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第02 讲 二项式定理与杨辉三角
课程标准
学习目标
1．能用多项式运算法则和计数原理证明二
项式定理，会用二项式定理解决与二项展
开式有关的简单问题
2．杨辉三角的性质．
1. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想
出二项式定理，并用计数原理加以证明；
2.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜
想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、
概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特
殊”等数学思想的应用能力；
3.会应用二项式定理求解二项展开式.
知识点01 二项式定理
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=
+
+
+
+
+
+
.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
的二项展开式，其中各项的系数
(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，
叫做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式的第k+1 项：
=
.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a 的降幂b 的升幂排列.
③每一项中a 和b 的幂指数之和为n.
【即学即练1】
1.（23-24 高二下·北京通州·期中）二项式
的展开式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.(x＋2)n的展开式共有11 项，则n 等于（ ）
A．9
B．10
C．11
D．8
知识点02 二项式系数的性质
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即
)
增减性
当
时，二项式系数逐渐增大；当
时，二项式系数逐渐
减小，因此二项式系数在中间取得最大值
最大值
当n 是偶数时，展开式的中间一项
的二项式系数
最大；当n 是奇数
时，展开式的中间两项
与
的二项式系数
，
相等且最大
各二项式
系数的和
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·随堂练习）
的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3 项
B．第6 项
C．第6，7 项
D．第5，7 项
知识点03 二项展开式的应用问题
1．求二项展开式的特定项的解题策略
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；
求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
3．二项式系数的和与各项系数的和问题
（1）赋值法
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
开式的各项系数之和，常用赋值法.
（2）系数之和问题的解题策略
若
，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为
，偶数项系数之和为
.
（3）展开式的逆用
根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定
理求解.
4．二项式系数最大项问题
当n 为偶数时，展开式中第
项的二项式系数最大，最大值为
；当n 为奇数时，展开式中第
和第
项的二项式系数开式中第最大，最大值为
或
.
【即学即练3】（23-24 高二上·北京昌平·期末）若
，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
知识点04 杨辉三角的性质
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1 以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n 行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1 开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜左(右)下方
的那个数．
【即学即练4】杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表
示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是
，当
时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断
与
的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 二项展开式的应用
【典例1】（22-23 高二下·江苏宿迁·期中）设
，化简
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】24-25 高三·上海·课堂例题）计算
的值是 ．
【变式3】（24-25 高二下·全国·课后作业）若
(a，b 为有理数)，则a＋b＝ .
【变式4】化简：
.
题型02 求二项展开式的特定项
【典例2】（2024·浙江·三模）
的展开式的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【变式1】（23-24 高二下·浙江·期中）在
的展开式中，第四项为（ ）
A．240
B．
C．
D．
【变式2】（2014·山东青岛·一模）
展开式的常数项为 .
【变式3】
的展开式中常数项是 .（用数字作答）
题型03 求二项展开式的特定项系数
【典例3】（2024·北京·模拟预测）在( x −2√x)
5的展开式中，x
4项的系数为（ ）
A．−20
B．20
C．−40
D．40
【变式1】在(
1
x −√x)
10
的展开式中，x
2的系数等于（ ）
A．−45
B．−10
C．10
D．45
【变式2】（23-24 高二下·海南·期末）(
x
2 −√x)
6
的展开式中，x
4的系数为（ ）
A．15
4
B．5
2
C．5
4
D．15
16
【变式3】（2023·天津·高考真题）在
的展开式中，
项的系数为 ．
题型04 求展开式的有理项
【典例4】（2024·河南·模拟预测）已知(x
2−a
3√x)
n
（其中a>0）的展开式中的第7 项为7，则展开式中的
有理项共有（ ）
A．6 项
B．5 项
C．4 项
D．3 项
【变式1】写出
展开式中的一个有理项为 .
【变式2】在
的展开式中，有理项有 项．
【变式3】2024·高三·江西·开学考试）已知
的展开式中只有第5 项的二项式系数最大，写出展
开式中的一个有理项 ．
题型05 二项式乘积问题
【典例5】（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
【变式1】（2022·全国·统考高考真题）
的展开式中
的系数为 （用数
字作答）．
【变式2】（2024·西藏·模拟预测）在(
y
x −2 x
y )(x + y)
6的展开式中，x
2 y
4的系数为（ ）
A．−4
B．4
C．−8
D．8
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知(ax +1)(2 x−1)
7的展开式中x
3的系数为448，则该展开式中
x
2的系数为（ ）
A．56
B．−98
C．106
D．−112
题型06 三项式问题
【典例6】（2024·辽宁丹东·一模）
的展开式中常数项为（ ）
A．24
B．25
C．48
D．49
【变式1】下列各式中，不是
的展开式中的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在(x +1−2
x
2)
6
的展开式中常数项为（ ）
A．721
B．-61
C．181
D．-59
【变式3】（2024·河北沧州·二模）在( x−2 y +3 z)
6的展开式中，x y
2 z
3项的系数为（ ）
A．6480
B．2160
C．60
D．−2160
题型07 已知特定项求参数
【典例7】（23-24 高三下·湖南娄底·阶段练习）已知
，若
的展开式中，常数项等于240，则
（ ）
A．3
B．2
C．6
D．4
【变式1】（2023·四川泸州·二模）已知
的展开式中存在常数项，则n 的可能取值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【变式2】（22-23 高二下·广东揭阳·期中）在
的展开式中存在常数项，写出一个满足条
件的
的值是 .
【变式3】（23-24 高三下·陕西·阶段练习）在
的展开式中，
的系数为84，则
．
【变式4】（23-24 高三上·上海普陀·期末）
的常数项为第3 项，求
题型08 二项式系数的最值问题
【典例8】已知二项式
的展开式中只有第4 项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，
则正数
的值为 .
【变式1】若
的展开式中只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中的
项为 .
【变式2】已知二项式
的展开式中仅有第4 项的二项式系数最大，则
.
【变式3】
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
题型09 系数的最值问题
【典例9】（2024·江西南昌·三模）若
的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式
中系数最大的是（ ）
A．第二项
B．第三项
C．第四项
D．第五项
【变式1】（2024·全国·模拟预测）
的展开式中系数最大的项为（ ）
A．70
B．56
C．
或
D．
【变式2】二项式
的展开式中，系数最大项的是（ ）
A．第
项
B．第
项和第
项
C．第
项
D．第
项
【变式3】已知
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 展开式系数和问题
【典例10】（多选）（23-24 高三下·山东·开学考试）已知
的展开式中，各项的二项式系数之和
为128，则（ ）
A．
B．只有第4 项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1
D．
的系数为560
【变式1】（多选）（23-24 高二下·福建南平·阶段练习）设
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若
的展开式中第3 项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 ．
【变式3】已知
，则
（ ）
A．9
B．10
C．19
D．29
【变式4】若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．253
D．126
【变式5】已知对任意实数x，
，则下列结论成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 整除与余数问题
【典例11】（2024·湖北荆州·三模）已知
，则
被3
除的余数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式1】（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这
12 种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024 年是龙年.那么从今年起的
年后是（ ）
A．虎年
B．马年
C．龙年
D．羊年
【变式2】（2024·福建三明·三模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算
一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数
转换为十进制数的算法为
．若将八进制数
转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究，对于两个整数a,b，若它们除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
a≡b(modm)．若a=C17
1 ×6+C17
2 ×6
2+⋯+C17
17×6
17,a≡b(mod8)，则b的值可以是（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
【变式4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若Cn
1 x +Cn
2 x
2+⋅⋅⋅+Cn
n x
n能被7 整除，则x，n 的一组值可能为
（ ）
A．x = 4，n=6
B．x = 4，n=8
C．x =5，n=7
D．x =6，n=9
题型12 近似计算问题
【典例12】（2024·湖南·二模）某银行在2024 年初给出的大额存款的年利率为3 %，某人存入大额存款a0
元，按照复利计算10 年后得到的本利和为a10，下列各数中与a10
a0
最接近的是（ ）
A．1.31
B．1.32
C．1.33
D．1.34
【变式1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为3 %，小张于2024 年初存入大额存款10 万
元，按照复利计算8 年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6
B．12.7
C．12.8
D．12.9
【变式2】（2024·高三·河北·开学考试）已知二项式
的二项式系数的和为
，则
.试估算
时，
的值为 .（精确到
）
【变式3】（2024·高三·山西朔州·开学考试）
的计算结果精确到0.01 的近似值是 ．
题型13 二项式定理与数列的交汇问题
【变式13】（23-24 高二·全国·课后作业）已知(2−√x)
n(n≥2,n∈N )，展开式中x的系数为f (n)，则
2
f (2) + 2
2
f (3) +
2
3
f (4) +⋯⋯+
2
2019
f (2020)等于（ ）
A．2019
110
B．2019
505
C．1009
1010
D．1009
505
【变式1】（2024·江西九江·二模）第14 届国际数学教育大会（ICME-International Congreas of Mathemati
cs Education）在我国上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是
八卦中的四卦——3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是
，正是会议计划召开的年份，那么八进制
换算成十进制数，则换算
后这个数的末位数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【变式2】（2003·全国·高考真题）已知数列{an}(n 为正整数)是首项为a1，公比为q 的等比数列．
(1)求和：
，
；
(2)由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明．
题型14 二项式定理与比较大小问题
【典例14】（2023·湖南株洲·统考一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型15 证明组合恒等式
【典例15】（2024 高三·全国·专题练习）求证：
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）求证：
题型16 杨辉三角
【典例17】（2024 高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算
法》一书中，画了一个由二项式
展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本
源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2 行开始，除1 以外，其他每一个数值都是
它上面的两个数值之和，每一行第
个数组成的数列称为第
斜列．该三角形数阵前5 行如
图所示，则该三角形数阵前2022 行第
斜列与第
斜列各项之和最大时，
的值为（ ）
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
【变式1】（24-25 高二上·全国·课后作业）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种
几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261 年）一书中用如图所示的三角形解释二
项式乘方展开的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，
2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n 项和为
，则
等于（ ）
A．235
B．512
C．521
D．1033
【变式2】（多选）定义有n 行的“杨辉三角”为n 阶“杨辉三角”，如图就是一个8 阶“杨辉三角”.
给出的下列命题中正确的是（ ）.
A．记第
行中从左到右的第
个数为
，则数列
的通项公式为
B．第k 行各个数的和是
C．n 阶“杨辉三角”中共有
个数
D．n 阶“杨辉三角”的所有数的和是
【变式3】（多选）（23-24 高二下·江苏南通·期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了
一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
A．第10 行所有数字的和为1024
B．
C．第6 行所有数字的平方和等于
D．若第
行第个数记为
，则
【变式4】（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们
是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数之和，
如
，
，
，则第11 行第5 个数（从左往右数）为 ．
题型17 新定义问题
【典例17】（22-23 高三上·江苏南京·期末）对于伯努利数
，有定义：
．
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三上·上海杨浦·阶段练习）已知对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（22-23 高二下·湖北黄冈·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m 所得的余数相等，
则称a，b 对于模m 同余，记作
，比如：
．已知：
，满足
，则p 可以是（ ）
A．26
B．31
C．32
D．37
【变式3】（23-24 高二下·上海·期末）仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”
为
的展开
式中
的系数
，即
其中
．
(1)求
的值：
(2)对于给定的
，计算以下两式的值：
与
(3)对于
，记
中偶数的个数为
，奇数的个数为
．是否存在
使得
？
若存在，请给出一个满足要求的
并说明理由；若不存在，请给出证明．
一、单选题
1．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）已知
的展开式共有9 项，则
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（2023·山西·模拟预测）
的展开式中常数项为（ ）
A．112
B．56
C．28
D．16
3．（18-19 高二·全国·课后作业）化简多项式
的
结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）若
展开式中只有第7 项的二项式系数最大，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
5．（2023·广东江门·一模）已知多项式
，则
（ ）
A．－960
B．960
C．－480
D．480
6．（23-24 高二下·江苏连云港·期中）
被3 除的余数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知
的二项展开式中二项式系数和为32，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）若
的展开式中第3 项与第7 项的系数相等，则展开式中系数最
大的项为（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第7 项
二、多选题
9．（23-24 高二下·河南郑州·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在
､
1261 年所著的《详解九章算法》给出了如下图1 所示的表，
我们称这个表为杨辉三角，图2 是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500 年左右，由此可
见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的是（ ）
A．第2024 行中，第1012 个数最大
B．杨辉三角中第8 行的各数之和为256
C．记第
行的第个数为
，则
D．在“杨辉三角”中，记每一行第
个数组成的数列称为第
斜列，该三角形数阵前2024 行
中第
斜列各项之和为
10．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）若
，则下列选项正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知二项式
的展开式中各项系数之和是
，则下列说法
正确的是（ ）
A．展开式共有6 项
B．二项式系数最大的项是第4 项
C．展开式的常数项为540
D．展开式含有
三、填空题
12．（19-20 高二下·江苏宿迁·期中）化简：
．
13．（23-24 高三上·山东德州·期末）在
的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为
．
14．（2024·贵州遵义·模拟预测）在多项式
的展开式中，
的系数为32，则
.
四、解答题
15．（24-25 高三上·吉林白城·阶段练习）若
，其中
.
(1)求
的值；
(2)求
.
16．（23-24 高二下·广东中山·期末）已知
的展开式中，第项与第项的二项式系
数之比为
．
(1)求
的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
17．（2024 高三·全国·专题练习）在等式
（
）的两边求导，得：
，由求导法则，得
，化简得等式：
．
(1)利用上题的想法（或其他方法），结合等式
（
，正整数
），
证明：
．
(2)对于正整数
，求证：
（i）
；
（ii）
；
18．（24-25 高二上·上海奉贤·阶段练习）已知
（n 为正整数）.
(1)若
，求该式的展开式中所有项的系数之和；
(2)若
，求该式的展开式中无理项的个数；
(3)若
，求该式的展开式中系数最大的项.
19．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家教育家，杨辉三角是杨辉的一
､
项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1 为杨辉三角
的部分内容，图2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图2 中第10 行的各数之和；
(2)从图2 第2 行开始，取每一行的第3 个数一直取到第15 行的第3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为
？若存在，试求出这三个数；若不
存在，请说明理由.
