文档文本内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教B 版2019 选择性必修第一册（第一章—第二章（2.3 节）） 。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在平面直角坐标系xOy 中，设点
，
，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可.
【详解】由题可知中点的坐标为
.
故选：A
2．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角.
【详解】直线
的斜率是
，
设倾斜角为
，则
，
∴
.
故选：C.
3．在平行六面体
中，
为
与
的交点．若
，则下列向量
中与
相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可.
【详解】根据题意，
．
故选：B．
4．已知平面
的一个法向量为
，点
在
外，点
在
内，且
，则点
到平
面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可.
【详解】由题意得，点
到平面
的距离
．
故选：B．
5．点
在圆
上运动，它与点
所连线段中点为
，则点
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
，结合中点坐标公式可得
，进而代入
即可求解.
【详解】设点
，
，
因为
为
的中点，
所以
，则
，即
，
又因为动点
在圆上，所以
，
则
，即
，
则点
轨迹方程为
.
故选：A.
6．已知
为空间中四点，任意三点不共线，且
，若
四
点共面，O 不在该平面上，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．9
【答案】C
【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为
四点共面，
所以由共面定理可得，
，即
，
所以
，
因为
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
所以
，
故选：C.
7．在平面直角坐标系
中，一只蚂蚁从点
出发，爬到
轴后又爬到圆
上，则它爬行的最短路程是（ ）
A．
B．4
C．8
D．
【答案】A
【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案.
【详解】由圆
，得圆心
，半径
，
易得点
关于
轴的对称点为
，
如图，所求的最短路程即为
到圆
上的点的最短距离
．
故选：A.
8．如图，长方体
中，
，点
在四边形
的边上，沿
移动，则异面直线
和
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建系，分类讨论
位置，根据线面角的向量求法求解即可.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，则
，
由
知异面直线
和
所成的角即
和
所成的角，即
，设
．
①当
在线段
上时（包含端点），易知
，则
；
②当
在线段
上时（不含
，包含
），设
，则
，
则
，当
时，
取得最大值
；
③当
在线段
上时（不含
，包含
），设
，
同理
，则
；
④当
在线段
上时（不含端点），显然
．
综上所述，
的最大值为
，
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
，
，
这三条直线有唯一公共点，则实数
的可能
取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】联立直线与
，可得两直线交点坐标，代入
，可得解.
【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立
，
解得直线和直线
的交点坐标为
，
把交点坐标代入直线
的方程可得
，
解得
或
，
故选：AC．
10．已知
是曲线
上一动点，若满足
的点
恰有2 个，则实数的取值可能
是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】AB
【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案.
【详解】由曲线
，得
，则
，
所以曲线
表示以
为圆心，半径
的半圆（
轴及以上部分）.
设直线：
，因为
，所以
，
所以
表示点
到直线的距离为
，即只有2 个点
到直线的距离为
，
所以圆心
到直线的距离
，解得
.
故选：AB
11．如图，在多面体
中，
平面
．四边形
是正方形，且
．
分别是线段
的中点，
是线段
上的一个动点（不含端点
，
），则下列说法错误的是（ ）
A．不存在点
，使得异面直线
与
所成的角为
B．存在点
，使得
C．三棱锥
体积的取值范围为
D．当点
运动到
中点时，
与平面
所成的余弦值为
【答案】BD
【分析】以
为坐标原点建立空间直角坐标系，设
，根据向量垂直的坐标表示和异面
直线所成角的向量求法可确定
是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知
，可求得体积
的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D.
【详解】以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
对于A，假设存在点
，使得异面直线
与
所成的角为
，
因为
，
,
所以
，
解得
，不符合
，
则不存在点
，使得异面直线
与
所成的角为
，故A 正确；
对于B，假设存在点
，使得
，
因为
，
，
所以
，解得
，不合题意，故B 错误；
对于C，连接
，
，
因为
，
点
到平面
的距离
，
所以
，
因为
，所以
，故C 正确；
对于D，当点
运动到
中点时，
，又
，
则
，
，
设
是平面
的法向量，
则
，令
，则
，
因为
，设直线
与平面
所成的角为
，
所以
，故D 错误.
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．过点
，且在x 轴、y 轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．
【答案】
和
【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解.
【详解】当在x 轴、y 轴上的截距为0 时，设直线方程为
，代入
，可得
，故
，此时直线方程为
，
当截距均不为0 时，设直线方程为
，将
代入可得
，解得
，
故直线方程为
，即
，
综上可得满足条件的直线方程有：
和
，
故答案为：
和
13．在直三棱柱
中，
，点
为侧面
上的任意一点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解.
【详解】如图取
中点为原点
，建立空间直角坐标系，设
，
其中
，
，
当
，且
或
时，
取最大值4，
当
，且
时，
取最小值2，所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．如图，在摩天轮底座中心
与附件的景观内某点
之间的距离
为160m．摩天轮与景观之间有一建
筑物，此建筑物由一个底面半径为15m 的圆柱体与一个半径为15m 的半球体组成．圆柱的底面中心
在线
段
上，且
为45m．半球体球心
到地面的距离
为15m．把摩天轮看作一个半径为72m 的圆
，
且圆
在平面
内，点
到地面的距离
为75m．把摩天轮均匀旋转一周需要30min，若某游客乘坐
摩天轮（把游客看作圆
上的一点）旋转一周，则该游客能看到点
的时长为 ．（只考虑此建筑物
对游客视线的遮挡）
【答案】10 分钟
【分析】建立合适的平面直角坐标系，假设过点
且与半圆相切的直线的方程，根据点
到切线的距离
求得直线方程，然后求出点
到切线的距离，可知
，最后依照题干条件判断即可.
【详解】以
为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，
由题意可知
，
，
，
设过点
且与半圆相切的直线的方程为
，则
，（
舍去）
．
可得圆心
到的距离为
，
设与圆
交于
两点，弦
的中点为
，则由圆
的半径为72，
（分钟）．
故答案为：10 分钟
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知直线的方程为
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
的直线交坐标轴正半轴于
两点，当
面积最小时，求
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数
的表达式，利用其对任意
恒成立的条件，即可证明直线过
定点；
（2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然
后求出对应三角形的周长即可.
【详解】（1）由
可得，
，
令
所以直线过定点
．
（2）由（1）知，直线恒过定点
，
由题意可设直线的方程为
，直线与
轴、
轴正半轴的交点分别为
，
令
，得
；令
，得
．
所以
的面积
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
面积最小，
，
，
的周长为
．
所以当
面积最小时，
的周长为
．
16．（15 分）
已知圆
与圆
关于原点对称．
(1)求圆
的标准方程；
(2)设点
为圆
上任意一点，求代数式
的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为
，最大值为
．
【分析】（1）根据对称可得圆
的圆心为
，半径为2，从而得到圆
的方程；
（2）方法一：整理可得
，由
的几何意义，得到
，确定点
在圆
外，所以
，
，从而求出
的最值；
方法二：可设
，从而表达出
，由三角函数有
界性求出最值.
【详解】（1）
的圆心为
，半径为2，
因为圆
与圆
关于原点对称，
所以圆
的圆心为
，半径为2，
所以圆
的标准方程为
；
（2）方法一：由（1）知，圆
的圆心
，半径
，
，
因为
表示点
与
之间的距离，即
，
所以
．
又
，
所以点
在圆
外，所以
，
则
的最小值为
，
最大值为
．
方法二：由点
为圆
上任意一点，
且圆
的标准方程为
，可设
则
．
因为
，
所以
的最小值为
，最大值为
．
17．（15 分）
如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，四边形BCFG 为菱形，
，平
面
平面BCFG，D 为棱AB 的中点，记平面ABC 和平面AFG 的交线为l.
(1)证明：
；
(2)在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE 与平面ACF 所成角的正弦值为
？若存在，
求E 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
或
【分析】（1）由题意
，可得
平面
，然后利用线面平行的性质可证得
；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，设
，根据已知条件及线面角的向
量公式列方程求解.
【详解】（1）∵四边形
为菱形，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，平面
和平面
的交线为，
∴
.
（2）取
的中点
，连接
，
∵
是边长为4 的等边三角形，∴
，
∵四边形
为菱形，
，∴
为等边三角形，
，
又
为平面
内两条相交直线，
所以
平面
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
又
在平面
内，所以
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，
令
，则
，
，
假设在线段
（不含端点）上存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
．
设
，
则
，
∵平面
的法向量为
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，
∴
，
整理得
，解得
或
，
所以在线段
(不含端点)上存在点
，当
或
时，直线
与平面
所成角的正弦
值为
．
18．（17 分）
已知过点
的直线与圆
相交于
、
两点，直线
．
(1)当
时，求直线的方程；
(2)设
为直线
上的动点，过
作圆
的两条切线
、
，切点分别为
、
，求四边形
面积
的最小值；
(3)是否存在直线，使得向量
与
共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
或
(2)
(3)存在直线，使得向量
与
共线，直线的方程为
【分析】（1）法一：设弦
的中点为
，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求
得直线的方程；法二：设直线的方程为
，利用点到线的距离可得
，求解即可；
（2）法一：由题意得
，结合
，可求面积的最小值；法二：前面与法一相
同，利用
，结合二次函数的知识可求得
的最小值，进而可得结论；
（3）设直线的方程为
，
、
，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关
系，可得
，进而得
，结合已知得
，判断方程有无解即可.
【详解】（1）（解法一）设弦
的中点为
，
①当直线的斜率不存在时，易知
符合题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
即
，
，
，则由
，解得
，
此时直线的方程为
，
故直线的方程为
或
；
（解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为
，
，
，则由
，解得
或
，
故直线的方程为
或
；
（2）（解法一）由于
、
为圆
的两条切线，
所以
，
又
，而
的最小值为点
到直线
的距离
，
所以
，
故四边形
面积的最小值为
；
（解法二） （前两步同解法一）
设点
的坐标为
，则
，
，
所以当
时，
，
故四边形
面积的最小值为
；
（3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为
，
、
，
由
，可得
，
可得
，
所以
，所以
，
则
，所以
.
又
，
，所以
，
若向量
与
共线，则
，
由
，可得
，解得
，
当
时，
，
所以存在直线，使得向量
与
共线，
直线的方程为
，即
.
19．（17 分）
向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应
用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使
得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概
念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外
积），记作：
．规定：①
为同时与
，
垂直的向量，且与
为相反向量；②
（
为向量
与
的夹角）；
(1)证明：
；
(2)如图，已知棱长均为1 的平行六面体
，且
，计算
的值，并解释其几何意义．
(3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面
，
，
，
上，且两相邻平行平面距离为1，求该
四面体的棱长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
，几何意义为以向量
构成的平行六面体
的体积；
(3)
.
【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案；
（2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案；
（3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可
得答案.
【详解】（1）左边由定义可得：
，
右边
左边．
故等式得证.
（2）设
，由定义可得底面
的面积为：
，
又因
为同时与
垂直的向量，故
为底面
的法向量，
则平行六面体的体高为：
，
所以平行六面体的体积为：
，
又因
，故点
在底面的投影为
的重心，易得
，
所以
．
所以，
，其几何意义为以向量
构成的平行六面体
的体
积．
（3）如图，设正四面体
的棱长为，其中
设
，且平面
与
交于
，与
交于
，
故有
，又由（2）可得：
，
，
同理
，
由（1）可得：
，
所以
，
，
所以
，即
．
