1
1.1.1 空间向量及其运算
课程标准
学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反
向量、相等向量、共线向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向
量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远
算律，
3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法
4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计
算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要
用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量
的共线与垂直。
1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法:
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它
们的运算律:
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体
几何中的问题.
2
知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为
AB，模为|AB|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23 高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果|⃗a|=0，则⃗a=⃗0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【即学即练2】（21-22 高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若⃑a≠⃑b，则|⃑a|≠|⃑b|
B．若|⃑a|>|⃑b|，则⃑a>⃑b
C．若⃑a=⃑b，则|⃑a|=|⃑b|
D．若|⃑a|=|⃑b|，则⃑a=⃑b
3
知识点02 几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1 的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有
向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24 高二上·福建泉州·期中）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，与向量⃗A D1相反的向
量是（ ）
A．⃗C1B
B．⃗BC1
C．⃗B1 A
D．⃗A B1
【即学即练4】（23-24 高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =3，
AD =2，A A1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与⃗AB相等的所有向量．
(3)试写出⃗A A1的相反向量．
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
名称
运算法则
特点
图示
加法运算
三角形法则
首尾相接首尾连（通过
平移）
平行四边形法则
起点相同（共起点）
（通过平移）
减法运算
平行四边形法则
起点相同连终点，被减
向量定指向。
4
数乘运算
实数λ的作用：正负定方向，数值定模比
【即学即练5】（23-24 高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，则⃗
AF −1
2 (⃗AB+⃗AC )=（ ）
A．−⃗EF
B．⃗BD
C．⃗EF
D．−⃗BD
【即学即练6】（24-25 高二上·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，点M ,G分别是BC和CD的中点，
则⃗AB+ 1
2 (⃗BD+⃗BC)=（ ）
A．⃗AD
B．⃗GA
C．⃗AG
D．⃗MG
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μ⃗a)＝(λμ)⃗a；②(λ＋μ)⃗a＝λ⃗a＋μv；③λ(⃗a＋⃗b)＝λ⃗a＋λ⃗b；
【即学即练7】（21-22 高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．⃗a+⃗b−(⃗a+⃗b)=2⃗a
B．2(⃗a+⃗b)+⃗c =2⃗a+⃗b+⃗c
C．3(⃗a−⃗b)+3(⃗a+⃗b)=0
D．⃗a+⃗b−(⃗b−3⃗c)=⃗a+3⃗c
【即学即练8】（23-24 高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)3(2⃗a−⃗b−4⃗c)−4(⃗a−2⃗b+3⃗c)；
(2)⃗OA −[⃗OB−(⃗AB−⃗AC)].
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量
.
向量a 与b 平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24 高二上·河北邯郸·期末）已知⃗x ,⃗y ,⃗z是不共面的空间向量，若⃗p=3⃗x−2⃗y −4⃗z与
5⃗
q =(m+1)⃗x +8⃗y +n⃗z（m,n是实数）是平行向量，则m+n的值为（ ）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
【即学即练10】（22-23 高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量⃗e1,⃗e2不共线，则使2k⃗e1−⃗e2与⃗
e1+2(k +1)⃗e2共线的k 的值为 .
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1 图2
(1)如图1，OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b．
(2)如图2，DA＋DC＋DD1＝DB1．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同
始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ 与任意一个空间向量a，则实数λ 与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，
记作λa．其中：
①当λ≠0 且a≠0 时，λa 的模为| λ || a | ，而且λa 的方向：
(ⅰ)当λ＞0 时，与a 的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0 时，与a 的方向相反．
②当λ＝0 或a＝0 时，λa＝0．
【即学即练11】（23-24 高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC −A1B1C1中，E是BC的中点，⃗AG =2⃗GE，
则⃗GC1=（ ）
A．1
3⃗AB−2
3⃗AC +⃗A A1B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
C．−1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
D．−1
3⃗AB+ 2
3⃗AC −⃗A A1
【即学即练12】（23-24 高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，设⃗
A A1=⃗a,⃗AB =⃗b,⃗AD =⃗c，M , N , P分别是A A1,BC ,C1 D1的中点，试用⃗a,⃗b,⃗c表示以下各向量：
6
(1)⃗AP；
(2)⃗A1 N；
(3)⃗MP.
知识点07 空间两个向量的夹角
1. 夹角
定义
a,b 是空间两个向量，过空间任意一点O，作⃗OA =a，⃗OB =b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,b 的
夹角。
图示
表示
〈
a , b 〉
.
范围
[0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b 方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b 方向 相反;
（3）若〈a,b〉=π
2 ,则向量a,b 互相垂直
，
记作a⊥b
【即学即练13 】（22-23 高二下· 江苏· 课后作业）在正四面体ABCD 中，⃗BC与⃗CD的夹角等于
（ ）
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
【即学即练14】（22-23 高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量⃗AC分别与
向量⃗A
' B
'，⃗B
' A
'，⃗A D
❑
'，⃗C D
❑
'，⃗B
' D
'的夹角．
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知识点08 空间两个向量的数量积
1. 空间向量的数量积的定义
定义
已知两个非零向量a,b,则
| a || b |cos
〈
a , b 〉
叫做a,b 的数量积,记作
a · b .即a·b=|a||b|cos
〈a,b〉.
规定
零向量与任意向量的数量积为
0
2.空间向量数量积的运算律
交换律
a·b= b · a
结合律
(λa)·b=⑩
λ ( a · b ) ,λ∈R
分配律
a·(b+c)= a · b + a · c
3.空间向量数量积的性质
①若a,b 为非零向量,则a⊥b⇔ a · b = 0 ;
②若a,b 同向，a·b=|a||b|；若a,b 反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=√aa
2
③若θ为a,b 的夹角，则cosθ = aaa·b
|a||b|
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2 个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=ac⟹b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
【即学即练15】（22-23 高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 ⃗CE = ⃗ED，⃗AF
=2 ⃗FD，则向量⃗BE⋅⃗CF =（ ）
A．− 1
3
B．1
3
C．− 1
2
D．1
2
【即学即练16】（23-24 高二下·江苏常州·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是BC的中点，则
8⃗
AM ⋅⃗CD的值为 ．
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量⃗OA=a，⃗OB=b，如图，过点A 作AA1⊥0B，垂足为A1.
上述由向量a 得到向量⃗O A1的变换称为向量a 向向量b 投影，向量⃗O A1称为向量a 在向量b 上的投影向量.
②几何意义：向量a，b 的数量积就是向量a 在向量b 上的投影向量与向量b 的数量积，即a·b=⃗O A1b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=⃗CD，过C，D 分别作平面α 的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量⃗C1 D1.我们将上述由
向量m 得到向量⃗C1 D1的变换称为向量m 向平面α 投影，向量⃗C1 D1称为向量 m 在平面α 上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n 的数量积就是向量m 在平面α 上的投影向量与向量n 的数量积，即m∙n=⃗
C1 D1∙n
【即学即练17】（2023 高二·全国·专题练习）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩
形，则⃗BP在向量⃗AD上的投影向量为 .
【即学即练18】（2023 高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，向量⃗
AB在向量⃗A1C1上的投影向量是 ，向量⃗AB在平面BD D1B1上的投影向量是 ．
知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
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2.共面向量定理
如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得
p=xa+yb,即向量p 可以由两个不共线的向量a，b 线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知⃗OA，⃗OB，⃗OC不共面，若⃗OP=x⃗OA+y ⃗OB+z⃗OC，且x+y+z =1，则P，A，B，C 四点共面.
注意：
（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23 高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O 和不共线三点A，B，C，且有
6⃗OP =⃗OA +2⃗OB+3⃗OC，则（ ）
A．O，A，B，C 四点共面
B．P，A，B，C 四点共面
C．O，P，B，C 四点共面
D．O，P，A，B，C 五点共面
【即学即练20】（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M 与A，B，C 不一定共面的
是（ ）
A．⃗OM =3⃗OA −2⃗OB−⃗OC
B．⃗OM +⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0
C．⃗MA +⃗MB+⃗MC =⃗0 D．⃗OM = 1
4⃗OB−⃗OA + 1
2⃗OC
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24 高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC 中，M 是BC 的中点，⃗MN =2⃗NO，设⃗
OA =⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC =⃗c，用⃗a,⃗b,⃗c表示向量⃗AN ，则⃗AN =
难点：向量共面问题
示例2：（22-23 高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体ABCD - A1B1C1 D1中，M、N分别是棱
B B1、D D1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M、N、P三点的平面α交棱BC于Q，设⃗
BQ = λ⃗BC，则λ = .
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【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24 高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
变式1．（多选）（23-24 高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设⃗a，⃗b是两个空间向量，则⃗a⋅⃗b=⃗b⋅⃗a
B．若空间向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=±⃗b
C．若空间向量⃗m，⃗n，⃗p满足⃗m=⃗n，⃗n=⃗p，则⃗m=⃗p
D．在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，必有⃗AC =⃗A1C1
变式2．（多选）（23-24 高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
11
B．若向量⃗AB ,⃗CD满足|⃗AB|>|⃗CD|，且⃗AB与⃗CD同向，则⃗AB>⃗CD
C．若两个非零向量⃗AB与⃗CD满足⃗AB+⃗CD =⃗0，则⃗AB ,⃗CD为相反向量
D．⃗AB =⃗CD的充要条件是A与C重合，B与D重合
变式3．（23-24 高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =3，AD =2，
A A1=1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)试写出与⃗AB相等的所有向量．
(2)试写出⃗A A1的相反向量．
变式4．（23-24 高二上·上海·课后作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，点E为棱B1C1上任意
一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：
(1)⃗AB的相等向量，⃗A1B的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示⃗B B1；
(3)用三个或三个以上向量的和表示⃗BE．
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传
递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两
个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24 高二下·北京·阶段练习）在四面体OABC中，记⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗OC =⃗c，若点M、N 分别
为棱OA、BC 的中点，则⃗MN =（ ）
12
A．1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
B．−1
2⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
C．1
2⃗a−1
2⃗b+ 1
2⃗c
D．1
2⃗a+ 1
2⃗b−1
2⃗c
变式1．（23-24 高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD−A
' B
'C
' D
'，则下列四式中错误的是
（ ）
A．⃗AB−⃗CB =⃗AC
B．⃗A C
' =⃗AB+⃗B
'C
' +⃗C C
'
C．⃗A A
' =⃗C C
'
D．⃗AB+⃗B B
' +⃗BC +⃗C
'C =⃗A C
'
变式2．（23-24 高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥P−ABC中，M , N分别是棱AB , PC的中点，则
1
2⃗AB+ 1
2⃗BC + 1
2⃗BP+⃗NA =（ ）
A．⃗BM
B．⃗MB
C．⃗BA
D．⃗MN
变式3 ．（23-24 高二上· 河北· 阶段练习）在四面体OABC中，⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗OC =⃗c，⃗
OM = λ⃗MA (λ>0)，N为BC的中点，若⃗MN =−3
4⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c，则λ=（ ）
A．1
3
B．3
C．1
2
D．2
变式4．（23-24 高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM
上，点P在线段AN上，且MN = 1
2 ON , AP = 3
4 AN，设向量⃗OP = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC，则x + y + z =
（ ）
13
A．11
12
B．1
C．3
4
D．5
6
变式5．（多选）（23-24 高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，E
为PC的中点，则（ ）
A．⃗PA =⃗PB+⃗PD−⃗PC B．⃗PA =⃗PB+⃗PC −⃗PD
C．⃗AB+⃗AD+⃗AP =⃗AE D．⃗AB+⃗AD+⃗AP =2⃗AE
变式6．（多选）（23-24 高二上·山西长治·期末）在三棱锥O−ABC中，⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗OC =⃗c，点
M在直线OA上，且OM =2 MA，N是BC的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．⃗ON = 1
2 (⃗a+⃗b)
B．⃗MN =−2
3⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
C．⃗NA = 1
2 (⃗NO+⃗NM ) D．⃗CM =−2
3⃗a−⃗c
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25 高二上·上海·课后作业）设⃗e1，⃗e2是空间两个不共线的非零向量，已知⃗AB =2⃗e1+k⃗e2，⃗
BC =⃗e1+3⃗e2，⃗DC =2⃗e1−⃗e2，且A、B、D 三点共线，则实数k 的值为（ ）
A．-8
B．-4
C．-2
D．8
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知⃗e1，⃗e2，⃗e3不共面，若⃗AB =⃗e1+⃗e2+⃗e3，⃗BC =⃗e1+ λ⃗e2+ μ⃗e3，
且A ,B ,C三点共线，则λ+ μ=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
变式2．（20-21 高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P 满足⃑OP =m⃑OA +n⃑OB，其中m
14
＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P 可能在直线AB 上
D．以上都不对
变式3．（多选）（21-22 高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（
）
A．若⃑a与⃑b共线，⃑b与⃑c共线，则⃑a与⃑c共线
B．向量⃑a，⃑b，⃑c 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量⃑AB，⃑CD，满足⃑AB+⃑CD =⃑0，则⃑AB∥⃑CD
D．若⃑a∥⃑b，则存在唯一的实数λ，使⃑a=λ⃑b
变式4．（多选）（23-24 高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1中，P为空间一
动点，若⃗BP = λ⃗BC + μ⃗B B1(λ , μ∈[0,1])，则（ ）
A．若λ = μ，则点P的轨迹为线段BC1
B．若λ+ μ=1，则点P的轨迹为线段B1C
C．存在λ , μ∈(0,1)，使得AP⊥BC
D．存在λ , μ∈(0,1)，使得AP ∥平面A1B1C1
变式5．（21-22 高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 在A1 D1上，且⃗
A1 E =2⃗E D1，F 在对角线A1C 上，且⃗A1 F = 2
3⃗FC .若⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b,⃗A A1=⃗c.
（1）用⃗a,⃗b,⃗c表示⃗EB.
（2）求证：E，F，B 三点共线.
变式6．（21-22 高二·湖南·课后作业）已知向量⃗a，⃗b，⃗c不共面，⃗AB = 4⃗a+5⃗b+3⃗c，⃗AC =2⃗a+3⃗b+⃗c，
15⃗
AD =6⃗a+7⃗b+5⃗c．求证：B，C，D 三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb 成立，为此常结合题目图形，运用
空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使⃗PA = λ⃗PB.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24 高二上·北京房山·期中）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗A A1⋅⃗BC1=
（ ）
A．2√2
B．4√2
C．2
D．4
变式1．（19-20 高二上·广东广州·期末）在空间四边形ABCD中，⃗AB·⃗CD +⃗AC ·⃗DB+⃗AD·⃗BC等于
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．不确定
变式2．（23-24 高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ,|⃗a|=2,|⃗b|=3，则⃗
a⋅(⃗a+3⃗b)= ．
变式3．（2023 高二·全国·专题练习）正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则⃗
EF ⋅⃗DC = ．
变式4．（21-22 高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边长都等于1，点E，F
分别是AB，AD 的中点，则⃗EF ⋅⃗BA的值为 .
变式5．（22-23 高二上·全国·期中）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =√2，则⃗AB⋅⃗DC1= ．
变式6．（23-24 高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体ABCD−A1B1C1 D1,AD = A A1=2,AB =6,点E
在棱C C1的延长线上,且|C1 E|=|C C1|.设⃗A A1=⃗a,⃗AB =⃗b,⃗AD =⃗c.
16
(1)试用⃗a,⃗b,⃗c表示向量⃗AE;
(2)求⃗AD⋅⃗B D1.
变式7．（22-23 高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2 的正四面体ABCD 中，E，F 分别是
AB，AD 的中点，求：
(1)⃗EF·⃗BA；
(2)⃗EF·⃗BD；
(3)⃗AB·⃗CD.
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ 的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成⃗a∙⃗b；今后要学到两个向量的外积⃗ax⃗b，而ab 是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 ⃗a≠⃗0，且⃗a∙⃗b=0，不能推出（⃗b=⃗0），因为其中cosθ 有可能为0
4.在实数中，有（ab）c =a(bc)，但是（⃗a∙⃗b）⃗c=⃗a（⃗b∙⃗c
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20 高二上·安徽滁州·期末）已知⃗a,⃗b是两个空间向量，若|⃗a|=2,|⃗b|=2，|⃗a−⃗b|=√7，则
cos〈⃗a,⃗b 〉＝ .
变式1．（23-24 高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的所有棱长都相等，且
∠BAD =∠A1 AB =∠A1 AD = 45°，则直线C D1与直线AD所成角的余弦值为 .
变式2．（2023 高二·全国·专题练习）如图，在正四面体OABC中，E，F分别为AB，OC的中点，则⃗OE
与⃗BF的夹角的余弦值为 ．
变式3 ．（23-24 高二上· 全国· 课后作业）已知a,b是异面直线，A ∈a,B∈a,C ∈b, D∈b，
AC ⊥b,BD⊥b，且AB =2,CD =1，则a与b所成的角为 ．
变式4．（23-24 高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体ABCD−A
' B
'C
' D
'中，底面ABCD是边长
为1 的正方形，侧棱A A
'的长为2，且∠A
' AB =∠A
' AD =120
°. 求：
17
(1)A C
'的长；
(2)直线B D
'与AC所成角的余弦值.
变式5．（23-24 高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形OABC中，OB =OC ,∠AOB =∠AOC =π
3 ，
求cos⟨⃗OA ,⃗BC⟩的值.
变式6．（22-23 高二·全国·课堂例题）如图，长方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长AB = 4，AD =2，
A A1=2．
(1)求|⃗A C1|；
(2)求⃗A C1与⃗BD所夹角θ的余弦值．
变式7．（2023 高二·全国·专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长是a，C D1和DC1相交于
点O．
(1)求⃗C D1⋅⃗CD；
(2)求⃗AO与⃗CB的夹角的余弦值
(3)判断⃗AO与⃗C D1是否垂直．
【方法技巧与总结】
1.两异面直线所成角的范围是（0，π
2 ]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的
角时，要注意角度的转化；
2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
18
①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小
④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对
值，继而求角的大小
【题型6：利用空间向量求长度】
例6 ．（23-24 高二上· 河南· 阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，AB = AC =2，AP =3，
cos∠BAP =cos∠CAP = 1
3，cos∠BAC = 1
4 ，E为BC的中点，F为AE的中点，O为△BCP的重心，
AO与PF相交于点G，则AG的长为（ ）
A．4
5
B．1
C．5
4
D．3√3
5
变式1．（多选）（23-24 高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b 所成的角为60°，在直线a，b
上分别取点A，O 和点C，B，使AO⊥OC，OC ⊥CB.已知AO = 4，CB =3，AB =7，则线段OC 的长
为（ ）
A．6
B．8
C．2√3
D．√3
变式
2 ．（23-24
高二上· 湖南长沙· 期末）如图所示，已知PA ⊥平面
ABC ,∠ABC =120
∘, PA = AB = BC =6，则|⃗PC|= ．
19
变式3．（2024 高二·全国·专题练习）已知向量⃗a,⃗b,⃗c两两夹角为60°，且|⃗a|=|⃗b|=|⃗c|=1，则|⃗a+⃗b−⃗c|=
．
变式4．（23-24 高二上·山东济宁·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，若底面ABCD是边长为1 的正
方形，A A1=2，∠BA A1=∠DA A1=π
3 ，则四棱柱对角线A C1的长为 ．
变式5．（23-24 高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量⃗a,⃗b,⃗c两两夹角均为60
°，其模均为1，则
|⃗a+2⃗b−3⃗c|= .
变式6．（23-24 高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，M，N分别是A1B，
A1C1上的点，且2BM = A1 M ,C1 N =2 A1 N,设⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗A A1=⃗c．
(1)试用⃗a,⃗b,⃗c 表示向量⃗MN；
(2)若∠BAC =90
∘，∠BA A1=∠CA A1=60
∘，AB = AC = A A1=2，求线段MN的长．
【方法技巧与总结】
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的
向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，
利用公式|⃗a|=√⃗a⃗a求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【题型7：投影向量】
例7．（23-24 高二上·宁夏银川·阶段练习）已知|⃗a|= 4，空间向量⃗e为单位向量，⟨⃗a,⃗e⟩= 2π
3 ，则空间向量⃗
a在向量⃗e方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2
B．−2
C．−1
2
D．1
2
变式1．（23-24 高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱ABC −A1B1C1中，AB⊥AC ,⃗B1 D =3⃗DC1，则向
量⃗AD在向量⃗AB上的投影向量为（ ）
A．2
3⃗AB
B．1
3⃗AB
C．3
4⃗AB
D．1
4⃗AB
变式2．（23-24 高二上·安徽合肥·期中）若空间向量⃗e1，⃗e2满足|⃗e1|=|2⃗e1+⃗e2|=3，则⃗e1在⃗e2方向上投影
的最大值是（ ）
20
A．3
B．0
C．−3√3
2
D．−3
2
变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑
堵，在如图所示的堑堵中，⃗B1 D =2⃗DC1，则（ ）．
A．⃗AD =⃗A A1+ 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．⃗AD =⃗A A1+ 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
C．向量⃗AD在向量⃗AB上的投影向量为2
3⃗AB
D．向量⃗AD在向量⃗AC上的投影向量为2
3⃗AC
变
式
4
．
（
23-24
高
二
上
·
浙
江
杭
州
·
期
中
）
已
知
空
间
向
量⃗
a,⃗b,|⃗a|=1,|⃗b|=2,⃗m=⃗a+⃗b,⃗n= λ⃗a+⃗b,<⃗a,⃗b>=60°，若⃗m⊥⃗n，则λ的值为 ．
变式5．（2023 高二·全国·专题练习）四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则⃗
BP在向量⃗AD上的投影向量为 .
变式6．（21-22 高二上·北京·阶段练习）已知|⃗a|= 4，向量⃗e为单位向量，<⃗a，⃗e>=120
∘，则空间向量⃗a
在向量⃗e方向上投影为 ．
变式7 ．（23-24 高二上· 广东惠州· 期中）如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA ⊥平面ABC，
∠ABC =120°，PA = AB = BC =6，则向量⃗PC在向量⃗BC上的投影向量为 （用向量⃗BC
来表示）.
变式8．（20-21 高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P−ABC中，PA ⊥平面ABC，CB⊥AB，
AB = BC =a，PA =b．
21
(1)确定⃑PC在平面ABC上的投影向量，并求⃑PC ⋅⃑AB；
(2)确定⃑PC在⃑AB上的投影向量，并求⃑PC ⋅⃑AB．
【方法技巧与总结】
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量⃗AB， 在轴l 上投影（空间称为射影）的过程.
已知图形向量⃗AB =⃗a，l 为轴，向量⃗e是l 上与轴l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A’,作点B 在l
上的射影B’，则⃗A ' B’称为向量⃗AB在轴l 上或在⃗e的方向上的正射影；可以证明A’B’=|⃗AB|cos<⃗a,⃗e>。
注意：轴l 上的正射影⃗A ' B’对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量⃗
AB与l 的方向的对应关系，大小代表在l 上射影的长度.
【题型8：共面问题】
例8 ．（23-24 高二上·广东江门·期中）若{⃗a,⃗b,⃗c }是空间的一个基底，则下列向量不共面的是
（ ）
A．⃗c +⃗b，⃗b，⃗c−⃗b
B．⃗a+⃗b，⃗a，⃗a−⃗b
C．⃗a+⃗c，⃗a−⃗c，⃗b
D．⃗a+⃗c，⃗b，⃗a+⃗b+⃗c
变式1．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）设平面α内不共线的三点A，B，C 以及平面外一点P，若平面α
内存在一点D 满足⃗PD = x⃗PA +(2−x) ⃗PB+3 x⃗PC，则x 的值为（ ）
A．0
B．−1
9
C．−1
3
D．−2
3
变式2 ．（23-24 高二上· 四川宜宾· 期中）在四面体OABC中，空间的一个点M满足⃗
OM = 1
4⃗OA + 1
5⃗OB+ λ⃗OC，若M , A ,B ,C四点共面，则λ等于（ ）
A．12
21
B．11
20
C．3
5
D．1
2
变式3．（22-23 高二上·江西·阶段练习）已知点P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若
22⃗
OP =m⃗OA +n⃗OB+2⃗OC，则m+n的值为（ ）
A．1
B．−1
C．2
D．−2
变式4．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体PABC中，对空间内任意一点Q，满足⃗
PQ = x⃗PA + 1
3⃗PB+ 1
4⃗PC，则下列条件中可以确定点Q与A，B，C共面的为（ ）
A．x = 5
12
B．x = 7
12
C．x = 1
2
D．x = 1
8
变式5．（23-24 高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点M , A ,B ,C共面的是
（ ）
A．⃗OM =2⃗OA −⃗OB−⃗OC
B．⃗OM = 1
4⃗OA + 1
4⃗OB+ 1
4⃗OC
C．⃗OM +⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0
D．⃗OM = 1
6⃗OA + 1
3⃗OB+ 1
2⃗OC
变式
6 ．（23-24
高二上· 河南信阳· 期中）已知⃗PA，⃗PB，⃗PC不共面，⃗
PM =(3−x−y)⃗PA + x⃗PB+( y −2)⃗PC，则（ ）
A．∀x，y ∈R，A，B，C，M 四点共面
B．∀x，y ∈R，A，B，C，M 四点不共面
C．∀x，y ∈R，A，B，C，P 四点共面
D．∃x，y ∈R，A，B，C，四点共面
变式7．（22-23 高二上·湖南郴州·阶段练习）O为空间任意一点，若⃗OP= 3
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC，若A、B、
C、P四点共面，则t =（ ）
A．1
B．1
2
C．1
8
D．1
4
【方法技巧与总结】
利用向量法证明向量共面的策略
（1）若已知点P 在平面ABC 内，则有⃗OP=x⃗AB＋y⃗AC或⃗OP=x⃗OA＋y⃗OBz⃗Oc（x+y＋
z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合
成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【题型9：最值取值范围问题】
例9．（23-24 高二上·湖南·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，球O是正方体的内切球，
点G是内切球O表面上的一个动点，则⃗GB⋅⃗GC的取值范围为（ ）
A．[0,4]
B．[2−2√2,0]
C．[4,2+2√2]
D．[2−2√2,2+2√2]
变式1．（22-23 高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如
图所示的鳖臑A −BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC =90°，BD =2 AB =2CD =2，E 是BC 的中点，H
23
是△ABD内的动点（含边界），且EH //平面ACD，则⃗CA ⋅⃗EH的取值范围是（ ）
A．[0,3]
B．[
1
2 ,3]
C．[
1
2 , 11
2 ]
D．[3, 11
2 ]
变式2．（21-22 高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1 的正方形ABCD−A1B1C1 D1中，点P 是
A A1的中点，点M，N 是矩形B B1 D1 D内（包括边界）的任意两点，则⃗PM ⋅⃗PN的取值范围是
（ ）
A．[ 1
4 , 5
4 ]
B．[−1
4 , 5
4 ]
C．[ 1
2 , 5
4 ]
D．[−1
2 , 5
4 ]
变式3 ．（多选）（23-24 高三下· 全国· 强基计划）正四面体ABCD中，棱长为2√2．点P满足
|⃗PA +⃗PB|=2，则⃗AP⋅⃗AD的（ ）
A．最小值为4−2√2．
B．最大值为2+2√2
C．最小值为2−2√2
D．最大值为4+2√2
变式4．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）已知球O的半径为1, AB是球O的直径，点D在球O的球面上.
若空间中一点C与点D间的距离为√3，则⃗CA ⋅⃗CB的最小值为 .
变式5．（23-24 高二上·重庆黔江·阶段练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上
运动，正方体的棱长是2，则⃗PM ⋅⃗PN的最大值是 ，最小值是 .
变式6.（23-24 高二上·上海·期中）已知空间三个向量⃗a,⃗b,⃗c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若
|k⃗a+⃗b+⃗c|>√6，则k 的取值范围为 ．
变式7．（22-23 高二·浙江温州·阶段练习）正四面体A - BCD的棱长为2，空间动点P满足|⃗PB+⃗PC |=2，
24
则⃗PA ⋅⃗PD的取值范围是 .
一、单选题
1．（23-24 高二上·河北·期中）如图，在正三棱台ABC −A1B1C1中，AC =2 A1C1，P为A1B1中点，Q
为PC中点，设⃗AB =⃗a,，⃗AC =⃗b，⃗A A1=⃗c，则⃗AQ可用⃗a，⃗b，⃗c表示为（ ）
A．1
4⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
B．1
8⃗a+ 1
2⃗b+ 1
2⃗c
C．1
8⃗a+ 1
4⃗b+ 1
4⃗c
D．1
8⃗a+ 1
8⃗b+ 1
2⃗c
2．（23-24 高二上·北京西城·期中）如图，E，F 分别是长方体ABCD−A
' B
'C
' D
'的棱AB，CD 的中点，
则⃗AB+⃗CF等于（ ）
A．⃗A D
'
B．⃗A C
'
C．⃗DE
D．⃗AE
3．（21-22 高二上·甘肃陇南·期末）已知⃗a=2⃗i−2⃗j+ λ⃗k，⃗b= 4⃗i−⃗j+5⃗k（⃗i，⃗j，⃗k为两两互相垂直的单位
向量），若⃗a⊥⃗b，则λ =（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
4．（2022 高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥O−ABC中，设⃗OA =⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC =⃗c，若⃗AN =⃗NB，
2⃗BM =5⃗MC，则⃗MN =（ ）
25
A．1
2⃗a+ 1
6⃗b−2
3⃗c
B．1
2⃗a−1
6⃗b+ 2
3⃗c
C．1
2⃗a+ 3
14⃗b−5
7⃗c
D．1
2⃗a+ 5
14⃗b−3
7⃗c
5．（23-24 高二下·江苏·课前预习）已知⃗a=3⃗p−2⃗q ,⃗b=⃗p+⃗q，⃗p,⃗q是相互垂直的单位向量，则⃗a⋅⃗b＝（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6 ．（21-22 高二上· 辽宁沈阳· 阶段练习）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则⃗
AB+ 1
2 (⃗BD +⃗BC )＝（ ）
A．⃗AG
B．⃗CG
C．⃗BC
D．1
2⃗BC
7 ．（23-24 高二下· 甘肃· 期末）在所有棱长均为2 的平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，
∠A1 AB =∠A1 AD =∠BAD =60°，则A C1的长为（ ）
A．2√3
B．2√5
C．2√6
D．6
8 ．（23-24 高二下· 浙江杭州· 期中）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1 ，则
(⃗AB+⃗AD)⋅(⃗AD+⃗A A1)=（ ）
A．1
B．0
C．−1
D．2
二、多选题
9．（23-24 高一下·吉林·期末）已知{⃗a,⃗b,⃗c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．⃗a+2⃗c，⃗a+2⃗b，⃗b−⃗c
B．⃗a+2⃗b，⃗a−⃗b，⃗b−⃗c
C．⃗a−⃗b，⃗a+⃗c，⃗b−⃗c
D．⃗a+⃗b，⃗a+⃗b+⃗c，⃗b+⃗c
10．（23-24 高一下·山东淄博·期中）已知⃗a，⃗b，⃗c是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是
（ ）
A．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b
B．若|⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|，则⃗a⋅⃗b=0
26
C．若|⃗a|=|⃗b|=|⃗a+⃗b|，则⃗a与⃗a−⃗b的夹角为π
3
D．在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，⃗AC =⃗A1C1
11．（23-24 高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1 D1的边长为2, M为A1 D1的中点，动
点P在正方形ABCD内（包含边界）运动，且MP =√5.下列结论正确的是（ ）
A．动点P的轨迹长度为π；
B．异面直线MP与B B1所成角的正切值为2；
C．⃗MP⋅⃗AB的最大值为2；
D．三棱锥P−MAD的外接球表面积为25π
4
.
三、填空题
12．（23-24 高三上·福建福州·期中）已知向量⃗a,⃗b的夹角的余弦值为1
4 ,|⃗a|=2,|⃗b|= 4，则⃗a⋅(⃗b−⃗a)=
13．（23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 ABCD中，⃗AB =⃗a−2⃗c ,⃗CD =5⃗a+6⃗b−8⃗c , E , F分
别为AC ,BD的中点，则⃗EF =
14．（23-24 高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，侧面都是矩形，底面
四边形ABCD是菱形，且AB = BC =2，∠ABC =120
∘，若异面直线A1B和A D1所成的角的大小是90❑
∘，
则A A1的长度是 .
四、解答题
15．（23-24 高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A
' B
'C
' D
'中，AB = 4，AD =3，
A A
' =5，∠BAD =90°，∠BA A
' =60°，求：
27
(1)⃗A A
'⋅⃗AB；
(2)A B
'的长.
16．（23-24 高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD 中，AB =3，BC = 4，AD =5，
∠ABC =∠BAD =120°，AD⊥BC.
(1)求⃗BA ⋅⃗BC；
(2)求CD 的长.
17．（2024 高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC 的棱长为1，M 是棱BC
的中点，点N 满足⃗ON =2⃗NM，点P 满足⃗AP = 3
4⃗AN.
(1)用向量⃗OA ，⃗OB，⃗OC表示⃗OP；
(2)求|⃗OP|.
18 ．（23-24 高二上· 湖北· 期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1 D1的底面是菱形，且
∠C1CB =∠C1CD =∠BCD =60°，CD =1，C C1=2．
28
(1)求A1C的长．
(2)求异面直线C A1与DC1所成的角的余弦值．
19 ．（23-24 高二上· 重庆· 期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，∠A1 AD =π
4 ，
∠A1 AB = π
4 ，∠BAD =π
3 ，AB =6，AD = 4，A A1=3√2，AC与BD相交于点O．
(1)求⃗AB⋅⃗AD；
(2)求A1O的长．
20．（23-24 高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形ABCD中，E为BC中点，AD =2 AB.以DE为折痕
将四边形ABED折起，使A，B分别达到A1，B1，当异面直线CD，B1 E成角为π
3
时，异面直线CD，
A1B1成角余弦值为（ ）
A．1
2
B．√3
3
C．√2
2
D．√3
2
21．(多选) （23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体ABCD－A1B1C1 D1中，下列命题是真命题的
是（ ）
A．(⃗A A1+⃗AD +⃗AB)
2=3⃗AB
2
B．⃗A1C ⋅⃗A B1=0
C．⃗A D1与⃗A B1 夹角为60
°
D．正方体ABCD−A1B1C1 D1的体积为|⃗AB⋅⃗A A1⋅⃗AD|
22.（多选）（23-24 高二上·山东济宁·期末）如图，二面角α －l－β的大小为60°，其棱l 上有两个点
A ,B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3, AC ＝2,BD＝2,则
29
C , D两点间的距离为 ．
23．（23-24 高二上·浙江·期中）平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
侧棱A A1= 4，且∠A1 AD =∠A1 AB =60°，M为BD中点，P为B B1中点，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，⃗
A A1=⃗c.
(1)用向量⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃗PM；
(2)求线段PM的长度．
24．（20-21 高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形OABC中，2⃗BD =⃗DC，点E为AD的中点，设⃗
OA =⃗a，⃗OB =⃗b，⃗OC =⃗c.
(1)试用向量⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃗OE；
(2)若OA =OC =3，OB =2，∠AOC =∠BOC =∠AOB =60°，求⃗OE⋅⃗AC的值.
