文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
提升卷·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 选择性必修第一册（第一章—第二章（2.3 节）） 。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．点
关于点
的对称点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，设
的坐标为
，分析可得
为
的中点，由中点坐标公式可得
，解可
得
、
的值，即可得答案.
【详解】根据题意，设
的坐标为
，
点
与
关于点
的对称，
为
的中点，
根据中点坐标公式可得：
，
解可得
，
即
的坐标为
故选：A.
【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点
为
中点，考查了分析能力和计算能力，属于基
础题.
2．若直线l1::(a−2) x + y +1=0与直线l2:2 x−(a+1) y −2=0互相平行，则实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或-1
【答案】A
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线l1:(a−2) x + y +1=0与直线l2:2 x−(a+1) y −2=0互相平行，
所以有(a−2)[−(a+1))=1×2且(a−2)(−2)≠1×2，
解得
，
故选：A
3．已知空间向量
，则
在
上的投影向量的模为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解.
【详解】由向量
，得
，
，
则
在
上的投影向量为
，
所以
在
上的投影的模为
．
故选：A
4．设向量
不共面，已知
，
若
三点共
线，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用
三点共线得到
，再使用共线向量定理即可.
【详解】因为
三点共线，所以
，则存在实数
，使得
，
由已知得
故
由于
不共面，故
解得
另解:因为向量
不共面，所以
，
由已知得
故向量表达式中
的系数对应成比例，即
，解得
．
故选：C.
5．如图所示的图形形似水滴，它是由线段
和圆的优弧
围成的，其中
恰好与圆弧相切．
若圆弧所在圆的半径为2，点
到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】欲求封闭图形的面积，需要作辅助线对图形进行分割，分割成三角形、扇形等易求面积的图形，
再求解．
【详解】如图，取优弧
所在圆的圆心
，连接
，
则
，则
，
所以
，则
，
故优弧
对应的圆心角为
，对应的扇形面积为
．
而
，
故
，
所以该封闭图形的面积为
．
故选：C.
6．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点
与点
重合，若此时
轴与直线
也正好重合，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程
，由题意得点
在直线
上，得
，又直线
与直线
以及
轴相交于点
，即可求
，进而求解.
【详解】由题意有：
，点
的中点
，
所以图纸的折痕所在的直线方程为
，即
，令
，得
，即
，
又由
轴与直线
也正好重合，则点
在直线
上，
所以
，
又因为直线
与直线
以及
轴相交与点
，
所以
，代入
，解得
，
所以
，
故选：D.
7．如图，在直三棱柱
中，
，
，
是线段
的中点，在
内
有一动点
（包括边界），则
的最小值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立适当的空间直角坐标系
，因为
位于
的同侧，设
关于平面
的对称点为
，根据
求解.
【详解】以
为原点，
所在直线为
轴，过点
且平行于
的直线为
轴，
所在直线为
轴，建
立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设A 关于平面
的对称点为
，
，
则
，
．
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，所以
，
所以A 与
到平面
的距离
，
即
①．
又
，所以
，即
②．
由①②得
，由
可得
，
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，
，
三点共线时取等号，
所以
的最小值为
．
故选：C.
8．已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，函数
可看成点
到点
和点
的距离之和，函数
可看成过点
和点
的直线斜率，而点
为
上的点，分别求出值域即可.
【详解】由题意，
，
上式可看成点
到点
和点
的距离之和，
点
关于
轴的对称点为
，
则
，
所以函数
的值域为
，
，可看成过点
和点
的直线斜率，
由于
，所以点
为
上的点，如图，
当直线过
时，
，
当直线与曲线
相切时，设直线
，
则
，得
，所以
的值域
，
所以
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：函数
可看成点
到点
和点
的距离之和，函数
可看成过
点
和点
的直线斜率，而点
为
上的点，分别求出值域即可.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．点
在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量的坐标为
D．直线l 的截距式方程为
【答案】BD
【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D.
【详解】A：因为直线l 过点
，
，所以直线l 的斜率为
，
设
，则
，故点
不在直线l 上，错；
B：直线l 的两点式方程为
，对；
C：若直线l 的一个方向向量的坐标为
，则
，与A 分析不符，错；
D：由B 中两点式方程，整理得截距式方程为
，对.
故选：BD
10．已知点
，
，点P 在圆
上运动，则（ ）
A．直线AB 与圆C 相离
B．
的面积的最小值为
C．
的最大值为6
D．当
最小时，
【答案】ACD
【分析】求得直线AB 的方程为
，得到圆心C 到直线AB 的距离
，可判定A 正确；由
，点P 到直线AB 的距离的最小值为
，结合三角形的面积公式，可判定B 错误；根据
，可判定C 正确；当
最小时，得到直线PB 与圆C 相切，结合切线长公式，可判定
D 正确.
【详解】对于A 中，由点
，
，点P 在圆
上运动，
则圆心为
，半径为2，直线AB 的方程为
，
则圆心C 到直线AB 的距离
，所以直线AB 与圆C 相离，所以A 正确；
对于B 中，因为
，点P 到直线AB 的距离的最小值为
，
则
面积的最小值为
，所以B 错误；
对于C 中，由
，所以C 正确；
对于D 中，当
最小时，直线PB 与圆C 相切，此时
，所以D 正确.
故选：ACD．
11．如图，正方体
的棱长为2，点E 在线段
上运动，则（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．
C．若E 为线段
的中点，则点E 到直线
的距离为
D．存在某个点E，使直线
与平面
所成角为
【答案】ABC
【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来
逐一分析选项.
【详解】对于A,
,所以A 正确.
对于B,连接
，如图：
在正方体中，
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以
，所以B 正确.
对于C,当E 为线段
的中点，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则
，
即
所以点E 到直线
的距离
，
所以C 正确.
对于D,由上面空间直角坐标系可知，
，
所以平面
的法向量
，设
，
则
，设直线
与平面
所成角为
，则
，
若直线
与平面
所成角为
，
则
，
又
，所以方程无解，D 错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
四点共面，且任意三点不共线，
为平面
外任意一点，若
，则
．
【答案】
/0.4
【分析】根据空间向量共面定理即可求得
.
【详解】∵
，
由空间向量共面定理得：
，
故答案为：
.
13．一条直线经过点
，并且与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，当M 为
的中点时，此直线的截
距式方程为 .
【答案】
【分析】先求出
，进而由截距式写出直线方程.
【详解】因为
为
的中点，故
,
则直线的截距式方程为
.
故答案为：
14．已知圆
，直线
，点
为直线上的动点．过点
作圆
的两条切线，
切点分别为
．若使得四边形
为正方形的点
有且只有一个，则实数
的值为 ．
【答案】3 或
【分析】由已知，问题等价于圆心
到直线的距离为
，利用点到直线距离公式求解.
【详解】由
可知圆心
，半径为2，
因为四边形
为正方形，且边长为圆
的半径2，如图，连接
，则
，
所以要使直线
上有且只有一个点
，使得
，则
，
所以圆心
到直线的距离为
，所以
，解得
或
．
故答案为：或
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知直线
.
(1)求经过点
且与直线
垂直的直线方程；
(2)求经过直线与
的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据直线
的斜率可设所求直线方程为
，代入点
即可求解；
（2）联立直线与
的方程可得交点坐标，分截距为0 和截距不为0 两种情况分别求解.
【详解】（1）由直线
可得斜率为
，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为
，
则依题意有
，解得
，
所以所求直线方程为
，整理得
；
（2）联立
，解得
，即直线与
的交点为
，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为
，
代入
得
，此时
；
当直线的截距都不为0 时，设直线方程为
，
依题意
，解得
，此时直线方程为
，
综上所述：所求直线方程为
或
.
16．（15 分）
已知线段
的端点
的坐标为
，端点
在圆
上运动.
(1)求线段
的中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记（1）中的轨迹为
，若过点
的直线被轨迹
截得的线段长为
，求直线的方程.
【答案】(1)
，
的轨迹是以
为圆心，半径为1 的圆.
(2)
.
【分析】（1）设
中点为
，且
，根据中点公式，求得
，将其代入
圆的方程，即可求解；
（2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设
方程为
，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由圆
，可得圆心为
，半径长为2，
设线段
中点为
，且
，
因为点
的坐标是
，且
是线段
的中点，
可得
，解得
，
因为点
在圆上
上运动，即
，
所以
，所以
的轨迹是以
为圆心，半径为1 的圆.
（2）解：当直线的斜率不存在时，过点
的直线方程为
，
则圆心
到的距离为
，所以弦长为
，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设方程为
，即
因为过点
的直线被曲线
截得的弦长为
，
设圆心
到直线的距离为
，可得
，解得
，
则
，解得
，所以直线的方程为
.
17．（15 分）
如图，在三棱柱
中，侧面
为菱形，
，底面
为等边三角形，平面
平面
，点
分别是
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，点
在直线
上，且平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求线段
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
【分析】（1）取
的中点
，连接
，证明
平面
，再利用面面垂直的判定定理得到答案；
（2）建系，设
，借助于空间向量表示平面
与平面
的夹角的余弦值，进而求出
，即
得答案.
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
，因为侧面
为菱形，
，
所以
.又因为平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
.
又因为
是
的中点，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）连接
，因为
为等边三角形，则
.
所以
两两垂直.则以
为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以
.
故O(0,0,0), B(❑√3,0,0)，
.
设
，则
，
即
.
，
又⃗DE = 1
2⃗B1C1= 1
2⃗BC =(−
❑√3
2 , 1
2 ,0).
设平面
的一个法向量为
，
则{⃗
m·⃗DE =0⃗
m·⃗EF =0)，则{
❑√3 x−y =0
λy +(❑√3 λ−❑√3) z =0)，取
，则
，
.
故平面
的一个法向量为⃗m=(1−λ ,❑√3−❑√3 λ , λ).
又由（1）可知平面
的一个法向量为
，
由题意可得|cos<⃗m,⃗n>)=
❑√17
17 ，即
|⃗m⋅⃗n)
|⃗m|⋅)⃗n)
=
|λ)
❑√(1−λ)
2+3(1−λ)
2+ λ
2 =
❑√17
17 .
解得
.又
，所以，线段CF 的长为
2.
18．（17 分）
如图，在正四棱锥
中，
，
，
为
的重心.
(1)证明：
平面
.
(2)求三棱锥
的体积.
(3)将
绕着
在平面
的同侧旋转，使得点
到达点
的位置.当点
到平面
的距离最大
时，记
与平面
所成的角为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）延长
与
交于点
，取
的中点，利用勾股定理求证
，利用线面垂直的
判定定理证明
平面
即可求出；
（2）取
的中点
，根据
即可计算；
（3）以为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，设
，
根据
平面
可求出
，最后根据sinθ =|⃗PQ⋅⃗PM )
|⃗PQ)|⃗PM )
计算即可.
【详解】（1）如图，延长
与
交于点
，则
为
的中点，取
的中点，连接
，
在正四棱锥
中，由
，
，
为
的中点，为
的中点，
可得
，
，则
，从而
，
由
，
，可得
，
因为
，
平面
，所以
平面
，即
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，则
平面
，
在
中，
，
连接
，
，则
，
因为
为
的重心，所以
.
（3）连接
，
因
，PN ∩NS = N，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
，
则旋转过程中，当
平面
时，点
到平面
的距离最大，
以为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则S (0,0,0)，
，Q(0,❑√2cosα ,❑√2sinα)，
，M(0,−5
3 , 1
3)，
则⃗SC =(1,0,0)，⃗SQ =(0,❑√2cosα ,❑√2sinα)，⃗SM =(0,−5
3 , 1
3)，⃗
PQ =(0,1+ ❑√2cosα ,−1+ ❑√2sinα)，
由
平面
，可得¿，则
，解得
，
，
由（1）知，平面
的一个法向量为⃗PM =(0,−2
3 ,−2
3)，
则sinθ =|⃗PQ⋅⃗PM )
|⃗PQ)|⃗PM )
=
|−2❑√2
3
(cosα +sinα ))
2❑√2
3
⋅❑√4+2❑√2(cosα −sinα )
=
3 ❑√26
13
❑√4−8 ❑√13
13
，
所以
.
19．（17 分）
在平面直角坐标系中，定义
为两点
的“棋盘距离”（源
自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线
.
(1)已知圆C：
，圆
：
的圆心分别为C，
，且
，判断圆C 与圆
的位置关系；
(2)若直线与（1）问结论中的圆
自上而下交于
，
两点，直线与
轴、
轴分别交于
、
两点；若
（1）问结论中的圆
与
轴自上而下交于
两点.
①设
，
，求
的值；
②求证：直线
､
交点
在定直线上.
【答案】(1)相交
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）由棋盘距离的定义及
的范围求出
，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果；
（2）①联立直线和
的方程，并得到韦达定理，再由
和
分别得到
和
，结合韦达定理并化简可得
；②设出
和
的点斜式方程并联立消掉
，结合韦达
定理化简得到
，即
得证.
【详解】（1）圆
：
转化为标准方程为：
，
，
，
，
或0，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与
相交.
（2）①直线
，
，设
，
，由
，
消去
得：
，由韦达定理
，
，
，
由
有
，
同理由
有
，
（*），
将韦达定理代入（*）
，
；
②证明：
，
，则直线
，直线
，
联立两直线方程消
得：
（**），
由韦达定理有
，即
，
代入（**）可得
，解得
.
故直线
交点
在定直线
上.
