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第03 讲 多面体与棱柱
课程标准
学习目标
1．了解多面体的定义及其分类；
2．理解棱柱的定义和结构特征；
3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表
面积的计算公式，能用公式解决简单的实
际问题.
1．了解多面体的定义及其分类并掌握棱柱的定义和结
构特征；
2．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数
量关系和位置关系.
知识点01 多面体
1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。
2、多面体的有相关概念：
（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面；
（2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱；
（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点；
（4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段；
（5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段；
（6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部）.
3、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多
面体为凸多面体.
4、正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体.
【即学即练1】（24-25 高二上·上海·课堂训练）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，
每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面
的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）
知识点02 棱柱
1、棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这
样的多面体称为棱柱。
2、棱柱的构成元素及相关概念
（1）底面：有两个互相平行的面称为棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
【解读】
（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组
对面都可以作为底面。
（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止
位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面.
3、棱柱的高与侧面积
过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高。棱柱
所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积。
4、棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。
5、特殊的四棱柱：
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，不难看出，
底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学习过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体，它们之间
的关系如下：
【即学即练2】（25-26 高二上·上海·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱不全相等
C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体
D．棱柱中至少有两个面平行
题型01 多面体的概念与性质
【典例1】（24-25 高一·黑龙江·期中）如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而
成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60 个顶点，每个顶点发出的棱有3 条，设其顶点数V，面数F
与棱数E，满足
（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（ ）
A．共有20 个六边形
B．共有10 个五边形
C．共有90 条棱
D．共有32 个面
【变式1】（23-24 高一下·河南·期中）多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为
，面数为，棱数为，
则满足
. 已知某
面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则
（ ）
A．6
B．10
C．12
D．20
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的
展开图的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正
四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由
个等边三角形所
组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=
，则正二十面体的顶点的个数为 ．
题型02 棱柱的判断及性质
【典例2】（2025 高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【变式1】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）下列几何体为棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
【变式3】（23-24 高二上·广东惠州·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体
D．平行六面体是四棱柱
【变式4】（2025·高一课时练习）下面是关于四棱柱的四个命题：
（1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
（2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
（3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱
（4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型03 棱柱及其计算问题
【典例3】（24-25 高二上·北京海淀·期末）正三棱柱
的所有棱长都为
，
分别是
的中点，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·河南漯河·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，则点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）棱长为2 的正方体
中，
是平面
内一点，
则点
到平面
的距离是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】（2025 高一下·北京·阶段训练）如图，在长方体
中，
，
，
则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式4】（23-24 高二上·北京房山·期中）长方体
中，
，
为
的中点，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型04 正方体中的截面问题
【典例4】（2025 高三·全国·专题练习）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
【变式1】（2025·青海海东·二模）如图，在正方体
中，
，
，
分别是棱
，
的中点，则正方体
被平面
所截得的截面周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体
容器的一个顶点
固定在地面上，使得
三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过
的中点，若
，则该水平面截正方体
所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【变式3】（24-25 高一上·上海·期末）如图，在棱长为1 正方体
中，点
为棱
的中点，
则由
三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体
棱长为2，E 为棱
的中点，
则经过
三点的正方体的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 棱柱的展开图及最值问题
【典例4】（2025·安徽·一模）在正四棱柱
中，
，
分别为侧棱
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．14
【变式1】（24-25 高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体
中，
，
若点
在平面
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二上·浙江·阶段练习）正方体
的棱长为
是面
内一动点，
且
是棱
上一动点，则
周长的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱
中，
为线段
的
中点，一质点从
点出发，沿长方体表面运动到达
点处，若沿质点
的最短运动路线截该正四棱柱，则
所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．底面是矩形的平行六面体是长方体
B．棱长相等的直平行六面体是正方体
C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体
2．（24-25 高一·全国·课后作业）设
，
，
，
，则
这些集合的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二·上海·随堂练习）下列说法中正确的是（ ）．
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正
方体中的对面上的字为（ ）
A．梦
B．就
C．成
D．想
7．（24-25 高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，
面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20 个等边三角形所组成的正
多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数
，则正二十面体的顶点的个数为（ ）
A．30
B．20
C．12
D．10
8．（24-25 高一下·江苏徐州·阶段练习）已知长方体
中，
一只小虫
从长方体顶点
出发沿表面爬行到顶点
，则小虫爬行的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课堂例题）下列关于棱柱的说法，正确的是（ ）
A．所有的面都是平行四边形
B．每一个面都不会是三角形
C．两底面平行，并且各侧棱也平行
D．被平面截成的两部分可以都是棱柱
10．（23-24 高一下·河北廊坊·月考）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
11．（23-24 高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．
B．
C．直线
与
异面
D．直线
与
异面
三、填空题
12．（24-25 高二上·天津武清·期中）如图，正方体
的棱长为2，若
，
分别是线段
，
的中点，则线段
的长为 ．
13．在棱长为
的正方体
中，
，
分别是正方形
、正方形
的中心，则过
点
，
，
的平面截正方体的截面面积为 ．
14．（2025 高一·全国·专题练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角
度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：
正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
，故其总
曲率为
，则正十二面体的总曲率为 ．
四、解答题
15．已知一个直四棱柱的底面边长为5cm 的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题：
（1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
（2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
16．（2025 高一·全国·专题练习）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N 分别为棱A1B1，C1D1的中点.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符
号表示；如果不是，请说明理由.
17．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，一个三棱柱的底面是边长为
的正三角形，侧棱
底面
，
．有一只小虫从点
沿三个侧面爬到点
，求小虫爬行的最短路程．
18．（24-25 高一·全国·课后作业）在一个长方体的容器中，里面装有少量的水，现在将容器绕着其底部的
一条棱倾斜．
（1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问
对不对？
