选修4-4教案(1)_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_2025教资面试资料_25上教资面试-小学资料包_19教案：合集_高中学科全册教案_高中数学全册教案

二、极坐标系 【基础知识导学】 1．极坐标系和点的极坐标 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定： 当点M在极点时，它的极坐标0,可以取任意值。 2．平面直角坐标与极坐标的区别 在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽 然一个有序实数对(,)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数 对对应(,)，极坐标系中的点与有序实数对极坐标 (,)不是一一对应的。 3．极坐标系中，点M(,)的极坐标统一表达式(,2k),kZ 。 4．如果规定0,0 2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示， 同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化 （1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。  2  x2  y2 x cos  （2） 互化公式 ，  y 。 y sin  tan ,x  0  x 【知识迷航指南】  【例1】 在极坐标系中，描出点M(2, )，并写出点M的统一极坐标。 3 M X O   【点评】点M(2, )的统一极坐标表示式为(2,2k )，如果允许0，还可以表 3 3  示为(2,(2k 1) )。 3  【例2】已知两点的极坐标A(3, ),B(3, )，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的 2 6 角为________. 解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB为等边三角形,所以 5 |AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX= 6 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. 3 (1) ,(R) 4 (2)sin2cos 3 y 【解】(1)根据极坐标的定义,因为tan  ,即y  x,所以方程表示直线. 4 x (2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:2 sin2cos 1 5 1 化为直角坐标方程为x2  y2  y2x,即(x1)2 (y )2  ,这是以(1, )为圆 2 4 2 5 心,半径为 的圆. 2 【点评】①若没有R这一条件,则方程表示一条射线. ②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法. 【解题能力测试】  2 3  1．已知点的极坐标分别为A(3, )，B(2, )，C( ,)，D(4, )，求它们的直角 4 3 2 2 坐标。 5 1．已知点的直角坐标分别为A(3, 3),B(0, ),C(2,2 3)，求它们的极坐标。 3 3．已知点 M的极坐标为(5, )，下列所给出的四个坐标中不能表示点 M的坐标的是 3 （ ）  4 2 5 A.(5, ) B.(5, ) C.(5, ) D.(5, ) 3 3 3 3 4．点P的直角坐标为(1, 3)，则点P的极坐标为（ ）  4 A.(2, ) B.(2, ) 3 3  4 C.(2, ) D.(2, ) 3 3 【潜能强化训练】  5 1．在极坐标中，若等边∆ABC的两个顶点是A(2, )、B(2, )，那么顶点C的坐标可能 4 4 是（ ） 3 3 A.(4, ) B(2 3, ) 4 4 C.(2 3,) D.(3,)   2．在极坐标系内，点(3, )关于直线 .(R)的对称点坐标为（ ） 2 6  A（3，0） B(3, ) 2 2 11 C(3, ) D(3, ) 3 6  2 8 5 3． 若 P(2, )是 极 坐 标 系 中 的 一 点 ， 则 Q(2, )..R(2, )..M(2, ). 3 3 3 3 5 N(2,2k ) (kZ)四点中与P重合的点有（ ） 3 A．1个 B 2个 C 3个 D 4个 2 4．极坐标方程cos ..(0)表示的曲线是（ ） 2 A 余弦曲线 B两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线  5．极坐标系中，点A的极坐标是(3, )，则 （1）点A关于极轴对称的点是_______. 6 (2) 点A关于极点对称的点的极坐标是___.    (3) 点A关于直线 的对称点的极坐标是________.(规定: (0) 0,2 2 【知识要点归纳】 (1)要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对(x,y)是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对(,)不是一一对应的,只有在规定   (0, 0,2 )的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式. (2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为 直角坐标方程,再判断. 二、坐标系 〔解题能力测试〕 3 2 3 2 3 1．A（ , ) B(1, 3)C( ,0)D(0,4) 2 2 2  5 3 4 2． A(2 3, )B( , )C(4, ). 3、A、4、C 6 3 2 3 〔潜能强化训练〕 11 7 5 1、B 2、D 3、C 4、D 5（1）(3, ) （2）(3, ) （3）(3, ) 6 6 6 三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】 1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满 足方程 f(,) 0，并且坐标适合方程 f(,) 0的点都在曲线 C上，那么方程 f(,) 0叫做曲线C的极坐标方程。 1．直线与圆的极坐标方程 x O ① 过极点，与极轴成角的直线 极坐标议程为 (R)或tan tan ②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为  r 【知识迷航指南】  例1求（1）过点A(2, )平行于极轴的直线。 4  3 （2）过点A(3, )且和极轴成 角的直线。 3 4   解（1）如图，在直线l上任取一点M(,)，因为A(2, )，所以|MH|=2sin  2 4 4  在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即sin 2 ，所以过点A(2, )平行于极轴的直线 4 为sin 2 。 （2）如图 ，设M(,)为直线l 上一点。   A(3, )， OA =3，AOB 3 3 3 3  5 5 7 由已知MBx ，所以OAB   ，所以OAM   4 4 3 12 12 12 3 3  又OMAMBx  在∆MOA中，根据正弦定理得  4 3 7 sin( ) sin 4 12 7   6  2 3 3 3 3 又sin sin(  ) 将sin( )展开化简可得(sincos)  12 4 3 4 4 2 2  3 3 3 3 所以过A(3, )且和极轴成 角的直线为：(sincos)  3 4 2 2 〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数 变换进行化简。 例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON， 求ON的中点M的轨迹方程。 解：（1）设 p(,)为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 OA =8 在直角∆AOD 中 OD  OAcos，即 8cos， 这就是圆C的方程。（2）由r  OC  4。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以CM ON ，故M在以OC 为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是： 4cos。 〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在 极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为 定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。   （1）y2  4x （2） （3）cos2 1 （4）2cos2 4 3 2 解：（1）将x cos,y sin代入y2  4x得(sin)2  4cos化简得 sin2 4sin y  y （2）∵tan ∴ tan   3 化简得：y  3x(x 0) x 3 x  1cos （3）∵cos2 1 ∴  1。即cos 2 所以 x2  y2  x  2。 2 2 化简得 y2  4(x1)。 （4）由2cos2 4 即2(cos2sin2)  4 所以 x2  y2  4 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。 （2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定 0,0 2 （3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于   一般约定0.故 表示射线。若将题目改为 (R) 则方程化为：y  3x 3 3 〔解题能力测试〕 1 5  1 判断点( , )是否在曲线 cos 上。 2 3 2 2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）y2  x2 2x10； 1 （2） 。 2cos 3．下列方程各表示什么曲线？ （1）y  a： 。 （2） a： 。 （3）： 。〔潜能强化训练〕 １ 极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距是（ ） 2 Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ 2   ２ 在极坐标系中，点(3, )关于 (R)的对称的点的坐标为 （ ） 2 6  2 11 A (3,0) B (3, ) C (3, ) D (3, ) 2 3 6  3在极坐标系中，过点(3, )且垂直于极轴的直线方程为（ ） 3 3 3 3 3 A cos B sin C  cos D  sin 2 2 2 2 2 4 极坐标方程 cos (0) 表示的曲线是 （ ） 2 A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线  2 5 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 sin( )  ， 则 极 点 到 该 直 线 的 距 离 4 2 是： 。 6 圆 2(cossin)的圆心坐标是： 。 7 从原点O引直线交直线2x4y1 0于点M，P为OM上一点，已知 OD OM 1。 求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。 〔知识要点归纳〕 1 直线，射线的极坐标方程。 2 圆的极坐标方程三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕 1、在 2、（1）2 2cos10 (2)3x2 4y2 2x10 3、（1）在直角坐标下，平行于X轴的直线。（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a的圆。（3） 在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。 〔潜能强化训练〕 2  1、D 2、D 3、A 4、D 5、 6.(1, ) 2 4 7、以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2cos4sin10，       0 设M(,).P(,)则2 cos 4 sin 10又 0 知  1 0 0 0 0 0 0 A1     0   0  1 1 2 cos4 sin10,2cos4sin 代入得：   参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆 锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函 x  f(t) 数， (1) 并且对于 t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点 y  g(t) M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F （x,y）＝0叫做曲线C的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 1． 直线的参数方程 (ⅰ)过点P (x ,y )，倾斜角为的直线的参数方程是 0 0 0 x  x tcos  0 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P P的数量，P(x ,y) y  y tsin 0  0 为直线上任意一点. b (ⅱ)过点P (x ,y )，斜率为k  的直线的参数方程是 0 0 0 a x  x at  0 （t为参数） y  y bt  0 （2）圆的参数方程 x  rcos (ⅰ)圆x2  y2  r2的参数方程为 (为参数)的几何意义为“圆心角” y  rsin (ⅱ)圆(xx )2 (y y )2  r2的参数方程是 0 0 x  x rcos  0 （为参数）的几何意义为“圆心角” y  y rsin  0 （3）椭圆的参数方程 x2 y2 x  acos (ⅰ)椭圆  1 (a b 0) 的参数方程为 （为参数） a2 b2 y bsin (xx )2 (y y )2 (ⅱ)椭圆 0  0 1 (a b 0)的参数方程是 a2 b2 x  x acos  0 （为参数）的几何意义为“离心角” y  y bsin  0 (4)双曲线的参数方程x2 y2 x  asec (ⅰ)双曲线  1 的参数方程为 （为参数） a2 b2  y btg (xx )2 (y y )2 (ⅱ)双曲线 0  0 1的参数方程是 a2 b2 x  x asec   0 （ 为参数）的几何意义为“离心角” y  y btg  0 （5） 抛物线的参数方程 y2  2px (p>0) 的参数方程为 x  2pt2  （t为参数） 其中 t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜  y  2pt 率的倒数（顶点除外）. 考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能， 从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程 所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题. 1． 参数方程的概念 一）目标点击： 1．理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等； 4．能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题； 二）概念理解： 1、例题回放： 问题 1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题） 已知圆C的方程为(x2)2  y2 1，过点P (1,0) 作圆C的任意弦， 1 交圆C于另一点P ,求P P 的中点M的轨迹方程. 2 1 2 书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？ 此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？  k2 2 x  设M(x ,y) ，由   1k2 ，消去k,得(x 3 )2  y2  1 ，因M与 k 2 4 y    1k2 3 1 P 不重合，所以M点的轨迹方程为(x )2  y2  （x 1） 1 2 4 解法六的关键是没有直接寻求中点 M的轨迹方程F(x,y) 0,而是通过引入 第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x与y的关系式，从而求得M点的 k2 2 x  轨迹方程.实际上方程   1k2 （1）和(x 3 )2  y2  1 （x 1）（2）都表示 k 2 4 y    1k2 同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式. 方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程. 由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参 数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参 数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简 捷、有效的方法. 问题 2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律， 得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意 义是什么？参数的取值范围？ 通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明： x  f(t) 【例1】形如 的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(x ,y) y  g(t) 和时间t的对应关系. x  f(t) 【例2】 我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如 的方程 y  g(t) 组表示质点的运动规律. 3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的. 2、曲线的参数方程与曲线 C的关系 x  f(t) 在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程 tD （*）与曲线C y  g(t) 满足以下条件： （1）对于集合D中的每个t ，通过方程组（*）所确定的点（ f(t ),g(t )） 0 0 0 都在曲线C上； x  f(t ) （2）对于曲线C上任意点（x ,y ），都至少存在一个t ，满足 0 0 0 0 0 y  g(t )  0 0 x  f(t) 则 曲线C  参数方程 tD y  g(t) 3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程F(x,y)＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x与y x  f(t) 之间的直接联系；而参数方程 tD是通过参数t反映坐标变量x与y之 y  g(t) 间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多 1； 曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多 1个.从 这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 参数方程 消 去 参 数 普通方程 ； 普通方程 恰 当 选 择 参 数 参数方程 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.x2 y2 问题 3：方程x2  y2  a2（a  0）；方程  （ 0）是参数方程吗？ a2 b2 参数方程与含参数的方程一样吗？ x2 y2 方程x2  y2  a2（a  0）表示圆心在原点的圆系，方程  （ 0 a2 b2 ）表示共渐近线的双曲线系。 x  f(t) 曲线的参数方程 （t为参数，tD）是表示一条确定的曲线； y  g(t) 含参数的方程F(x,y,t)＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原 则区别的. 三）基础知识点拨： x  2cos 例 1：已知参数方程 [0,2)判断点A(1, 3)和B(2,1)是否在方 y  2sin 程的曲线上.  1 2cos 2 2cos 解：把A、B两点坐标分别代入方程得 (1)， (2)，在[02,  3  2sin 1 2sin  )内，方程组(1)的解是 ，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上，而B 3 点不在方程的曲线上. 1、参数方程化普通方程 x  4t2 例 2：化参数方程 （t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什 y t 1 么图形. x  4t2 (1) 解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得x  4(y1)2 y t 1 (2) 1 (y≥1)即(y1)2   x (y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于 x轴， 4 开口向左的抛物线的一部分. 点拨：先由一个方程解出 t，再代入另一个方程消去参数 t,得到普通方程，这 种方法是代入消参法.  8t x   4t2 例 3：当tR时，参数方程  （t为参数），表示的图形是（ ） 4t2 y    4t2 A 双曲线 B 椭圆 C 抛物线 D 圆  8t x  (1)  4t2 解法1：原方程可化为 (1)÷(2)得：代入(2) 8 y1 (2)  4t2 x2 得  y2 1(y≠-1) 答案选B 4 t (2)2( )  2 x  t  1( )2 t  x  2sin2 解法2： 2 令tg= ( k kZ) 则  t 2 2  y cos2  1( )2  2 y1  t 1( )2   2 x2 消去，得  y2 1(y≠-1) 4 点拨：解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像 三角函数中的万能公式，使用了三角消参法. 当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数； 当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做 些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用. 例 4：将下列方程化为普通方程：     et et   x  cos 2 sin 2  x  2 (1)  （为参数） (2)  （t为参数）  y  1 (1sin)  y  et et   2   2   解:(1)做x2 2y＝(cos2 +sin2 +sin)－(1+sin)＝0 2 2  x2 2y＝0，但由于x  2sin( ) ，即0≤x≤ 2 . 4 ∴参数方程只表示抛物线的一部分，即x2  2y（0≤x≤ 2 ） (2)解方程组得x y et (1) x y et (2) (1)×(2)得x2  y2＝1 et et 从 x  知x≥1（提示应用均值定理） 2 所求的普通方程为x2  y2＝1 (x≥1) 点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三 角消参法化为普通方程； (2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出et，et,再消t. 方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参） (1)代入消参法； (2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方） (3)三角消参法 注意：参数取值范围对x,y取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性） 2、普通方程化参数方程 例 5：设y  1sin，为参数，化方程x2 4y2 2x8y10为参数方程。 x2  y2 2x8y10 解： 消y得  y  1sin x2 4(12sinsin2)2x88sin10  x2 2x4sin230  (x1)2  4cos2∴x 12cos,或x 12cos由于R，所以x 12cos,或x 12cos和所确定的x取值范围是一致的， 故主要任选其一构成参数方程即可. 所求的参数方程为x12cos R  y 1sin 例 6：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程4x2  y2＝16化成参数的 方程是 . y4 解：设M(x ,y)是椭圆4x2  y2＝16上异于A的任意一点，则  k， x (x≠0）以y  kx4代入椭圆方程，得x[(4k2)x8k ]=0,  8k ∴   x  4k2 另有点  x 0 164k2 y  4 y kx4   4k2  8k ∴所求椭圆的参数方程为   x   4k2 或  x 0 y  164k2 y  4   4k2 方法总结：将普通方程化参数方程方法：  x  f(t) x  f(t) 已知 消 去 x y (t)  F(x,y) 0 y (t) 四）基础知识测试： x 1t2 1、曲线 （t为参数）与x轴交点的坐标是（ ） y  4t 3 25 25 A （1，4） B （ ，0） C （1，－3） D （± ，0） 16 16 x 1t2 t4 2、在曲线 （t为参数）上的点是（ ） y t3 3t 2 A （0，2） B （－1，6） C （1，3） D （3，4）  2  x  3、参数方程 sin2 （为参数）所表示的曲线是（ ）  y tgctg A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线  x t 4、与参数方程 （t为参数, tR）表示同一曲线的方程是（ ） y 1t x 1t  x t2 A  （t为参数, tR） B  （t为参数, tR）  y t y 1t2  x sin x  2cost C  （为参数, R） D  （t为参数, tR） y 1sin y  2sint 5、曲线xy 1 （00时，p在 p 上方或右方；t<0时，p在 p 下方或左方，t=0时，p与 p 重合。 0 0 0 x  x at （ii）直线的参数方程的一般形式是： 0 （t为参数） y  y bt  0 a 这里直线 l的倾斜角的正切 tan （00或900时例外）。当且仅当 b a2 b2 1且b>0时. （1）中的t才具有（I）中的t所具有的几何意义。 2 圆的参数方程。 x  x rcos 圆心在点o'(x ,y ),半径为r的圆的参数方程是 0 （为参数） 0 0 y  y rsin  0 x2 y2 x  acos 3 椭圆  1的参数方程。  （为参数） a2 b2 y bsin x2 y2 x  asec 4 双曲线  1的参数方程： （为参数） a2 b2 y btan x  2pt2 5 抛物线y2  2px的参数方程。 （t为参数） y  2pt x 12t 例1 已知某曲线C的参数方程为 （其中t是参数，aR）,点M（5，4）在该 y  at2 曲线上。（1）求常数a；（2）求曲线C的普通方程。 12t 5 t  2 解：（1）由题意可知有 故  ∴a 1 at2  4 a 1 x 12t x1 （2）由已知及（1）可得，曲线C的方程为 由第一个方程得t  代入第二 y t2 2 x1 个方程得： y ( )2。即(x1)2  4y为所求。 2 〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x  f(t),y  g(t)。根据t的取值范围导出x,y的取值范围。 例2 圆M的参数方程为x2  y2 4Rxcos4Rysin3R2 0（R>0）.(1)求该圆的 圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时 不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。 解：（1）依题意得 圆 M的方程为(x2Rcos)2 (y2Rsin)2  R2 故圆心的坐 标为M（2Rcos,2Rsin).半径为R。 x  2Rcos （2）当变化时，圆心M的轨迹方程为 （其中为参数）两式平方相加得 y  2Rsin x2  y2  4R2。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆 (2Rcos)2 (2Rsin)2  2R 3RR 由于 所以所有的圆M都和定圆x2  y2  R2 (2Rcos)2 (2Rsin)2  2R  RR 外切，和定圆x2  y2 9R2内切。 〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参 数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。 x2 y2 例3已知A，B分别是椭圆  1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求∆ABC 36 9 的重心的轨迹的普通方程。 解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3sin）,点G的坐标为(x,y). 依题意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐标公式可知  606cos x   22cos x2   3  cos(1)  由此得： 2 (1)2 (2)2得 033sin  y  1sin  y1sin(2)   3 (x2)2 (y1)2 1即为所求。 4 〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显 得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。②“平方法”是消参的常用方法。 x2 例4求经过点（1，1）。倾斜角为1350的直线截椭圆  y2 1所得的弦长。 4 2 x 1 t  2 解：由条件可知直线的参数方程是： （t为参数）代入椭圆方程可得：  2 y 1 t   2 2 (1 t)2 2 2 5 (1 t)2 1 即 t2 3 2t 10设方程的两实根分别为t ,t 。 4 2 2 1 2  6 2 t t    1 2 5 6 2 则 则直线截椭圆的弦长是 t t  (t t )2 4t t  2 1 2 1 2 1 2 5  t t    1 2 5 〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必 x  x at 须是标准形式。即  0 （t为参数）当a2 b2 1且b>0时才是标准形式。若不 y  y bt  0 b 满足a2 b2 1且b>0两个条件。 则弦长为 d= 1( )2 t t a 1 2 〔解题能力测试〕  1 1 x  (a )   2 a 1 已知某条曲线的参数方程为： 其中a是参数。则该曲线是（ ） 1 1  y  (a )   2 a A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分 x 3t2 2 2 已知某条曲线的参数方程为 (0t 5) 则该曲线是（ ）  y t2 1 A 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线 x2 y2 3实数x,y满足  1，则z  x y的最大值为： ；最小值为 。 16 9 4已知直线l的斜率为k  1.经过点 M (2,1) 。点M在直线上，以的数量t 0 M 0 M 为参数.则直线l的参数方程为： 。 x 1tsin  5 已知直线l的参数方程是 （t为参数） 其中实数的范围是( ,)。 y  2tcos 2 则直线l的倾斜角是： 。 〔潜能强化训练〕x sin 1 在方程 （为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ） y  cos2 1 2 1 1 A (2,7) B ( , ) C ( , ) D (1,0) 3 3 2 2 2下列参数方程（t为参数）与普通方程x2  y 0表示同一曲线的方程是（ ） x  tant x  tant x  t x cost   A  B  C  1cos2t D  1cos2t y t y cos2t  y   y   1cos2t  1cos2t x  2cos 3 直线3x4y90与圆 （为参数）的位置关系是（ ） y  2sin A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直线不过圆心。 x 1tcos 4 设直线 （t为参数）。如果为锐角，那么直线l 到直线l :x10 y  2tsin 1 2 的角是（ ）   A  B  C  D  2 2 x2 5 过点（1，1），倾斜角为135o 的直线截椭圆  y2 1所得的弦长为（ ） 4 2 2 4 2 3 2 A B C 2 D 5 5 5 x  3tan 6 双曲线 （为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是： 。 y sec x sin2 7 参 数 方 程  （ 为 参 数 ） 表 示 的 曲 线 的 普 通 方 程 y sincos 是： 。 y2 8 已知点M（2，1）和双曲线x2  1，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线 2 l的方程。9 已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l 的参数方程为 x t  （t为参数）。当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为 6 ？ y  m2t x2 y2 １0、求椭圆  1上的点到直线:x2y120的最大距离和最小距离。 16 12 〔知识要点归纳〕 (5)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一 种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。 (6)面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻 去领会。 (7)在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。 四、参数方程 〔解题能力测试〕  2  x2 t  2 3 1．C 2、A 3、5，-5 4、 5、   2 2 y 1 t   2 〔潜能强化训练〕 1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、600 7、y2  x1(1 x1) 4 5 4 5 8、4x y90 9、m 10、d 4 5 d  5 max min 5