文档文本内容
第04 讲 单位圆与三角函数线
课程标准
学习目标
1．了解三角函数线的意义，能用三角
函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．
(重点)
2．能利用三角函数线解决一些简单的
三角函数问题．
1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象
和直观想象核心素养．
2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直
观想象核心素养.
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足
的点做成的集合，角
的终边与单位
圆相交于点
，如图，
则
，
，
，则角
的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角
的终边与单位圆的交点
作
轴的垂线，垂足为
；
（2）角
的终边（或其反向延长线）与直线
交于点
。
3、正弦线的定义：
为角
的正弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
4、余弦线的定义：
为角
的余弦线
的方向与
轴的正方向相同时，表示
是正数，且
；
的方向与
轴的正方向相反时，表示
是负数，且
。
【即学即练1】（2024 高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α 的正弦线、正切线完全正确的是（
）
A．正弦线为
，正切线为
B．正弦线为
，正切线为
C．正弦线为
，正切线为
D．正弦线为
，正切线为
【答案】C
【分析】根据三角函数线的定义得到答案.
【详解】角
在第三象限，故正弦线为
，正切线为
.
故选：C
知识点02 正切线
1、正切线的定义：
为角
的正切线
当角
的终边在第二、三象限或
轴的负半轴上，终边与直线
没有交点，但终边的反向延长线
与
有交点，而且交点的纵坐标也正好是角
的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向
轴上的垂足；正切线由切
点指向切线与
的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点
）在前，终点（比如点
）在后，写为
【即学即练2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）角
和角
有相同的（ ）
A．正弦值
B．余弦值
C．正切线
D．不能确定
【答案】C
【分析】根据角
和角
的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答
案.
【详解】因为
，可知角
和角
的终边互为反向延长线，
即两个角的终边在同一条直线上，设为直线，
因此，过点
作单位圆的切线，与直线有且只有一个交点
，
可得
，都等于有向线段
的长，即两角有相同的正切线.
故选：C
题型01 三角函数线的作法
【典例1】（24-25 高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可.
【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT 分别表示
的正弦线、余弦线、正切线.
（2）如图，有向线段DP，OD，AT 分别表示
的正弦线、余弦线、正切线.
【变式1】（24-25 高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线；
（3）在
上，和
终边相同的角是
，再作出正弦线即可.
【详解】（1）如图所示，正弦线为
（2）如图所示，正弦线为
（3）因为
，所以
的正弦线和
的正弦线一样，如图所示，正弦线为
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知
，在单位圆中角θ 的正弦线、余弦线、正切线分
别是
，则它们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据角的范围，画出
的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解.
【详解】画出图象如下图所示，由图可知，
.
题型02 利用三角函数线比较大小
【典例2】（（24-25 高一上·全国·课后作业）把
，
，
，
由小到大排列为
．
【答案】
【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小.
【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以
为圆心作单位圆，分别作出已知角，
则
，
，
，
．
而
，
∴
，
∴
．
故答案为：
【变式1】（23-24 高一下·北京顺义·阶段练习）已知
，那么下列命题成立的是（ ）
A．若
，
是第一象限角，则
B．若
，
是第二象限角，则
C．若
，
是第三象限角，则
D．若
，
是第四象限角，则
【答案】D
【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，若
，
是第一象限角，且
，作出三角函数线，如图1 所示，
则
，因为
，所以
，所以A 错误；
对于B 中，若
，
是第二象限角，且
，作出三角函数线得到有向线段
，
如图2 所示，则
，所以
，所以B 错误；
对于C 中，若
，
是第三象限角，且
，作出三角函数线得到有向线段
，
如图3 所示，则
，所以
，所以C 错误；
对于D 中，若
，
是第四象限角，且
，作出三角函数线得到有向线段
，
如图4 所示，则
，所以
，所以D 正确.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦线的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
，
在单位圆中，观察正弦线
可知，
在区间
，
的长度随着
增大而增大，
所以
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·北京·期中）若
，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角
的正弦线、余弦线和正切线，再由
的范围比较
三角函数线的大小即可.
【详解】由三角函数线定义作出如图：
是角
的终边，圆
是单位圆，
则
，
，
，
，
，即
.
故选：D
题型03 利用三角函数线解不等式
【典例3】（24-25 高一下·广西北海·期中）在
上，使不等式
成立的x 的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象，即可求解．
【详解】由
，则
，
又
，所以所求集合为
．
故选：A．
【变式1】（2024 高一·全国·专题练习）使
成立的x 的一个变化区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数线，即可得出相应的区间.
【详解】当x 的终边落在如图所示的阴影部分时，满足
．
故选：A
【变式2】若
，且
，
，利用三角函数线，得到
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据单位圆及三角函数线直接求解即可.
【详解】如图所示单位圆，由于
，
，若
终边为
（不可取），
所以满足
，且
，
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高一下·上海·假期作业）（1）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
（2）已知
，求：满足条件的角
的取值范围；
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得
.
（2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得
或
.
【详解】（1）由
可知，角x 对应的正弦线方向朝上，而且长度为
，
作示意图，如图所示，
可知角
的终边可能是
，也可能是
，
又因为
，所以
或
，
再由图可知，如果
的终边在
中，则一定有
，
因此，满足条件的角
的取值范围
.
（2）画出单位圆中三角函数线，如图．
由图可知角
的范围是：
或
.
题型04 利用三角函数线证明不等式
【典例4】（24-25 高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若
，则
.
【答案】证明见解析
【分析】通过三角函数线可得：
，
，
，则只需比较
，
，
的大小，
转换为面积，即可得到大小关系，得证.
【详解】证明：如图，由三角函数线得：
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
.
【变式1】（2024 高一·上海·专题练习）若
，证明：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；
（2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证.
【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角
，角
的正弦线
和余弦线
.
由
，
为直角三角形，且
，
，
，
在
中，
，所以
.
（2）如图，
，
分别为角
的正弦线和正切线，连结
，
由
，显然有
，
而
，
，
，
所以
，即
.
题型05 新定义问题
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、
正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数
，正割函数
，余割函数
，正矢函数
，余矢函数
.如图角
始边为
轴的非负半轴，其终边与单位圆交点
，
、
分别是单位圆与
轴和
轴正半轴的交点，过点
作
垂直
轴，作
垂直
轴，垂足分别为
、
，过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线分别
交
的终边于
、，其中
、
、
、
为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知
，
，
，然后结合新定义简单
计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得
，
对于A，因为
，即
，故A 错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得
，故D 错误.
故选：C.
【变式1】（23-24 高一下·湖北·期末）如图所示，角
（
）的顶点为坐标原点，始边与
轴的非
负半轴重合，其终边与单位圆的交点为
，分别过点
作
轴的垂线，过点
作
轴的垂线交角
的终边于
，，根据三角函数的定义，
．现在定义余切函数
，满足
，则下列表示正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形相似，即可求解.
【详解】由图象可知，
，
则
，即
，
所以
.
故选：D
一、单选题
1．已知角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则
的终边在（ ）
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
【答案】C
【分析】由题意可知角
终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，即可得出答案.
【详解】因为角
的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，
所以角
终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，
所以
的终边在第二、第四象限的角平分线上.
故选：C.
2．如图，已知点A 是单位圆与x 轴的交点，角
的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x 轴于M，过点A 作单
位圆的切线交角
的终边于T，则角
的正弦线余弦线正切线分别是（
､
､
）
A．有向线段OM，AT，MP
B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM
D．有向线段MP，OM，AT
【答案】D
【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角
的正弦线余弦线正切线
､
､
.
【详解】由题图知：圆O 为单位圆，则
，
且
，
故角
的正弦线余弦线正切线分别是有向线段
､
､
MP，OM，AT.
故选：D
3．（23-24 高一下·上海·假期作业）若
，
，则
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】B
【分析】作出
的正弦线、余弦线，即可判断.
【详解】因为
，作出
的正弦线
，余弦线
，
所以
，
，所以
，即
．
故选：B
4．如果
，则角
与
的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于直线
对称
D．关于原点对称
【答案】A
【分析】由单位圆中的余弦线即可求解.
【详解】如图：角
的终边与单位圆相交于点
，过点
作
轴于点
，
由三角函数线的定义可知：
，
由图知：设角
的终边与单位圆相交于点
，当角
的终边与角
的终边关于
轴对称时，
过点
作
轴的垂线，则垂足为点
，所以
，
所以当角
与
的终边关于
轴对称时，
，
故选：A.
5．在
上，利用单位圆，得到
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.
【详解】如图所示，
在单位圆中，设
，则
，
，
，
由图形可得在第一象限
均大于0，
在第一象限恒成立，即
在第一象限
恒成立，以
为分界线，当
时，
即
，当
时，
即
；综上
在第一象限无解；
由图形可得在第二象限
大于0，
均小于0，所以
在第二象限无解；
由图形可得在第三象限
小于0，
大于0，所以
在第三象限无解；
有图形可得在第四象限
大于0，
小于0，且
恒成立，即
在
恒
成立，所以
在第四象限的解为
，
综上
在
的解集为
，
故选：C
6．
,
,
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在单位圆中作出1 弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．
【详解】如图所示,作出1 弧度角的正弦线余弦线正切线分别为
､
､
,
,
,由图知
,
,
,且
,所以
.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数
式的大小等．
7．若0<α<2π，且sinα<
，cosα>
，则角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
∪
【答案】D
【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示.
【详解】角α 的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：
即
∪
故选：
.
【点睛】本题考查由三角函数值的范围，求角度的范围，涉及三角函数线的应用，属基础题.
8．已知
，
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，故可得
，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为
，故可得
，
根据指数函数
是单调减函数，
可得
，即可得
；
根据幂函数
是单调增函数，
可得
，即可得
综上所述：
.
故选：A.
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中
档题.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
一定时，单位圆中的正弦线也一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．
和
有相同的余弦线
D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
【答案】AD
【分析】根据三角函数线的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，单位圆中，
一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A 正确．
对于B，
与
有相同的正弦线，但
，所以B 错
对于C，
和
的余弦线相反，所以C 错，
对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同
一条直线上，所以D 正确．
故选：AD
10．（23-24 高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用诱导公式及三角函数的单调性判断A、B，利用三角函数线证明当
时
，
即可判断C、D.
【详解】对于A：
，
，所以
，故A 错误；
对于B：因为
，且
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
，又
，
所以
，故B 正确；
对于C、D：首先证明当
时
，
构造单位圆
，如图所示：
则
，设
，则
，
过点
作直线
垂直于
轴，交
所在直线于点
，
由
，得
，所以
，
由图可知
，
即
，
即
，
所以
，
，故C 正确，D 错误；
故选：BC
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆与x 轴正半轴交于点
．已知点
在圆
O 上，点T 的坐标是
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
，则
D．若
，则
【答案】AD
【分析】根据弧长公式
可判断A 的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B 的正误；当
时，
可知
可判断C 的正误；当
时
成立，故
也一定满足，此
时可判断D 的正误.
【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有
，所以A 正确．
由于B 是∠AOB 的一边与单位圆的交点，
是对应∠AOB 的正弦值，即
，所以
是对应∠AOB
的余弦值，即
，所以B 错误．
当
时，
，
，所以C 错误．
反过来，当
，即
时，
一定成立，所以D 正确．
故选：AD．
三、填空题
12．函数y＝lg(2sinx－1)＋
的定义域为 .
【答案】
【分析】要使函数有意义，则有
，由三角函数线可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.
【详解】要使原函数有意义，必须有
即
，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为
,取交集可得
原函数的定义域为
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查利用三角函数线解不等式，属于基础题.
13．已知角
，则
的大小关系为 ．
【答案】
/
【分析】在单位圆中画出角
并确定正弦线、正切线，即可判断大小关系.
【详解】如下图示，在单位圆中
，
轴，
轴，且
，
所以
，
，
，
△
的面积
，
扇形
的面积
，
△
的面积
，
由图知：
，故
.
故答案为：
