1
1.1.1 集合及其表示方法
课程标准
学习目标
1.了解集合的含义和集合元素的特性，理解
元素和集合的关系；
2.掌握几个常用的数集的符号表示；
3.掌握用列举法和描述法表示集合；
4.能够用区间表示集合。
1.集合的含义及其描述法的理解；
2.用区间表示集合的应用；
3.对给出的集合进行化简运算后用区间表示；
4.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以
及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题
和解决问题的能力；
5.通过观察身边的实例，发现集合含义，体验其现实
意义。
知识点01 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
2
3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
【即学即练1】判断下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3 的自然数
D．2022 年第24 届冬季奥运会金牌获得者
【答案】BCD
【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案.
【详解】A 中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；
B、C、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
故选：BCD
知识点02 元素与集合的关系
1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A，记作a∉A.
【即学即练2】给出下列6 个关系：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】
为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以
，所以①正确；
是无理数，所以
，所以②错误；
不是正整数，所以
，所以③正确；
，所以④正确；
是无理数，所以
，所以⑤正确；
，所以⑥错误.故选:A.
【即学即练3】用符号“∈”或“ ”填空：
∉
1____N， －3____N， 0.3 ___Q， √2___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， √2___R，
0___N*， π___R， 22
7 ___Q， cos30
∘___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
∉
∉
∉
∉
3
【分析】利用元素与集合之间的关系以及常见数集的符号表示即可得出答案.
【详解】N表示自然数集；N
∗表示正整数集；
Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集.
故答案为：∈；∉；∈；∉；∈；∈；∈；∈；∉；∈；∈；∉.
知识点03 集合元素的特点
1.确定性：集合的元素必须是确定的。
2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的。
3.无序性：集合中的元素可以任意排列。
【即学即练4】若以集合A 的四个元素a，b，c，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
【答案】A
【解析】由于a，b，c，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
【即学即练5】数集
中的x 不能取的数值的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
解得
；由
解得
．
∴x 不能取的值的集合为
．故选：C．
知识点04 集合相等
【即学即练6】集合相等：给定两个集合A 和B 如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等，记作
A=B。
下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】选项A、B 是集合的描述法表示，选项D 是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素
2020，都是数集．
选项C 它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C
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知识点05 集合的分类
1.有限集：含有有限个元素的集合。
2.无限集：含有无限个元素的集合。
【即学即练7】判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成
集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5 的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m 的同学．
【答案】(1)能；有限集；
(2)能；无限集；
(3)能；有限集.
【分析】根据集合的基本概念即得.
（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故
该集合为有限集；
（2）因为尾数是5 的自然数是确定的，故尾数是5 的自然数能构成集合；因为尾数是5 的自然数是无限的，
故该集合为无限集；
（3）因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班
身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.
知识点06 常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
【即学即练8】已知①
；②
；③0={0}；④
；⑤
；⑥
，其中正确的个数为
______.
【答案】3
【详解】
是无理数，属于实数，①正确；
是分数，属于有理数，②正确；
0 表示一个元素，
表示一个集合，③错误；
N 表示从0 开始的所有自然数集合，
，④错误；
是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z 表示所有整数的集合，-3 是整数，
，⑥正确；
故答案为：3.
5
知识点07 集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2.描述法：一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为
{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
注：用描述法表示集合
（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．
一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区
间的概念．
①一般区间的表示：设a，b 是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数
叫做区间的端点.
在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
②实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋
∞”读作“正无穷大”．
③特殊区间的表示
定义
符号
数轴表示
≥
a
6
≤
b
【即学即练9】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10 的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x 的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1 与y 轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【解析】(1)因为不大于10 是指小于或等于10，非负是大于或等于0 的意思，所以不大于10 的非负偶数集
是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x 的解是x＝0 或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0 代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
【即学即练10】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3 除余2 的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【解析】 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示
为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3 除余2 的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3 除余2 的正整数集合
可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的
点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【即学即练11】下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【解析】(1)不相同．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}
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的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1 的y 的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合C＝{(x，y)|y
＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1 的数对．可以认为集合C 是由坐标平面内满足y＝x2＋1 的
点(x，y)构成的．
【即学即练12】用区间表示下列集合：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（3）
；（4）
；（5）
.
【解析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间.
【详解】集合中六个集合对应的区间分别为（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，（5）
，（6）
.
【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题.
易错一 忽略集合元素的互异性
1．方程x2－(a＋1)x＋a＝0 的解集为________．
正解： x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a.
因此，若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
答案： {1}(当a＝1 时)或{1，a}(当a≠1 时).
[易错探因] 本题易错的地方是忽略元素互异性，没有考虑参数a 的不确定性，从而得到错误的答案“方
程的解集为{1，a}”．
[误区警示] 当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回检验，确保满足集合中元素的互异性．
易错二 忽略元素形式
2．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为________．
正解： x，y 满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有所以A＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
答案： {(0，6)，(1，5)，(2，2)}
[易错探因] 本题易错的地方是忽略元素的形式，从而得到错误答案{0，6，1，5，2，2}．
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【题型1：集合的概念】
例1：下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生
B．2024 年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于x 的正整数
【答案】B
【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要
是确定的.
【详解】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2024 年高考数
学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.
其它选项的对象都可以构成集合.
故选：B
变式1：下列所给的对象能组成集合的是（ ）
A．“金砖国家”成员国
B．接近1 的数
C．著名的科学家
D．漂亮的鲜花
【答案】A
【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.
【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A 正确；
对于B，C，D 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.
故选：A.
变式2：下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合
和
表示同一个集合
D．
这六个数能组成一个集合
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【答案】C
【分析】根据集合的性质，结合各选项的描述判断正误.
【详解】A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
C：
和
中的元素相同，它们是同一个集合，正确；
D：
中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误.
故选：C
变式3：判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n 的近似值；
④不大于5 的自然数．
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【分析】集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出正确选项．
【详解】①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，
因此能组成集合；
③n 的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合；
④不大于5 的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合．
故选：C．
变式4：下列所给的对象能构成集合的是__________．
（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；
（3）英文26 个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程
的实数根.
【答案】（3）（4）（5）
【分析】由集合的三要素即可求解
【详解】（1）：高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定，
（2）：高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合；
（3）：英文26 个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合；
（4）：中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合；
（5）方程
没有实数根，故能构成空集.
故能构成集合的是（3）（4）（5）
故答案为：（3）（4）（5）
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【方法技巧与总结】
判断一组对象组成集合的依据
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定
它是不是给定集合的元素．
【题型2：元素与集合的关系】
（一）判断元素与集合的关系
例2：若
是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是（ ）
A．3.14
B．-5
C．
D．
【答案】D
【分析】由
代表实数集，
代表有理数集，对四个数判断是无理数即可.
【详解】由题意知a 是实数，但不是有理数，故a 应为无理数，
故
可以为
.
故选：D.
变式1：下列说法正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】1 是自然数，故
，故①正确；
不是正整数，故
，故②错误；
是有理数，故
，故③正确；
是实数，故
，故④错误；
是无理数，故
，故⑤错误.
故说法正确的有2 个.
故选:B.
变式2：用符号“
”或“
”填空．
______
，
______
，
______
.
【答案】
【分析】根据R，N，Z 所代表的集合，填入正确结果.
【详解】因为R 为实数集，N 为自然数集，Z 为整数集，
11
故
，
，
故答案为：
，
，
.
变式3：【多选】已知集合
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
，所以
，
，
，
.故选：AB.
变式4：已知a、b、c 为非零实数，记代数式
的值所组成的集合为M，则下列判断中正
确的是（ ）
A．0
M
B．-4
M
C．2∈M
D．4∈M
【答案】D
【分析】对a，b，c 分类讨论求出原代数式所有可能得值即可.
【详解】令
，
若
全为正数，则
；若
全为负数，则
，
若
中有2 个正数一个负数，则
，若
中有2 个负数，1 个正数，则
，
；
故选：D.
变式5：已知集合
，
，
．若
，
，
．则下面结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合的定义，设出
的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断．
【详解】由题意，设
，
，下面的
均为整
数，
则
，
，
，
不是偶数时，
，
，
故选：B．
12
（二）根据元素与集合的关系求参数
例3:已知集合A 含有两个元素a 和a2，若2∈A，则实数a 的值为________．
【答案】
或
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】因为2∈A，所以
或
，即
或
.
故答案为：
或
变式1：【多选】设集合
，且
，则x 的值可以为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【答案】BC
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】∵
，则有：
若
，则
，此时
，不符合题意，故舍去；
若
，则
或
，
当
时，
，符合题意；
当
时，
，符合题意；
综上所述：
或
.
故选：BC.
变式2：已知集合A 中元素x 满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件列出不等式求解即可.
【详解】∵
，∴
，解得
，
又∵
，∴
，解得
，
∴
．
故选：D．
变式3：已知集合
中有三个元素：
，
，
，集合
中也有三个元素：0，1，
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
的值为0 或
(2)
的值为
【分析】（1）若
，则
或
，再结合集合中元素的互异性，能求出
的值．
（2）当
取0，1，
时，都有
，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数
的值．
13
【详解】（1）集合
中有三个元素：
，
，
，
，
或
，
解得
或
，
当
时，
，
，
，成立；
当
时，
，
，
，成立．
的值为0 或
．
（2）集合
中也有三个元素：0，1，
，
，
当
取0，1，
时，都有
，
集合中的元素都有互异性，
，
，
．
实数
的值为
．
变式4：已知集合S 满足:若
，则
.请解答下列问题:
(1)若
，则S 中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若
，则
.
(3)在集合S 中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
【答案】(1)
和
.
(2)证明见解析
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由
得到
，进而求出
，得到答案；
（2）
，进而得到
，化简得到答案；
（3）令
，方程无解，得到结论.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，所以
，循环.
所以集合S 中另外的两个元素为
和
.
（2）由题意，可知
且
，
由
，得
，
14
即
，
所以若
，则
.
（3）集合S 中的元素不可能只有一个.
理由如下:令
，
即
.
因为
，所以此方程无实数解，所以
.
因此集合S 中不可能只有一个元素.
【方法技巧与总结】
1.对元素和集合之间关系的两点说明
（1）符号“∈”“
”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“
”与“
”这两种结果．
（2）∈和
具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R 0
∈是错误的．
2.判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首
先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合
中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表
达式或满足哪些条件．
【题型3：利用集合的互异性求参数】
例4：数集
中的元素a 不能取的值是__________.
【答案】0，1，2，
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.
【详解】由集合中的元素满足互异性可知
，解得
且
且
且
故答案为：0，1，2，
变式1：“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
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【答案】7
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7 个，故该
集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
变式2：一个书架上有九个不同种类的书各5 本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有_____个元素.
【答案】9
【分析】根据集合中的元素互异性求出答案.
【详解】若集合中的元素满足互异性，故九个不同种类的书，对应9 个元素.
故答案为：9
变式3：集合
中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（
）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得
，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
变式4：已知
，则实数
_______.
【答案】
【分析】讨论
、
，结合集合元素的互异性确定参数a 的值.
【详解】若
，则
，不符合集合元素的互异性，排除；
若
，则
，可得
或
（舍），
所以
，此时
.
故答案为：
变式5：已知集合
，
，若
，
，则
______.
【答案】
【解析】因为
，所以
或
或
，
解得
或
或
，
因为
，所以
或
或
，
解得
或
或
，
又因为
，所以
或
，即
.
16
故答案为：
【方法技巧与总结】互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要
检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性．
【题型4：根据集合中元素的个数求参数】
例5：由
，
，3 组成的一个集合A，若A 中元素个数不是2，则实数a 的取值可以是（ ）
A．
B．1 C．
D．2
【答案】D
【解析】由题意由
，
，3 组成的一个集合A，A 中元素个数不是2，
因为
无解，故由
，
，3 组成的集合A 的元素个数为3，
故
，即
，即a 可取2，
即A，B，C 错误，D 正确，故选：D
变式1：已知集合
中的元素
满足：
，且
，又集合
中恰有三个元素，则整数
，
集合
中的元素是 ．
【答案】 6 3，4，5
【解析】由题意知
，
又
，
，且集合P 中恰有三个元素，所以
，
此时集合P 中的元素是3，4，5．
故答案为：6；3，4，5.
变式2：已知集合
中有且仅有一个元素，那么
的可能取值为（ ）
A．-1
B．2
C．
D．0
【答案】C
【分析】对
进行分类讨论，结合判别式求得正确答案.
【详解】
或
，
当
时，
，符合题意.
当
时，
，不符合题意.
当
时，要使集合
有且仅有一个元素，
则需
，
17
解得
或
（舍去）
综上所述，
的可能取值为或
，C 选项符合.
故选：C
变式3：已知集合
中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】原问题转化为方程
至多只有一个根，分
，
即可求解.
【详解】由题意，原问题转化为方程
至多只有一个根，
当
时，方程为
，解得
，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当
时，方程
为一元二次方程，所以
，解得
．
综上，实数a 的取值范围为
．
故选：D
变式4：已知集合
.
(1)若A 中只有一个元素，求
的值；
(2)若A 中至少有一个元素，求
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】(1)针对
和
两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出
的值
即可
(2)确定A 中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出
的取值范围
【详解】（1）由题意，当
时，
，得
，集合A 只有一个元素，满足条件；当
时，
为一元二次方程，
，得
，集合A 只有一个元素
，
A 中只有一个元素时
或
.
（2）由A 中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A 中有两个元素时，
并且
，得
且
，再结合A 中一个元素的情况，
的取值范围为
.
变式5：若集合
中有2 个元素，求k 的取值范围．
【答案】
且
．
18
【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解.
【详解】由题意得
且
，解得
且
.
故实数k 的取值范围为
且
．
【方法技巧与总结】
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【题型5：利用集合中元素的性质求集合元素个数】
例6：已知集合
，
，则集合B 中元素个数为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．9
【答案】A
【分析】根据给定条件分析a，b 取值即可判断作答.
【详解】集合
，
，
则当
时，有
，当
时，
或
，当
时，
或
，
所以
，集合B 有中5 个元素.
故选：A
变式1：已知集合
，则集合B 中有________个元素．
【答案】6
【分析】由题意分类讨论x 的取值，确定y 的值，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
．
当
时，
；
当
时，
或
；
当
时，
．
故集合
，即集合B 中有6 个元素，
故答案为：6
变式2：定义集合
，设集合
，
，则
中元素的个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
19
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得
，从而确定正确答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
故
中元素的个数为.
故选：B.
变式3：已知集合
，
，定义集合
，则集合M 中所有元素之和
是_____．
【答案】6
【分析】根据集合M 的定义列举出M 的元素，再求它们的和即可.
【详解】由题设，
时，
；
时，
；
时，
；
时，
；
∴
，故集合M 中所有元素之和是6.
故答案为：6
【题型6：集合的表示】
（一）列举法表示集合
例7：集合
，用列举法表示为（ ）
A．1 B．2 C．
D．
【答案】C
【解析】
故选：C
变式1：方程组
的解集可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由方程组的解即可求解解集.
【详解】由
得
，所以方程组
的解集可以表示为
，
故选：C
20
变式2：设集合
，则用列举法表示集合A 为______.
【答案】
【分析】根据自然数集
与整数集
的概念分析集合A 中的元素即可.
【详解】要使
，则
可取
，又
，则
可取
，
故答案为：
.
变式3：用列举法表示下列集合．
（1）不大于10 的非负偶数组成的集合A；
（2）小于8 的质数组成的集合B；
（3）方程
的实数根组成的集合C；
（4）一次函数
与
的图象的交点组成的集合D．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）不大于10 的非负偶数有
，所以
；
（2）小于8 的质数有
，所以
；
（3）方程
的实数根为
，所以
．
（4）由
，得
，
所以一次函数
与
图象的交点为
，所以
．
【方法技巧与总结】
列举法表示集合时的4 个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
（二）描述法表示集合
例8：集合
的意义是（ ）
A．第二象限内的点集 B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集 D．不在第一、三象限内的点的集合
21
【答案】D
【解析】因为
意味着
和
异号或至少一个为零，
故
为第二、四象限内的点或坐标轴上的点，即不在第一、三象限内的点，
所以
的意义是不在第一、三象限内的点的集合.故选：D．
变式1：用描述法表示下列集合：
（1）
；
（2）偶数集；
（3）被3 除余2 的正整数组成的集合；
（4）
．
【答案】（1）
且
；（2）
（3）
；（4）
【解析】（1）原集合为
，
则描述法表示为：
且
.
（2）偶数集，用描述法表示为：
.
（3）被3 除余2 的正整数组成的集合，
用描述法表示为：
.
（4）原集合为
，
用描述法表示为
.
变式2：用描述法表示下列集合．
（1）所有不在第一、三象限的点组成的集合；
（2）所有被3 除余1 的整数组成的集合；
（3）使
有意义的实数x 组成的集合．
（4）方程
的解集．
【答案】（1）
；（2）
（3）
且
；（4）
22
【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，
∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为
．
（2）∵被3 除余1 的整数可表示为
∴所有被3 除余1 的整数组成的集合为
．
（3）要使
有意义．则
．解得
且
．
∴使
有意义的实数x 组成的集合为
且
．
（4）由
，解得
．∴方程的解集为
．
【方法技巧与总结】
描述法表示集合时的3 个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母．
（三）列举法与描述法的理解
例9：用另一种方法表示下列集合:
(1)
;
(2)
;
(3)已知
，
，写出集合P;
(4)集合
，
，写出集合B.
【答案】(1)
且
(2)
(3)
(4)
【分析】对于（1），（2），利用描述法表示集合；对于（3），（4），利用列举法表示集合；
【详解】（1）因为
均为奇数，所以利用描述法表示为
且
.
（2）因为
均平方形式，所以利用描述法表示为
.
（3）因为
，
，所以利用列举法表示出
.
（4）因为集合
，
，所以
.
23
变式1：用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组
的解集；
(2)由所有小于13 的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程
的实数根组成的集合；
(4)二次函数
的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数
的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
(4)
(5)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解.
【详解】（1）解方程组
得
，故解集可用描述法表示为
，也可用列举
法表示为
．
（2）小于13 的既是奇数又是质数的自然数有4 个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为
．
（3）方程
的实数根为2，因此可用列举法表示为
，也可用描述法表示为
.
（4）二次函数
的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对
，其中x，y
满足
，
由于点有无数个，则用描述法表示为
．
（5）二次函数
的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描
述法表示为
．
【方法技巧与总结】
选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常
用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、
应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多
时，就不宜采用描述法．用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无
限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先
24
要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，
这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方
程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．
（四）区间表示集合
例10：用区间表示下列集合：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
变式1：将下列集合用区间表示出来．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
或
．
【答案】(1)
；
25
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【分析】利用区间的定义解答即可.
【详解】（1）解：
用区间表示为
；
（2）解：
用区间表示为
；
（3）解：
用区间表示为
；
（4）解：
或
用区间表示为
.
变式2：用区间表示下列数集：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）R；
（5）
； （6）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
．
【分析】按照区间的定义以及书写方式进行转换即可,注意区间的开闭和集合中的不等号和等号相对应.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）R=
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】（1）用区间表示数集的原则有：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄
错；（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表
示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
变式3：用描述法写出下面这些区间的含义：
；
；
；
．
【答案】
；
；
；
.
【分析】将区间转化为集合，用描述法写出答案.
【详解】
用描述法表示为：
；
用描述法表示为：
；
用描述
法表示为：
；
用描述法表示为：
.
26
【方法技巧与总结】
理解区间概念的注意点
(1)一般地，区间的左端点的值小于右端点的值．
(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开．
(3)左、右端点a，b 都能取到的叫闭区间；左、右端点a，b 有一端能取到、另一端不能取到的叫半开
半闭区间；左、右端点a，b 都不能取到的叫开区间．
【题型7：集合新定义】
例11：【多选】若对任意x∈A，1
x ∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的
是（ ）
A．{−1,1}
B．{
1
2 ,2}
C．¿
D．¿
【答案】ABD
【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
可知{−1,1}，{
1
2 ,2}，¿为“影子关系”集合，
由¿，得¿或x>1}，当x =2时，1
2 ∉¿，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
变式1：设A 是整数集的一个非空子集，对于
，若
，且
，则称k 是A 的一个“孤立
元”，集合
中的“孤立元”是___________；对给定的集合
，由S 中的4
个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．
【答案】 5 6
【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的
集合即可.
【详解】解：①对于1，
，则1 不是“孤立元”；
对于2，
，且
，则2 不是“孤立元”；
对于3，
，则3 不是“孤立元”；
对于5，
，且
，则5 是“孤立元”；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，
所以由S 中的4 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有
，
，
，
27
，
，
，共6 个，
故答案为：5；6.
变式2：对于任意两个正整数
，
，定义运算⊕如下：
①当
，
奇偶性相同时，
；
②当
，
奇偶性不同时，
．
若集合
，则
的元素个数为__________．
【答案】
【分析】根据定义结合已知条件，对
、
分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数
三种情况讨论即可求解
【详解】因为
，
当
、
都是正偶数时，则集合
中含有
，
，
，
，
共个元素；
当
、
都是正奇数时，则集合
中含有
，
，
，
，
，
共个元素；
当
、
一个为正偶数，一个为正奇数，则集合
中含有
，
，
，
共
个元素；
所以
的元素共有
个.
故答案为：
变式3：【多选】当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集
合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“ 偏食” ，对于集合
A ={−1, 1
2},B ={x|a x
2=1,a≥0}，若A与B构成“偏食”，则实数a取值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】BD
【分析】根据“偏食”的定义进行求解即可
【详解】因为集合A ={−1, 1
2},B ={x|a x
2=1,a≥0}，且A与B构成“偏食”，
所以−1∈B或1
2 ∈B，
当−1∈B时，得a=1，此时B =¿，符合题意，
当1
2 ∈B时，得a= 4，此时B =¿，符合题意，
综上，a=1或a= 4，
故选：BD
28
一、选择题
1.有下列说法：
①集合N 中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b 的最小值为2；④所有小的正
数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 N 中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2∉N 可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b 的
最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A.
2.已知集合
，
，若
，则a 等于（ ）
A．－1 或3
B．0 或1
C．3
D．－1
【答案】C
【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a 值.
【详解】由
有
，解得
，
.
当
时，
与集合元素的互异性矛盾，舍去.
当
时，
，满足题意.
故选：C.
3.已知集合S 中的三个元素a，b，c 是△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合元素的互异性，即可判断选项.
【详解】根据集合中元素的互异性，可知，a,b,c都不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形.
故选：A
二、填空题
4.由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
29
①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等
于自身的数.
【答案】①④
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.
故答案为：①④
5.已知集合A ={{∅},∅}，下列选项中均为A的元素的是__________.（填写序号）
①{∅} ②{{∅}} ③∅ ④{{∅},∅}
【答案】①③
【分析】根据集合中元素的定义可直接得到结果.
【详解】由题意知：集合A中有两个元素，分别为{∅}和∅.
故答案为：①③.
6.用符号“∈”或“ ”填空
∉
:
(1)设集合B 是小于√11的所有实数的集合,则2√3________B,1+√2________ B.
(2)设集合C 是满足方程x=n2+1(其中n 为正整数)的实数x 的集合,则3________C,5________C.
(3)设集合D 是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则-1________D,(-1,1) ________D.
(4)若A 表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A, (1,1)______A,(-1,1)______A.
【答案】(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈ (4)∈ ∈ ∉
【解析 】 (1)因为2√3=√12>√11,所以2√3 B;
∉
因为(1+√2)2=3+2√2<3+2×4=11,所以1+√2<√11,所以1+
√2 B.
∈
(2)因为n 是正整数,所以n2+1≠3,所以3 C;
∉
当n=2 时,n2+1=5,所以5 C.
∈
(3)因为集合D 中的元素是有序实数对(x,y),则-1 是数,所以-1 D;
∉
又(-1)2=1,所以(-1,1) D.
∈
(4) 第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=x 表示,显然(0,0),(1,1)都在直线y=x 上,(-1,1)不在直
线上.所以(0,0) A,(1,1) A,(-1,1) A.
∈
∈
∉
7.由a,−a,|a|,√a
2构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【分析】分a=0与a≠0讨论即可求解.
【详解】当a=0时，a=−a=|a|=√a
2=0，此时元素个数为1；
当a≠0时，√a
2=|a|=¿，
所以一定与a或−a中的一个一致，此时元素个数为2.
所以由a,−a,|a|,√a
2构成的集合中，元素个数最多是2 个.
故答案为:2.
30
8.集合A 中的元素x 满足∈N，x N
∈，则集合A 中的元素为________．
【答案】 0,1,2
【解析】 由∈N，x N
∈
知x≥0，＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x N
∈，故x＝0,1,2.当x＝0 时，＝2 N
∈；当x＝1
时，＝3 N
∈；当x＝2 时，＝6 N.
∈
故集合A 中的元素为0,1,2.
9.集合
，若
，则
【答案】
【解析】因为
，
所以，若
，则可得
或2，
当
时，
，不满足互异性，舍去，
当
时，
，满足题意;
若
，则
，此时
，不满足互异性，舍去；
综上
故答案为：
10.已知集合
是单元素集，用列举法表示
的取值集合___________.
【答案】
【解析】由题意，集合
是单元素集，
即方程
有唯一解，
，
当
时，原式等于
，符合题意；
当
时，原式等于
，符合题意；
当
时，方程
转化为
有唯一解，
，得
，
所以
的取值集合为
.
故答案为：
31
三、解答题
11.用区间表示下列的集合
{x|−1< x ≤2} {x|−6≤x<−1} {x| x<7} {x| x ≥3}
{x|2≤x ≤5}
【答案】(−1，2]；[−6，1)；(−∞，7)；[3，+∞)；[2，5]
【解析】由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式.
【详解】{x|−1< x ≤2}的区间表达为(−1，2]; {x|−6≤x<−1}的区间表达为[−6，1); {x| x<7}
的区间表达为(−∞，7); {x| x ≥3}的区间表达为[3，+∞) ; {x|2≤x ≤5}的区间表达为[2，5].
【点睛】本题考查集合与区间的转换，属于基础题.
12.用描述法表示下列集合：
（1）所有被3 整除的整数组成的集合；
（2）不等式
的解集；
（3）方程
的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线
上所有点组成的集合；
（5）集合
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（4）
；（5）
且
【解析】（1）所有被3 整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）不等式
的解集，用描述法可表示为：
.
（3）方程
的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：
.
（4）抛物线
上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：
.
（5）集合
，用描述法可表示为：
且
.
13.用适当的方法表示下列集合．
(1)方程组¿ 的解集；
(2)由所有小于13 的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x
2−4 x + 4 =0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
32
【答案】(1){(4 ,−2)}
(2){3,5,7,11}
(3){2}或{x | x
2−4 x + 4 =0, x ∈R}
(4){(x , y)| y = x
2+2 x−10}
(5){y | y = x
2+2 x−10}
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解.
【详解】（1）解方程组¿得¿，故解集可用描述法表示为¿，也可用列举法表示为{(4 ,−2)}．
（2）小于13 的既是奇数又是质数的自然数有4 个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为{3,5,7,11}．
（3 ）方程x
2−4 x + 4 =0的实数根为2 ，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为
{x| x
2−4 x + 4 =0, x∈R}.
（4）二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x , y)，其中x，y
满足y = x
2+2 x−10，
由于点有无数个，则用描述法表示为{(x , y)| y = x
2+2 x−10}．
（5）二次函数y = x
2+2 x−10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描
述法表示为{y | y = x
2+2 x−10}．
14.如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素，其中x＝a＋b(a、b 为有理数)，则下列元素中，不属于集
合M 的元素的有( )
①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】 A
【解析】 ①0＝0＋0×；②＝0＋1×；③2π 不是有理数；④＝3＋2；⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
15.集合
为单元素集合，则
______.
【答案】
或
【解析】因为集合
为单元素集合，
所以
有且只有一个解，
当
，即
时，
方程
可化为
，解得
，满足题意；
33
当
，即
时，
，解得
，
经检验：当
，方程
的解为
，满足题意；
综上：
或
.
故答案为：
或
.
16.已知集合
，
，
．若
，
，
．则下面结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，设
，
，
下面的
均为整数，
则
，
，
，
不是偶数时，
，
，故选：B．
17.【多选】已知x，y，z 为非零实数，代数式
的值组成的集合是M，则下列判断正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】当
时，
，
当
中有两个大于0，另一个小于0 时，
，
当
中有两个小于0，另一个大于0 时，
，
当
时，
，
所以代数式
的值组成的集合是
，故B 错误.故选：ACD.
18.已知集合A =¿．
34
(1)若1∈A，求实数a 的值；
(2)若集合A 中仅含有一个元素，求实数a 的值；
(3)若集合A 中仅含有两个元素，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)a=2
(2)a=0或a= 9
4
(3)¿
【分析】（1）将x =1代入方程求解即可；
（2）分a=0、a≠0两种情况求解即可；
（3）由条件可得a≠0，且Δ=(−3)
2−4 a>0，解出即可.
（1）∵1∈A，∴a×1
2−3×1+1=0，
∴a=2；
（2）当a=0时，x = 1
3，符合题意；
当a≠0时，Δ=(−3)
2−4 a=0，∴a= 9
4 ．
综上，a=0或a= 9
4 ；
（3）集合A中含有两个元素，即关于x的方程a x
2−3 x +1=0有两个不相等的实数解，
∴a≠0，且Δ=(−3)
2−4 a>0，
解得a< 9
4 且a≠0，
∴实数a的取值范围为¿．
19.以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：
（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；
（3）−1∉P；（4）若x、y ∈P，则x + y ∈P．
则下列选项哪个是正确的（ ）
A．集合P 中一定有0 但没有2
B．集合P 中一定有0 可能有2
C．集合P 中可能有0 可能有2
D．集合P 中既没有0 又没有2
【答案】A
【分析】由（4）得x∈P，则kx∈P（k 是正整数），由（1）可设x , y ∈P，且x>0，y <0，可得
0∈P.利用反证法可得若2∈P，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.
【详解】解：由（4）得x∈P，则kx∈P（k 是正整数）．
35
由（1）可设x , y ∈P，且x>0，y <0，则xy、(−y)x∈P，而0= xy +(−y)x∈P．
假设2∈P，则2k ∈P．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，
故2k −2∈P（k 是正整数），
不妨令P 中负数为奇数−2k +1（k 为正整数），
由（4）得(2k −2)+(−2k +1)=−1∈P，矛盾．
故若2∈P，则P 中没有负奇数．
若P 中负数为偶数，设为−2k（k 为正整数），则由（4）及2∈P，
得−2,−4 ,−6,⋯均在P 中，即−2m−2∈P（m 为非负整数），
则P 中正奇数为2m+1，由（4）得(−2m−2)+(2m+1)=−1∈P，矛盾．
综上，0∈P，2∉P.
故选:A．
20.设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则
1
1−x ∈A.
(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8 个，所有元素的和为14
3 ，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合
A.
【答案】(1)证明见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3)A ={−1, 1
2 ,2,−1
2 ,3, 2
3 }.
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用x(
1
1−x)(1−1
x)=−1求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【详解】（1）由题意得若2∈A，则1
1−2 =−1∈A；
又因为−1∈A，所以
1
1−(−1) = 1
2 ∈A；
即集合A中还有另外两个元素−1和1
2.
（2）由题意，若x∈A（x≠1且x≠0），则
1
1−x ∈A，则
1
1−
1
1−x
=1−1
x ∈A，若1−1
x ∈A则
x∈A；
36
所以集合A中应包含x ,
1
1−x ,1−1
x ，故集合A不是双元素集合.
（3）由（2）得集合A中的元素个数应为3 或6，
因为x(
1
1−x)(1−1
x)=−1且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以A中应有6 个元素，且其中一个元素为−1，
由−1∈A结合条件可得1
2 ∈A ,2∈A，
又因为−1+ 1
2 +2= 3
2，所以剩余三个元素和为19
6 ，即x +
1
1−x + x−1
x
= 19
6 ，
解得x =−1
2 ,3, 2
3，
故A ={−1, 1
2 ,2,−1
2 ,3, 2
3 }.
