文档文本内容
第03 讲 三角函数的定义
课程标准
学习目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及
其应用；
2.会判断三角函数在各象限的符号。
1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的
三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素
养；
2.借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象
限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养。
知识点01 任意角的正弦、余弦、正切的定义
1．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α 的终边上任意一点P 的坐标是(x，y)，它与原点O 的距离是r(r＝ ＞0)．称
为角α 的正弦，记作sinα；称
为角α 的余弦，记作cosα，因此sinα＝
，cosα＝
.
当角α 的终边不在y 轴上时，称
为角α 的正切，记作tanα，即tanα＝
角α 的正弦、余弦、正切都称为α 的三角函数.
2．三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
【解读】(1)三角函数的记号是一个整体，离开α 的sin，cos，tan 等是无意义的，如sin α 表示的是一
个比值而不是sin 与α 的积．
(2)因为角的集合与实数集之间可以建立 一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的
函数．
（3）当P(x，y)为α 的终边与单位圆的交点时
，此时
.
【即学即练1】（24-25 高一上·广西防城港·期中）设角
终边上的点的坐标为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由任意三角函数的定义即可求解
【详解】设角
终边所在圆的半径为，由题意得，
，
所以
，
，
，所以D 选项正确，
故选：D
知识点02 正弦、余弦与正切在各象限的符号
1.正弦、余弦、正切在各象限的符号
（1）当且仅当
的终边在第一、二象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第三、四象限，或
轴负半轴上时，
；
（2）当且仅当
的终边在第一、四象限，或
轴正半轴上时，
；
当且仅当
的终边在第二、三象限，或
轴负半轴上时，
；
（3）当且仅当
的终边在第一、三象限，
；
当且仅当
的终边在第二、四象限，
。
上述结果可用下图直观表示：
【解读】（1）三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的，从原点到角的终
边上任意一点的距离
的值总是正值，根据三角函数定义值：
正弦值的符号取决于纵坐标
的符号；
余弦值的符号取决于横坐标
的符号；
正切值的符号是由
、
的符号共同决定的，即
、
同号为正，异号为负。
（2）记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在
第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
【即学即练2】（24-25 高一上·云南玉溪·阶段练习）已知
，则角
的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角
的终边所在象限.
【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
由
，可得角
的终边位于第三象限.
故选：C
题型01 已知终边上的点求三角函数值
【典例1】（24-25 高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知角
的终边上有一点
的坐标是
，则
的值
为（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角函数定义代入公式计算可得结果.
【详解】由角
的终边上有一点P 的坐标是
，
可得
，
，
，所以
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高一上·天津津南·期中）若角
的终边过点
， 则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
点坐标求出点
到原点的距离，利用余弦函数的定义可得结果.
【详解】∵角
的终边过点
，
∴
，
∴
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知角
终边上有一点
，则
的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由任意角三角函数的定义求解即可.
【详解】因为点
是角
终边上一点，
所以
.
故选：
.
【变式3】（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角
是第二象限角，它的终边与单位圆
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解.
【详解】由题意，
，解得
，
所以
，
故选：D
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）若点
是角
终边上的一点，则
．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求得正确答案.
【详解】由题得
，
故
．
故答案为：
题型02 根据三角函数定义求参数
【典例2】（24-25 高一上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知角
的终边经过点
，且
，则a 等于（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．1 或
【答案】A
【分析】
利用三角函数的定义，直接列出关系式求出
的值．
【详解】
角
的终边经过点
，且
，
所以
，并且
，
解得
（舍）或
．
故选：A．
【变式1】（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边经过点
，且
，则实数
的值是（ ）
A．
和
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知，
，由三角函数的定义可得出关于
的方程，即可解出
的值.
【详解】由三角函数的定义可得
，则
，
整理可得
，因为
，解得
故选：B.
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）若角
的终边经过点
，则
可能
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解.
【详解】
，则
．
故选:
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴非负半轴重合，若
是角
终边上的一点，且
，则
.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.
【详解】因为
是角
终边上一点，所以
，
由三角函数的定义，得
，解得
.
故答案为：
.
题型03 由单位圆求三角函数值
【典例3】（24-25 高一上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系
中，动点
、
从点
出发在单位圆上运动，点
按逆时针方向每秒钟转
弧度，点
按顺时针方向每秒钟转
弧度，
则
、
两点在第
次相遇时，点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算相遇时间，再确定
转过的角度，得到坐标.
【详解】相遇时间为
秒，
故
转过的角度为
，
故对应坐标为
，即
.
故选：C
【变式1】（24-25 高一上·上海·课后作业）角
与单位圆的交点坐标为 .
【答案】
【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解.
【详解】因为
，可知角
与角
的终边相同，
且
，
，
所以角
与单位圆的交点坐标为
.
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一上·山东青岛·阶段练习）已知O 为坐标原点，点P 的初始位置坐标为
，线
段
绕点O 顺时针转动
后，点P 所在位置的坐标为 .
【答案】
【分析】求出点P 在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P 所在位置的坐标.
【详解】
在第一象限，又
，
故点P 在单位圆上，
设点P 的初始位置所在角为
，
则
，故
，
顺时针转动
后，点P 在第四象限，
设转动后的角为
，则
，
因为
，
所以点P 所在位置的坐标为
.
故答案为：
【变式3】（22-23 高三上·安徽合肥·阶段练习）在3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中
提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为
中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正
边形等分成
个等腰三角形（如图所示），当
越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意在圆内作内接正三十六边形后求解，
【详解】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为
，底边约为
，
由题意得
，
故选：C
【变式4】角
以
为始边，它的终边与单位圆
相交于第四象限点
，且点
的横坐标为
，则
的值为 .
【答案】
/-0.75
【分析】由角的终边与单位圆交于
，故将
的坐标求出，利用定义就可以求出
的值.
【详解】由交
的终边与单位圆
相交于第四象限点
，
且点
的横坐标为
所以点
的纵坐标为
，
所以
，
有定义可得
故答案为：
.
题型04 求特殊角的三角函数值
【典例4】（24-25 高一上·上海·课堂例题）求角
的正弦、余弦、正切值.
【答案】
，
，
.
【分析】在角的终边上取点P，使|OP)的长为1，利用定义求三角函数的值.
【详解】解：设角
的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过P 点作x 轴的垂线，其垂足为M.
在
中，
，由此可得
，
，所以
，
，
于是
，
，
.
【变式1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）求角
的正弦、余弦、正切值.
【答案】
，
，
【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求解.
【详解】设角
的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过点P 作x 轴的垂线，其垂足为M.
在
中，
，由此可得
，
，所以
，
于是
，
，
.
【变式2】（23-24 高一下·全国·课后作业）求下列角α 的正切函数值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由正切函数的定义即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
．
由正切函数的定义，得
．
（2）因为
，所以
，
．
由正切函数的定义，得
．
【变式3】（23-24 高一下·上海·假期作业）求
的正弦、余弦和正切值．
【答案】
，
，
【分析】求得终边与单位圆的交点坐标，根据三角函数的定义可直接求得.
【详解】如图，在
中，
，
，
，进而
故答案为：
，
，
.
题型05 各象限角三角函数值的符号
【典例5】（24-25 高一上·云南玉溪·阶段练习）已知
，则角
的终边位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角
的终边所在象限.
【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
由
，可得角
的终边位于第三象限.
故选：C
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知角
是第四象限角，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知结合三角函数的定义即可判断.
【详解】由题得
.
故选B．
【变式2】（24-25 高一上·广东东莞·期中）点
落在（ ）
A．第一象限内
B．第二象限内
C．第三象限内
D．第四象限内
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，分别得出横纵坐标的正负值情况，即可判断点
所在象限.
【详解】因为
所以点
落在第四象限内，
故选：D.
【变式3】（24-25 高一上·吉林·期中）点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】判断
分别是哪个象限角，结合三角函数的定义即可判断.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以点
在平面直角坐标系中位于第二象限，
故选：B.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）（多选）设
是
的一个内角，则下列点可能位于第二象
限的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】结合
的范围判断各选项即可.
【详解】由题得
，
，
所以
，BC 错误；
当
时，
，AD 正确．
故选：AD.
一、单选题
1．（24-25 高一上·广东深圳·阶段练习）已知角
的终边与单位圆的交点为
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可
【详解】因为角
的终边与单位圆的交点为
，
所以
，
故选：B
2．（24-25 高一上·全国·课后作业）下列三角函数值的符号为负的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和诱导公式的应用以及三角函数在各象限的符号求出结果.
【详解】因为
角是第二象限角，所以
，A 错误；
因为
角的终边，在
轴正半轴上，所以
，B 错误；
因为
角是第二象限角，所以
，C 正确；
因为
，所以
角的终边在第一象限，所以
，D 错误．
故选：C.
3．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当
时，
，故充分性成立，
当
时，
，
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知角
的终边经过点
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据任意角三角函数的定义求
，代入运算即可.
【详解】因为角
的终边经过点
，则
，
可得
，
所以
.
故选：C.
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知角
的终边经过点
，且
，则实数
的值是（ ）
A．−2
B．
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据角的余弦值与终边上点的坐标可得角的终边所在象限，进而可得参数的取值范围，利用余弦
函数的定义建立方程，可得答案.
【详解】
，说明
角的终边在第二或第三象限，终边上的点
，
，
说明终边在第二象限，
，
，
，解得
.
故选：B.
6．（24-25 高二上·上海·阶段练习）若
，则
为（ ）.
A．第一、四象限的角
B．第二、三象限的角C．第一、三象限的角
D．
第二、四象限的角
【答案】A
【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断.
【详解】由
可知，
同号，
所以
为第一象限的角和第四象限的角，
故选：A.
7．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知
是第二象限的角，
为其终边上的一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案.
【详解】依题意，
，其中，
为坐标原点，
则
，所以
．
故选：D.
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知角
的终边在直线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】由题意可得余弦值不为零，取直线上非原点的任一点，利用正弦函数与余弦函数的定义，可得答
案.
【详解】由题知
，
设角
的终边上一点
，则
.
当
时，
，
，
，
所以
；
当
时，
，
，
，
所以
.
故选：C.
二、多选题
9．（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知角
的终边经过点
，则下列选项正确的是（ ）
A．
为钝角
B．
C．
D．点
在第二象限
【答案】BD
【分析】根据给定条件，结合三角函数定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，点
位于第二象限，即角
是第二象限角，不一定是钝角，A 错误；
对于BCD，点
到原点的距离
，
则
，
，
，C 错误，BD 正确.
故选：BD
10．（23-24 高一下·广西·开学考试）已知角
的终边经过点
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】
利用三角函数定义逐项求解判断.
【详解】由
，得
，解得
（负值舍去），则
正确.
由
，得
，则B，D 正确.
由
，得
，解得
，则
错误.
故选：ABD
11．（24-25 高一上·全国·课后作业）(多选)已知函数
（
且
）的图象经过定
点
，且点
在角
的终边上，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先根据对数函数的图象求出定点
的坐标，再根据三角函数的定义求出
和
的值即可求解.
【详解】因为函数
的图象经过定点
，
所以
或
，
当点
在角
的终边上时，
，
，
此时
，B 正确；
当点
在角
的终边上时，
，
，
此时
，D 正确；
故选：BD
三、填空题
12．（24-25 高一上·吉林四平·阶段练习）已知角
的顶点为坐标原点，始边为
轴的非负半轴，
为
角
终边上一点，若
，则
．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由三角函数的定义可知，
，所以
，解得
，
故答案为：
．
13．（24-25 高二上·上海·期中）若角
的终边经过点
，则
.
【答案】
【分析】根据三角函数的定义，即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，
.
故答案为：
14．（24-25 高一上·全国·课后作业）当
为第三象限角时，
．
【答案】0
【分析】根据三角函数的概念判断
的符号，从而化简求值即可.
【详解】因为
为第三象限角，所以
，
故
．
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知
，求
，
.
【答案】答案见解析
【分析】由
可得
为第一象限角或第二象限角，根据同角三角函数的基本关系分别求解即可.
【详解】因为
，所以
为第一象限角或第二象限角，
当
为第一象限角时，
，
；
当
为第二象限角时，
，
，
综上，当
为第一象限角时，
，
，
当
为第二象限角时，
，
.
16．（24-25 高一上·甘肃兰州·阶段练习）若角
的终边过点
.
(1)求
的值.
(2)试判断
的符号.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析.
【分析】根据三角函数的定义即可求得结果.
【详解】（1）由题意得
，
则
；
当
时，
，当
时，
；
（2）当
时，
，
所以
；
当
时，
，
，
所以
.
17．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，且
有意义．
(1)试判断角
所在的象限；
(2)若角
的终边上一点
，且
(O 为坐标原点)，求
的值及
的值．
【答案】(1)第四象限角
(2)
，
【分析】（1）由式子有意义得到
，
，从而判断
所在的象限即可；
（2）由三角函数的定义求解即可.
【详解】（1）由
，所以
，
由
有意义，可知
，所以
是第四象限角．
（2）)因为
，所以
，
得
，又
为第四象限角，故
，从而
，
.
