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第04 讲 导数与函数的极值、最值
课程标准
学习目标
1．理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利
用导数求函数极值的方法；
2．注意结合函数的图象理解用导数求函数极值
的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问
题和解决问题的思维习惯；
3．了解函数最值的有关概念；
4．会用函数的导数求函数的最值。
1.了解函数的极大（小）值与导数的关系；
2.理解极大值、极小值的概念掌握；
3.掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值
的求法；
4.了解函数的最值与极值的区别和联系；
5.理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过
三次的多项式函数的最大（小）值的求法。
知识点01 函数的极值点、极值
1．极值与极值点的定义
（1）函数的极小值
如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极小值，记作
．
（2）函数的极大值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极大值，记作
．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时
x0是f(x)的极大值点．
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时
x0是f(x)的极小值点．
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
【解读】一般地，如果
是
的极值点，且
在
处可导，则必有
.
（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；
（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；
（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大
值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；
（4）
只是可导函数
在
处取得极值的必要条件，不是充分条件。
3．求函数极值的步骤
①先确定函数
的定义域；
②求导数
；
③求方程
的解；
④检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
【解读】“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0 得x＝0，
但0 不是f(x)＝x3的极值点．
【即学即练1】（24-25 高二下·甘肃定西·阶段练习）函数
的极大值为（ ）
A．
B．0
C．e
D．1
知识点02 函数的最值
1..函数最值的定义
（1）最大值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总
有
，那么称
为函数在定义域上的最大值。
（2）最小值：如果在函数
的定义域
内存在一点
使得任意一点
，使得对任意的
，总
有
，那么称
为函数在定义域上的最小值。
2.对函数最值的定义理解
（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。
（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。
（3）函数
在
上连续，是函数
在
上有最大值或最小值的充分而非必要
条件。
3.函数极值与最值的关系
一般地，如果函数
在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是
某个极值点；如果函数
的定义域为
且存在最值，函数
在
内可导，那么函数
的最值点要么是区间端点
或
，那么是极值点。
【解读】求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是
在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一
的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，
并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
知识点03 恒成立、有解问题的解法
1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在
上存在最值，
在
上存在最值：
对于任意的
，总存在
，使得
；
对于任意的
，总存在
，使得
；
若存在
，对于任意的
，使得
；
若存在
，对于任意的
，使得
；
对于任意的
，
使得
；
对于任意的
，
使得
；
若存在
，总存在
，使得
若存在
，总存在
，使得
．
【即学即练3】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
，若
在函数定义域内恒
成立，则k 的取值范围是 ．
题型01 函数极值点的辨析
【典例1】（24-25·吉林·高二检测）已知
是
的导函数，则“
”是“
是函数
的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（23-24 高二下·湖北孝感·阶段练习）（多选）判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极大值一定比极小值大
B．对于可导函数
，若
，则
为函数的一个极值点
C．若
在
内恒成立，则函数
在
内一定没有极值
D．一元三次函数在
上可能不存在极值
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，存在极值点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
有2 个零点
B．若
，则
在
上既有极大值，又有极小值
C．若
，则
在
上没有极值
D．若
，则
在
上必有极小值
【变式4】（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）已知函数
，
为
的导函数，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的极小值为
D．
在
上单调递增
题型02 导函数图象与极值的关系
【典例2】（24-25 高二下·北京·期末）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
（ ）
A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值
【变式1】（23-24 高二上·安徽·期末）已知函数
为连续可导函数，
的图像如
图所示，以下命题正确的是（ ）
A．
是函数的极大值 B．
是函数的极小值
C．
在区间
上单调递增 D．
的零点是
和
【变式2】（23-24 高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递增 B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
处取得极大值 D．函数
有最大值
【变式3】．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数y = f (x)的导函数y = f
′ (x)图像如图所示，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是极大值点
C．
在区间
内一定有
个极值点
D．
的图像在点
处的切线斜率等于
【变式4】（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）已知可导函数
的部分图象如图所示，
为函数
的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 求不含参函数的极值
【典例3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【变式1】（24-25 高三上·江苏南通·期中）函数
的极大值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．4
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
的极大值点为
C．
的极小值为
D．
的极大值为
【变式3】（23-24 高三上·广东东莞·阶段练习）若函数
，则
的极大值点为
.
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的极大值与极小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 求含参函数的极值
【典例4】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)求函数
的极值.
【变式1】（24-25 高三上·河南·期中）已知向量
，
.若存在不同时为零的实数
和，
使得
，
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求（1）中的
在
上的极值.
【变式2】（24-25 高三上·山东济南·期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
（ⅰ）求
的极值；
（ⅱ）若
的极小值小于0，求
的取值范围．
【变式3】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设函数
，讨论
的单调性并
判断
有无极值，若有极值，求出
的极值．
【变式4】（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极大值．
题型05 根据函数的极值求参数
【典例5】（24-25 高二下·全国·随堂练习）函数
在
处有极小值
，则
的
值等于（ ）
A．0
B．6
C．3
D．2
【变式1】（23-24 高二上·天津滨海新·期中）函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．6
【变式2】（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
有极值
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【变式3】（23-24 高三上·广东潮州·期末）若函数
在
上有极值，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
题型06 根据极值点求参数
【典例4】（24-25 高二·全国·专题练习）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数
在区间
上有极值点，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）若
是函数
的一个极值点，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【变式3】（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知函数
，则“
有极值”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4】（24-25 高二下·全国·课后作业）写出“使得函数
在区间
上有唯一极
值点”的整数
的一个值 ．
题型07 函数极值与最值的辨析
【典例7】（24-25 高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值
C．若
在
上有极大值，则极小值一定是在
和
处取得
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值
【变式1】（24-25 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数f（x），其导函数
的大致图象如图所
示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数
在x＝c 处取得最大值，在
处取得最小值
C．函数
在x＝c 处取得极大值，在
处取得极小值
D．函数
的最小值为
【变式2】（24-25 高三·上海·随堂练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）．
A．函数
的最大值不一定是它的极大值
B．函数
的极大值可能小于它的极小值
C．函数
在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值
D．函数
在开区间不存在最大值和最小值
【变式3】（23-24 高二下·吉林长春·期中）已知定义在R 上的可导函数
和
的导函数f
′ (x)、
图象如图所示，则关于函数
的判断正确的是（ ）
A．有1 个极大值点和2 个极小值点
B．有2 个极大值点和1 个极小值点
C．有最大值
D．有最小值
题型08 求（不含参）函数的最值
【典例8】（2025 高三·全国·专题练习）设m 为实数，函数
，直线
是曲线
的切线，则
的最小值为 ．
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）函数
的最小值为 ，最大值为 ．
【变式2】（25-26 高三上·上海·单元测试）若
是
的极值点，则
在
上
的最大值是 ．
【变式3】（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
，
的最大值为 .
【变式4】（2024·全国·二模）已知圆锥的轴截面是底角为θ 的等腰三角形，圆锥的底面半径为
，圆锥内
有一个内接圆柱，则圆柱体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 求含参函数的最值
【典例9】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中
，求函数
在区间
上的最小值
．
【变式1】（24-25·青岛·高二·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求函数
在
上的最小值.
【变式2】（24-25 高二下·全国·课前预习）当
时，求函数
在
上的最值．
【变式3】（23-24 高二下·湖南益阳·期中）已知
（a 为常数）在
上有最大值3，
则此函数
在
上的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 已知函数最值求参数
【典例10】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
，若函数
在
上存在最小值，则a 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【变式1】（2024·上海静安·二模）已知实数
，记
．若函数
在区间
上的最小值为
，则
的值为 ．
【变式2】（23-24 高二下·江苏淮安·阶段练习）已知函数
，在
上的最小值为
，
则实数
的值为 ．
【变式3】（23-24 高二下·河南·阶段练习）已知
，若函数
有最小值，则实
数
的最大值为 .
【变式4】（24-25 高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x [
∈－1，2]的最大值为3，最小值为
－29，求a，b 的值．
题型11 不等式恒成立问题
【典例11】（24-25 河北·衡水·高二期末）已知
，
，若
，
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 高三上·上海·期末）若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值
范围为 .
【变式2】（23-24 高二下·山东·期中）若
，则实数a 的取值范围为
【变式3】（24-25 高二下·浙江·期中）已知
，对任意
都有
，则实数
的取值范围是 .
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，函数
，若恒有
，求
的取值范围.
题型12 不等式有解问题
【典例12】（2025 高三·全国·专题练习）函数
，若存在
，使
有解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三·全国·专题练习）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围 ．
【变式2】（23-24 高二下·天津东丽·阶段练习）已知
，
，若
，
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【变式4】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围．
题型13 函数的零点问题
【典例13】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，求函数
在区间
上零点的个数．
【变式1】（2024 高二上·全国·专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）（多选）关于函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
有两个极值点
B．
的图象关于
对称
C．
有三个零点
D．
是
的一个零点
【变式3】（2024 高二上·全国·专题练习）已知曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求a，b；
(2)若函数
有两个零点，求实数m 的取值范围．
【变式4】（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
．
(1)求函数的单调区间；
(2)求
的零点个数．
(3)
在区间
上有两个零点，求m 的范围？
一、单选题
1．（24-25 高二上·陕西西安·期末）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值为
，无极小值
B．函数
的极小值为
，无极大值
C．函数
的极大值为0，无极小值
D．函数
的极小值为0，无极大值
2．（23-24 高二下·四川遂宁·期中）函数
的导函数f
′ (x)的图象如图所示，则（ ）
A．
是函数
的极小值点
B．3 是函数
的一个极值点
C．
在
处的切线的斜率大于0
D．
的单减区间为
3．（23-24 高二下·湖北·期中）若函数
的极小值点为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
在区间
上的最大值、最小值分别为
，则
（ ）．
A．14
B．16
C．18
D．20
5．（24-25 高三·上海·随堂练习）函数
在区间
上存在最值，则实数a 的取值范
围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
，
，若
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高二下·河南开封·期末）已知函数
有两个不同的极值点
，
，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高二上·全国·课后作业）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
，
为奇函数
B．当
时，
单调递增
C．
，使得
恰有一个极值点
D．当
时，
存在三个零点
10．（2024·全国·模拟预测）设函数
，记
的极小值点为
，极大值点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
11．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导数，若方
程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
，
B．函数
的极大值与极小值之和为6
C．函数
有三个零点
D．函数
在区间
上的最小值为1
三、填空题
12．（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
上有极值点，则实数
的
取值范围是 .
13．（2024 高二上·全国·专题练习）已知
，
，若存在
，
，使得
成立，则实数a 的取值范围是 .
14．（24-25 高三上·山东泰安·阶段练习）若函数
的图象上恰好有两对关于
轴对称的
点，则正实数
的取值范围为 .
四、解答题
15．（24-25 高三上·上海·期中）已知
.
(1)求函数
的导数；
(2)求函数
的单调区间和极值.
16．（24-25 高三上·甘肃天水·阶段练习）已知
在
处取得极值.
(1)求实数
的值；
(2)求
在区间
上的最大值.
17．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最大值是
，求a 的值．
18．（24-25 高三上·上海松江·期中）已知函数
.
(1)求函数
在
上的单调减区间；
(2)若函数
在区间
上有且只有两个极大值点，求实数
的取值范围.
19．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)设函数
，若存在
，对任意的
，总有
成立，求实数
的取
值范围.
