文档文本内容
第04 讲 单位圆与三角函数线
课程标准
学习目标
1．了解三角函数线的意义，能用三角
函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
(重点)
2．能利用三角函数线解决一些简单的
三角函数问题．
1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象
和直观想象核心素养．
2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直
观想象核心素养.
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足
的点做成的集合，角
的终边与单位
圆相交于点
，如图，
则
，
，
，则角
的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角
的终边与单位圆的交点
作
轴的垂线，垂足为
；
（2）角
的终边（或其反向延长线）与直线
交于点
。
3、正弦线的定义：
为角
的正弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
4、余弦线的定义：
为角
的余弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
【即学即练1】（2024 高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α 的正弦线、正切线完全正确的是（
）
A．正弦线为
，正切线为
B．正弦线为
，正切线为
C．正弦线为
，正切线为
D．正弦线为
，正切线为
知识点02 正切线
1、正切线的定义：
为角
的正切线
当角
的终边在第二、三象限或
轴的负半轴上，终边与直线
没有交点，但终边的反向延长线
与
有交点，而且交点的纵坐标也正好是角
的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
轴上的垂足；正切线由切
点指向切线与
的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点
）在前，终点（比如点
）在后，写为
【即学即练2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）角
和角
有相同的（ ）
A．正弦值
B．余弦值
C．正切线
D．不能确定
题型01 三角函数线的作法
【典例1】（24-25 高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)
；
(2)
.
【变式1】（24-25 高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，在单位圆中角θ 的正弦线、余弦线、正切线分
别是
，则它们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 利用三角函数线比较大小
【典例2】（（24-25 高一上·全国·课后作业）把
，
，
，
由小到大排列为
．
【变式1】（23-24 高一下·北京顺义·阶段练习）已知
，那么下列命题成立的是（ ）
A．若
，
是第一象限角，则
B．若
，
是第二象限角，则
C．若
，
是第三象限角，则
D．若
，
是第四象限角，则
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·北京·期中）若
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 利用三角函数线解不等式
【典例3】（24-25 高一下·广西北海·期中）在
上，使不等式
成立的x 的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024 高一·全国·专题练习）使
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若
，且
，
，利用三角函数线，得到
的取值范围是 .
【变式3】（23-24 高一下·上海·假期作业）（1）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
（2）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
题型04 利用三角函数线证明不等式
【典例4】（24-25 高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若
，则
.
【变式1】（2024 高一·上海·专题练习）若
，证明：
(1)
；
(2)
.
题型05 新定义问题
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、
正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正割函数
，余割函数
，正矢函数
，余矢函数
.如图角
始边为
轴的非负半轴，其终边与单位圆交点
，
、
分别是单位圆与
轴和
轴正半轴的交点，过点
作
垂直
轴，作
垂直
轴，垂足分别为
、
，过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线分别
交
的终边于
、，其中
、
、
、
为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·湖北·期末）如图所示，角
（
）的顶点为坐标原点，始边与
轴的非
负半轴重合，其终边与单位圆的交点为
，分别过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线交角
的终边于
，，根据三角函数的定义，
．现在定义余切函数
，满足
，则下列表示正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．已知角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则
的终边在（ ）
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
2．如图，已知点A 是单位圆与x 轴的交点，角
的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x 轴于M，过点A 作单
位圆的切线交角
的终边于T，则角
的正弦线余弦线正切线分别是（
､
､
）
A．有向线段OM，AT，MP
B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM
D．有向线段MP，OM，AT
3．（23-24 高一下·上海·假期作业）若
，
，则
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
4．如果
，则角
与
的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于直线
对称
D．关于原点对称
5．在
上，利用单位圆，得到
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
,
,
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
7．若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
8．已知
，
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线也一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的余弦线
D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
10．（23-24 高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交于点
．已知点
在圆
O 上，点T 的坐标是
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，则
D．若
，则
三、填空题
12．函数y＝lg(2sinx－1)＋
的定义域为 .
13．已知角
，则
的大小关系为 ．
