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7.4 空间距离（精练）（提升版）
题组一 点线距
1.（2022·福建）在空间直角坐标系中，点 ，则 到直线 的距离为___．
【答案】
【解析】依题意得 ， 则 到直线 的距离为
故答案为：
2（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的
距离的最小值为
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为
，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
3．（2022·广东）如图，在棱长为4的正方体 中，E为BC的中点，点P在线段 上，
点Р到直线 的距离的最小值为_______.【答案】
【解析】在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
因点P在线段 上，则 ， ，
，向量 在向量 上投影长为 ，
而 ，则点Р到直线 的距离
，当且仅当 时取“=”，
所以点Р到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：题组二 点面距
1．（2022·江苏）将边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角，则点 到平面 的距离为
___．
【答案】
【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知 ，
所以在图2中， ，所以 ，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则
则
设 为平面ABC的法向量，
则 ，取 ，得
所以点 到平面 的距离故答案为：
2．（2022·福建福州）如图，在正四棱柱 中，已知 ， ，E，F分别为
， 上的点，且 ．
(1)求证： 平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
【答案】(1)证明见详解.(2) .
【解析】（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则 ,设面 的一个法向量为 ，
，可得 ，即 ，不妨令 则 ,
平面 .
（2） ，则点 到平面 的距离为 .
3．（2022·河北邯郸）在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)详见解析(2)
【解析】（1）连结 交 于点 ，连结 ，因为点 分别是 的中点，所以 ，
且 ，所以 ，即四边形 是平行四边形，所以 ，且 平面
， 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 ，则 , , ，所以
，所以 ， ,因为 ，且 ， ，所以
平面 ，因为 ，所以点 到平面 的距离为1， ，根据等体积转
化可知 ，即 ，解得： ，所以点 到平面 的距离为 .
4．（2022·四川成都）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别
在线段CB，AP上，且 ， ．(1)求证： 平面PCD；
(2)若 ， ，求点D到平面EFP的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ 且 ．
在矩形 中，点 为 的中点，
∴ 且 ，∴ 且 ．
∴.四边形 是平行四边形，
∴ ．
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
(2)解：∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，∵ ， ， ， 平面 .
∴ 平面 ，即 就是点 到平面 的距离．
∵ ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离．
又∵ ，
∴ ．
同理可证 平面 ，即 ，
且 ， ， 平面 ，
∴ 平面 .
∴ ，即 ．
∴ ，
∴点 到平面 的距离为 ．
5．（2022·云南保山）如图，在四棱锥 ，四边形 正方形， 平面 ． ，
，点 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
底面 为正方形， 为 中点，
点 是 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
(2)解：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又四边形 为正方形，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又点 是 的中点， ， ，所以 ，
，
， ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ，
即 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 .
题组三 线线距
1．（2022·全国·课时练习）如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ，
， ，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是______．
【答案】
【解析】以 为坐标原点，分别以 ， , 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ,
, , ,
∴ , ,
设 是 ， 的公垂线方向上的单位向量，
则 ，即 ①，
，即 ②，
易知 ③，
联立解得 ， ， 或 ， ， ；不妨取 ，
又∵ ,
则异面直线 与 的距离 ，
故答案为： .
2．（2022·福建）如图，在正方体 中，AB＝1，M，N分别是棱AB， 的中点，E是BD
的中点，则异面直线 ，EN间的距离为______.
【答案】【解析】
以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
，设 同时垂直于 ，由 ，令
，得 ，
又 ，则异面直线 ，EN间的距离为 .
故答案为： .
3．（2022·浙江）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直
线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有：
， ， ， ， ，
可得：
设 ，且
则有： ，
可得：
则有：
故则当且仅当 时，
故答案为：
4．（2022·湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，N是棱AD的中点，M是棱CC 上的点，且
1 1 1 1 1
CC =3CM，则直线BM与BN之间的距离为____.
1 1
【答案】
【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点， 所在方向分别为 轴正方向建立空
间直角坐标系，
则B(1，1，0)，B(1，1，1)， ， ，∴ =(0，0，1)， ，
1.
设直线BM与BN的公垂线方向上的向量 ，由 ， ，
1
得 ，令x=2，则z=6，y=-7，∴ ，
设直线BM与BN之间的距离为d，则d= = = .故答案为： .
1
题组四 线面距
1．（2022·山东滨州）在棱长为 的正方体 中，直线BD到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 , 平面 , 平面 ,因此 平面 ,故直线BD到平面
的距离即为点 到平面 的距离；
为边长为2的等边三角形，故 ， ,
设点 到平面 的距离为 ，由等体积法可得 ,即 ,故选:B2．（2022·山西）如图，在正方体 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面ADE
1
(2)求直线 到平面 的距离；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1） ， ， 四边形 为平行四边形， ， 面 ，
面 ， 平面 ．
（2）如图建立空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为 ，
则 ， ， ， ， ， 平面 ， 直线 到平面
的距离即为点 到平面 的距离，所以 ， ， ，设平面 的一个
法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
， 直线 到平面 的距离为 .3．（2022·云南·会泽县实验高级中学校）如图，在梯形ABCD中， ， ，
， 平面ABCD，且 ，点F在AD上，且 ．
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD到平面PBC的距离．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)连接AC，因为 平面ABCD，又 平面ABCD，
∴PA⊥CF，又 ， ，
∴ 平面PAC，又 平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PAC，平面PFC ⊥平面PAC=PC，
过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PFC，故AH即为所求，
∵在梯形ABCD中， ， ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，即点A到平面PCF的距离为 ；
(2)∵ ， 平面PBC， 平面PBC，
∴ 平面PBC，
过点A作AE⊥PB于E，又因为 平面ABCD，则 BC，
又AB⊥BC， ，
∴BC⊥平面PBA，则BC⊥AE，又
∴AE⊥平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中， ，
∴ ，
故AD到平面PBC的距离为 .
题组五 面面距1．（2022·江苏）已知正方体 的棱长为 ，则平面 与平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正方体的性质， ∥ , ∥ ， ， ，
易得平面 平面 ，
则两平面间的距离可转化为点B到平面 的距离．
以D为坐标原点，DA，DC， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ．
连接 ，由 ， ，且 ，可知 平面 ，得平面 的一个法向量为 ，则两平面间的距离 ．
故选：C
2．（2022·云南）如图，在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，E，F分别为棱AA，BB 的中点，则AB
1 1 1 1 1 1 1 1
到平面DEF的距离是________．
1
【答案】
【解析】因为 ，且 面 ，所以， 面 ，则AB 到平面DEF的距离为 到
1 1 1
面 的距离，且明显可见， 面 ，对于三棱锥 ，有 ，设 到面
的距离为 ，
由题意得， ， ， ，在 中，得到 ，
，所以，
，化简得
，
进而可得，
故答案为：
3．（2022·上海）如图，在棱长为a的正方体 中，E、F分别是 、 的中点．则点A和点 的距离为______，点 到棱BC的距离为______，点E到平面 的距离为______， 到平面
AEFD的距离为______．
【答案】 a
【解析】连接 ,
连接 ，在正方体中， 平面 ，又 平面
所以 ，即 为点 到棱BC的距离
取 的中点 ，连接 ，则 平面
所以 为点E到平面 的距离
E、F分别是 、 的中点，则 又 ，则
又 平面AEFD, 平面AEFD，所以 平面AEFD，
则点 到平面AEFD的距离等于直线 到平面AEFD的距离.
由 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ，所以平面 平面 ，且平面 平面
则过 点作 交直线 于点 ，则 平面
即 为直线 到平面AEFD的距离.由 , 则
故答案为： ； ； ；
4．（2022·广东）在棱长为 的正方体 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 之间的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：因为 、 分别为 、 的中点，则 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ， ， 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，所以， 平面 ．
又因为 ，所以平面 平面 ．(2)解：连接 分别交 、 于点 、 ，则 为 的中点，且 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，
因为平面 平面 ，所以， 平面 ，
所以线段 的长度等于平面 与平面之间 的距离，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
且有 ，则 ，
因为正方体的棱长为 ，所以 ，
即平面 与平面 之间的距离为 ．
5．（2022·天津河北）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ，
的中点，点 在棱 上，且 ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 的距离.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】(1)证明：在直三棱柱 中，
为 的中点， ， ，
故 ，
因为 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ；
(2)证明：取 的中点 ，连接 ，
则 为 的中点，
因为 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
所以 ， 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
(3)
设 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为平面 与平面 的距离，
因为 平面 ，所以 ，
，
所以 ，即平面 与平面 的距离为 .
6．（2022·哈尔滨）已知正方体 的棱长均为1.
(1)求 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 之间的距离.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)如图：设 到平面 的距离为 ， 正方体 的棱长均为1，
且 面 .
, .
.
(2)
平面 , 平面 .
故平面 平面 .
到平面 的距离等于平面 与平面 之间的距离，设为 .即 .
.
