1
1.1.2 空间向量基本定理
课程标准
学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基
本定理及其意义;
2.通过选取适当的基底将空间向量进行分
解，从而使用“基底法”解决空间中的线线
垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而
展现出空间向量基本定理的重要作用;
1.理解空间向量基本定理的概念和原理
2.掌握空间向量基本定理的运用方法
3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能
力。
知识点01 空间向量的基本定理
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组
（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性
表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即学即练1】（2023 高二上·全国·专题练习）已知{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一组基底，则可以与向量⃗p=⃗a+⃗b，⃗
q =⃗a−⃗b构成基底的向量是（ ）
A．⃗a
B．⃗b
C．⃗a+2⃗b
D．⃗a+⃗c
【答案】D
【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断．
【详解】因为⃗p=⃗a+⃗b，⃗q =⃗a−⃗b，
又2⃗a=(⃗a+⃗b)−(⃗b−⃗a),2⃗b=(⃗a+⃗b)+(⃗b−⃗a),⃗a+2⃗b= 3
2 (⃗a+⃗b)+ 1
2 (⃗b−⃗a)，
显然A，B，C 三个选项中的向量都与⃗p,⃗q共面，
2
而D 选项中多了个⃗c，无论如何，⃗a+⃗c是无法用⃗p,⃗q线性表示的．
故选：D．
【即学即练2】（23-24 高二上·重庆·期末）正方体ABCD−A1B1C1 D1中的有向线段，不能作为空间中的
基底的是（ ）
A．{⃗AB ,⃗AC ,⃗AD}
B．{⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1}
C．{⃗AB ,⃗A B1,⃗A D1}
D．{⃗A B1,⃗A C1,⃗A D1}
【答案】A
【分析】ABC 选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D 选项，利用⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1表
达出三个向量，设⃗A C1=m⃗A B1+n⃗A D1，得到方程组，无解，得到⃗A C1,⃗A B1,⃗A D1不共面，能作为空
间中的一组基底.
【详解】A 选项，⃗AB ,⃗AC ,⃗AD共面，不能作为空间中的一组基底，A 正确；
B 选项，⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1不共面，能作为空间中的一组基底，B 错误；
C 选项，⃗AB ,⃗A B1,⃗A D1不共面，能作为空间中的一组基底，C 错误；
D 选项，因为⃗A C1=⃗AB+⃗AD +⃗A A1，⃗A B1=⃗AB+⃗A A1,⃗A D1=⃗AD +⃗A A1，
设⃗A C1=m⃗A B1+n⃗A D1，
即⃗AB+⃗AD +⃗A A1=m⃗AB+m⃗A A1+n⃗AD +n⃗A A1，
¿，无解，
故⃗A C1,⃗A B1,⃗A D1不共面，能作为空间中的一组基底，D 错误.
故选：A
难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P 在平面ABC 内的投影为D，四边
形ABCD 为正方形，若AB = PD =1，记⃗BA =⃗a，⃗BC =⃗b，⃗PD =⃗c，则下列说法正确的是（ ）
3
A．{⃗a,⃗b,⃗c}为一组单位正交基底
B．⃗BP =⃗a+⃗b+⃗c
C．三棱锥P−ABC的体积为1
6
D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3 π
【答案】ACD
【分析】如图，将三棱锥P−ABC补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公
式、球的表面积公式依次求解即可．
【详解】A：将三棱锥P−ABC补形为正方体，则三棱锥P−ABC内接于直径为√3的球，
如图所示，则AB ,BC , PD两两垂直，故A 正确；
B：⃗BP =⃗BD+⃗DP=⃗BA +⃗BC +⃗DP=⃗a+⃗b−⃗c，故B 错误；
C：由题意知PD⊥平面ABCD，又S△ABC = 1
2 ×1×1= 1
2，PD =1，
所以V 三棱锥P−ABC = 1
3 S△ABC⋅PD = 1
6，故C 正确；
D：由选项A 知，该正方体的对角线长为√3，三棱锥P−ABC外接球即为正方体得外接球，
所以该球的表面积S外接球= 4π×(
√3
2 )
2
=3π，故D 正确.
故选：ACD．
4
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23 高二上·广东佛山·阶段练习）若{⃗e1,⃗e2,⃗e3}是空间的一个基底，且向量⃗OA =2⃗e1+⃗e2+⃗e3，⃗
OB =⃗e1−⃗e2+2⃗e3，⃗OC =k⃗e1+3⃗e2+⃗2e3不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．8
3
B．5
C．−5
D．−1
3
【答案】B
【分析】根据给定条件，由向量⃗OA ,⃗OB ,⃗OC共面列式求解即得.
【详解】依题意，⃗OA ,⃗OB ,⃗OC共面，则存在实数x , y，使得⃗OC = x⃗OA + y⃗OB，
于是k⃗e1+3⃗e2+2⃗e3= x(2⃗e1+⃗e2+⃗e3)+ y(⃗e1−⃗e2+2⃗e3)=(2 x + y)⃗e1+( x−y)⃗e2+( x +2 y)⃗e3，
因此¿，解得x = 8
3 , y =−1
3 ,k =5.
故选：B
变式1．（23-24 高二上·贵州安顺·期末）p: ⃗a，⃗b，⃗c是三个不共面的单位向量，q: {⃗a,⃗b,⃗c}可为空间的
一个基底，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】根据基底的定义，可知，若 ⃗a，⃗b，⃗c是三个不共面的单位向量，则{⃗a,⃗b,⃗c}可为空间的一个基底，
反过来，若{⃗a,⃗b,⃗c}为空间的一个基底，则⃗a，⃗b，⃗c是三个不共面的向量，不一定是单位向量，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
变式2．（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·期末）若{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的
是（ ）
A．⃗b，⃗c，⃗a+⃗b
B．⃗b，⃗a+⃗c，⃗a+⃗b
C．⃗a−⃗b，⃗c，⃗a+⃗b
D．⃗a−⃗b，⃗c−⃗b，⃗c−⃗a
【答案】D
【分析】
由题意可知⃗a,⃗b,⃗c不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案.
【详解】由于{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，故⃗a,⃗b,⃗c不共面，
5
对于A，⃗a+⃗b与⃗a,⃗b共面，⃗a,⃗b,⃗c不共面，故⃗b，⃗c，⃗a+⃗b不共面，
否则，若⃗b，⃗c，⃗a+⃗b共面，则⃗a,⃗b,⃗c共面，不符题意，A 错误；
对于B，假设⃗b，⃗a+⃗c，⃗a+⃗b共面，则存在实数λ , μ，使得⃗b= λ(⃗a+⃗c)+ μ(⃗a+⃗b)，
即⃗b=( λ+ μ)⃗a+ λ⃗c + μ⃗b，则¿，方程组无解，
假设不成立，故⃗b，⃗a+⃗c，⃗a+⃗b不共面，B 错误；
对于C，⃗a−⃗b，⃗a+⃗b与⃗a,⃗b共面，由于⃗a,⃗b,⃗c不共面，
故⃗a−⃗b，⃗a+⃗b与⃗c不共面，C 错误；
对于D，⃗a−⃗b=(⃗c−⃗b)−(⃗c−⃗a)，故⃗a−⃗b，⃗c−⃗b，⃗c−⃗a共面，
故选：D
变式3．（23-24 高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基{⃗a,⃗b,⃗c}，则可以与向量⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c
构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．2⃗a+2⃗b
B．2⃗a−⃗b
C．3⃗a+⃗c
D．3⃗b+2⃗c
【答案】A
【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可.
【详解】不存在实数m，n，使得2⃗a+2⃗b=m(⃗a−2⃗b−⃗c)+n(⃗a+⃗b+⃗c)，所以⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c，
2⃗a+2⃗b不共面，可以构成空间的另一组基；
因为2⃗a−⃗b=⃗a+⃗b+⃗c +⃗a−2⃗b−⃗c，所以⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c，2⃗a−⃗b共面，不能构成空间的另一组基；
因为3⃗a+⃗c =⃗a−2⃗b−⃗c +2(⃗a+⃗b+⃗c)，所以⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c，3⃗a+⃗c共面，不能构成空间的另一组基；
因为3⃗b+2⃗c =⃗a+⃗b+⃗c−(⃗a−2⃗b−⃗c)，所以⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c，3⃗b+2⃗c共面，不能构成空间的另一组
基.
故选：A.
变式4．（23-24 高二上·广东东莞·期中）若{⃗e1,⃗e2,⃗e3}是空间的一个基底，且向量⃗a=⃗e1+⃗e2，⃗b=⃗e2−⃗e3，⃗
c =⃗e1+t⃗e3不能构成空间的一个基底，则t =（ ）
A．−1
B．1
C．0
D．−2
【答案】B
【分析】根据向量共面列方程，化简求得t的值.
【详解】由于⃗a=⃗e1+⃗e2，⃗b=⃗e2−⃗e3，所以⃗a,⃗b不共线，
由于⃗a,⃗b,⃗c不能构成空间的一个基底，
所以存在x , y ∈R使得⃗c = x⃗a+ y⃗b，即⃗
e1+t⃗e3= x(⃗e1+⃗e2)+ y(⃗e2−⃗e3)= x⃗e1+(x + y)⃗e2−y⃗e3，
所以¿，解得x =1, y =−1,t =1.
故选：B
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变式5．（多选）（23-24 高二下·江苏南京·期中）已知向量⃗a,⃗b,⃗c能构成空间的一组基底，则能与向量⃗
m=⃗a−⃗b,⃗n=⃗b−⃗c构成空间另一组基底的向量是（ ）
A．⃗a−⃗c
B．⃗a+⃗c
C．⃗a+⃗b
D．⃗a+⃗b+⃗c
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为⃗a−⃗c =(⃗a−⃗b)+(⃗b−⃗c)，
所以⃗a−⃗b,⃗b−⃗c ,⃗a−⃗c三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A 错误；
对于选项B：因为⃗a+⃗c = x(⃗a−⃗b)+ y(⃗b−⃗c)= x⃗a+(−x + y)⃗b−y⃗c，
则¿，方程无解，即不存在实数x , y使得该式成立，
所以⃗a−⃗b,⃗b−⃗c ,⃗a+⃗c不共面，可以作为基底向量，故B 正确；
对于选项C：因为⃗a+⃗b= x(⃗a−⃗b)+ y(⃗b−⃗c)= x⃗a+(−x + y)⃗b−y⃗c，
则¿，方程无解，即不存在实数x , y使得该式成立，
所以⃗a−⃗b,⃗b−⃗c ,⃗a+⃗b不共面，可以作为基底向量，故C 正确；
对于选项D：因为⃗a+⃗b+⃗c = x(⃗a−⃗b)+ y(⃗b−⃗c)= x⃗a+(−x + y)⃗b−y⃗c，
则¿，方程无解，即不存在实数x , y使得该式成立，
所以⃗a−⃗b,⃗b−⃗c ,⃗a+⃗b+⃗c不共面，可以作为基底向量，故D 正确；
故选：BCD.
变式6．（多选）（23-24 高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量⃗a，⃗b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则⃗a，⃗b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，则{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}也是空间的一个基底
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3 个向量，
由于非零向量⃗a，⃗b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
即向量⃗a，⃗b与任何一个向量均共面，则⃗a，⃗b必共线，A 正确；
对于B，空间的基底不唯一，不共面的3 个向量，均可作为空间的一组基底，B 错误；
对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C 正确；
对于D，由于{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，故⃗a,⃗b,⃗c不共面，
而⃗a+⃗b,⃗a−⃗b与⃗a,⃗b共面，故与⃗c不共面，且⃗a+⃗b,⃗a−⃗b不共线，
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故{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}也是空间的一个基底，D 正确，
故选：ACD
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为
一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24 高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C −OADB中，底面OADB为平行四边形，E 为AC的中点，
F 为BD的中点，⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗OC =⃗c，则⃗EF =（ ）
A．⃗b−1
2⃗c
B．⃗a−⃗b−1
2⃗c
C．⃗a−1
2⃗b−⃗c
D．1
2⃗a+ 1
2⃗b−⃗c
【答案】A
【分析】连OE，OF，根据空间向量的线性运算分析求解.
【详解】连OE，OF，
可得⃗EF =⃗OF −⃗OE =⃗OB+⃗BF −1
2 (⃗OA +⃗OC)=⃗OB+ 1
2⃗OA −1
2 (⃗OA +⃗OC)
=⃗OB−1
2⃗OC =⃗b−1
2⃗c.
故选：A.
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变式1．（23-24 高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD 中，令⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗AD =⃗c，且
M，G 分别是BC，CD 的中点，则⃗MG+⃗AG等于（ ）
A．−1
2⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
B．⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
C．−1
2⃗a+⃗b+⃗c
D．−1
2⃗a+ 1
2⃗b−⃗c
【答案】A
【分析】结合条件用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗MG ,⃗AG，即可得出结果.
【详解】因为⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗AD =⃗c，
所以⃗AM = 1
2 (⃗a+⃗b)，⃗AG = 1
2 (⃗b+⃗c)，
所以⃗MG =⃗AG−⃗AM = 1
2 (⃗b+⃗c)−1
2 (⃗a+⃗b)= 1
2
(⃗c−⃗a)，
所以，⃗MG+⃗AG = 1
2
(⃗c−⃗a)+ 1
2 (⃗b+⃗c)=−1
2⃗a+ 1
2⃗b+⃗c.
故选：A
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，
M为A1C1与B1 D1交点，∠BAD =∠BA A1=∠DA A1=60°，则BM的长为（ ）
A．√5
4
B．√3
4
C．√5
2
D．√3
2
【答案】C
【分析】以⃗A A1，⃗AD，⃗AB作为一组基底表示出⃗BM，再根据数量积的运算律求出|⃗BM|，即可得解.
【详解】依题意⃗BM =⃗B B1+⃗B1 M =⃗B B1+ 1
2⃗B1 D1=⃗B B1+ 1
2 (⃗A1 D1−⃗A1B1)
=⃗A A1+ 1
2⃗AD−1
2⃗AB，
9
所以⃗BM
2=(⃗A A1+ 1
2⃗AD−1
2⃗AB)
2
=⃗A A1
2+ 1
4⃗AD
2+ 1
4⃗AB
2+⃗A A1⋅⃗AD−⃗A A1⋅⃗AB−1
2⃗AD⋅⃗AB
=1
2+ 1
4 ×1
2+ 1
4 ×1
2+1×1× 1
2 −1×1× 1
2 −1
2 ×1×1× 1
2 = 5
4 ，
所以|⃗BM|= √5
2 ，即BM = √5
2 .
故选：C
变式3．（24-25 高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB、
BC、CD、DA 的中点，用⃗BA，⃗BD，⃗BC表示⃗EG，则⃗EG = ．
【答案】−1
2⃗BA + 1
2⃗BD + 1
2⃗BC
【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可.
【详解】因为E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，
所以⃗EG =⃗EB+⃗BC +⃗CG =−1
2⃗BA +⃗BC + 1
2⃗CD
=−1
2⃗BA +⃗BC + 1
2 (⃗BD−⃗BC )
=−1
2 BA⃗+ 1
2 BD⃗+ 1
2 BC⃗.
故答案为：−1
2⃗BA + 1
2⃗BD + 1
2⃗BC
变式4．（24-25 高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A −BCD中，点O 为三角形BCD 的中心，⃗
AO = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗AD，则xyz = ．
【答案】1
27
【分析】取BC中点N，连接DN，AN，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】取BC中点N，连接DN，AN⃗
AO =⃗AN +⃗NO = 1
2 (⃗AB+⃗AC )+ 1
3⃗ND
10
又⃗ND =−⃗DN =−1
2 (⃗DB+⃗DC )=−1
2 (⃗AB−⃗AD +⃗AC −⃗AD)=−1
2 (⃗AB+⃗AC −2⃗AD)
∴⃗AO =⃗AN +⃗NO = 1
2 (⃗AB+⃗AC )−1
6 (⃗AB+⃗AC −2⃗AD)= 1
3⃗AB+ 1
3⃗AC + 1
3⃗AD
∴x = y = z = 1
3，xyz = 1
27 .
故答案为：1
27 .
变式5．（22-23 高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的所有棱长均为1，
∠A1 AB =∠A1 AD =∠BAD =π
4 ，则⃗A C1
2= ．
【答案】3+3√2
【分析】利用空间向量基本定理，选取⃗AB ,⃗BC ,⃗C C1为基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长.
【详解】因为平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的所有棱长均为1，
∠A1 AB =∠A1 AD =∠BAD =π
4 ，
所以⃗A C1
2=(⃗AB+⃗BC +⃗C C1)
2
=⃗AB
2+⃗BC
2+⃗C C1
2+2⃗AB⋅⃗BC +2⃗AB⋅⃗C C1+2⃗BC ⋅⃗C C1
=3+6cosπ
4 =3+3√2．
故答案为：3+3√2.
变式6.（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F 分别是SA、BC 的中点，点
G 在EF 上，且满足EG
GF = 1
2，若⃗SA =⃗a，⃗SB =⃗b，⃗SC =⃗c，则⃗SG = ．
11
【答案】1
3⃗a+ 1
6⃗b+ 1
6⃗c
【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.
【详解】连接SF，因为点E、F 分别是SA、BC 的中点，点G 在EF 上，且满足EG
GF = 1
2，
所以⃗SG =⃗SE+⃗EG = 1
2⃗SA + 1
3⃗EF = 1
2⃗SA + 1
3 (⃗SF −⃗SE)= 1
2⃗SA + 1
3⃗SF −1
6⃗SA
= 1
3⃗SA + 1
3 × 1
2 (⃗SB+⃗SC )= 1
3⃗SA + 1
6⃗SB+ 1
6⃗SC，
所以⃗SG = 1
3⃗a+ 1
6⃗b+ 1
6⃗c.
故答案为：1
3⃗a+ 1
6⃗b+ 1
6⃗c.
变式7．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各
种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC −A1B1C1中，M , N分
别是A1C1，B B1的中点，G是M N的中点，若⃗AG = x⃗AB+ y⃗A A1+ z⃗AC，则x + y + z = .
【答案】3
2
【分析】由G是MN的中点，可得⃗AG = 1
2 (⃗AN +⃗AM )，再由向量的线性运算可得⃗
AG = 1
2⃗AB+ 3
4⃗A A1+ 1
4⃗AC,即可得答案.
【详解】解：连接AM , AN，如图所示：
12
因为G是MN的中点，M , N分别是A1C1，B B1的中点，
所以⃗AG = 1
2 (⃗AN +⃗AM )
= 1
2 (⃗AB+⃗BN +⃗A A1+⃗A1 M )
= 1
2 (⃗AB+ 1
2⃗B B1+⃗A A1+ 1
2⃗A1C1)
= 1
2 (⃗AB+ 1
2⃗A A1+⃗A A1+ 1
2⃗AC )
= 1
2 (⃗AB+ 3
2⃗A A1+ 1
2⃗AC )
= 1
2⃗AB+ 3
4⃗A A1+ 1
4⃗AC,
又因为⃗AG = x⃗AB+ y⃗A A1+ z⃗AC，
所以x = 1
2 , y = 3
4 , z = 1
4 ，
所以x + y + z = 3
2.
故答案为：3
2
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc 叫做向量a，b，c 的线性表达式或线性组合，或者说p 可以由a，b，c 线性
表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c 不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不
是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向
量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24 高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M , N分别为线段OA ,BC的中点，
13
若⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y −z的值为（ ）
A．−1
2
B．1
4
C．1
2
D．1
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示⃗MN，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体OABC中，由M , N分别为线段OA ,BC的中点，
得⃗MN =⃗ON −⃗OM = 1
2 (⃗OB+⃗OC )−1
2⃗OA =−1
2⃗OA + 1
2⃗OB+ 1
2⃗OC，
而⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，由空间向量基本定理得：x =−1
2 , y = 1
2 , z = 1
2，
所以x + y −z =−1
2.
故选：A
变式1．（23-24 高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC −A1B1C1中，A1B1=2 AB，N是B1C1的中点，
G是CN的中点，若⃗A1G = x⃗A1B1+ y⃗A1C1+ z⃗A1 A，则x + y + z =（ ）
A．3
4
B．1
C．5
4
D．3
2
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.
【详解】结合图形可知：
14
∵G是CN的中点，A1B1=2 AB,∴⃗A1C1=2⃗AC,
∴⃗A1G = 1
2 (⃗A1C +⃗A1 N)= 1
2 (⃗A1 A +⃗AC +⃗A1 N)= 1
2(⃗A1 A + 1
2⃗A1C1+⃗A1 N)，
∵N是B1C1的中点，∴⃗A1 N = 1
2 (⃗A1C1+⃗A1B1),⃗
A1G = 1
2(⃗A1 A + 1
2⃗A1C1+⃗A1 N)= 1
2[⃗A1 A + 1
2⃗A1C1+ 1
2 (⃗A1C1+⃗A1B1)],
即⃗A1G = 1
2⃗A1 A + 1
2⃗A1C1+ 1
4⃗A1B1,
∵⃗A1G = x⃗A1B1+ y⃗A1C1+ z⃗A1 A，∴x = 1
4 , y = 1
2 , z = 1
2，∴x + y + z = 5
4 .
故选：C.
变式2．（23-24 高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC 中，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上
设⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y + z =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
【答案】B
【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.
【详解】⃗MN =⃗ON −⃗OM =⃗OB+⃗BN −⃗OM，
=⃗OB+ λ⃗BC −1
2⃗OA，
=⃗OB+ λ(⃗OC −⃗OB)−1
2⃗OA，
=−1
2⃗OA +(1−λ)⃗OB+ λ⃗OC，
15
即x =−1
2，y =1−λ，z = λ，
所以x + y + z = 1
2.
故选：B
变式3．（22-23 高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面是平行四边形，点E 在线
段DC 上，满足⃗DE =2⃗EC，⃗E A1= x⃗AB+ y⃗AD+ z⃗A A1，则x + y + z =（ ）
A．-2
3
B．2
3
C．−4
3
D．4
3
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理以及空间向量线性运算，即可求解．
【详解】因为点E在线段DC上满足⃗DE =2⃗EC，
由向量的运算法则，可得E D
→
1= ED
→
+ DA
→
+ A A
→
1=−2
3 AB
→
−AD
→
+ A A
→
1，
因为⃗E A1= x⃗AB+ y⃗AD+ z⃗A A1，所以x =−2
3 , y =−1, z =1，
所以x + y + z =−2
3.
故选：A.
变式4．（23-24 高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC 中，点M、N 分别为线段OA、BC 的中点，
若⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y + z = ．
【答案】1
2/0.5
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示⃗MN，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体OABC中，由M , N分别为线段OA ,BC的中点，
得⃗MN =⃗ON −⃗OM = 1
2 (⃗OB+⃗OC )−1
2⃗OA =−1
2⃗OA + 1
2⃗OB+ 1
2⃗OC，
而⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，由空间向量基本定理得：x =−1
2 , y = 1
2 , z = 1
2，
所以x + y + z = 1
2.
故答案为：1
2.
16
变式5．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗AB =⃗a，⃗
AD =⃗b，⃗A A1=⃗c，点M 是A1 D1的中点，点N是C A1上的点，且⃗CN = 1
5⃗C A1，若⃗MN = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，
则x + y + z = .
【答案】3
10/0.3
【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{⃗a,⃗b,⃗c}为基底，用基向量表示⃗MN，再空间向量基本定理
待定系数即可.
【详解】在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中,
因为点M 是A1 D1的中点，点N是C A1上的点,
所以⃗MN =⃗A1 N −⃗A1 M = 4
5⃗A1C −1
2⃗A1 D1
= 4
5 (⃗AC −⃗A A1)−1
2⃗A1 D1= 4
5 (⃗AB+⃗AD−⃗A A1)−1
2⃗A1 D1
= 4
5 (⃗AB+⃗AD−⃗A A1)−1
2⃗AD
= 4
5⃗AB+ 3
10⃗AD−4
5⃗A A1
= 4
5⃗a+ 3
10⃗b−4
5⃗c.
又⃗MN = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，
由空间向量基本定理得，x = 4
5 , y = 3
10 , z =−4
5 ，
则x + y + z = 3
10.
故答案为：3
10.
变式6 ．（23-24 高二上·广东揭阳·阶段练习）{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一个基底，向量⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c，
{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c }是空间的另一个基底，向量⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c，则x−y = ．
【答案】1
【分析】将⃗p转化成以{⃗a,⃗b,⃗c }为基底的向量，与⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c联立，即可求出x−y的值．
17
【详解】因为⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c =(x + y)⃗a+(x−y)⃗b+⃗c，且⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c，
∴x−y =1．
故答案为：1．
变式7．（2019 高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗
A A1=⃗c，E , F分别是A D1,BD的中点.
(1)用向量⃗a,⃗b,⃗c表示⃗D1B ,⃗EF；
(2)若⃗D1 F = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，求实数x，y，z 的值.
【答案】(1)⃗D1B =⃗a−⃗b−⃗c，⃗EF = 1
2⃗a−1
2⃗c；
(2)x = 1
2 , y =−1
2 , z =−1.
【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗D1 F，再利用空间向量基本定理求解即得.
【详解】（1）在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗
D1B =⃗AB−⃗A D1=⃗AB−(⃗AD +⃗A A1)=⃗a−⃗b−⃗c，
由E , F分别是A D1,BD的中点，
得⃗EF =⃗AF −⃗AE = 1
2 (⃗AB+⃗AD)−1
2 (⃗AD +⃗A A1)= 1
2⃗a−1
2⃗c.
.
（2）⃗D1 F =⃗AF −⃗A D1= 1
2 (⃗AB+⃗AD)−(⃗AD+⃗A A1)= 1
2⃗AB−1
2⃗AD−⃗A A1= 1
2⃗a−1
2⃗b−⃗c，
而⃗D1 F = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，且⃗a,⃗b,⃗c不共面，
所以x = 1
2 , y =−1
2 , z =−1.
一、单选题
18
1．（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）已知向量⃗m=3⃗a+2⃗b−⃗c，则向量⃗m在⃗b上的投影为（ ）
A．3
B．2
C．-1
D．4
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理即可得出结论.
【详解】由空间向量基本定理可知⃗m在⃗b上的投影即为⃗b的系数2.
故选：B
2．（21-22 高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，点M 为棱AB 的中点，点N 为上底
面A1B1C1的中心，用空间的一组基{⃗CA ,⃗CB ,⃗C C1}表示⃗MN，则（ ）
A．⃗MN = 1
6⃗CA −1
6⃗CB+⃗C C1
B．⃗MN =−1
6⃗CA −1
6⃗CB+⃗C C1
C．⃗MN =−1
6⃗CA + 1
6⃗CB+⃗C C1
D．⃗MN = 1
6⃗CA + 1
6⃗CB+⃗C C1
【答案】B
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC 的中心Q，连接NQ ,CM，则⃗MQ =−1
3⃗CM，
∴⃗MN =⃗MQ+⃗QN =−1
3⃗CM +⃗C C1=−1
3 × 1
2 (⃗CA +⃗CB)+⃗C C1=−1
6⃗CA −1
6⃗CB+⃗C C1．
故选:B．
3．（23-24 高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD 中，点M，N 满足⃗AB =2⃗MB，⃗CN =2⃗ND，若⃗
MN = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗AD，则x + y + z =（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．1
2
D．1
【答案】C
【分析】直接利向量的线性运算求出结果．
【详解】在四面体ABCD中，由于点M，N满足⃗AB =2⃗MB，⃗CN =2⃗ND，
19
如图所示：
故⃗
MN =⃗AN −⃗AM =⃗AC + 2
3⃗CD−1
2⃗AB =⃗AC + 2
3 (⃗AD−⃗AC)−1
2⃗AB =−1
2⃗AB+ 1
3⃗AC + 2
3⃗AD = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗AD
故x + y + z =−1
2 + 1
3 + 2
3 = 1
2．
故选：C
4．（23-24 高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗
A A1=⃗c，则与向量⃗D1B相等的是（ ）
A．⃗a+⃗b+⃗c
B．⃗a+⃗b−⃗c
C．⃗a−⃗b−⃗c
D．−⃗a−⃗b+⃗c
【答案】C
【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.
【详解】因为⃗D1B =⃗AB−⃗A D1=⃗AB−(⃗AD+⃗A A1),
所以⃗D1B =⃗a−⃗b−⃗c.
故选：C.
5．（23-24 高二上·山东·阶段练习）若{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是
（ ）
A．{⃗b+⃗c ,⃗a+⃗c ,⃗a−⃗b}
B．{⃗a+⃗b+⃗c , 1
2⃗a+⃗b, 1
2⃗a+⃗c}
C．{⃗a−⃗b+⃗c ,⃗a−⃗b,⃗a+⃗c}
D．{⃗b−⃗c ,⃗a+⃗b,⃗a+⃗c}
【答案】C
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
20
【详解】因为⃗b+⃗c =(⃗a+⃗c)−(⃗a−⃗b)，所以⃗b+⃗c，⃗a+⃗c，⃗a−⃗b共面，
所以{⃗b+⃗c ,⃗a+⃗c ,⃗a−⃗b}不是空间的另一个基底，A 错误．
因为⃗a+⃗b+⃗c = 1
2⃗a+⃗b+ 1
2⃗a+⃗c，所以⃗a+⃗b+⃗c，1
2⃗a+⃗b，1
2⃗a+⃗c共面，
所以{⃗a+⃗b+⃗c , 1
2⃗a+⃗b, 1
2⃗a+⃗c}不是空间的另一个基底，B 错误．
假设存在m，n，使得⃗a−⃗b+⃗c =m(⃗a−⃗b)+n(⃗a+⃗c)=(m+n)⃗a−m⃗b+n⃗c，
则¿，显然无解，所以⃗a−⃗b+⃗c，⃗a−⃗b，⃗a+⃗c不共面，
所以{⃗a−⃗b+⃗c ,⃗a−⃗b,⃗a+⃗c}是空间的另一个基底，C 正确．
因为⃗b−⃗c =⃗a+⃗b−(⃗a+⃗c)，所以⃗b−⃗c，⃗a+⃗b，⃗a+⃗c共面，
所以{⃗b−⃗c ,⃗a+⃗b,⃗a+⃗c}不是空间的另一个基底，D 错误．
故选：C
6．（22-23 高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量⃗a,⃗b,⃗c，下列命题正确的是（ ）
A．若⃗a与⃗b共线，⃗b与⃗c共线，则⃗a与⃗c共线
B．若⃗a,⃗b,⃗c非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若⃗a,⃗b,⃗c不共面，那么对任意一个空间向量⃗p，存在唯一有序实数组(x , y , z)，使得p
→
= x a
→
+ y b
→
+ z c
→
D．若⃗a,⃗b不共线，向量⃗c = λ⃗a+ μ⃗b（λ , μ∈R且λμ≠0），则{⃗a,⃗b,⃗c}可以构成空间的一个基底
【答案】C
【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答
案.
【详解】A 选项，若⃗a与⃗b共线，⃗b与⃗c共线，当⃗b为零向量时，⃗
a与⃗c不一定共线，所以A 选项错误.
B 选项，若⃗a,⃗b,⃗c非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，
比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，
对应的向量共面，但直线不共面，所以B 选项错误.
C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.
D 选项，若⃗a,⃗b不共线，向量⃗c = λ⃗a+ μ⃗b（λ , μ∈R且λμ≠0），
则⃗a,⃗b,⃗c共面，所以⃗a,⃗b,⃗c不能构成基底，D 选项错误.
故选：C
7 ．（23-24 高二上· 全国· 课后作业）当|⃗a|=|⃗b|≠0，且⃗a、⃗b不共线时，⃗a+⃗b与⃗a−⃗b的关系是
（ ）
A．共面
B．不共面
C．共线
D．无法确定
【答案】A
【分析】
21
利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
【详解】根据平行四边形法则可得，以⃗a，⃗b为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为⃗
a+⃗b,⃗a−⃗b，
所以⃗a+⃗b与⃗a−⃗b共面.
故选：A.
8．（22-23 高二下·安徽池州·阶段练习）已知{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一组基底，其中⃗AB =2⃗a−3⃗b，⃗AC =⃗a−⃗c，⃗
AD =2⃗b+ λ⃗c.若A，B，C，D 四点共面，则λ=（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．4
3
D．−4
3
【答案】D
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对( x , y)，使得⃗AB = x⃗AC + y⃗AD，结合向量的数乘运算和相等向
量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对( x , y)，使得⃗AB = x⃗AC + y⃗AD，
即2⃗a−3⃗b= x (⃗a−⃗c)+ y(2⃗b+ λ⃗c)，
则2⃗a−3⃗b= x⃗a+2 y⃗b+(λy −x)⃗c，
则x=2，y =−3
2，λy −x =0，解得λ =−4
3 .
故选：D.
二、多选题
9．（23-24 高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是(0,π
2 ]
B．若直线l 与平面α相交，则该直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,π
2 ]
C．二面角的平面角的取值范围是(0,π
2 ]
D．若⃗a，⃗b，⃗c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得x⃗a+ y⃗b+ z⃗c =⃗0
【答案】AB
【分析】ABC 选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D 选项，根据空间基底的概念得到⃗
a，⃗b，⃗c不共面，故结论不成立.
【详解】A 选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是(0,π
2 ]，A 正确；
B 选项，直线与平面的夹角范围为[0,π
2 ]，但直线l 与平面α相交，夹角不为0，
22
则该直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,π
2 ]，B 正确；
C 选项，二面角的平面角可以是钝角，C 错误；
D 选项，若⃗a，⃗b，⃗c是空间向量的一组基底，则⃗a，⃗b，⃗c不共面，
不存在非零实数x，y，z，使得x⃗a+ y⃗b+ z⃗c =⃗0，，D 错误.
故选：AB
10．（22-23 高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的O，A，B，C满足⃗OC = 1
3⃗OA + 2
3⃗OB，则A，B，C三点共线
B．空间中三个向量⃗a，⃗b，⃗c，若⃗a//⃗b，则⃗a，⃗b，⃗c共面
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若⃗OP =2⃗OA +2022⃗OB−2023⃗OC，则P，A，B，C
四点共面
D．设{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一组基底，若⃗m=⃗a+⃗b，⃗n=⃗a−⃗b，则{⃗m,⃗n,⃗c }不能为空间的一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．
【详解】对于A ，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足⃗OC = 1
3⃗OA + 2
3⃗OB，则
1
3 (⃗OC −⃗OA )= 2
3 (⃗OB−⃗OC )，即⃗AC =2⃗CB，则A，B，C三点共线，故A 正确；
对于B，因为⃗a//⃗b，则⃗a,⃗b共线，则根据共面向量的定义可得，⃗a，⃗b，⃗c共面，故B 正确；
对于C ，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若⃗OP =2⃗OA +2022⃗OB−2023⃗OC，又
2+2022−2023=1，则P，A，B，C四点共面，故C 正确；
对于D ，若⃗a+⃗b，⃗a−⃗b，⃗c共面，则⃗c = x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)=(x + y)⃗a+(x−y)⃗b，则⃗a,⃗b,⃗c共面，与
{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一组基底矛盾，所以⃗a+⃗b，⃗a−⃗b，⃗c不共面，所以{⃗m,⃗n,⃗c }能为空间的一组基底，故D
错误，
故选：ABC．
11．（19-20 高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若⃑AB，⃑
AC，⃑AD与⃑AB，⃑AC，⃑AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．⃑AB，⃑AD，⃑AE不能构成空间的一个基底
B．⃑AC，⃑AD，⃑AE不能构成空间的一个基底
C．⃑BC，⃑CD，⃑DE不能构成空间的一个基底
D．⃑AB，⃑CD，⃑EA能构成空间的一个基底
【答案】ABC
【分析】由⃑AB，⃑AC，⃑AD与⃑AB，⃑AC，⃑AE均不能构成空间的一个基底，可得空间五点A，B，C，D，
E共面，从而可作判断
23
【详解】解：因为⃑AB，⃑AC，⃑AD与⃑AB，⃑AC，⃑AE均不能构成空间的一个基底，且A，B，C，D，E是
空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点A，B，C，D，E共面，
所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC
正确，D 错误.
故选：ABC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
三、填空题
12．（23-24 高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，D，E 分别是线段B1C1，A1 D
的中点，设⃗AA1=⃗a，⃗A B =⃗b，⃗AC =⃗c.用⃗a，⃗b，⃗c表示⃗AE = .
【答案】⃗a+ 1
4⃗b+ 1
4⃗c
【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用⃗AA1=⃗a，⃗AB =⃗b，⃗AC =⃗c表示出⃗AE即可.
【
详
解
】⃗
AE =⃗A A1+⃗A1 E =⃗A A1+ 1
2⃗A1 D =⃗A A1+ 1
4 (⃗A1C1+⃗A1B1)=⃗A A1+ 1
4⃗AB+ 1
4⃗AC =⃗a+ 1
4⃗b+ 1
4⃗c.
故答案为：⃗a+ 1
4⃗b+ 1
4⃗c
13．（23-24 高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A
' B
'C
' D
'是平行六面体．设M是底面ABCD的中
心，N是侧面BC C
' B
'的对角线BC
'上的点，且BN : N C
' =3:1，设⃗MN =α⃗AB+ β⃗AD + γ⃗A A
'，
α + β + γ = ．
【答案】3
2
24
【分析】由空间向量基本定理得到⃗MN = 1
2⃗AB+ 1
4⃗AD + 3
4⃗A A
'，从而求出α = 1
2，β = 1
4 ，γ = 3
4 ，得到答
案.
【详解】∵⃗AD =⃗BC，⃗C C
' =⃗A A
'，
∴⃗MN =⃗MB+⃗BN = 1
2⃗DB+ 3
4⃗BC
' = 1
2 (⃗DA +⃗AB)+ 3
4 (⃗BC +⃗C C
')
= 1
2⃗AB+ 1
4⃗AD+ 3
4⃗A A
'，
又⃗MN =α⃗AB+ β⃗AD + γ⃗A A
'，
∴α = 1
2，β = 1
4 ，γ = 3
4 ，故α + β + γ = 3
2.
故答案为：3
2
14．（23-24 高二上·贵州·开学考试）{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，向量⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c，{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}是空
间的另一个基底，向量⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c，则x + y = .
【答案】3
【分析】将⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c转化成以{⃗a,⃗b,⃗c}为基底的向量，与⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c联立，即可求出
x + y的值.
【详解】∵ ⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c =( x + y)⃗a+( x−y)⃗b+⃗c，且⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c
∴ x + y =3.
故答案为：3
四、解答题
15．（23-24 高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体ABCD−A1B1C1 D1，点E在棱C C1的延长线上，
且|C1 E|=|C C1|．设⃗A A1=⃗a，⃗AB =⃗b，⃗AD =⃗c，试用⃗a、⃗b、⃗c的线性组合表示下列向量：
(1)⃗A C1；
(2)⃗D1B1；
(3)⃗B D1；
25
(4)⃗AE．
【答案】(1)⃗b+⃗c +⃗a
(2)⃗b−⃗c
(3)−⃗b+⃗a+⃗c
(4)⃗b+⃗c +2⃗a
【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以{⃗a,⃗b,⃗c}为基底即可．
【详解】（1）⃗A C1=⃗AB+⃗BC +⃗C C1=⃗AB+⃗AD +⃗A A1=⃗b+⃗c +⃗a．
（2）⃗D1B1=⃗A1B1−⃗A1 D1=⃗AB−⃗AD =⃗b−⃗c．
（3）⃗B D1=⃗BA +⃗A A1+⃗A1 D1=−⃗AB+⃗A A1+⃗AD =−⃗b+⃗a+⃗c．
（4）⃗AE =⃗AB+⃗BC +⃗CE =⃗AB+⃗AD+2⃗C C1=⃗AB+⃗AD+2⃗A A1=⃗b+⃗c +2⃗a．
16．（23-24 高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA = 4，PB =5，PC =3，
∠APB =∠BPC =60°，∠CPA =90°，D，E分别是PA，BC的中点，点F在DE上，且⃗DF =2⃗FE，记⃗
PA =⃗a，⃗PB =⃗b，⃗PC =⃗c．
(1)试用基底{⃗a,⃗b,⃗c}表示向量⃗PE，⃗DE，⃗PF；
(2)求⃗PA ⋅⃗PB和⃗PF ⋅⃗AC的值．
【答案】(1)⃗PE = 1
2⃗b+ 1
2⃗c，⃗DE = 1
2⃗b+ 1
2⃗c−1
2⃗a，⃗PF = 1
3⃗b+ 1
3⃗c + 1
6⃗a
(2)⃗PA ⋅⃗PB =10，⃗PF ⋅⃗AC =−1
2
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】（1）因为D，E分别是PA，BC的中点，
26
所以⃗PE = 1
2 (⃗PB+⃗PC)= 1
2⃗PB+ 1
2⃗PC = 1
2⃗b+ 1
2⃗c，⃗
PD = 1
2⃗PA = 1
2⃗a，⃗
DE =⃗PE−⃗PD = 1
2⃗b+ 1
2⃗c−1
2⃗a，
又⃗DF =2⃗FE，所以⃗DF = 2
3⃗DE，
则⃗PF =⃗PD +⃗DF =⃗PD + 2
3⃗DE = 1
2⃗a+ 2
3(
1
2⃗b+ 1
2⃗c−1
2⃗a)= 1
3⃗b+ 1
3⃗c + 1
6⃗a.
（2）因为PA = 4，PB =5，PC =3，∠APB =∠BPC =60°，∠CPA =90°，
所以⃗PA ⋅⃗PB =|⃗PA|⋅|⃗PB|cos∠APB = 4×5× 1
2 =10，
又⃗AC =⃗PC −⃗PA =⃗c−⃗a，
所以⃗PF ⋅⃗AC =(⃗c−⃗a)⋅(
1
3⃗b+ 1
3⃗c + 1
6⃗a)
= 1
3⃗c
2+ 1
3⃗b⋅⃗c−1
6⃗a
2−1
3⃗b⋅⃗a+ 1
6⃗a⋅⃗c−1
3⃗a⋅⃗c
= 1
3 ×3
2+ 1
3 ×3×5× 1
2 −1
6 ×4
2−1
3 ×4×5× 1
2 −1
6 ×4×3×0=−1
2.
17．（23-24 高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方形，侧
棱PA的长为4，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，N是PC的中点，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗AP =⃗c.
(1)用基底{⃗a,⃗b,⃗c }表示向量⃗AN；
(2)求AN的长.
【答案】(1)⃗AN = 1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
(2)√10.
【分析】（1）根据空间向量的加减运算以及数乘运算，即可求得答案；
（2）结合（1）的结论，利用|⃗AN|=√(
1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c)
2
，结合数量积的运算律，即可求得答案.
27
【详解】（1）由题意得⃗AN =⃗AC +⃗CN =⃗AC + 1
2⃗CP =⃗AC + 1
2 (⃗AP−⃗AC)
= 1
2⃗AC + 1
2⃗AP = 1
2⃗AB+ 1
2⃗AD+ 1
2⃗AP = 1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c;
（2）由已知，得|⃗a|=|⃗b|=2，|⃗c|= 4，⃗
a
2=⃗b
2= 4，⃗c
2=16,⃗
a⋅⃗b=2×2×cos90° =0，⃗a⋅⃗c =⃗b⋅⃗c =2×4×cos60° = 4,
所以|⃗AN|=√(
1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c)
2
= 1
2 √⃗a
2+⃗b
2+⃗c
2+2(⃗a⋅⃗b+⃗a⋅⃗c +⃗b⋅⃗c)= 1
2 √4 + 4+16+2(0+ 4 + 4)=√10,
所以AN的长为√10.
18．（23-24 高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥
的棱长都相等，记⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗
OC =⃗c，点E在棱OC上，OC = 4OE .
(1)若D 是棱AB的三等分点（靠近点A），用向量⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃗DE；
(2)若D 是棱AB的中点，⃗BE·⃗OD =−5，求三棱锥的棱长.
【答案】(1)⃗DE =−2
3⃗a−1
3⃗b+ 1
4⃗c
(2)m=2√2
【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合⃗BE⋅⃗OD =(
1
4⃗c−⃗b)⋅(
1
2⃗a+ 1
2⃗b)求解即可.
【详解】（1）⃗DE =⃗DA +⃗AO+⃗OE = 1
3⃗BA +⃗OE−⃗OA = 1
3 (⃗OA −⃗OB)+ 1
4⃗OC −⃗OA =−2
3⃗a−1
3⃗b+ 1
4⃗c.
（2）因为三棱锥O−ABC的棱长都为m，所以三棱锥各面都是正三角形，
则⃗a
2=⃗b
2=⃗c
2=m
2，⃗a⋅⃗b=⃗a⋅⃗c =⃗c⋅⃗b= m
2
2 ，⃗BE =⃗OE−⃗OB = 1
4⃗c−⃗b， ⃗OD = 1
2⃗a+ 1
2⃗b，
所以⃗BE⋅⃗OD =(
1
4⃗c−⃗b)⋅(
1
2⃗a+ 1
2⃗b)= 1
8⃗c⋅⃗a+ 1
8⃗c⋅⃗b−1
2⃗b⋅⃗a−1
2⃗b
2 =−5
8 m
2=−5，
28
又因为m>0，所以m=2√2
19 ．（23-24 高二下· 江苏常州· 阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，
AB = AD =1, A A1=2,∠BAD =π
2 ,∠BA A1=∠DA A1=π
3 ．
(1)用向量⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1表示向量⃗B D1，并求|⃗B D1|；
(2)求cos⟨⃗B D1,⃗AC⟩．
【答案】(1)⃗B D1=⃗AD +⃗A A1−⃗AB，|⃗B D1|=√6
(2)√3
3
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1）⃗B D1=⃗A D1−⃗AB =⃗AD+⃗A A1−⃗AB，
则|⃗B D1|
2=(⃗AD +⃗A A1−⃗AB)
2=⃗AD
2+⃗A A1
2+⃗AB
2+2⃗AD⋅⃗A A1−2⃗AD⋅⃗AB−2⃗AB⋅⃗A A1
=1+ 4+1+2×1×2× 1
2 −0−2×2×1× 1
2 =6，
所以|⃗B D1|=√6.
（2）由空间向量的运算法则，可得⃗AC =⃗AB+⃗AD，
因为AB = AD =1, A A1=2且∠BAD =π
2 ,∠BA A1=∠DA A1=π
3 ，
所以|⃗AC|=√|⃗AB+⃗AD|
2=√|⃗AB|
2+2|⃗AB|⋅|⃗AD|cos π
2 +|⃗AD|
2
=√1+0+1=√2，⃗
B D1⋅⃗AC =(⃗AD +⃗A A1−⃗AB)⋅(⃗AB+⃗AD)
=⃗AD⋅⃗AB+⃗AD
2+⃗A A1⋅⃗AB+⃗A A1⋅⃗AD−⃗AB
2−⃗AD⋅⃗AB
=1×1×cosπ
2 +1
2+2×1×cosπ
3 +2×1×cosπ
3 −1
2−1×1×cosπ
2 =2，
则cos⟨⃗B D1,⃗AC⟩=⃗B D1⋅⃗AC
|⃗B D1|⋅|⃗AC|
=
2
√6×√2 = √3
3 .
29
