1
1.1.2 空间向量基本定理
课程标准
学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基
本定理及其意义;
2.通过选取适当的基底将空间向量进行分
解，从而使用“基底法”解决空间中的线线
垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而
展现出空间向量基本定理的重要作用;
1.理解空间向量基本定理的概念和原理
2.掌握空间向量基本定理的运用方法
3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能
力。
知识点01 空间向量的基本定理
空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组
（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性
表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即学即练1】（2023 高二上·全国·专题练习）已知{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一组基底，则可以与向量⃗p=⃗a+⃗b，⃗
q =⃗a−⃗b构成基底的向量是（ ）
A．⃗a
B．⃗b
C．⃗a+2⃗b
D．⃗a+⃗c
【即学即练2】（23-24 高二上·重庆·期末）正方体ABCD−A1B1C1 D1中的有向线段，不能作为空间中的
基底的是（ ）
A．{⃗AB ,⃗AC ,⃗AD}
B．{⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1}
C．{⃗AB ,⃗A B1,⃗A D1}
D．{⃗A B1,⃗A C1,⃗A D1}
2
难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥P−ABC中，点P 在平面ABC 内的投影为D，四边
形ABCD 为正方形，若AB = PD =1，记⃗BA =⃗a，⃗BC =⃗b，⃗PD =⃗c，则下列说法正确的是（ ）
A．{⃗a,⃗b,⃗c}为一组单位正交基底
B．⃗BP =⃗a+⃗b+⃗c
C．三棱锥P−ABC的体积为1
6
D．三棱锥P−ABC的外接球表面积为3 π
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23 高二上·广东佛山·阶段练习）若{⃗e1,⃗e2,⃗e3}是空间的一个基底，且向量⃗OA =2⃗e1+⃗e2+⃗e3，⃗
OB =⃗e1−⃗e2+2⃗e3，⃗OC =k⃗e1+3⃗e2+⃗2e3不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．8
3
B．5
C．−5
D．−1
3
变式1．（23-24 高二上·贵州安顺·期末）p: ⃗a，⃗b，⃗c是三个不共面的单位向量，q: {⃗a,⃗b,⃗c}可为空间的
一个基底，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
变式2．（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·期末）若{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的
是（ ）
A．⃗b，⃗c，⃗a+⃗b
B．⃗b，⃗a+⃗c，⃗a+⃗b
C．⃗a−⃗b，⃗c，⃗a+⃗b
D．⃗a−⃗b，⃗c−⃗b，⃗c−⃗a
3
变式3．（23-24 高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基{⃗a,⃗b,⃗c}，则可以与向量⃗a−2⃗b−⃗c，⃗a+⃗b+⃗c
构成空间的另一组基的向量是（ ）
A．2⃗a+2⃗b
B．2⃗a−⃗b
C．3⃗a+⃗c
D．3⃗b+2⃗c
变式4．（23-24 高二上·广东东莞·期中）若{⃗e1,⃗e2,⃗e3}是空间的一个基底，且向量⃗a=⃗e1+⃗e2，⃗b=⃗e2−⃗e3，⃗
c =⃗e1+t⃗e3不能构成空间的一个基底，则t =（ ）
A．−1
B．1
C．0
D．−2
变式5．（多选）（23-24 高二下·江苏南京·期中）已知向量⃗a,⃗b,⃗c能构成空间的一组基底，则能与向量⃗
m=⃗a−⃗b,⃗n=⃗b−⃗c构成空间另一组基底的向量是（ ）
A．⃗a−⃗c
B．⃗a+⃗c
C．⃗a+⃗b
D．⃗a+⃗b+⃗c
变式6．（多选）（23-24 高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量⃗a，⃗b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则⃗a，⃗b共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，则{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}也是空间的一个基底
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为
一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24 高二上·西藏山南·期末）在四棱锥C −OADB中，底面OADB为平行四边形，E 为AC的中点，
F 为BD的中点，⃗OA =⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC =⃗c，则⃗EF =（ ）
A．⃗b−1
2⃗c
B．⃗a−⃗b−1
2⃗c
4
C．⃗a−1
2⃗b−⃗c
D．1
2⃗a+ 1
2⃗b−⃗c
变式1．（23-24 高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD 中，令⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗AD =⃗c，且
M，G 分别是BC，CD 的中点，则⃗MG+⃗AG等于（ ）
A．−1
2⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
B．⃗a+ 1
2⃗b+⃗c
C．−1
2⃗a+⃗b+⃗c
D．−1
2⃗a+ 1
2⃗b−⃗c
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，
M为A1C1与B1 D1交点，∠BAD =∠BA A1=∠DA A1=60°，则BM的长为（ ）
A．√5
4
B．√3
4
C．√5
2
D．√3
2
变式3．（24-25 高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB、
BC、CD、DA 的中点，用⃗BA，⃗BD，⃗BC表示⃗EG，则⃗EG = ．
变式4．（24-25 高二上·上海·课后作业）在正三棱锥A −BCD中，点O 为三角形BCD 的中心，⃗
AO = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗AD，则xyz = ．
变式5．（22-23 高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的所有棱长均为1，
∠A1 AB =∠A1 AD =∠BAD =π
4 ，则⃗A C1
2= ．
变式6.（24-25 高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥S−ABC中，点E、F 分别是SA、BC 的中点，点
5
G 在EF 上，且满足EG
GF = 1
2，若⃗SA =⃗a，⃗SB =⃗b，⃗SC =⃗c，则⃗SG = ．
变式7．（23-24 高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各
种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC −A1B1C1中，M , N分
别是A1C1，B B1的中点，G是MN的中点，若⃗AG = x⃗AB+ y⃗A A1+ z⃗AC，则x + y + z = .
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc 叫做向量a，b，c 的线性表达式或线性组合，或者说p 可以由a，b，c 线性
表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c 不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不
是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向
量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24 高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体OABC中，点M , N分别为线段OA ,BC的中点，
若⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y −z的值为（ ）
A．−1
2
B．1
4
C．1
2
D．1
6
变式1．（23-24 高二上·广东·期末）如图，在三棱台ABC −A1B1C1中，A1B1=2 AB，N是B1C1的中点，
G是CN的中点，若⃗A1G = x⃗A1B1+ y⃗A1C1+ z⃗A1 A，则x + y + z =（ ）
A．3
4
B．1
C．5
4
D．3
2
变式2．（23-24 高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC 中，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上
设⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y + z =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
变式3．（22-23 高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面是平行四边形，点E 在线
段DC 上，满足⃗DE =2⃗EC，⃗E A1= x⃗AB+ y⃗AD+ z⃗A A1，则x + y + z =（ ）
A．-2
3
B．2
3
C．−4
3
D．4
3
变式4．（23-24 高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC 中，点M、N 分别为线段OA、BC 的中点，
若⃗MN = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y + z = ．
变式5．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗AB =⃗a，⃗
AD =⃗b，⃗A A1=⃗c，点M 是A1 D1的中点，点N是C A1上的点，且⃗CN = 1
5⃗C A1，若⃗MN = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，
则x + y + z = .
7
变式6 ．（23-24 高二上·广东揭阳·阶段练习）{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一个基底，向量⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c，
{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c }是空间的另一个基底，向量⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c，则x−y = ．
变式7．（2019 高三·浙江·专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗
A A1=⃗c，E , F分别是A D1,BD的中点.
(1)用向量⃗a,⃗b,⃗c表示⃗D1B ,⃗EF；
(2)若⃗D1 F = x⃗a+ y⃗b+ z⃗c，求实数x，y，z 的值.
一、单选题
1．（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）已知向量⃗m=3⃗a+2⃗b−⃗c，则向量⃗m在⃗b上的投影为（ ）
A．3
B．2
C．-1
D．4
2．（21-22 高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，点M 为棱AB 的中点，点N 为上底
面A1B1C1的中心，用空间的一组基{⃗CA ,⃗CB ,⃗C C1}表示⃗MN，则（ ）
A．⃗MN = 1
6⃗CA −1
6⃗CB+⃗C C1
B．⃗MN =−1
6⃗CA −1
6⃗CB+⃗C C1
C．⃗MN =−1
6⃗CA + 1
6⃗CB+⃗C C1
D．⃗MN = 1
6⃗CA + 1
6⃗CB+⃗C C1
3．（23-24 高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD 中，点M，N 满足⃗AB =2⃗MB，⃗CN =2⃗ND，若⃗
MN = x⃗AB+ y⃗AC + z⃗AD，则x + y + z =（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．1
2
D．1
8
4．（23-24 高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗
A A1=⃗c，则与向量⃗D1B相等的是（ ）
A．⃗a+⃗b+⃗c
B．⃗a+⃗b−⃗c
C．⃗a−⃗b−⃗c
D．−⃗a−⃗b+⃗c
5．（23-24 高二上·山东·阶段练习）若{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是
（ ）
A．{⃗b+⃗c ,⃗a+⃗c ,⃗a−⃗b}
B．{⃗a+⃗b+⃗c , 1
2⃗a+⃗b, 1
2⃗a+⃗c}
C．{⃗a−⃗b+⃗c ,⃗a−⃗b,⃗a+⃗c}
D．{⃗b−⃗c ,⃗a+⃗b,⃗a+⃗c}
6．（22-23 高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量⃗a,⃗b,⃗c，下列命题正确的是（ ）
A．若⃗a与⃗b共线，⃗b与⃗c共线，则⃗a与⃗c共线
B．若⃗a,⃗b,⃗c非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若⃗a,⃗b,⃗c不共面，那么对任意一个空间向量⃗p，存在唯一有序实数组(x , y , z)，使得p
→
= x a
→
+ y b
→
+ z c
→
D．若⃗a,⃗b不共线，向量⃗c = λ⃗a+ μ⃗b（λ , μ∈R且λμ≠0），则{⃗a,⃗b,⃗c}可以构成空间的一个基底
7 ．（23-24 高二上· 全国· 课后作业）当|⃗a|=|⃗b|≠0，且⃗a、⃗b不共线时，⃗a+⃗b与⃗a−⃗b的关系是
（ ）
A．共面
B．不共面
C．共线
D．无法确定
8．（22-23 高二下·安徽池州·阶段练习）已知{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一组基底，其中⃗AB =2⃗a−3⃗b，⃗AC =⃗a−⃗c，⃗
AD =2⃗b+ λ⃗c.若A，B，C，D 四点共面，则λ=（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．4
3
D．−4
3
二、多选题
9．（23-24 高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是(0,π
2 ]
B．若直线l 与平面α相交，则该直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,π
2 ]
C．二面角的平面角的取值范围是(0,π
2 ]
D．若⃗a，⃗b，⃗c是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得x⃗a+ y⃗b+ z⃗c =⃗0
9
10．（22-23 高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的O，A，B，C满足⃗OC = 1
3⃗OA + 2
3⃗OB，则A，B，C三点共线
B．空间中三个向量⃗a，⃗b，⃗c，若⃗a//⃗b，则⃗a，⃗b，⃗c共面
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若⃗OP =2⃗OA +2022⃗OB−2023⃗OC，则P，A，B，C
四点共面
D．设{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一组基底，若⃗m=⃗a+⃗b，⃗n=⃗a−⃗b，则{⃗m,⃗n,⃗c }不能为空间的一组基底
11．（19-20 高二·全国·课后作业）（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若⃑AB，⃑
AC，⃑AD与⃑AB，⃑AC，⃑AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．⃑AB，⃑AD，⃑AE不能构成空间的一个基底
B．⃑AC，⃑AD，⃑AE不能构成空间的一个基底
C．⃑BC，⃑CD，⃑DE不能构成空间的一个基底
D．⃑AB，⃑CD，⃑EA能构成空间的一个基底
三、填空题
12．（23-24 高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，D，E 分别是线段B1C1，A1 D
的中点，设⃗AA1=⃗a，⃗AB =⃗b，⃗AC =⃗c.用⃗a，⃗b，⃗c表示⃗AE = .
13．（23-24 高二上·山东威海·阶段练习）已知ABCD−A
' B
'C
' D
'是平行六面体．设M是底面ABCD的中
心，N是侧面BC C
' B
'的对角线BC
'上的点，且BN : N C
' =3:1，设⃗MN =α⃗AB+ β⃗AD + γ⃗A A
'，
α + β + γ = ．
14．（23-24 高二上·贵州·开学考试）{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，向量⃗p=3⃗a+⃗b+⃗c，{⃗a+⃗b,⃗a−⃗b,⃗c}是空
间的另一个基底，向量⃗p= x(⃗a+⃗b)+ y(⃗a−⃗b)+⃗c，则x + y = .
四、解答题
15．（23-24 高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体ABCD−A1B1C1 D1，点E在棱C C1的延长线上，
10
且|C1 E|=|C C1|．设⃗A A1=⃗a，⃗AB =⃗b，⃗AD =⃗c，试用⃗a、⃗b、⃗c的线性组合表示下列向量：
(1)⃗A C1；
(2)⃗D1B1；
(3)⃗B D1；
(4)⃗AE．
16．（23-24 高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥P−ABC中，PA = 4，PB =5，PC =3，
∠APB =∠BPC =60°，∠CPA =90°，D，E分别是PA，BC的中点，点F在DE上，且⃗DF =2⃗FE，记⃗
PA =⃗a，⃗PB =⃗b，⃗PC =⃗c．
(1)试用基底{⃗a,⃗b,⃗c}表示向量⃗PE，⃗DE，⃗PF；
(2)求⃗PA ⋅⃗PB和⃗PF ⋅⃗AC的值．
17．（23-24 高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方形，侧
棱PA的长为4，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，N是PC的中点，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗AP =⃗c.
(1)用基底{⃗a,⃗b,⃗c }表示向量⃗AN；
11
(2)求AN的长.
18．（23-24 高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥
的棱长都相等，记⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗
OC =⃗c，点E在棱OC上，OC = 4OE .
(1)若D 是棱AB的三等分点（靠近点A），用向量⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃗DE；
(2)若D 是棱AB的中点，⃗BE·⃗OD =−5，求三棱锥的棱长.
19 ．（23-24 高二下· 江苏常州· 阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，
AB = AD =1, A A1=2,∠BAD =π
2 ,∠BA A1=∠DA A1=π
3 ．
(1)用向量⃗AB ,⃗AD ,⃗A A1表示向量⃗B D1，并求|⃗B D1|；
(2)求cos⟨⃗B D1,⃗AC⟩．
