文档文本内容
第03 讲 复数的加减运算
课程标准
学习目标
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地
进行复数的加减运算；
2．理解复数加减法运算的几何意义，并能
应用其解决相关的问题.
1．掌握复数的加减法法则，并能灵活应用，重点提升
数学运算核心素养；
2．理解复数加减法的几何意义，重点培养直观想象核
心素养.
知识点01 复数的加法
1、复数的加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、复数加法的运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接根据复数加法规则进行计算即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：B
知识点02 复数的减法
1、复数的相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi 叫做a＋bi 的相反数．
2、复数的减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个
复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
【即学即练2】（24-25 高一·上海·随堂练习）
．
【答案】
【分析】直接由复数的加减法即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
知识点03 复数加法与减法的几何意义
1、复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、
y2∈R)，
其对应的向量⃗O Z1=( x1，y1)，⃗O Z2=( x2，y2)，
如图1，且⃗O Z1和⃗O Z2不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ 所对应的向量⃗OZ =⃗O Z1+⃗O Z2，
而⃗O Z1+⃗O Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数减法的几何意义：复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数z1−z2与向量⃗O Z1−⃗O Z2等于⃗Z2Z1）对应，这就是复数减法的几何意义．
【解读】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个
复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
3、三角不等式：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
【即学即练3】（23-24 高一下·浙江·期中）已知复数
，
，则
在复平面内对应的点
位于第 象限．
【答案】二
【分析】利用复数的减法化简复数
，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】根据题意，
，
所以在复平面内对应的点为
，在第二象限．
故答案为：二
题型01 复数的加法运算
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数
，
，若
所对应
的点在实轴上，则
的值为（ ）
A．1010
B．1011
C．1012
D．1013
【答案】C
【分析】利用复数对应点的性质求解即可.
【详解】因为复数
，
，
所以
，
因为
所对应的点在实轴上，所以
，
解得
，故C 正确.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·北京东城·期末）已知复数
，
，则在复平面内表示复数
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置.
【详解】由
，
，
,
由复数的几何意义，可知
对应的是第一象限.
故选：A
【变式2】若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数
，则
.
故选：A.
【变式3】（24-25 高一·天津宝坻·阶段练习）已知复数
，
，则
的实部与虚部分别
为（ ）
A．，
B．，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】应用复数加法求
，根据实部、虚部定义得答案.
【详解】因为
，
，所以
，其实部与虚部分别为，
.
故选：A
【变式4】（24-25 高一下·广西·期中）已知
，
，
，则
（ ）
A．－4
B．7
C．－8
D．6
【答案】D
【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b 再计算即可.
【详解】因为
,即
，
所以
，解得
，所以
；
故选：D
题型02 复数的减法运算
【典例2】（23-24 高一下·贵州毕节·阶段练习）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用复数的减法运算求解.
【详解】若
，
，则
.
故选：A.
【变式1】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数
满足
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故选：B
【变式2】（（23-24 高一下·陕西西安·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的减法法则运算即可求解.
【详解】
．
故选：C
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的加减法运算法则求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：A.
【变式4】（23-24 高一下·广东湛江·期末）若
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【答案】C
【分析】根据题意求得
，进而求模长.
【详解】因为
，则
，
所以
.
题型03 根据复数加减法运算的结果求参数
【典例3】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
对应的点在第四象限内，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数对应点的性质求解即可.
【详解】由题意得
，
因为复数
对应的点在第四象限，
所以
，解得
，故B 正确.
故选：B
【变式1】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数
，
，
为实数，若
为实数，
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
为实数，
为纯虚数列方程求出
，进而可得
值.
【详解】因为
为实数，所以
，即
，
又
为纯虚数，所以
，即
且
，
综上可知
，所以
.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·山东·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可
【详解】由
，得：
，解得：
.
故选：A
【变式3】（2024·四川成都·二模）已知复数
是虚数单位，若
，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式加减运算和共轭复数的概念得到方程组，解出即可.
【详解】
，
则
，解得
，则其虚部为
.
故选：A.
【变式4】（2022·河南·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到
，进而可以求出结果.
【详解】设
，则
．由
得
，则
，
所以
，
题型04 复数加减法几何意义的运用
【典例4】（24-25 高一·天津河北·期中）如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可.
【详解】如图可得
,
所以
,
所以
.
故选：A.
【变式1】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）复数
与
分别表示向量
与
，则表示向量
的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数
与
分别表示向量
与
，
因为
，所以表示向量
的复数为
.
故选：C.
【变式2】（2025·福建漳州·一模）已知复数
，在复平面内，复数
，
对应的点分别为
，
，
且点
与点
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】A
【分析】先根据复数几何意义得
坐标，再根据对称得到
坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点
间距离公式得结果.
【详解】因为
，所以点
因为点
与点
关于直线
对称，所以
.
所以
故选:A.
【变式3】（24-25 高一下·江苏常州·期末）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.
【详解】在复平面中，设
分别与向量
对应，
由题意可得
，
，
因为
，
即
，解得
，即
.
故选：B.
【变式4】（2025·全国高一专题强化）已知复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】由复数减法的几何意义得
即可得出答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
的最大值为
．
故选：B
一、单选题
1．（24-25 高一下·福建福州·阶段练习）复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】
，则复数对应点为
，在第四象限.
故选：D.
2．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）复数
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的
取值范围.
【详解】复数
，
由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有
，解得
.
故选：A.
3．（23-24 高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用代数形式的复数运算，结合复数的定义计算即得.
【详解】依题意，复数
，由
是纯虚数，得
，
所以
.
故选：B
4．（2024·湖北·模拟预测）已知复数
，为虚数单位)，若
且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的模求出
，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由
且
，得
，解得
，
则
.
故选：B.
5．（23-24 高一下·湖南·期末）若在复平面内，复数
所对应的点为
，则
的实部与虚部的差为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据点对应的复数进行复数运算，再根据实部及虚部运算即可.
【详解】因为
，
所以
的实部为
，虚部为，
实部与虚部的差为
.
故选：D.
6．（23-24 高一下·河北·期中）已知
，则
的虚部为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的有关概念直接得出结果.
【详解】因为
，所以
则z 的虚部为2.
故选：A
7．（23-24 高一下·广东江门·期末）已知复数
，则复平面内点
满足
的
图形的面积是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数
的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可
【详解】因为
，
所以
因为
，
所以
，即
，
所以复平面内点
满足
的图形是以
为圆心，以2 为半径的圆，
所以它的面积为
，
故选：D.
8．（24-25 高一·浙江·期中）已知复数
，
和
满足
，若
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．3
C．
D．1
【答案】B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到
，再将
时各
复数的取值取出，即可得到
的最大值.
【详解】根据题意，得
，
当
，
，
时，
，此时
，
所以
.
故选：B.
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
满足
（
，
）且
，则
（ ）
A．
B．
C．
的虚部为
D．
的实部为
【答案】BC
【分析】根据题意结合复数的加法运算可得
，结合选项逐项分析判断.
【详解】因为
，则
，
可得
，解得
，
所以
，其虚部为
，实部为3，故BC 正确，AD 错误；
故选：BC.
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数
，
，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】化简给定复数，结合三角函数的有界性求解范围，最后得到取值即可.
【详解】
．
，
．
而
，
在取值范围内，故B，D 正确.
故选：BD
11．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
是复数，则以下结论错误的是（ ）
A．若
，则
，且
B．若
，则
，且
C．若
，则向量
和
重合
D．若
，则
【答案】AC
【分析】A 选项，根据复数的运算判断；B 选项，根据复数的模判断；C 选项，根据复数的几何意义判断；
D 选项，根据共轭复数的定义判断.
【详解】A 中
只能说明
，不一定有
，故A 错误；
B 中
，说明
，即
，故B 正确；
C 中
，说明
，但
与
方向不一定相同，故C 错误；
D 中
，则
，故
，故D 正确．
故选：AC.
三、填空题
12．（24-25 高二上·上海·阶段练习）在复平面内，向量
、
分别对应复数
、
，则
对
应的复数为
【答案】
【分析】根据复数与向量的对应关系，即可求解.
【详解】
，所以向量
对应的复数为
.
故答案为：
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）若
，且
为纯虚数，则复数
．
【答案】
【分析】设
（x，
），然后根据题意列方程组可求出
，从而可求出复数
.
【详解】设复数
（x，
），则
．
由题意知
或
．
故答案为：
14．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）在复平面内，复数
，
对应的点关于直线
对称，若
，则
．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式即可求解.
【详解】复数
，
对应的点关于直线
对称，
，则
，
故
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课后作业）计算下列各题．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的加减法运算可得答案；
（2）利用复数的加减法运算可得答案．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
16．（23-24 高一·上海·课堂例题）已知复数
，
，其中
．
若
，求
的值．
【答案】
【分析】利用复数的加法运算求得
，再由复数相等的条件列式求解．
【详解】
，
，其中
．
若
，则
，
，
则
，解得
．
17．（23-24 高一下·广东梅州·期中）已知复数
，
．
(1)若
是纯虚数，求
的值；
(2)若
在复平面内对应的点位于第二象限，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由实部为
且虚部不为
列式求解；
（2）由实部小于0 与虚部大于
得到不等式组，求出
的取值范围．
【详解】（1）
是纯虚数，
故
，解得
.
（2）
因为
在复平面内对应的点在第二象限，
所以
，解得
，
故
的取值范围为
．
18．（23-24 高一下·山西·期中）已知
，复数
，
.
(1)若
在复平面内对应的点位于第三象限，求
的取值范围；
(2)设
为坐标原点，
，
在复平面内对应的点分别为
，
（不与
重合），若
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）求出
，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得.
（2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出
，进而求出
，
，再求出复数的模.
【详解】（1）依题意，
，而
在复平面内对应的点位于第三象限，
则
，解得
，
所以m 的取值范围为
.
（2）依题意，
，
，
由
，得
，解得
或
，
而
时，
为原点，不符合题意，因此
，
，
，
，
所以
．
19．（24-25 高一·上海闵行·阶段训练）已知
，复数
在复平面上对应
的点分别为
为坐标原点.
(1)求
的取值范围；
(2)当
三点共线时，求三角形
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）易得
，再由
，利用基本不等式求解；
（2）根据
三点共线，由
得到
，再利用数量积求得夹角
，利用三角形的面积
公式求解.
【详解】（1）解：因为
，
所以
，
当且仅当
时取得等号，
所以
；
（2）因为
，
且
三点共线时，有
，
即
，
解得
此时
，
，
所以
，
所以
.
