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7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）
题组一 点线距
1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距
离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得 ， ， ，
， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以点 到直线 的距离为 故选：B
2．（2022·山东）点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的
距离是______．【答案】
【解析】由题意，点 和 ，可得 ，且 ，
所以点 到直线 的距离是 .
故答案为： .
3．（2022云南）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC的中点O，连接 ， ， ，所以 由题
设可知， 为边长为2的等边三角形，所以 ，
由 ， ，所以 所以 平面ABC；
平面 ,所以平面 平面ABC；(2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设 可得 ，
设平面 的法向量为 则
即 取
所以 因为 为平面ABC的一个法向量，
设平面 与平面ABC夹角为 ，
解得 ，所以
所以点M到直线 距离题组二 点面距
1．（2022·新疆）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，在四边形 中，
， ， ，点 在 上， ， 与平面 成 的角．
(1)求证： 平面 ；
(2)点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）以点 为空间直角坐标系的坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建如图所示的空
间直角坐标系 ，证明：∵ 平面 ，∴ 为 与平面 成的角，∴ ．
∵ ，∴ ， ，∴ ， ， ， ， ．
∴ ， ， ．设平面 的法向量为 ，由 ，即 ，可得 ， ，∴ ．又 ，∴
，又 不在平面 内，∴ 平面 ．
（2）取 的中点 ，如图所示，则 ， ， ，∴ ．又
，∴ ，即 ，又 ， 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，∴ 是平面 的法向量， 平面 的单位法向量为
，又 ，∴点 到平面 的距离为
2．（2022·重庆一中）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形， 平面ABCD，求证：(1) 平面SAC；
(2)若 ，求点C到平面SBD的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明： 平面ABCD， 平面ABCD， ，又 四边形ABCD为正方形，
，又 ， 平面 ；
（2）因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，因为 ，所以
两两垂直，所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系则
，所以 ， ， 设平面BDS的法向量
为 ，则 ，令 ，则 所以点C到平面SBD的距离3．（2022·上海）如图， 是矩形， 平面 ， ， ， 、 分别是
、 的中点，求点 到平面 的距离.
【答案】
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，则 、 、 、
、 ，
、 分别是 、 的中点， ，
设 为平面 的一个法向量， ， ，
即 且 ，令 ，得 ，
在 上的射影长 ，即点 到平面 的距离 .
4．（2022·北京）已知 ， 分别是正方形 边 ， 的中点， 交 于 ， 垂直于
所在平面．
(1)求证： 平面 ．
(2)若 ， ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：如图所示，连接 交 于 ，因为 是正方形 边 ， 的中点，
，所以 ，又因为 垂直于 所在平面， 平面 ，所以 ，因为
且 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，因为 ， ，则 ， ，， ，可得 ， ，设平面 的法向量 ，则
，令 时，可得 ，所以 又因为向量 ，则点 到
面 的距离 .
5．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体 中，面 是边长为2的正方形，
平面 ， ，且 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)求证见解析(2) (3)【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为
，所以 两两垂直，所以以 为原点， 所在的直线分别为 轴建立空间
直角坐标系，如图所示，因为面 是边长为2的正方形， ，且 ， 为 的中点，
所以 ， ， ， ， ， ， ，所以 ，
因为平面 的法向量可以为 ，所以 ，即 ，又 平面 ，所以
平面 ；
（2）解：因为 ， ，设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，所以 ，因为 平面 ， ，所以
平面 ，因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，所以平面 的法向量可以为 ，设二面角 为 ，由图可知二面角
为钝角，则 ，所以二面角 的余弦值为 ；
（3）解：由（2）知平面 的法向量为 ，又 ，设点 到平面 的距离为
，则 所以点 到平面 的距离 ；
6．（2022·湖南·周南中学）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九
章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G
分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的
五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
(2)若二面角 是直二面角，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：取线段 中点 ，连接 、 ，
由图1可知，四边形EBCF是矩形，且 ，
∴O是线段BF与CE的中点， 且 ，
在图1中知 且 ， 且 ，所以在图2中， 且 ， 且 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ，
由于 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
(2)由图1， ，折起后在图2中仍有 ， ，
∴ 即为二面角 的平面角，∴ ，
以 为坐标原点， 分别为 轴和 轴正向建立空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 、 ，
∴
设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，取 ，则
于是平面 的一个法向量
点B到平面 的距离为 .
7．（2022·重庆长寿）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， ，
E、F分别是PC、AD中点．(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；
(2)求点E到平面PBF的距离．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则 ，
则直线DE的方向向量 ，直线PF的方向向量 ，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为 .(2)由（1）知， ， ， ，
设平面PBF的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
所以点E到平面PBF的距离为 .
8．（2022·河北唐山）如图，已知长方体 ＝ ＝1，直线BD与平面 所成的
角为30°，AE垂直BD于E，F为 的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在长方体 中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 所在直线为z
轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝ ＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面 从而BD与平面 所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝从而易得
∵ ＝ ＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为 ，
则 ．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为
(2)设 ＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝ ， ＝（－1，0，1）， ＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即 取 ＝
所以点A到平面BDF的距离
题组三 线线距
1．（2022·全国·课时练习）如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ，， ，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是______．
【答案】
【解析】以 为坐标原点，分别以 ， , 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ,
, , ,
∴ , ,
设 是 ， 的公垂线方向上的单位向量，
则 ，即 ①，
，即 ②，
易知 ③，
联立解得 ， ， 或 ， ， ；
不妨取 ，
又∵ ,
则异面直线 与 的距离 ，故答案为： .
2．（2022·福建）如图，在正方体 中，AB＝1，M，N分别是棱AB， 的中点，E是BD
的中点，则异面直线 ，EN间的距离为______.
【答案】
【解析】以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
，设 同时垂直于 ，由 ，令
，得 ，
又 ，则异面直线 ，EN间的距离为 .
故答案为： .
3．（2022·浙江）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直
线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有：
， ， ， ， ，
可得：
设 ，且
则有： ，
可得：
则有：
故则当且仅当 时，
故答案为：
4．（2022·湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，N是棱AD的中点，M是棱CC 上的点，且
1 1 1 1 1
CC =3CM，则直线BM与BN之间的距离为____.
1 1
【答案】
【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点， 所在方向分别为 轴正方向建立空
间直角坐标系，
则B(1，1，0)，B(1，1，1)， ， ，∴ =(0，0，1)， ，
1.
设直线BM与BN的公垂线方向上的向量 ，由 ， ，
1
得 ，令x=2，则z=6，y=-7，∴ ，
设直线BM与BN之间的距离为d，则d= = = .
1
故答案为： .
题组四 线面距
1．（2022·重庆一中）如图，在正三棱柱 中，已知 ，D为 的中点，E在
上．
(1)若 ，证明：DE⊥CE；
(2)若 平面CDE，求直线 和平面CDE的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为 ， ，
由余弦定理 ，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由于 ，
故DE⊥平面 ，
而 平面 ，
故DE⊥EC；
(2)以C为坐标原点，CA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
此时 ， ， ， ， ，
设 ，
此时 ， ，
设平面CDE的一个法向量为 ，则 ，即
，
因为 平面CDE，
所以 ，
故 ，
即 ，
解得 ，
故
由于 平面CDE，直线 和平面CDE的距离等于点 和平面CDE的距离．
此时 ， ，
取 ，
所以点 和平面CDE的距离 ，
所以直线 和平面CDE的距离为 .
2．（2022·河南）如图，长方体 的棱长DA、DC和 的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面 的距离；
(2)直线 到平面 的距离．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)以点D为原点，分别以 、 与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则
， ， ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，所以 ， ．因为 ， ，由
，得 ，不妨取 ，则 .
而向量 ，
所以B到平面 的距离 ；
(2)直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离．因为 ，
所以 到平面 的距离 ．
3．（2022·北京市）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，
， ，在棱 上取点 ，使得 平面 .
(1)求证： 为 中点；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求直线 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【解析】(1)连接 ，交 于点 ，则平面 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，则 ，
由于底面 为正方形，所以点 为 的中点，
因此可得 为 中点.
(2)由（1）知 是 的中点.
由于 平面 ，所以 ，
故 两两垂直，以 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，故可设 ，
平面 的法向量为 ，
平面 与平面 夹角为 ，
则 .
(3)
由于 平面 ，则 到平面 的距离，即 到平面 的距离.
,
到平面 的距离为 .
即直线 到平面 的距离为 .题组五 面面距
1．（2022·河北）正方体 的棱长为 ，则平面 与平面 的距离为_______.
【答案】
【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，且 ，
所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离 ，
又因为 ，所以 .故答案为： .
2．（2022·全国·高二专题练习）直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱
， 分别为 的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)法一:证明：连接 分别为 的中点，
分别是 的中点，
， 平面 ， 平面 ，平面 ， 平行且等于 ，
是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 平面 ；
法二: 如图所示，建立空间直角坐标系 ，
则 ，
，
，
， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 平面 ，
(2)
法一:平面 与平面 的距离 到平面 的距离 ．
中， ， ， ，
由等体积可得 ， ．
法二:
设平面 的一个法向量为 ，则 ，则可取 ，
，
平面 与平面 的距离为
3．（2022·湖南）在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，求平面
与平面 之间的距离．
【答案】
【解析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
则 、 、 、 、 、 ，
， ，则 ，
因为 、 不在同一条直线上，则 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，
同理可证 平面 ， ，故平面 平面 ，设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
又因为 ，因此，平面 与平面 之间的距离为 .
4．（2022·湖南）在正方体 中，M，N，E，F分别为 ， ， ， 的中点，棱
长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
【答案】 ．
【解析】以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 得 ，
又 ，
，
所以平面MNA与平面EFBD之间的距离 ．5．（2022·湖南）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC， 的中点．
(1)求证：平面 平面EFG；
(2)求平面 与平面EFG间的距离．
【答案】(1)证明见详解；(2) ﹒
【解析】(1)∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC得，EF∥AC，
∵ 是平行四边形，
∴ ，
又 平面 平面 ，∥平面 ，
同理，连接 可得 ，可得EG∥平面 ，
与 平面EFG，
∴平面 ∥平面EFG﹒
(2)如图：
以D为原点，DA、DC、 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
则平面 与平面EFG间的距离为
