文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何+直线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．过 ， 两点的直线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，所以 ，
因 ，所以 ，
故选：D.
2．在空间直角坐标系 中，已知点 ，若点 与点 关于 平面对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出点 的坐标可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由点 与点A关于 平面对称，可得 ，所以 .
故选：A.
3．已知 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果.
【详解】由已知可得 , ，
则 ，
故选：A
4．若两平行直线 与 之间的距离是 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据直线平行求出 ，再利用平行线距离公式即可求出 ，则得到答案.
【详解】因为直线 与 直线平行，
所以 ，即 ，
因为直线 与直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 ．
故选：C
5．在平行六面体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 上靠近 的三等分点．若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】选一组基底 ，利用空间向量基本定理即可求解.
【详解】由题意有 ，所以
，
所以 ，所以 ，
故选：B.
6．过点 作直线 ，若直线 与连接 ， 两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题知直线 的斜率 ，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线 的倾斜角为 ， ，
当直线 的斜率不存在时， ，符合，
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学科网（北京）股份有限公司当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，
因为点 ， ， ，则 ， ，
因为直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以直线 的倾斜角范围为 .
故选：B.
7．已知点 ，直线l： ，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】先求出定点，再根据当 时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
【详解】将直线l的方程变形为 ，由 ，
得 ，所以直线l过定点 ，
当 时，点P到l的距离最大，故最大距离为 .
故选：D.
8．三棱锥 中，底面是边长为2的正三角形， ，直线AC与BD所成角为 ，
则三棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得证 为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系， ，根据
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学科网（北京）股份有限公司与直线AC与BD所成角为 建立方程，求得 ，然后找出外接球球心，根据相关
数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解
【详解】由题意可得，因为 为等边三角形，所以 ，
又 ，且
所以 ，所以 ,
取 的中点 ，易得 ,又
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ，
令 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为直线AC与BD所成角为 ，所以 ，
解得 ，即 ，
如图， 为外接球的球心， 为等边三角形的重心，
设点A在平面 内的投影为 ，作 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ,
所以在 中，
, ,
所以在 中， ，解得 ，
所以，三棱锥 外接球表面积为 ，
故选：A
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空
间问题转化为平面问题求解；
2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个
球内接长方体求解；
3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，
弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是平面 的一个法向量 B． 四点共面
C． D．
【答案】AD
【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解
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学科网（北京）股份有限公司C，由模长公式即可求解D.
【详解】 ，
所以 平面 ，
所以 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，故A正确；
设 ，则 ，无解，所以 四点不共面，故B错误；
，所以 与 不平行，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10．已知直线 ，直线 ，下列说法正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距等于直线 在 轴上的截距
B．若点 在直线 上，则点 也在直线 上
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BD
【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可.
【详解】直线 在 轴上的截距为 ，直线 在 轴上的截距为2，不相等，故A错误；
若点 在直线 上，则 ，所以点 在直线 上，故B正确；
当 时， 与 重合，故C错误；
若 ，则 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：BD
11．在棱长为2的正方体 中，点 满足 ，且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则 面
B．若 ，则
C．若 ，则 到平面 的距离为
D．若 时，直线 与平面 所成角为 ，则
【答案】ACD
【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量
积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得
，利用线面角的向量求法得到 ，借助于函数的单调性即可求得 的
范围.
【详解】连结 ，由 可知，点 在线段 上，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，且 ，且 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
如图以 为原点建立空间直角坐标系，则
， ，
对于A， ，
则 ，得 ，则 ，
，A正确：
对于B，由A分析可得 ，
故 不与 垂直，故B错误；
对于C， 时， ，又 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故可取 ，又 ，
则 到平面 的距离为 ，故C正确：
对于D，当 时， ，则 ，
又由C已得平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
当 ，
当 ，
因 在 上单调递减，则 ，则有 ，
则 ，则当 时， ，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 ，则 .
【答案】
【分析】根据夹角公式算出 ，进而求出正弦值.
【详解】根据夹角公式， ，
注意到 ，则 ，
于是 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司13．已知 ， 、 、 三点不共线， 为平面 外任意一点．若 ，且 、
、 、 四点共面，则 ．
【答案】
【分析】根据空间共面定理得到若 ， ， ， 四点共面，则 ，且 ，
从而得到方程，解得即可.
【详解】因为 ， ， ， 四点共面，则 ，且 ，
又 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
14．已知点 在直线 上，则 的最小值为
【答案】4
【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值.
【详解】 ，
表示直线 上的点到定点 和 的距离和，如图，
点 关于 的对称点为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当点 三点重合时， 最小，最小值为4.
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知 ， .
(1)若( )∥( )，求x，y的值；
(2)若 ，且 ，求x的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先求出 和 的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
（2）先根据向量垂直得 ，进而 ，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ， .
又( )∥( )，
∴ ，解得 ， .
（2）由 ，得 ，
∴ ，∴ ，即 ，∴ ，解得 .
16．（15分）
据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点 ，且与直线 平行的直线方程；
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学科网（北京）股份有限公司(2)已知点 ， ．求线段 的垂直平分线的方程；
(3)求经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
(2)
(3) 和
【分析】根据题给条件设直线方程即可.
（1）设与直线 平行的直线方程为 ，代点即可求解.
（2）根据点 求中点坐标及其斜率，与线段 的垂直的直线的斜率 与 ，点斜式写直线方
程即可.
（3）设截距，考虑截距为 和不为 的情况，根据点斜式写直线方程即可.
【详解】（1）设与直线 平行的直线方程为 ，过 ，则 ，则 ，所
以直线的一般方程为 .
（2）因为点 ， ，中点为 ， ，
则垂直平分线的斜率 ，则 ，
直线方程为 ，所以直线的一般方程为 .
（3）设直线在两坐标轴上的截距为 ，即直线过
当截距 时，直线过 ， ，则 ，即 ；
当截距 时，直线斜率 ，则 ，即 .
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 和 .
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学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
如图在平行六面体 中， ， ．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 和 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ， ， ，则 为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得
出 ， ， ，再根据向量的数量积运算得出 ， ，从而得出
，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线 平面 ；
（2）根据空间向量的线性运算得出 ，再根据向量的数量积运算求得 和 ，
，最后根据异面直线的夹角公式 ，即可求出直线 和 夹角的余弦
值.
【详解】（1）设 ， ， ，
则 为空间的一个基底，且 ， ， ，
因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
可得 ， ，
即 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
，即 ，
则 ，即 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以直线 和 夹角的余弦值为 .
18．（17分）
已知 的三个顶点的坐标为 ， ， ．求：
(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
(2)点C关于直线AB对称点的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由ABCD为平行四边形知 可求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设点 关于直线AB对称点的坐标为 ，由题意可得出 ，解方程即
可得出答案.
（3）求出 和点 到直线AB的距离即可求出面积.
【详解】（1）设 ，由ABCD为平行四边形知 ，
即 ，则 ，解得 ，即 .
（2）直线AB的方程为 ，即 ，
点 关于直线AB对称点的坐标为 ，
所以 ，解得： ，
故C关于直线AB对称点的坐标为 .
（3） ，
直线AB的方程 ，
点 到直线AB： 的距离为 ，
∴ .
19．（17分）
如图1，在四边形 中， ， ， ，如图2，把 沿 折起，
使点 到达点 处，且平面 平面 ， 为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)判断线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ．若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，且
【分析】（1）在平面图形中证得 ， ，取 的中点 ，连接 ，利用线面垂直的
判定性质推理得证.
（2）以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解.
【详解】（1）在图1中，由 ， ，得 ，则 ，
所以 ，由 ，得 ，即 ，
在图2中， ，取 的中点 ，连接 ，由 为 的中点，
得 ，则 ，由 ，得 ，而 ，
平面 ，则 平面 ，又 平面 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）由已知及（1）得平面 平面 ，平面 平面 ， ，
于是 平面 ，直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，
则 ，
由图知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
（3）假设线段 上是否存在点 ，使得三棱锥的体积为 ，
在 中， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为三棱锥 的体积为 ，设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，
令 ，由（2）得， ，
又平面 的法向量为 ，
则点 到平面 的距离为 ，解得 ，
线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司
