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7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课程标准
学习目标
（1）理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应
用；
（2）掌握弧度与角度的换算关系；
（3）能运用弧度制进行简单的计算和推理；
（3）了解弧度制在解决实际问题中的应用。
（1）了解弧度制的概念、表示方法及其优
点；
（2）掌握弧度与角度的换算公式；
（3）会进行弧度制下的简单计算。
知识点01 弧度制
1、角度制的定义：把圆周等分成360 份，称其中每一份所对的圆心角为1 度的角，这种用度作为单位来度
量角的单位制叫做角度制，角度制规定1 度等于60 分，1 份等于60 秒。
2、弧度制的定义：我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度制，长度等于半径长的圆弧所对
的圆心为1 弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
3、弧度制与角度制的区别与联系
区别
(1)单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；(2)定义不同.
联系
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．
的角是周角的
，
的角是周角的
C．
的角比
的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
知识点02 角度制与弧度制的互化
1、角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
3 π
2
2π
【即学即练2】（2023·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选）下列弧度与角度的转化正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π )或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：
类别/度量单位
角度制
弧度制
扇形的弧长
l= nπr
180
l=αr
扇形的面积
S=nπr2
360
S=1
2 lr =1
2 αr2
【即学即练3】（2023·天津和平·高一统考期末）已知扇形的弧长
，面积为
，则扇形所对的圆
心角的弧度数是（ ）
A．
B．4 C．
D．2
【即学即练4】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考阶段练习）（多选）若扇形周长为36，当这
个扇形面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A．扇形的圆心角为2rad B．扇形的弧长为18
C．扇形的半径为9 D．扇形圆心角所对弦长为
【题型一：对弧度制概念的理解】
例1．（2023·全国·高一专题练习）从2023 年12 月14 日13∶00 到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）时钟的时针走过了1 小时40 分钟，则分针转过的角度为
．
变式1-2．（2023·高一课时练习）（多选）下列各说法，正确的是（ ）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
变式1-3．（2023·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期中）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B．1 度的角是周角的
，1 弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，
一定等于
弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
【方法技巧与总结】
辨析弧度制与角度制
（1）以弧度、度为单位的角，都是一个与半径无关的量；
（2）1 弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1 度是圆周的
所对的圆心角的大小，所以
1 弧度≠1 度；
（3）同一个式子中，角度、弧度不可以混用。
【题型二：角度制与弧度制的互化】
例2．（2023·新疆喀什·高一统考期末）
的角化成弧度制为 ．
变式2-1．（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）将
化为弧度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）把
化成角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
【方法技巧与总结】
角度与弧度互化的注意点
（1）角度与弧度的互化关系为
，则
，
；
（2）将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将他们统一转化为“度”表示，再利
用
化为弧度即可。
【题型三：弧长公式的应用】
例3．（2023·河北保定·高一保定一中校联考期中）在半径为
的圆上，有一条弧的长是
，则该弧
所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式3-1．（2023·浙江·高一校联考阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧
所对的圆心角
的弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式3-2．（2023·四川成都·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为
，弧长为
，则扇形的半径为（
）
A．
B．3 C．
D．6
变式3-3．（2023·江西上饶·高一校考期末）若半径为2 的扇形的弧长为
，则该扇形的圆心角所对的弦
长为（ ）
A．
B．2 C．
D．
【方法技巧与总结】
在计算扇形弧长时要注意圆心角表示的形式，即圆心角需要使用弧度制表示。
【题型四：扇形面积的计算】
例4．（2023·上海·高一行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为
，且半径为
，则该
扇形的面积为 ．
变式4-1．（2023·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2 弧度，且圆心角所对的弦
长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）扇形的面积为
，半径为
，则扇形的圆心角是（
）
A．2 B．4 C．2 或2 D．4 或4
变式4-3．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A，B 为
圆心，AF 长为半径画弧，两弧交于点G，则
，
，AB 围成的阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
在计算中要确保单位的一致性，特别是当涉及不同单位的数值时（如弧度与度）。
【题型五：弧长与扇形面积的实际应用】
例5．（2023·安徽·高一校联考阶段练习）如图是杭州2023 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象
征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧
长度是，弧
长度是
，几何图形
面积为
，扇形
面积为
，若
，则
（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
变式5-1．（2023·山东青岛·高一校考阶段练习）《九章算术》中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问
题，弧田是由弧
和弦
所围成的弓形部分（如图阴影部分）.若弧田所在扇形的圆心角为
，扇形的
面积为
，则此弧田的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床
上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可
看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打
开时，其扇形环扇面尺寸（单位：
）如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-3．（2023·全国·高一期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装
饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图
1 所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知
，
，
，则该玉佩的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
在解题过程中，明确题目给出的已知量（如圆心角、半径、弧长或面积等）是至关重要的。这有助于建立
方程或直接使用公式进行计算。
【题型六：弧长与扇形面积的最值问题】
例6．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2 B．4 C．
D．
变式6-1．（2023·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习）若扇形周长为10，当其面积最大时，其
扇形内切圆的半径r 为 .
变式6-2．（2023·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为
，半径为R，弧长为l．
（1）若
，
，求扇形的弧长l；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角
．
变式6-3．（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为
，所在圆的半径为．
（1）若
，求扇形的弧长：
（2）若扇形的周长为12，当
为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
【方法技巧与总结】
解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点：
1、熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要
灵活运用公式求解或列方程（组）；
2、最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。
一、单选题
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）将
化为弧度制，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50 齿，小轮20 齿，
当大轮转动一周时小轮转动角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度为（
）
A．
B．
C．2 D．4
4．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知扇形的圆心角是
，半径为3，则扇形的面积
为（ ）
A．60 B．120 C．
D．
5．（2023·重庆·高一统考期末）已知扇形的面积为
，圆心角为2 弧度，则此扇形的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角
大小为（ ）
A．
B．
C．
D．2
7．（2023·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）已知圆
与直线相切于点
，若点
，
同时从点
出发，
沿直线匀速向右、
沿圆周按顺时针方向以相同的速率运动，当点
运动到如图所示的位置时，点
也停止运动，连接
，
，则曲边三角形
的面积
与扇形
的面积
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．先
，再
，最后
8．（2023·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）折扇图1 在我国已有三千多年的历
史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2 为其结构简化图，设扇面A，
间的圆弧长为，
，
间的圆弧长为
，当弦长
为
，圆弧所对的圆心角为
，则扇面字画部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·高一课时练习）下列各说法中，正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，
一定等于
弧度
D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
10．（2023·云南楚雄·高一统考期末）已知某扇形的弧长为
，圆心角为
，则（ ）
A．该扇形的半径为
B．该扇形的周长为
C．该扇形的面积为
D．该扇形的面积为
11．（2022·陕西商洛·高一校考阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
12．（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）已知某时钟的分针长4cm，将快了5 分钟的该时钟校准后，则（
）
A．时针转过的角为
B．分针转过的角为
C．分针扫过的扇形的弧长为
D．分针扫过的扇形的面积为
三、填空题
13．（2023·河北张家口·高一统考期末）扇形的圆心角为
弧度，周长为7 米，则扇形的面积为
平方米.
14．（2023·上海·高一曹杨二中校考期末）已知扇形的弧长为4cm，面积为
，则该扇形的圆心角的大
小为 .
15．（2023·云南保山·高一校考开学考试）如图，正六边形
的边长为1，以点
为圆心，
的长
为半径，作扇形
，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和
）.
16．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方
田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧
和弦
所围成的图中阴影部分．若弧
田所在扇形的圆心角为
，扇形的面积为
，则此弧田的面积为 ．
四、解答题
17．（2023·江苏·高一专题练习）将下列角度与弧度进行互化：
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
．
18．（2023·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知扇形的半径为，弧长为，面积为，
圆心角为
．
（1）若
，求该扇形的周长和面积；
（2）若扇形的周长为20，面积为9，求
．
19．（2023·山西·高一校联考期中）某校欲建造一个扇环形状
的花坛，该扇环是由以点O 为圆心
的两个同心圆构造出的，小圆半径
米，大圆半径
米，圆心角
.
（1）求该花坛的周长；
（2）求该花坛的面积.
20．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为
，半径为
，弧长为.
（1）若
，
，求扇形的弧长；
（2）己知扇形的周长为
，面积是
，求扇形的圆心角；
（3）若扇形周长为
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大?
21．（2023·辽宁沈阳·高一回民中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为
，半径为R.
（1）若
，求该扇形的弧长和面积；
（2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时
的值.
22．（2023·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》方田
篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，
扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积
．
（1）已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数；
（2）若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值．
