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第04 讲 棱锥和棱台
课程标准
学习目标
1．理解棱锥和棱台的定义和结构特征.(重
点）
2．能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图
形，研究其中的线段数量关系和位置关系.
1.通过问题探究，理解棱锥、棱台的定义和结构特征
2.通过例题，学会在棱锥、棱台中构造恰当的特征图
形，研究其中的线段数量关系和位置关系．
知识点01 棱锥
1、棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个
多面体为棱锥。
2、棱锥的相关概念：
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.
4、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】如果棱锥的底面为正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱
锥，如正三棱锥、正四棱锥……
【即学即练1】（24-25 高二·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（ ）
A．三棱锥有4 个面是三角形
B．棱锥的侧面都是三角形
C．棱锥都有两个互相平行的多边形面
D．棱锥的侧棱交于一点.
知识点02 棱台
1、棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
2、棱台的相关概念：
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
3、棱台的高与侧面积
过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高。
棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积。
4、棱台的分类
（1）按底面形状：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台，正棱台的上下底面的中心连线是棱台的高。
正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高。
【即学即练2】（2025 高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
题型01 棱锥与棱台的判断
【典例1】（23-24 高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台，②不是圆台
B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台
D．③是棱锥，④是棱柱
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，三棱台
截去三棱锥
后，剩余部分
是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱台
D．四棱柱
【变式2】（24-25 高一·辽宁·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是正四棱柱
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
【变式3】（24-25 高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
题型02 棱锥的结构特征与分类
【典例2】（24-25 高二·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的
侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方
形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式1】（24-25 高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·青海·期末）已知某棱锥有12 个面，则该棱锥的棱的条数是（ ）
A．12
B．18
C．22
D．36
【变式3】（24-25 高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（ ）
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行．
A．①
B．①②
C．②
D．③
【变式4】（2024 高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
题型03 棱台的结构特征与分类
【典例3】（24-25 高一下·安徽·阶段练习）下列叙述正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【变式1】（2025 高一·全国·专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式2】（24-25 高一下·山东临沂·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧棱长都相等
B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D．棱台的两个底面相似
【变式3】（23-24 高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式4】（23-24 高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
题型04 棱锥中的相关计算
【典例4】（24-25 高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表
面积是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．都不对．
【变式1】（23-24 高一下·天津·阶段练习）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为
，则
该四棱锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC 的底面边长为6，顶点P 到底面ABC 的
距离是
，则这个正三棱锥的侧面积为（ ）
A．27
B．
C．9
D．
【变式3】（24-25 高二上·北京·期中）一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的
，这个正棱锥可能是（ ）
A．正三棱锥
B．正四棱锥
C．正五棱锥
D．正六棱锥
题型05 棱台中的相关计算
【典例5】（23-24 高一下·四川·期末）如图，正三棱台
的下底面边长为12，上底面边长和侧
棱长均为6，则棱台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4 和6，高是
，则它
的侧面积为（ ）
A．10
B．
C．40
D．44
【变式2】（23-24 高一下·广东潮州·期末）正四棱台
中，上底面
的边长为2，下
底面ABCD 的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·福建莆田·期中）一个正四棱台的上、下底面边长及体积分别为
，则正
四棱台的斜高是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式4】（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳
涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为
，
则该物件的高为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
题型06 棱锥、棱台中的截面问题
【典例6】（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为
的正三棱锥
中，
，过
作截面
，则截面的最小周长为（ ）
A．
B．4
C．6
D．10
【变式1】（2025·河南郑州·模拟预测）如果棱台的两底面积分别是
，中截面的面积是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知三棱锥的底面是边长为
的正三角形，则过各侧棱中点的
截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二下·四川内江·开学考试）一棱长为
的正四面体木块如下图所示，点
在平面
内，过点
将木块锯开，且使截面平行于直线
和
，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【变式4】（24-25 高二上·上海·课堂例题）正四棱台的上、下底面面积分别为1、4，过棱台高线的中点且
与底面平行的截面面积等于 ．
题型07 展开图问题
【典例7】（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）如图，
是正三棱锥且侧棱长为a，E，F 分别是
SA，SC 上的动点，
的周长的最小值为
，则侧棱SA，SC 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·河北·期末）如图，在四棱锥
中，侧棱长均为
，正方形
的边
长为
，
，
分别是线段
，
上的一点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台
中，
，点
为棱
上的动点（含端点），则
的最小值是（ ）
A．6
B．
C．8
D．
【变式3】（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在正四棱锥
中，
是棱
上的动
点，一只蚂蚁从A 点出发，经过E 点，爬到C 点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·全国·随堂练习）若一个几何体的平面展开图如图所示．
（1）该几何体是 ；
（2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ．
一、单选题
1．（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
2．（2025 高三上·江苏徐州·学业考试）如图所示，在三棱台
中，沿平面
截去三棱锥
，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．四棱柱
3．（24-25 高二上·北京·阶段练习）正四棱锥的侧棱长是底面边长的
倍，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．
是棱台
B．
是圆台
C．
是棱锥
D．
不是棱柱
5．（24-25 高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为
，高是
，则该棱台的
斜高为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥
中，
，
，一只虫子从
点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到
点，则虫子爬行的
最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知正四棱锥
的底面积为64，侧棱长
，则该四棱锥的高为
（ ）
A．
B．
C．8
D．
8．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374 年），它是迄
今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼
的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为
9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：
）（ ）
A．9.1m
B．10.9m
C．11.2m
D．12.1m
二、多选题
9．（23-24 高二上·四川内江·阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．正四面体是正三棱锥.
B．棱锥的侧面是全等的三角形.
C．正三棱锥是正四面体.
D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.
10．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
11．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许多分支
上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱数和面
数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
．根据欧拉公式，判断下
列说法正确的是（ ）
注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体
A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥
B．存在7 条棱的多面体
C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同
D．若某凸多面体每个面都是边长为1 的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间
图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·期中）棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱
台的高为 .
13．（24-25 高二上·上海奉贤·期中）正三棱台
上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该
正三棱台的斜高为 ．
14．（24-25 高二上·上海松江·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画
空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做
多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点
的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3 个面角，每个面角
是
，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为
．我们把平面四边形
外的
点
连接顶点
、
、
、
构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为 ．
四、解答题
15．（24-25 高一·全国·课后作业）正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长为4，高为1，求：
(1)求棱锥的侧棱长和斜高；
(2)求棱锥的表面积.
16．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：
(1)画出两个几何体的平面展开图；
(2)图①是侧棱长为
的正三棱锥
，
，过点
作截面
分别交
BD，CD 于点E，F，求截面三角形
周长的最小值．
17．（24-25 高一·全国·课后作业）已知正四棱台上底面边长为
，侧棱和下底面边长都是
，求它的
全面积.
18．（24-25 高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知正四棱锥
的底面是面积为4 的正方形
，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，
为棱
的中点，
为底面正方形
的中心．
(1)求四棱锥的高
；
(2)求四棱锥
侧面三角形底面上的高
．
19．（24-25 高一下·宁夏银川·期中）正四棱台两底面边长分别为2 和4．
(1)若侧棱长为
，求棱台的表面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
