文档文本内容
第03 讲 向量数量积的坐标运算
课程标准
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行
平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的
模、夹角、垂直有关的问题.
1．掌握平面向量的数量积的坐标表示，掌握用坐标进
行两个向量的模的计算，掌握用坐标判定或证明两个
向量的垂直。
2．掌握两点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐
标表示
知识点01 平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量
,
（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
（2）向量垂直:
【即学即练1】（2025 高二上·黑龙江·学业考试）已知向量
，向量
，则
（ ）
A．20
B．17
C．8
D．0
【答案】B
【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可.
【详解】因为向量
，向量
，
所以
，
故选：B
知识点02 平面向量的模与夹角的坐标表示
（1）向量的模:设
,则
（2）两点间的距离公式:若
,则
（3）向量的夹角公式:设两非零向量
,a 与b 的夹角为θ,则
【即学即练2】（24-25 高二上·云南昭通·期中）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得
的值.
【详解】
，
故选：A.
题型01 数量积的坐标运算
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
，则
（ ）
A．8
B．
C．28
D．32
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】
.
故选：C.
【变式1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】
，
，
，
.
故选：B.
【变式2】（23-24 高二下·云南·期末）已知平面向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．5
【答案】C
【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】∵
，
，∴
．
故选：C
【变式3】（24-25 高三上·广东深圳·期中）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果.
【详解】因为
，
，
所以
，又
，
所以
，
故选：C.
【变式4】 （2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标运算可得
，即可利用三角函数的性质求解.
【详解】由题知
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
．
故选：B.
题型02 向量模的坐标运算
【典例2】（24-25 高一上·辽宁大连·期末）已知向量
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】首先求出
的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为
，
，
所以
，所以
.
故选：D
【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标公式计算求出
的值，代入坐标，即可求其模长.
【详解】因为
，所以
，解得
，
所以
，则
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·云南昭通·期末）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，根据向量平行与向量垂直的坐标表示得
、
，进而求出
的坐标，结合
向量的几何意义计算即可求解.
【详解】由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
，
则
.
故选：D
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若向量
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】由向量垂直的坐标表示求得
，再由向量的模长公式即可求解.
【详解】由题知
，又因为
，所以
，解
得
，
所以
，所以
．
故选：A．
【变式4】 （2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．5
D．
【答案】C
【分析】由
求得x，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为向量
，
，
所以
．
因为
，
所以
，
解得
，
所以
，
所以
．
故选：C．
题型03 向量垂直的坐标运算
【典例3】（24-25 高三上·广东·期末）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得
，再根据向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为向量
，则
，
若
，则
，解得
.
故选：C.
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】
，
因为
，
所以
，解得
，
故选：C
【变式2】（24-25 高三上·浙江·开学考试）已知向量
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果.
【详解】易知
，
由
可得
，
即
，解得
故选：C
【变式3】（24-25 高三上·江苏·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．0
【答案】A
【分析】平方可得
，化简得到
，从而得到方程，求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以可得
，
即
，所以
，
即可得
，解得
故选：A
【变式4】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，则下列关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标表示进行计算并判断．
【详解】由题意
，
，
因为
，
所以
，所以C 正确，A 错误.
∵
，所以D 错误
∵
，所以B 错误.
故选：C.
题型04 向量夹角的坐标运算
【典例4】（23-24 高一下·天津·期中）若向量
，
，则
与
的夹角等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
与
的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角.
【详解】因为向量
，
，所以
，
，
所以
，
，
，
设
与
的夹角为
，则
，又
，所以
.
故选：C
【变式1】（24-25 高三上·云南·阶段练习）已知向量
且
，则向量
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得
，计算
的值，再根据平面向量夹角公式求值即可.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
则
，解得
，则
，
所以
，
又
，所以
.
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·山东淄博·期中）在
中，已知
，
，AB，BC 边上的
中线CE，AF 交于点D，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建系，利用向量的坐标运算求向量夹角
，即可得结果.
【详解】由题意得
，根据余弦定理得
，
则
，则
，则
，
如图，建立平面直角坐标系，
则
，
，
可得
，
则
.
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标表示，建立方程，可得答案.
【详解】由
，
，
，
则
，整理可得
，解得
，经检验，
符合题意.
故选：A.
【变式4】（24-25 高三上·河北·期中）已知向量
与向量
夹角为钝角，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
【答案】B
【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0 且两向量不平行，可求
的值.
【详解】由
，
由
.
所以向量
与
夹角为钝角时，
且
.
故选：B
题型05 根据坐标求投影向量
【典例5】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知向量
，则向量
在向量
上的投影向
量为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案.
【详解】由
，则
，
所以向量
在向量
上的投影向量
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高二上·广东清远·期中）（周测二4)已知
，
，则
在
上的投
影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据投影向量定义利用已知条件求得数量积和模长可得结果.
【详解】由
可得
；
所以
，即可得
；
因此
在
上的投影向量的坐标为
.
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知平面向量
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
可计算
的值，利用投影向量的公式可得结果.
【详解】由题意得，
.
∵
，
∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
在
方向上的投影向量为
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量
，
，
，
，则
在
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】可以结合投影向量的定义将其分为投影与单位向量来更好理解与求解.
【详解】由于
，
由
在
方向上的投影向量
故选:C.
题型06 利用坐标法求数量积
【典例6】（2024·陕西榆林·模拟预测）在等腰梯形
中，
为线段
上的
动点，则
的值不可能为（ ）
A．15
B．12
C．9
D．6
【答案】A
【分析】解法1：建系，设
，
，结合数量积的坐标运算求解；解法2：根据数量积的几何意
义分析求解.
【详解】解法1：以A 为原点，
所在的直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，设
，
，
可得
，则
，
结合选项可知选项A 的值不可能成立；
解法2：设
在
上的数量投影为
，则
，
结合选项可知选项A 的值不可能成立；
故选：A.
【变式1】（2024·湖北·二模）已知正方形
的边长为2，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】以
为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点
为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由
可得
为
的中点，所以
，
易知
，可得
，
所以
.
故选：B
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）已知正方形
的边长是4，
是
的中点，
满足
，则
（ ）
A．10
B．20
C．22
D．25
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标表示、结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】
以
为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则
，
，
则
，
，所以
．
故选：B．
【变式3】 （24-25·山东济南高一·月考）如图，△ABC 是边长为3 的等边三角形，D 在线段BC 上，且
，E 为线段AD 上一点，若△ABE 与△ACD 的面积相等，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得
为
的中点，建立直角坐标系利用向量的坐标法即得.
【详解】
在线段
上，且
，
.
又
为线段
上一点，若
与
的面积相等，
，
为
的中点.
如图，建立平面直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：D.
题型07 数量积中的最值范围问题
【典例7】（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）在长方形
中，
，
，点P 为长方形
内部的动点，且
，当
最小时，
.
【答案】
/
【分析】如图，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，设
，由
可得点
在以
为圆心，1 为半径的半圆上，由此可得当
共线时，
最小，从而可求出点
的坐标，进而可求出
.
【详解】如图，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，则
，
设
，则
，
，
因为
，所以
，即
，
所以点
在以
为圆心，1 为半径的半圆上，
所以当
共线时，
最小，
过
作
于
，因为
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
【变式1】（多选）（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
最小
B．当
最小时，
C．当
时，
与的夹角最小
D．当
与的夹角最小时，
【答案】ABD
【分析】求出的坐标，再由向量模的坐标表示得到
，结合二次函数的性质求出
，即可判断A、B，
设向量
与的夹角为
，表示出
，由
，可得
，求出
的值，即可判断C、D.
【详解】由
，
，
，
所以
，
所以
当
时，
取得最小值，故A 正确；
当
最小时，
，所以
，所以
，故B 正确；
设向量
与的夹角为
，则
，
要使向量
与的夹角最小，则
最大，由于
，
所以
的最大值为1，此时
，则
，解得
，
此时
，所以当
时，
与的夹角最小，此时
，故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
【变式2】（23-24 高一下·河南·期中）在平面直角坐标系中，
，四边形
是矩形
且
.
(1)求点
的坐标；
(2)
与点
在同一平面直角坐标系中，当点
到
的距离的平方和最小时，求点
的坐
标.
【答案】(1)点
，点
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求出
并验证，再利用向量的坐标表示求解即得.
（2）设出点
的坐标，利用两点间距离公式建立关系式，配方求出最小值即得.
【详解】（1）依题意，
，由矩形
，得
，
解得
或
，当
时，
，不符合题意，而
时，
，
因此
，
，显然
，于是得
，
所以点
，点
.
（2）设
，依题意，
，当且仅当
时取等号，
所以点
的坐标为
.
【变式3】已知直线
，直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A，B
两点．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)已知点
，当
最小时，求实数m 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解；
（2）有（1），设直线方程为
，可得
，根据平面向量数量积的坐标表示和基
本不等式中“1”的用法可得直线l 的方程，即可求解.
【详解】（1）已知直线
，
则
，
由
，解得
，
即直线l 过定点
；
（2）设直线的方程为
，
则
，又直线l 过定点
，
则
，又点
，则
，
当且仅当
即
即
时取等号，
所以直线l 的方程为
，
所以直线l 过
，即
，
解得
．
一、单选题
1．（23-24 高一下·山西·阶段练习）已知
，
，则
（ ）
A．7
B．
C．9
D．
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标运算求解即可.
【详解】因为
，
，所以
．
故选：B．
2．（23-24 高一下·新疆·期末）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求值.
【详解】因为
，所以
，解得
.
故选：A
3．（23-24 高一下·陕西安康·期中）已知向量
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由
，
可得
，
所以
，
故选：B
4．（23-24 高一下·山东济宁·期中）已知向量
，若向量
在向量
上的投影向量为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接由投影向量的定义建立方程，结合向量相等即可求解.
【详解】由题意
，因为
，
所以
，解得
.
故选：B.
5．（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量
，则与
共线且反向的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】根据单位向量及相反向量的定义计算即可.
【详解】与
共线且反向的单位向量为
.
故选：B
6．（23-24 高一下·广东广州·期中）在四边形
中，
，则四边形
的面积
为（ ）
A．
B．
C．30
D．15
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及坐标求模，再列式求出四边形面积.
【详解】在四边形
中，
，
，
即
，又
，
所以四边形
的面积
.
故选：D
7．（23-24 高一下·山东威海·期末）已知
，向量
，
，则存在
和
，使得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量坐标的数量积运算、运算律应用以及向量共线的充要条件判断，对选项进行逐一分析、
计算即得.
【详解】对于A，因
，则
，则
，
故
，即
不能成立，即A 错误；
对于B，
，
因
，则
，则
，故
，即B 错误；
对于C，由B 项可得
，同理
，
因
，则
，则
，故
，即C 错误；
对于D，由
和
可得，
，
即若取
时，有
，此时
满足
，故D 正确.
故选：D.
8．（23-24 高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形
式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其
中
，
是这个八边形上的任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，设点
，可得
，利用平面向量数量积的坐标运算可求得
的取值范围.
【详解】正八边形的每个内角为
，
延长
交直线
于点
，延长
交直线
于点
，
，则
为等腰直角三角形，
且
，
以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
、
、
，
设点
，则
，
，
，
所以，
，
故选：B.
二、多选题
9．（23-24 高二上·湖南岳阳·期末）已知向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
与
的夹角为
D．若
在
上的投影向量为
【答案】AD
【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向
量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D.
【详解】因为
，所以
，故A 正确；
由已知可得
，
，故B 错误；
因为
，又
，所以
，故C 错误；
在
上的投影向量为
，故D 正确.
故选：AD.
10．（24-25 高三上·陕西·阶段练习）已知向量
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角可能为
D．向量
与
不可能垂直
【答案】AD
【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标
表示可判断选项D.
【详解】对于A:因为
，所以
，故A 正确.
对于B:因为
，所以
,
当
时,
，故B 错误.
对于C:因为
，二者不可能反向，所以
与
的夹角不可能为
，故C 错误.
对于D:因为
所以
,
令
,
无解，所以向量
与
不可能垂直，故D 正确.
故选：AD.
11．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）在平面四边形
中，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A，利用向量数量积的定义计算推出
，得等边三角形
，即可判断；对于B，利用
题设等式，构造
推出
，再利用向量数量积的运算律可判断；对于C，根据A,B 的
结论，作出图形即得
与
不平行，排除此项；对于D，依题建系，求出向量坐标，利用向量数量积的
坐标公式计算即得.
【详解】对于A，因
，
，
又
，则可得
，故
为等边三角形，则
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
．则
，
即
，故
，
因
，
故
，即B 正确；
对于C，根据以上分析，可作图如下：
由于
为等边三角形，而
是等腰直角三角形，故
与
不平行，即C 错误；
对于D，建立如上图所示的平面直角坐标系，则
，
，
则
，
，故
，即D 正确．
故选：ABD．
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知
，为正实数，
，当
时，
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算，再结合基本不等式得出参数的范围.
【详解】
，
，
又
，
整理得
为正实数，
，即
，
当且仅当
，即
时，取等号，
.
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知
，
，若
与
的夹角是钝角，则实数
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.
【详解】因为
与
夹角为钝角，
可以得出
，解得：
，
且
不平行，则
，
即
且
，即
.
故答案为：
14．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知
中，
为
上一点，且
，垂足为
，则
．
【答案】
/
【分析】以
为坐标原点，
所以直线为
轴，
轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出
的
坐标，即可求出结果.
【详解】
如图，以
为坐标原点，
所以直线为
轴，
轴，建立平面直角坐标系，
因为
，
，所以
，则
，
又
，过
作
于
，易知
，所以
,
得到
，设
，
则
，所以
，
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一上·北京·期末）已知向量
，
，
．
(1)求
；
(2)若向量
，试用
表示
；
(3)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可；
（2）按照向量的坐标运算解方程即可；
（3）先求出向量
的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
所以
.
（2）由题可知
与
不共线，故设
(
)，
即
，
所以
，解得
，
．
因此
.
（3）由题意得
．
因为
，
所以
，
解得
.
16．（23-24 高一下·江苏·阶段练习）已知向量
，
，
．
(1)求
的最小值及相应t 的值；
(2)若
与共线，求
与的夹角．
【答案】(1)
；
；
(2)
【分析】（1）将
的坐标代入，求得
，由二次函数的最值即可求得；
（2）由
与共线的坐标表达式求得
，再运用两向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）由
，
,可得
，
则
，
故当
时，
取得最小值为
，即
时，
；
（2）因
，
，
由
与共线可得，
，解得，
，
则
，
，
，
于是
，
因
，则
与的夹角为
.
17．（23-24 高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
，
为
直线
上的动点．
(1)若四边形
是平行四边形，求点
的坐标；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出点
的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得.
（2）求出直线
方程后可设出
的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得.
【详解】（1）设
，由
，
，
，
则
，
，
由四边形
是平行四边形，则
，
即
，解得
，
即点
的坐标是
；
（2）由
，故直线
的方程为
，设
，
则
，
，
故
，
故
.
18．（23-24 高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形
中，已知
，
，
，
，对角线
交
于点
，点
在
上，且
．
(1)求
的值；
(2)若
为线段
上任意一点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以
为原点，
、
分别为
、
轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点
、
的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得
的值；
（2）设
，其中
，求出向量
、
的坐标，利用二次函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）解：以
为原点，
、
分别为
、
轴建立平面直角坐标系，
则
、
、
、
，
因为
，
，
，
所以
，所以
，所以点
，
设
，则
，
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，
，则
．
（2）解：由（1）知，
，设
，其中
，
则
，
所以
，
因为
，故当
时，
取得最大值
，
当
时，
取得最小值
，
故
的取值范围为
．
19．（24-25 高三上·河南·期中）如图，我们把由平面内夹角成
的两条数轴Ox，Oy 构成的坐标系，称
为“完美坐标系”.设
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，若向量
，则把实数对
叫做向量
的“完美坐标”.
(1)若向量
的“完美坐标”为
，求
；
(2)已知
，
分别为向量
，
的“完美坐标”，证明：
；
(3)若向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，设函数
，
，求
的值域.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先计算
的值，再由
，利用向量数量积的运算律计算
即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算
并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算
，设
，求出
，将
转化成
，结合二次函数的图象即可求得
的值域.
【详解】（1）因为
的“完美坐标”为
，则
，
又因为
，
分别为Ox，Oy 正方向上的单位向量，且夹角为
，
所以
,
，
所以
.
（2）由（1）知
，
所以
，
即
.
（3）因为向量
，
的“完美坐标”分别为
，
，
由（2）得
.
令
，则
，
因为
，所以
，即
，
令
，
因为
的图象是对称轴为
，开口向上的抛物线的一部分，
所以当
时，
取得最小值
，
当
时，
取得最大值
，
所以
的值域为
.
【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复
杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数
的图象性质特征求解即可.
