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第03 讲 正弦定理与余弦定理的应用
课程标准
学习目标
1．结合实例，理解测量不便到达的两点之
间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测
量高度方面的应用；
2．掌握数学建模的应用，理解正、余弦定
理在测量距离与角度等方面的应用
1．会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出
已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解
斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等
量关系；
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关
的实际应用问题。
知识点01 实际测量中的有关名词、术语
1、基线
（1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，
基线越长，测量的精确度高越高。
2、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小
于90°）
4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
5、坡角与坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。
【即学即练1】 （24-25 高一下·江西赣州·期中）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的
方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为30n mile/h，1 小时后，B 船测得A 船位于
B 船的北偏东45°的方向上，则此时A，B 两船相距 n mile．
知识点02 正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离与高度问题的常见类型
（1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B 不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有
关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB 的长度不可直接测量时，AB 的距离的求
法分为以下三类.
两点间不可达又不可视
两点间可视但不可达
两点间都不可达
（2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角
（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示．
2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、
余弦定理求解。
3、解三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三
角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图A，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C，
测得
，则A，B 两点间的距离为 米．
题型01 距离测量问题
【典例1】（24-25 高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N 两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、
乙、丙三位同学分别在N 点、距离M 点600 米处的P 点、距离P 点200 米处的G 点进行观测．甲同学在N
点测得
，乙同学在P 点测得
，丙同学在G 点测得
，则M，N 两点间
的距离为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B 间的距离，李宁同学首先
选定了与A，B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（
的角A，B，C 所对的边分别记为a，
b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B 间距离的所有方案的个
数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式2】（23-24 高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，
在该河流的一侧岸边选定A，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定
处，测得
米，
，则该河流的宽度是（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【变式3】（23-24 高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两点进行测量，
在同一个铅垂平面内.已知飞机在
点时，测得
，在
点
时，测得
，
千米，则
（ ）
（提示：
）
A．
千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
【变式4】（24-25 高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时
海里，在
处看
灯塔在船的北偏东
的方向上．1 小时后，船航行到
处，在
处看灯塔在船的北偏东
的方向上，
则船航行到
处时与灯塔的距离为 ．
题型02 高度测量问题
【典例2】（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底
在同一平面内的两个观测点
与
，现测得
米，在点
处测得塔顶
的仰
角为
，在点
处测得塔顶
的仰角为
，则铁塔的高度为（ ）
A．80 米
B．100 米
C．112 米
D．120 米
【变式1】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的
两个测量基点
与
.现测得
，
，
米，在点
测得塔顶
的仰角
，则塔高
约为（ ）（单位：米，
）
A．30.42
B．42.42
C．50.42
D．60.42
【变式2】（24-25 高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子
文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在
处测得雕像最高点的仰角分别为
和
，且
，
，则该雕像的高度
约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高
的
处，观测到山顶
处的
仰角为
，山脚
处的俯角为
，已知
，则山的高度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 角度测量问题
【典例3】（24-235 高一·河南商丘·阶段练习）位于灯塔
处正西方向相距
海里的
处有一艘甲船燃
油耗尽，需要海上加油．位于灯塔
处北偏东30°方向有一艘乙船（在
处），乙船与甲船（在
处）相
距
海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15°
B．西偏南30°
C．南偏西45°
D．南偏西65°
【变式1】（多选）（24-25 高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30 在A 处，此时测得灯塔S 在它的北
偏东
方向，之后它以每小时
的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00 到达B 处，此时测
得客船与灯塔S 相距
，则灯塔S 可能在B 处的（ ）
A．北偏东
方向
B．南偏东
方向
C．东北方向
D．
东南方向
【变式2】（24-25 高一·上海·随堂练习）如图，点A 为半径为2 千米的圆形海岛的最东端，点B 为最北端，
在点A 的正东4 千米C 处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B 处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北
方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏
北 度方向行驶．（结果精确到整数）
【变式3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A
相距12 海里，渔船乙以10 海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北
偏东
的方向追起渔船乙，刚好用2 小时追上，此时到达C 处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求
的值；
(3)求角
．
题型04 实际生活中的综合应用
【典例4】（24-25 高一·浙江·期末）在海岸A 处，发现北偏东
方向，距离A 为
海里的B 处有一艘
走私船，在A 处北偏西
方向，距离A 为2 海里的C 处有一艘缉私艇奉命以
海里/分钟的速度追截走私
船，此时，走私船正以1 海里/分钟的速度从B 处向北偏东
方向逃窜．
（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．
【变式1】（24-25 高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处
海里的
B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2 海里的C 处的缉私船奉命以
海里/小时的速度追
截走私船，此时走私船正以10 海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，
所需的时间约是 分钟．（注：
）
【变式2】（23-24 高一下·河北·期末）如图，甲船在点
处通过雷达发现在其南偏东
方向相距20 海里
的
处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15 海里/时的速度从
处向南偏西
的方向行驶．甲
船立即通知在其正西方向且相距
海里的
处的补给船，补给船立刻以25 海里/时的速度与货船在
处
会合．
(1)求
的长；
(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），
它们相距
海里.现有一艘轮船在
点发出求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东
，
点
北偏西
，这时，位于
点南偏西
且与
点相距
海里的
点有一救援船，其航行速速为
海
里/小时.
(1)求
点到
点的距离
；
(2)若命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的时间.
【变式4】（23-24 高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形
（如图所示），其中
内的区域为居民区，
内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段
和线段
上
分别选一处位置，分别记为点
和点
，修建一条贯穿两块区域的直线道路
，线段
与线段
交于
点
，
段和
段修建道路每公里的费用分别为10 万元和20 万元，已知线段
长2 公里，线段
和线段
长均为6 公里，
，设
.
(1)求修建道路的总费用
（单位：万元）与
的关系式（不用求
的范围）；
(2)求修建道路的总费用
的最小值.
一、单选题
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东
方向上10 海里处有一灯塔，该轮船以18 海里/时的
速度沿北偏东
的方向直线航行，行驶20 分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ）
A．17 海里
B．16 海里
C．15 海里
D．14 海里
2．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B 在同
一水平面内的两个观测点C 与D，现测得
，
米，在点C 处测得塔顶A 的仰角为
，在点D 处测得塔顶A 的仰角为
，则铁塔的高度为（ ）
A．80 米
B．100 米
C．112 米
D．120 米
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂
直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为
与水平地面
的交点）进行该仪器的垂直弹射，
水平地面上两个观察地A，B 相距100 米，
，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40 米．在A
地测得该仪器在C 处的俯角为
，在A 地测得最高点H 的仰角为
，则该仪器的垂直
弹射高度
为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
4．（23-24 高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向
匀速直线航行,当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,当甲船航
行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,则乙船每小时航
行（ ）
A．
海里
B．
海里
C．
海里
D．
海里
5．（21-22 高一·全国·课后作业）如图所示，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察
站南偏西
方向上，灯塔B 在观察站南偏东
方向上，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A．北偏东
方向上
B．北偏西
方向上C．南偏东
方向上
D．
南偏西
方向上
6．（23-24 高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔
之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度
，在雷锋塔的正西方向找到一座建
筑物
，高约为
，在地面上点E 处（A，C，E 三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D 的仰角
分别为
和
，在B 处测得塔顶部D 的仰角为
，则雷锋塔的高度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到
处时看灯塔
在
的南偏东
，距离为
海
里，灯塔
在
的北偏东
，距离为
海里，该渔船由
沿正东方向继续航行到
处时再看灯塔
在
其南偏西
方向，则此时灯塔
位于渔船的（ ）
A．南偏东
方向
B．南偏西
方向
C．北偏西
方向
D．北偏西
方向
8．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两
点进行测量，
在同一个铅垂平面内.已知飞机在
点时，测得
，在
点时，
测得
，
千米，则
（ ）
A．
千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
二、多选题
9．（23-24 高一下·四川乐山·期末）据统计，从1932 年至1990 年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校
计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪米尺
､
､
量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（ ）
A．把两只佛脚底部看作
两点，分别测量佛顶的仰角
和
的距离
B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为
，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为
C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角
D．在佛脚平台上寻找两点
分别测量佛顶的仰角
，再测量
两点间距离和两点相对于大佛底
部的张角
10．（24-25 高一下·全国·单元测试）如图，甲船从
出发以每小时25 海里的速度向正北方向航行，乙船
按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西
方向的
处，此时两船相距
海
里．当甲船航行12 分钟到达
处时，乙船航行到甲船的南偏西
方向的
处，此时两船相距5 海里，下
面结论正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是
海里/时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了
小时 D．甲、乙两船不可能相遇
11．（23-24 高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度
以及其最高处瞭望塔的塔高
，测量船
沿航线
航行，且
与
在同一铅直平面内，测量船在
处测得
，
，然后沿航线
向海岛的方向航行
千米到达
处，测得
，
（
，测量船的高度忽略
不计），则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（23-24 高一下·福建福州·期中）海上某货轮在
处看灯塔
在货轮北偏东
，距离为
海里处；
在
处看灯塔
，在货轮的北偏西
，距离为
海里处；货轮由
处向正北航行到
处时看灯塔
在
北偏东
，则灯塔
与
处之间的距离为 海里.
13．（24-25 高一上·上海·单元测试）台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向北偏东30°方向移动，离台
风中心30 千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东30 千米处，B 城市处于危险区内的时间共有
小时.
14．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）甲船在
岛的正南方向
处，
千米，甲船以4 千米/小时的速
度向正北方向航行，同时，乙船自
岛出发以6 千米/小时的速度向北偏东
的方向驶去，航行时间不超
过2.5 小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 小时.
四、解答题
15．（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站
在目标
的南偏西
方向，经过
处有一条南
偏东
走向的公路，在
处观测到与
相距31km 的
处有一人正沿此公路向
处行走，走20km 到达
处，此时测得
，
相距21km.
(1)求
；
(2)求
，
之间的距离.
16．（24-25 高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤
平原，处处都能见到5G 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站
，
已知基站高
，该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼睛所在位
置）测得基站底部
的仰角为
，测得基站顶端
的仰角为
，求出山高
（结果保留整数）．（参
考数据：
，
，
，
，
）
17．（23-24 高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点
处以
的速度向正东方向航行，在
处测得灯塔
在北偏东
方向上，继续航行
到达
处，这时测得灯塔
在北偏东
方向上，已知在
灯塔
的四周
内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：
，
）
18．（23-24 高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，
，测得小岛
在
的北偏东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行100 海里后到达
处，测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上．
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
，
两座小岛之间的距离．
19．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，
作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某
校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”
的高度，该小组同学在该建筑底部
的东南
方向上选取两个测量点
与
，测得
米，在
两处测得该建筑顶部的仰角分别为
.（已知
）
(1)请计算“杭州之门”
的高度（保留整数部分）；
(2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上
到
处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知
米，
高
直接取（1）的整数结果，市民在底部
的东南方向的
处欣赏“灯光秀”（如图），请问当
为
多少米时，欣赏“灯光秀”的视角
最大？（结果保留根式）.
