文档文本内容
第03 讲 复数的加减运算
课程标准
学习目标
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地
进行复数的加减运算；
2．理解复数加减法运算的几何意义，并能
应用其解决相关的问题.
1．掌握复数的加减法法则，并能灵活应用，重点提升
数学运算核心素养；
2．理解复数加减法的几何意义，重点培养直观想象核
心素养.
知识点01 复数的加法
1、复数的加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、复数加法的运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 复数的减法
1、复数的相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi 叫做a＋bi 的相反数．
2、复数的减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个
复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
【即学即练2】（24-25 高一·上海·随堂练习）
．
知识点03 复数加法与减法的几何意义
1、复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、
y2∈R)，
其对应的向量⃗O Z1=( x1，y1)，⃗O Z2=( x2，y2)，
如图1，且⃗O Z1和⃗O Z2不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ 所对应的向量⃗OZ =⃗O Z1+⃗O Z2，
而⃗O Z1+⃗O Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数减法的几何意义：复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数z1−z2与向量⃗O Z1−⃗O Z2等于⃗Z2Z1）对应，这就是复数减法的几何意义．
【解读】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个
复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
3、三角不等式：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【即学即练3】（23-24 高一下·浙江·期中）已知复数
，
，则
在复平面内对应的点
位于第 象限．
题型01 复数的加法运算
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数
，
，若
所对应
的点在实轴上，则
的值为（ ）
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
【变式1】（23-24 高一下·北京东城·期末）已知复数
，
，则在复平面内表示复数
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式2】若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一·天津宝坻·阶段练习）已知复数
，
，则
的实部与虚部分别
为（ ）
A．，
B．，
C．
，
D．
，
【变式4】（24-25 高一下·广西·期中）已知
，
，
，则
（ ）
A．－4
B．7
C．－8
D．6
题型02 复数的减法运算
【典例2】（23-24 高一下·贵州毕节·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数
满足
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2】（（23-24 高一下·陕西西安·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·广东湛江·期末）若
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
题型03 根据复数加减法运算的结果求参数
【典例3】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
对应的点在第四象限内，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数
，
，
为实数，若
为实数，
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·山东·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知复数
是虚数单位，若
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2022·河南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 复数加减法几何意义的运用
【典例4】（24-25 高一·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·福建漳州·一模）已知复数
，在复平面内，复数
，
对应的点分别为
，
，
且点
与点
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式3】（24-25 高一下·江苏常州·期末）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2025·全国高一专题强化）已知复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
一、单选题
1．（24-25 高一下·福建福州·阶段练习）复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
4．（2024·湖北·模拟预测）已知复数
，为虚数单位)，若
且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·湖南·期末）若在复平面内，复数
所对应的点为
，则
的实部与虚部的差为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
6．（23-24 高一下·河北·期中）已知
，则
的虚部为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
7．（23-24 高一下·广东江门·期末）已知复数
，则复平面内点
满足
的
图形的面积是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
8．（24-25 高一·浙江·期中）已知复数
，
和
满足
，若
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．1
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
满足
（
，
）且
，则
（ ）
A．
B．
C．
的虚部为
D．
的实部为
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
，
，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
是复数，则以下结论错误的是（ ）
A．若
，则
，且
B．若
，则
，且
C．若
，则向量
和
重合
D．若
，则
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量
、
分别对应复数
、
，则
对
应的复数为
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）若
，且
为纯虚数，则复数
．
14．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）在复平面内，复数
，
对应的点关于直线
对称，若
，则
．
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课后作业）计算下列各题．
(1)
；
(2)
．
16．（23-24 高一·上海·课堂例题）已知复数
，
，其中
．
若
，求
的值．
17．（23-24 高一下·广东梅州·期中）已知复数
，
．
(1)若
是纯虚数，求
的值；
(2)若
在复平面内对应的点位于第二象限，求
的取值范围．
18．（23-24 高一下·山西·期中）已知
，复数
，
.
(1)若
在复平面内对应的点位于第三象限，求
的取值范围；
(2)设
为坐标原点，
，
在复平面内对应的点分别为
，
（不与
重合），若
，求
.
19．（24-25 高一·上海闵行·阶段训练）已知
，复数
在复平面上对应
的点分别为
为坐标原点.
(1)求
的取值范围；
(2)当
三点共线时，求三角形
的面积.
