第03 讲 正弦定理与余弦定理的应用
课程标准
学习目标
1．结合实例，理解测量不便到达的两点之
间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测
量高度方面的应用；
2．掌握数学建模的应用，理解正、余弦定
理在测量距离与角度等方面的应用
1．会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出
已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解
斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等
量关系；
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关
的实际应用问题。
知识点01 实际测量中的有关名词、术语
1、基线
（1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
（2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，
基线越长，测量的精确度高越高。
2、仰角与俯角：
（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小
于90°）
4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
5、坡角与坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。
【即学即练1】 （24-25 高一下·江西赣州·期中）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的
方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为30n mile/h，1 小时后，B 船测得A 船位于
B 船的北偏东45°的方向上，则此时A，B 两船相距 n mile．
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求出结果.
【详解】由题意得，
，
，
，
由正弦定理
，
即
，解得
．
故答案为：
．
知识点02 正弦定理和余弦定理的应用
1、测量距离与高度问题的常见类型
（1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B 不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有
关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB 的长度不可直接测量时，AB 的距离的求
法分为以下三类.
两点间不可达又不可视
两点间可视但不可达
两点间都不可达
（2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角
（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示．
2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、
余弦定理求解。
3、解三角形应用题的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三
角形的数学模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图A，B 两点在河的两岸，在B 同侧的河岸边选取点C，
测得
，则A，B 两点间的距离为 米．
【答案】
【分析】求出
，结合正弦定理即可求解.
【详解】由题意
，
由正弦定理得
，
故
，故A，B 两点间的距离为
．
故答案为：
.
题型01 距离测量问题
【典例1】（24-25 高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N 两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、
乙、丙三位同学分别在N 点、距离M 点600 米处的P 点、距离P 点200 米处的G 点进行观测．甲同学在N
点测得
，乙同学在P 点测得
，丙同学在G 点测得
，则M，N 两点间
的距离为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.
【详解】由
，得
，而
，
，
由余弦定理得
（米）.
故选：C
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B 间的距离，李宁同学首先
选定了与A，B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（
的角A，B，C 所对的边分别记为a，
b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B 间距离的所有方案的个
数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【分析】利用正弦定理，余弦定理结合三角形内角和定理判断每个方案都可以求解距离即可.
【详解】对于①，利用内角和定理先求出
，
再利用正弦定理
解出；
对于②，直接利用余弦定理
即可解出；
对于③，先利用内角和定理求出
，
再利用正弦定理
解出，故A 正确.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，
在该河流的一侧岸边选定A，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定
处，测得
米，
，则该河流的宽度是（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】A
【分析】利用正弦定理求出
，再求出
边
上的高即可.
【详解】在
中，由
，得
，
，
由正弦定理得
，即
，
因此
边
上的高为
，
所以该河流的宽度是
米.
故选：A
【变式3】（23-24 高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两点进行测量，
在同一个铅垂平面内.已知飞机在
点时，测得
，在
点
时，测得
，
千米，则
（ ）
（提示：
）
A．
千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
【答案】A
【分析】由题意可得
是等边三角形，可得
千米，记直线
与直线
的交点为
，进而可得
为等腰三角形，可求得
，计算可求得
.
【详解】因为
，可得
是等边三角形，
千米.
记直线
与直线
的交点为
，
所以
为
的中点，所以
为等腰三角形，
，
又
，
所以
千米，
故选：A.
【变式4】（24-25 高一·上海·随堂练习）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时
海里，在
处看
灯塔在船的北偏东
的方向上．1 小时后，船航行到
处，在
处看灯塔在船的北偏东
的方向上，
则船航行到
处时与灯塔的距离为 ．
【答案】
海里
【分析】在
中利用正弦定理计算可得.
【详解】依题意在
中，
，
，
，
由正弦定理有
，即
，解得
（海里）．
故答案为：
海里
题型02 高度测量问题
【典例2】（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底
在同一平面内的两个观测点
与
，现测得
米，在点
处测得塔顶
的仰
角为
，在点
处测得塔顶
的仰角为
，则铁塔的高度为（ ）
A．80 米
B．100 米
C．112 米
D．120 米
【答案】B
【分析】结合题意表示出
，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.
【详解】设
，由题意得
，而
，
得到
，在
中，
，
，
由余弦定理得
，解得
，故B 正确.
故选：B.
【变式1】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的
两个测量基点
与
.现测得
，
，
米，在点
测得塔顶
的仰角
，则塔高
约为（ ）（单位：米，
）
A．30.42
B．42.42
C．50.42
D．60.42
【答案】B
【分析】在
中，由正弦定理求出BC，进而在
中求得答案即可.
【详解】由题意，在
中，
，
由正弦定理可知
.
在
中，易知
，
于是
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高一下·河北·阶段练习）某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子
文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在
处测得雕像最高点的仰角分别为
和
，且
，
，则该雕像的高度
约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，则
，在
中，列式运算得解.
【详解】
，
，
，则
，
在
中，
，
，即
.
所以该雕像的高度
约为4m.
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高
的
处，观测到山顶
处的
仰角为
，山脚
处的俯角为
，已知
，则山的高度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中条件，先得到
，
，在
中，根据正弦定理可求得
，进而在
中，可求得
.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
，
又
，
，
所以
，
在
中，由正弦定理可得
，
所以
，
在
中，因为
，
所以
.
故选：B.
题型03 角度测量问题
【典例3】（24-235 高一·河南商丘·阶段练习）位于灯塔
处正西方向相距
海里的
处有一艘甲船燃
油耗尽，需要海上加油．位于灯塔
处北偏东30°方向有一艘乙船（在
处），乙船与甲船（在
处）相
距
海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15°
B．西偏南30°
C．南偏西45°
D．南偏西65°
【答案】A
【分析】运用正弦定理求出
即可.
【详解】如图，
，由正弦定理得
，
解得
．因为
，所以
，因为
，
所以乙船航行的最佳方向为西偏南
.
故选：A.
【变式1】（多选）（24-25 高一·全国·课后作业）一艘客船上午9：30 在A 处，此时测得灯塔S 在它的北
偏东
方向，之后它以每小时
的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00 到达B 处，此时测
得客船与灯塔S 相距
，则灯塔S 可能在B 处的（ ）
A．北偏东
方向
B．南偏东
方向
C．东北方向
D．
东南方向
【答案】AB
【分析】画出示意图如图所示，在三角形
中，由正弦定理即可求出
的值，讨论船在B 处和
处
时，即可求出答案.
【详解】画出示意图如图所示，由题意得
，
，
，
所以
，解得
，
所以
或
．
当船在B 处时，
，所以
；
当船在
处时，
，所以
．
综上，灯塔S 在B 处的北偏东
或南偏东
方向．
故选：AB.
【变式2】（24-25 高一·上海·随堂练习）如图，点A 为半径为2 千米的圆形海岛的最东端，点B 为最北端，
在点A 的正东4 千米C 处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B 处有一小船正以速度v（千米/小时）向正北
方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应向西偏
北 度方向行驶．（结果精确到整数）
【答案】
【分析】由题意，设经过小时，缉私艇在的延长线上拦截小船，由
，求出
，得到
，
，进而可求出结果；
【详解】为了在最短的时间内拦截小船检查，缉私艇应该在OB 的延长线上与小船相遇，
设经过t 小时，缉私艇在OB 的延长线上拦截小船，
此时
，
，
，
则有
，解得：
或
（舍），
此时
，
，
因此
，则
，
即缉私艇应向西偏北37°的方向行驶．
故答案为：37
【变式3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A
相距12 海里，渔船乙以10 海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北
偏东
的方向追起渔船乙，刚好用2 小时追上，此时到达C 处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求
的值；
(3)求角
．
【答案】(1)14 海里/小时；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）由余弦定理求得BC 长，即可求得速度；
（2）由正弦定理即可求；
（3）由反三角函数求值即可.
【详解】（1）由题意，
，
，
，
，
由余弦定理得
，∴
.
∴渔船甲的速度为
海里/小时.
（2）由正弦定理得，
，即
（3）由题意得，
，由
得
.
题型04 实际生活中的综合应用
【典例4】（24-25 高一·浙江·期末）在海岸A 处，发现北偏东
方向，距离A 为
海里的B 处有一艘
走私船，在A 处北偏西
方向，距离A 为2 海里的C 处有一艘缉私艇奉命以
海里/分钟的速度追截走私
船，此时，走私船正以1 海里/分钟的速度从B 处向北偏东
方向逃窜．
（1）问C 船与B 船相距多少海里？C 船在B 船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．
【答案】（1）
，正西方向；（2）东偏北
，
分钟．
【分析】（1）在
中根据余弦定理计算
，再利用正弦定理计算
即可得出方位；
（2）在
中，利用正弦定理计算
，再计算
得出追击时间．
【详解】
解：（1）由题意可知
，
，
，
在
中，由余弦定理得：
，
，
由正弦定理得：
，
即
，
解得：
，
，
船在
船的正西方向．
（2）由（1）知
，
，
设分钟后缉私艇在
处追上走私船，
则
，
，
在
中，由正弦定理得：
，
解得：
，
，
是等腰三角形，
缉私艇沿东偏北
方向行驶
分钟才能最快追上走私船．
【变式1】（24-25 高一下·广东东莞·阶段练习）在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处
海里的
B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2 海里的C 处的缉私船奉命以
海里/小时的速度追
截走私船，此时走私船正以10 海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，
所需的时间约是 分钟．（注：
）
【答案】15
【分析】由已知条件，先解
，利用正余弦定理得
及
为东西走向，再解
，利用利
用正弦定理得
，进而得到
，利用路程与速度的比即可求时间.
【详解】设缉私艇最快在
处追上走私船，追上走私船需t 小时，
则
，
，
∴在
中，已知
,
,
，
由余弦定理得，
，即
，
由正弦定理得
，
则
，
，
∴
为东西走向，
，
在
中，由正弦定理得
，
则
，且
为锐角，
∴
，
即
，∴
小时，即
分钟.
故答案为：
.
【变式2】（23-24 高一下·河北·期末）如图，甲船在点
处通过雷达发现在其南偏东
方向相距20 海里
的
处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15 海里/时的速度从
处向南偏西
的方向行驶．甲
船立即通知在其正西方向且相距
海里的
处的补给船，补给船立刻以25 海里/时的速度与货船在
处
会合．
(1)求
的长；
(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
【答案】(1)70 海里
(2)2 小时
【分析】（1）由题可得
，利用余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理可得
，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出
，再在
中，
利用余弦定理即可求出时间.
【详解】（1）根据题意可得
．
因为
海里，
海里，
所以根据余弦定理可得
海里．
（2）由余弦定理可得
，则
，
所以
．
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则
海里，
海里．
在
中，
解得
或
（舍去），
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2 小时．
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），
它们相距
海里.现有一艘轮船在
点发出求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东
，
点
北偏西
，这时，位于
点南偏西
且与
点相距
海里的
点有一救援船，其航行速速为
海
里/小时.
(1)求
点到
点的距离
；
(2)若命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2 小时
【分析】（1）在
中利用正弦定理，求出
；
（2）在
中，利用余弦定理求出
，根据速度求出时间．
【详解】（1）由题意知
海里，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
，
（海里）.
（2）在
中，
，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间
（小时）．
答：救援船到达
点需要2 小时．
【变式4】（23-24 高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形
（如图所示），其中
内的区域为居民区，
内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段
和线段
上
分别选一处位置，分别记为点
和点
，修建一条贯穿两块区域的直线道路
，线段
与线段
交于
点
，
段和
段修建道路每公里的费用分别为10 万元和20 万元，已知线段
长2 公里，线段
和线段
长均为6 公里，
，设
.
(1)求修建道路的总费用
（单位：万元）与
的关系式（不用求
的范围）；
(2)求修建道路的总费用
的最小值.
【答案】(1)
(2)80 万元
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得
，
，进而可得解析式；
（2）利用三角恒等变换整理可得
，换元令
，结合函数单调性
求最值.
【详解】（1）在
中，因为
，可得
，
在
中，可知
，
由正弦定理
，可得
，
所以
.
（2）由（1）可知：
，
因为
，则
，
令
，则
，
且
在
上单调递增，可知
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
当
，即
时，修建道路的总费用
取到最小值
万元.
一、单选题
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）一艘轮船南偏东
方向上10 海里处有一灯塔，该轮船以18 海里/时的
速度沿北偏东
的方向直线航行，行驶20 分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ）
A．17 海里
B．16 海里
C．15 海里
D．14 海里
【答案】D
【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可.
【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20 分钟后轮船的位置为C，如图所示．
则
，
，所以在
中，由余弦定理得
，
所以
．
故20 分钟后，轮船与灯塔的距离为14 海里．
故选：D.
2．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B 在同
一水平面内的两个观测点C 与D，现测得
，
米，在点C 处测得塔顶A 的仰角为
，在点D 处测得塔顶A 的仰角为
，则铁塔的高度为（ ）
A．80 米
B．100 米
C．112 米
D．120 米
【答案】B
【分析】设
，则有
，
，在
中用余弦定理求解.
【详解】设
，由
，
，
，
，
知
，
．
在
中，因
，
米，
由余弦定理，得
，解得
米．
故选：B．
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂
直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为
与水平地面
的交点）进行该仪器的垂直弹射，
水平地面上两个观察地A，B 相距100 米，
，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40 米．在A
地测得该仪器在C 处的俯角为
，在A 地测得最高点H 的仰角为
，则该仪器的垂直
弹射高度
为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】B
【分析】在
中，由余弦定理求得
，在
中，运用正弦定理求得
即可.
【详解】在
中，设
，则
，
由余弦定理得
，
即
，解得
．
在
中，
．
由正弦定理得
，即
，解得
．
故选：B．
4．（23-24 高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向
匀速直线航行,当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,当甲船航
行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,则乙船每小时航
行（ ）
A．
海里
B．
海里
C．
海里
D．
海里
【答案】D
【分析】先根据已知条件得到
和
的长,在利用已知条件和余弦定理求出
的长即可得到结果.
【详解】连接
,如图:
由已知条件得:
,
因为甲船的速度是每小时
海里,
所以
,
则
是等边三角形,
所以
,
因为当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,
所以
,
则
,
即
,
所以乙船航行的速度是
海里/小时,
即乙船每小时航行
海里.
故选:D.
5．（21-22 高一·全国·课后作业）如图所示，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察
站南偏西
方向上，灯塔B 在观察站南偏东
方向上，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A．北偏东
方向上
B．北偏西
方向上C．南偏东
方向上
D．
南偏西
方向上
【答案】D
【分析】根据题意求出各角的度数，确定
，故灯塔A 在灯塔B 的南偏西
方向上.
【详解】由条件及题图可知，
为等腰三角形，
所以
，又
，
所以
，所以
，
因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西
方向上．
故选：D．
6．（23-24 高一下·浙江·期中）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔
之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度
，在雷锋塔的正西方向找到一座建
筑物
，高约为
，在地面上点E 处（A，C，E 三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D 的仰角
分别为
和
，在B 处测得塔顶部D 的仰角为
，则雷锋塔的高度约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，
在结合正弦定理，可得答案.
【详解】在
中，
；在
中，
；
由图可知
，易知
，
在
中，
，根据正弦定理可得：
，
则
.
故选：C.
7．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到
处时看灯塔
在
的南偏东
，距离为
海
里，灯塔
在
的北偏东
，距离为
海里，该渔船由
沿正东方向继续航行到
处时再看灯塔
在
其南偏西
方向，则此时灯塔
位于渔船的（ ）
A．南偏东
方向
B．南偏西
方向
C．北偏西
方向
D．北偏西
方向
【答案】D
【分析】由正弦定理可得
，由余弦定理得
，由正弦定理得
，即可求.
【详解】如图，
由题意，在
中，
，
，
，
由正弦定理得
，
所以
，
在
中，因为
，
，
由余弦定理得
，
所以
，
由正弦定理得
，
所以
，
因为
，故
为锐角，
故
，此时灯塔C 位于渔船的北偏西
方向.
故选：D.
8．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两
点进行测量，
在同一个铅垂平面内.已知飞机在
点时，测得
，在
点时，
测得
，
千米，则
（ ）
A．
千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
【答案】A
【分析】由题意可得
是等边三角形，可得
千米，记直线
与直线
的交点为
，
，进而可得
为等腰三角形，可求得
，计算可求得
.
【详解】因为
，
可得
是等边三角形，则
千米.
记直线与直线的交点为
，
所以
,
为
的中点，
所以
为等腰三角形，
所以
千米.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24 高一下·四川乐山·期末）据统计，从1932 年至1990 年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校
计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪米尺
､
､
量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（ ）
A．把两只佛脚底部看作
两点，分别测量佛顶的仰角
和
的距离
B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为
，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为
C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角
D．在佛脚平台上寻找两点
分别测量佛顶的仰角
，再测量
两点间距离和两点相对于大佛底
部的张角
【答案】BCD
【分析】根据各选项的描述，结合正余弦定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可.
【详解】对于A：如果
两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A 不正确．
对于B：
在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为
，再面对大佛前行
米，测得佛顶的仰角为
,佛像高度为
,
在
中，
,
在
中，
，
所以
，即
，佛像高度
，故B 正确；
对于C：如下图，
在
中由正弦定理求
，则佛像的高
，故C 正确；
对于D：如下图，
在佛脚平台上寻找两点
分别测量佛顶的仰角
，再测量
两点间距离和两点相对于大佛底部的张
角
，
在直角三角形
中用
来表示
,在
中由余弦定理就可以计算出佛像高度
，故D
正确；
故选：BCD.
10．（24-25 高一下·全国·单元测试）如图，甲船从
出发以每小时25 海里的速度向正北方向航行，乙船
按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西
方向的
处，此时两船相距
海
里．当甲船航行12 分钟到达
处时，乙船航行到甲船的南偏西
方向的
处，此时两船相距5 海里，下
面结论正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是
海里/时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了
小时
D．甲、乙两船不可能相遇
【答案】AD
【分析】根据三角形的边角关系可得
是正三角形，进而根据余弦定理可得
，进而可求解速度，
即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD.
【详解】如图，连接
．
依题意，
（海里），而
海里，
，
则
是正三角形，所以
海里．
在
中，
海里，
由余弦定理得
（海里），
则有
，所以
，所以
，
所以乙船的行驶速度是
（海里/时），故A 正确，B 不正确．
延长
与
交于点O，显然有
，即
，
易得
海里，
海里，
海里，
甲船从出发到点O 用时
（小时），
乙船从出发到点O 用时
（小时），
，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C 不正确，D 正确．
故选：AD．
11．（23-24 高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度
以及其最高处瞭望塔的塔高
，测量船
沿航线
航行，且
与
在同一铅直平面内，测量船在
处测得
，
，然后沿航线
向海岛的方向航行
千米到达
处，测得
，
（
，测量船的高度忽略
不计），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】在
中由正弦定理得求出
可判断BA；求出
，由正弦定理求出
可判断C；
在
中，由正弦定理求出
可判断D．
【详解】在
中，
，
，
，由正弦定理得，
，
即
，所以
，
，故B 正确；
且
，故A 错误；
故
，
在
中，
，
，
由正弦定理得，
，
所以
，故C 错误；
对于D，在
中，
，
，
，代入
，
所以
，故D 正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用正弦定理解三角形.
三、填空题
12．（23-24 高一下·福建福州·期中）海上某货轮在
处看灯塔
在货轮北偏东
，距离为
海里处；
在
处看灯塔
，在货轮的北偏西
，距离为
海里处；货轮由
处向正北航行到
处时看灯塔
在
北偏东
，则灯塔
与
处之间的距离为 海里.
【答案】
【分析】根据给定信息作出图形，在
中用正弦定理求
，在
中用余弦定理计算作答.
【详解】如图所示，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
由正弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
即灯塔
与
处之间的距离为
海里.
故答案为：
13．（24-25 高一上·上海·单元测试）台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向北偏东30°方向移动，离台
风中心30 千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东30 千米处，B 城市处于危险区内的时间共有
小时.
【答案】1.5
【分析】运用余弦定理，结合二次不等式解题即可.
【详解】解析：设t 小时后，台风中心移动到点C，如图.
由题意：
，
，
，由余弦定理可得
.
若受到台风影响，则
，即共影响1.5 个小时.
故答案为：1.5.
14．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）甲船在
岛的正南方向
处，
千米，甲船以4 千米/小时的速
度向正北方向航行，同时，乙船自
岛出发以6 千米/小时的速度向北偏东
的方向驶去，航行时间不超
过2.5 小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 小时.
【答案】
【分析】设经过
小时距离最近,分别表示出甲乙距离
岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次
函数求最值的方法得到答案.
【详解】设经过
小时两船之间的距离为千米,甲船由
点到达
点，乙船由
点到达
点，
则
，
.
由余弦定理可得
，
当
时，
最小,
则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为
小时.
故答案为:
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站
在目标
的南偏西
方向，经过
处有一条南
偏东
走向的公路，在
处观测到与
相距31km 的
处有一人正沿此公路向
处行走，走20km 到达
处，此时测得
，
相距21km.
(1)求
；
(2)求
，
之间的距离.
【答案】(1)
(2)15km
【分析】（1）利用余弦定理求出
，即可求
；
（2）由正弦定理有
求出
，再由余弦定理有
即可求解.
【详解】（1）由题意知：
，
，
在
中，由余弦定理
因为
,
所以
（2）
，
,
，
由题意知：
在
中，由正弦定理得：
，所以
由余弦定理得：
，
即
，
解得：
或
（舍）
，
之间的距离为
16．（24-25 高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤
平原，处处都能见到5G 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G 基站
，
已知基站高
，该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼睛所在位
置）测得基站底部
的仰角为
，测得基站顶端
的仰角为
，求出山高
（结果保留整数）．（参
考数据：
，
，
，
，
）
【答案】
【分析】在
中利用正弦定理求出
，再在
中利用锐角三角函数求出
，即可得解.
【详解】依题意可得
，
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
，
在
中，
，即
，
所以
，
所以山高
．
17．（23-24 高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点
处以
的速度向正东方向航行，在
处测得灯塔
在北偏东
方向上，继续航行
到达
处，这时测得灯塔
在北偏东
方向上，已知在
灯塔
的四周
内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：
，
）
【答案】安全；理由见解析.
【分析】过点
作
，计算出
即可得出结论.
【详解】过点
作
，垂足为
.如图所示：
根据题意可知
，
，
，
且
故
,
,
，
故
，即这轮船继续向正东方向航行安全.
18．（23-24 高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，
，测得小岛
在
的北偏东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行100 海里后到达
处，测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上．
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
，
两座小岛之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得；
（2）根据题设条件计算得到
，在
中利用余弦定理求得
，接着在
中利用余弦定理，即可求得结果.
【详解】（1）由题可知在
中：
，
，
所以
，
由正弦定理可得：
，
所以
（海里）．
（2）由题可知在
中：
，
，所以
．
所以
（海里），
由余弦定理可得：
，
所以
（海里），
由题意可知，在
中，
，
由余弦定理可得：
，
所以
（海里）.
19．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，
作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某
校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”
的高度，该小组同学在该建筑底部
的东南
方向上选取两个测量点
与
，测得
米，在
两处测得该建筑顶部的仰角分别为
.（已知
）
(1)请计算“杭州之门”
的高度（保留整数部分）；
(2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上
到
处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知
米，
高
直接取（1）的整数结果，市民在底部
的东南方向的
处欣赏“灯光秀”（如图），请问当
为
多少米时，欣赏“灯光秀”的视角
最大？（结果保留根式）
【答案】(1)300 米；
(2)
为
米时，欣赏“灯光秀”的视角
最大.
【分析】（1）根据已知有
，即可求
的高度；
（2）由
，根据已知及差角正切公式、基本不等式求
的最值，确定取值条件
即可得结论.
【详解】（1）由题设
，
所以
米；
（2）设
米，则
，
，
由
，则
，
当且仅当
时，欣赏“灯光秀”的视角
最大.
