最小. 16 设 A 为二次型 f ( x 1 , x 2 ) 对应的对称矩阵,且 A 的各列元素之和均为 1 , A = 0 ,则 f (x ,x ) 在正交变换下的标准形为_____ 1 2公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 6. 二次型 17 设二次型 f (x,x ,x )=2x2+2x2+3x2−4xx −2x x +2axx 的规范形为 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 第 81 页，共93页 y 21 + y 22 ,则 a = _________ . 18 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 − 3 x 23 + 2 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ,则 f 的正惯性指数为 _________ . 19 设 a0 ,则二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 a x 1 x 3 的负惯性指数为_________ .900 · 线代 · 6. 二次型 20 设二次型 第 82 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + a x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 的正、负惯性指数相同,则 a = _________ . 21 若二次型 f (x,x ,x )=x2+2x2+2x2+4txx +2xx 是正定的,则 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 t 的取值范围是____900 · 线代 · 6. 二次型 三、解答题 22 设二次型 f (x,x ,x )=xTAx,其中 1 2 3 第 83 页，共93页 A 为实对称矩阵.已知 A 的各行元素之和均为4,且存在 3 维非零列向量 α , β ,使得 A = E + α β T . (I) 求 A 的特征值与特征向量; (II) 求正交变换 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形. 23 已知矩阵 A =  1 a 0 1 1 − 1 b 1 0 0 1 − 1  ,二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A T A x 的秩为 2 . (I) 求 a,b 的值; (II) 求正交变换 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形.900 · 线代 · 6. 二次型 24 已知二次型 第 84 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 3 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 + 2 x 1 x 3 通过正交变换化为标准形 y 21 + 4 y 22 ,求参数 a 以及所用的正交变换. 25 已知矩阵 A =  1 1 1 − 2 1 2 2 1 0  , B = A 2 − k A + ( k 2 − 2 k − 1 ) E .若 B 为正定矩阵,求参数k的取值范 围.900 · 线代 · 6. 二次型 B 类 一、选择题 1 设二次型 第 85 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 3 i= 1 ( x i − x ) 2 ,其中 x = x 1 + x 23 + x 3 ,记其对应的矩阵为 A ,则( ) (A) r(A)+r(E−A)=4 . (B) r ( A ) + r ( E + A ) = 4 . (C) r(A)+r(E−A)=5 . (D) r(A)+r(E+A)=5 . 2 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 3 ) 2 + ( x 1 + x 2 ) 2 −  x 1 + ( a + 2 ) x 2 − 2 x 3  2 的负惯性指数为 0,则 a = ( ) (A) 1 . (B) -1 . (C) 2. (D) -2 . 3 设 A 为 n 阶正定矩阵,特征值为 n n 1 1 1 , Q     −    为正交矩阵,则下列命题中, 正确命题的个数是( ) ① A+QTA−1Q 是正定矩阵. ② A+QTA−1Q 的最小特征值为 1 1 1   + . 1 ③ A+QTA−1Q 的最大特征值为  + . n  n ④ 若 α 为 A 的特征向量,则 Q T α 为 QTA−1Q 的特征向量. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .900 · 线代 · 6. 二次型 4 设A为 第 86 页，共93页 n 阶实矩阵, A  A T , B =  A E T A O  ,则下列矩阵中,可能与 B 合同的是( ) (A)  E O n O E n  . (B)  E O n − O E n  . (C)  E O p − O E q  ,其中 p  q E O  p . (D)   ,其中 pq .  O −E   q 5 设 A , B 均为2阶实对称矩阵,则下列条件中,不是 A B = B A 的充分条件的是( ) (A) A B 与 B A 相似. (B) A 2 − A B 与 E 相似. (C) A 2 − A B 与 E 合同. (D) 存在正交矩阵 Q ,使得 Q T A Q , Q T B Q 均为对角矩阵. 6 设 n 阶实矩阵 A = ( a ij ) 满足 a ij + a ji = 0 ,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① A 为可逆矩阵. ② E + A 为可逆矩阵. ③ 对于任意的非零向量 x ,均有 x T A x = 0 . ④ 若 AO ,则 A 不可能合同于一个非零对角矩阵. (A) 0 . (B) 1 . (C) 2. (D) 3 .900 · 线代 · 6. 二次型 二、填空题 7 已知矩阵 第 87 页，共93页 A =  a 1 1 a  ,正定矩阵 C 满足 C2 =(a+2)E−A ,则 C 的所有元素之和为 _________ . 8 设二次型 f (x,x ,x )=x2+x2+x2+4xx +4xx +4x x ,记 x=(x ,x ,x )T ,则在xTx 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 = 1 的条件下, f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值为____900 · 线代 · 6. 二次型 三、解答题 n 9 设n元二次型 f (x ,x , ,x )=( x −x )2 ,其中x= x 1 +x 2 + +x n ,记其对应的矩阵为 A. 1 2 n i n i=1 (I) 求 第 88 页，共93页 r ( A ) ; (II) 当 n = 3 时,找到一个可逆线性变换,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形 2 y 21 + 3 2 y 22 . 10 设二次型 f (x,x )=ax2−4xx +x2经过正交变换 1 2 1 1 2 2  x x 1 2  = Q  y y 1 2  化为二次型g(y ,y )= 1 2 b y 21 + 4 y 1 y 2 + 4 y 22 . (I) 求 a,b 的值; (II) 求正交矩阵 Q .900 · 线代 · 6. 二次型 11 设二次型 第 89 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 4 a x 2 x 3 经过可逆线性变换  x x x 1 2 3  = P  y y y 1 2 3  化为二次型g(y ,y ,y )=y2+y2+2y2+2y y +2y y +2y y . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (I) 求 a 的值; (II) 求可逆矩阵 P . 12 已知二次型 f (x,x ,x )=cx2 − ( b2 +1 ) x2+cx2+2xx 可通过可逆线性变换化为 1 2 3 1 2 3 1 3 g(y ,y ,y )= ( 2c2−1 ) y2+ ( c2+1 ) y2+ ( c2−2 ) y2+2 ( c2+1 ) y y −2 ( c2−2 ) y y .求可逆线性变 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 换 y = P z 将二次型 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) 化为规范形.900 · 线代 · 6. 二次型 13 设A为m阶实对称矩阵,B=(β ,β , ,β )为 mn 矩阵. 若BTAB是正定矩阵,其中BT 1 2 n 是 第 90 页，共93页 B 的转置,证明: (I) m  n ; (II) 若存在 m 维非零列向量 ξ ,使得 ξ T A ξ = 0 ,则 r ( B )  r ( B , ξ ) . 14 设实对称矩阵 A 满足 r ( A − E ) = 1 ,二次型 f (x,x ,x )=xTAx 在正交变换 1 2 3 x = Q y 下化为标准形.已知 f ( 1 , 0 , − 1 ) = 0 ,且对任意 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , f ( x 1 , x 2 , x 3 )  0 . (I) 求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的规范形; (II) 求矩阵 A ,并证明对于任意正数 a,A+aE 均为正定矩阵.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取900 · 线代 · 6. 二次型 15 设二次型 第 91 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + a x 2 − 2 x 3 ) 2 + ( 2 x 2 + 3 x 3 ) 2 +  x 1 + ( a + 2 ) x 2 + a x 3  2 ,且 a  1 .记 A 为该二次型对应的对称矩阵.已知 α 1 , α 2 , α 3 为 3 维非零列向量,且满足αT( A*+ i A−1) α =0(i j).证明:α ,α ,α 线性无关. j 1 2 3 16 设矩阵A为二次型 f (x,x ,x )=xTAx对应的实对称矩阵,满足r(E+A)=1.若当 1 2 3 x 22 + x 23 = 1 x 21 + 时, f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的最大值为 2,且 f ( 1 , − 1 ,1 ) = 6 ,求矩阵 A .900 · 线代 · 6. 二次型 C 类 一、选择题 1 若矩阵 第 92 页，共93页 A , B 均为 n 阶正定矩阵,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ① 若 A − B 正定,则 tr(A)tr(B) . ② 若 tr ( A )  tr ( B ) ,则 A − B 正定. ③ 若 A B 为正定矩阵,则 A B = B A . ④ 若 A B = B A ,则 A B 为正定矩阵. (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 2 设 A 为 n 阶实矩阵, A  A T , B =  A E T A O  ,则( ) (A) 不存在非零向量 α ,使得 α T A α = 0 . (B) 不存在非零向量 α ,使得 α T B α = 0 . (C) 若对任意 y0 ,都有 y T A T A y  0 ,则 B 的正惯性指数大于 n . (D) 若非零向量 α,β 满足 ATα=α,Aβ=−β ,则 ( α T , β T ) B  α β   0 .900 · 线代 · 6. 二次型 3 设A为 2 阶实对称矩阵,特征值为 第 93 页，共93页 1 , 2 , B  为 2 阶正定矩阵,特征值为 1 , 2   .记 xTAx xTAx M =max ,m=min ,则 Mm=( ) x0 xTBx x0 xTBx (A) 1 2   . (B) 1 2 .  1 2 (C) 1 1 2 2  . (D) 由已知条件不能确定.  二、解答题 4 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A 为实对称矩阵,且 A 2 − 2 A − 3 E = O .若 f 的正惯性指数 为 2,且 f ( 1 ,1 ,1 ) = − 3 ,求 f ( 1 , 2 , − 3 ) .900 · 线代 · 6. 二次型 5 设 第 94 页，共93页 D =  A Q T Q A  为正定矩阵,其中 A 为 n 阶正定矩阵,特征值依次为0 , 1 n Q 为 n 阶正交矩阵. (I) 证明: A − Q T A − 1 Q 为正定矩阵. (II) 又若 Q ( α 1 , , α n ) , A Q ( 1 α 1 , , n α n )   = = ,证明: A 1.