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第04 讲 两角和与差的余弦
课程标准
学习目标
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两
角差余弦公式的意义。
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余
弦公式，了解它们的内在联系。
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。
1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公
式并熟记；
2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟
记；
3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角
函数求值问题。
知识点01 两角差的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解：
（1）公式中的
，
是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；
（2）
一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。
如：
，
时，
.
（3）要掌握公式的逆用：如
【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）
【答案】
【分析】
可以写成
，再根据两角差的余弦公式计算即可.
【详解】
．
知识点02 两角和的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解记忆：
（1）两角和的余弦公式中
，
也是任意角；
（2）理顺公式间的联系：
；
（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式
，
，用口诀“余余正正号相反”记忆公
式。
【即学即练2】（24-25 高一·河北衡水·期中）若
为锐角，且
，则
．
【答案】
【分析】根据两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】
为锐角，且
，
，
，
.
故答案为：
题型01 逆用公式化简求值
【典例1】（24-25 高一上·天津南开·期末）
的值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】
.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·山东东营·期末）
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用两角和余弦公式化简计算即可.
【详解】
.
故选：C
【变式2】（2024·山东·一模）计算：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案.
【详解】
.
故选：A.
【变式3】（2025 高二·云南·学业考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用逆用余弦差角公式得到答案.
【详解】
.
故选：A
【变式4】 （24-25 高一上·黑龙江绥化·期末）
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.
【详解】
.
故选：C
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.
【详解】
．
故选：C
题型02 求非特殊角的余弦值
【典例2】（24-25 高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式化简可得
，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为
.
故选：C.
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两角和的余弦公式求解.
【详解】
.
故选：B
【变式2】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：
.
【答案】0
【分析】由
，得
，然后利用两角和
与差的余弦公式化简计算即可
【详解】解：
，
故答案为：0
【变式3】（24-25 高一下·上海·课后作业）求值：
．
【答案】
【分析】将非特殊角
转化为特殊角
与
的和，然后由两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解：
.
故答案为：
.
题型03 给值求值
【典例3】（24-25 高一下·辽宁·期中）已知
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出
，
再利用和角的余弦公式进行求解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
，故A，C，D 错误.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一·全国·课后作业）在
中，若
，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】用余弦和角公式
展开，代入即可.
【详解】因为在
中，
，
，则
，
.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·河北·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
和
的值，利用
，即可求出
的值．
【详解】
，
，
故选：A.
【变式3】已知
为锐角，
为第三象限角，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数关系及角的范围可得
和
，再由
可
得解.
【详解】
为锐角，且
，
.
为第三象限角，且
，
，
.故选A.
【变式4】（24-25 高一上·陕西榆林·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，
计算出
，再由
展开公式即
可.
【详解】因为
，
，所以
，
，
所以
，
故选：B.
【变式5】（24-25 高一上·上海·随堂练习）
，
，
，
，则
.
【答案】
【分析】先利用同角三角函数基本关系求出
，再利用两角差的余弦公式进行求解.
【详解】
.
故答案为：
.
题型04 给值求角
【典例4】（2024 高三·全国·专题练习）若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由题设条件分别求出
和
的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【详解】因
则
.又
，则
，
可得
.
又
则
由
，可得
由
.
因
则
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知α，β 为锐角，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同角的三角函数关系求得
，进而利用两角各的余弦公式求得
，
可求
的值.
【详解】∵
为锐角，
，
∴
，
∴
．
又
，∴
.
故选：B．
【变式2】（24-25 高三上·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知求出
，再根据两角和的余弦公式求出
即可得解.
【详解】由
，得
，所以
，
又
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）
中，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知及差角余弦公式、三角形内角的性质得
，结合已知即可得答案.
【详解】由题设
，则
，
又
为三角形的内角，则
，而
，
所以
.
故选：B
【变式4】（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式化简，再结合诱导公式及余弦函数单调性求解.
【详解】由
，得
，
因此
，由
，得
，
又余弦函数
在
上递减，则
，所以
.
故选：C
【变式5】（24-25 高一上·湖北武汉·阶段练习）若
，
，且
，
，则
；
【答案】
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出
的值，再
根据
的范围确定其具体值.
【详解】因
，所以
，又
，所以
.
所以
，
同时也能确定
.
因为
，
，
，
所以
，
所以
因为
，
，所以
.
在这个区间内，
时，
.
故答案为：
.
题型05 余弦公式的灵活运用
【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
满足
，且
，
，则
的值为（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得
，结合
运算求解即
可.
【详解】由
，即
，可得
，
则
，
可得
，
因为
，即
，
可得
，
又因为
，即
，所以
．
故选：B．
【变式1】（24-25 高三上·湖北·期中）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设可得
、
，再由余弦差角公式即可得结果.
【详解】由
，即
，
由
，即
，而
，则
，
所以
，可得
.
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换得
，进一步即可求解.
【详解】
，
解得
，
所以
.
故选：D.
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角
的范围即可求解.
【详解】由
，
，得
，
，
∴
，即
，
∴
，解得
.
又
，
，
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
.
故选：A.
【变式4】（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知
，
则
.
【答案】
【分析】根据题意，化简得到即
，由
，得到
，结合
，
即可求得
的值.
【详解】由
，
可得
，
两式平方相加，可得：
，
即
，
又由
，可得
，所以
，所以
因为
，且
，所以
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏镇江·期中）
（ ）
A．1
B．
C．
D．-1
【答案】C
【分析】根据两角差的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
2．（24-25 高三上·贵州黔南·期末）已知
是以
轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点
为圆心的单位圆分别交于
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，再求
，结合数量积坐标运算公式及两角差余弦
公式可得结论.
【详解】由已知可得
，
所以
，
，
所以
，
故选：D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可.
【详解】因为
则为
.
联立求解得
，
所以
.
故选:B.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】由两角差的余弦公式求解即可；
【详解】因为
，所以
，
所以
或
．
故选：D
5．（24-25 高二上·云南玉溪·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得
，进而利用两角差的余弦公式可求值.
【详解】因为
，
，
所以
，
解得
，
因此
.
故选：A.
6．（24-25 高三下·云南昆明·开学考试）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系得
，再根据两角差的余弦公式即可得到答案.
【详解】∵
，
，所以
，
则
，
故选：C．
7．（24-25 高一上·安徽铜陵·期末）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，
，由
两角差的余弦公式展开可得
，根据同角三角函数的基
本关系可得
和
的值，代入即可求解.
【详解】解：
，
都是锐角，
，
，
，
，
.
故选：D.
8．（24-25 高一上·全国·课后作业）若
，
，并且
均为锐角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得
，
，再由两角差的余
弦公式计算可得结果.
【详解】由
，可得
，
又
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
故选：C
二、多选题
9．（24-25 高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．存在
，
的值，使
B．不存在无穷多个
，
的值，使
C．对于任意的
，
，都有
D．不存在
，
的值，使
【答案】AD
【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可.
【详解】令
，则
，
，此时
，故A 正确；
令
，
，
，此时
，
故B 错误；
由两角和的余弦公式可知，对于任意的
和
，
，故C 错误；
不存在
，
的值，使
，若存在
和
，则与两角和的余弦公式矛盾，
故D 正确.
故选：AD.
10．（24-25 高一·全国·课后作业）若
∈[0，2π]，sin
sin
cos
cos
0，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．
【详解】解：因为
∈[0，2π]，sin
sin
cos
cos
cos
＝0，
则
或
，
故选：CD．
11．（24-25 高一·全国·课后作业）已知
，
，
，
，
，则
下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由已知条件两边平方相加，消去
得
，可知A 正确，B 错误，再根据角的范围可
得
，所以C 正确，D 错误.从而可得答案.
【详解】由已知，得
，
.
两式分别平方相加，得
，
，
，
A 正确，B 错误.
，
，
，
，
，
，
C 正确，D 错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础
题.
三、填空题
12．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
，
是第三象限角，则
的值是 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的平方关系得出
，
，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由
，得
，
又由
，
是第三象限角，得
，
所以
.
故答案为：
.
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
，
，则
.
【答案】
【分析】本题考查同角三角函数的关系以及两角和与差的三角函数公式.根据
化简可求得
，根据
，可得
，利用两角差的余弦公式将
展开即可求解.
【详解】由题可得，
，∵
，∴
；
又
，所以
；
∴
.
故答案为：
.
14．（23-24 高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
为第四象限角，角
的终边与单
位圆O 交于点
，若
，则
．
【答案】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得
，由题意利用同角三角函数基本关系式可求
的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解．
【详解】在平面直角坐标系
中，
为第四象限角，角
的终边与单位圆
交于点
，
，设
，则
，
又
，
，
，
．
故答案为：
．
